Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал), 2015, № 6 (спецвып.27)

ГОРНЫЙ
ИНФОРМАЦИОННОАНАЛИТИЧЕСКИЙ
БЮЛЛЕТЕНЬ № 6
СПЕЦИАЛЬНЫЙ
ВЫПУСК 27

Нгуен Зуен Фонг

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ
ГЕОМЕХАНИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ
ТУННЕЛЕЙ
ДЛЯ ОБОСНОВАНИЯ
ПАРАМЕТРОВ
КОНСТРУКЦИИ КРЕПИ

УДК 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Н 37 

622.261; 622.831 
Н 37 
 
 
 
Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых» СанПиН 1.2.1253-03, утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 
29.124—94). Санитарно-эпидемиологическое заключение Федеральной 
службы по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия
человека № 77.99.60.953.Д.014367.12.14 
 
 
 
 
Нгуен Зуен Фонг 

Оценка влияния геомеханических процессов при строитель
стве туннелей для обоснования параметров конструкции крепи. 
Отдельные статьи: Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). — 2015. — № 6 (специальный выпуск 27). — 28 с. — М.: Издательство «Горная книга» 
ISSN 0236-1493 

Рассмотрена количественная сторона зависимости отпора крепи 
(контактного напряжения на границе крепь-массив) от общего смещения 
контура выработки. Для выбора оптимации параметров крепи в свете
теории взаимовлияющей деформации представляет интерес только случай образования вокруг выработки одной области пластических деформаций без разрушения, так как при отсутствии этой области массив находится в устойчивом упругом состоянии и крепь применяется только 
как ограждающая конструкция. Для обоснованного выбора конструктивных и технологических параметров крепи необходима предварительная 
оценке степени развития механических процессов в конкретной геомеханической обстановке. 

УДК 622.261; 622.831

©  Нгуен Зуен Фонг, 2015 
©  Издательство «Горная книга», 2015 
ISSN 0236-1493 

©  Дизайн книги. Издательство  
«Горная книга», 2015 

 
 

УДК 622.261; 622.831 
© Нгуен Зуен Фонг, 2015 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ВЕЛИЧИНЫ ДОПУСТИМЫХ СМЕШЕНИЙ 
ДЕФОРМАЦИЙ КОНТУРА ТУННЕЛЕЙ 
КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ 

При проходке туннелей первоначальное напряженное состояние породного 
массива нарушается и в окрестности образованной выработки происходит процесс перераспределения напряжения, что в свою очередь, может 
привести к образованию зоны пластических деформаций. Величины смещений породного контура туннелей, которые зависит как от размеров самих 
туннелей, так и от развития зоны пластических деформаций, могут изменяться от нескольких до десятков сантиметров. 
Ключевые слова: строительство туннелей, напряженно-деформированное 
состояние пород, обделка выработки, смещение контура породных массив. 
 
При наличии крепи последняя, вступив во взаимодействие с породным массивом, совместно с последним деформируется до наступления равновесного состояния системы «крепь-массив». Если смещение 
породного контура достигает значительных величин, а это зачастую 
имеет место при проходке туннелей в неустойчивых породах и породах 
средней устойчивости, то крепь, не обладая достаточной величиной податливости, будет разрушаться. 
Первоначальное напряженное состояние разнокомпонентное с величиной q, сечение туннеля кругное с относительным радиусом rB = 1, 
вокруг выработки образуется максимальная область пластических деформаций радиусом rn, в которой прочность горных пород снижается от 
первоначальной прочности в массиве σсж при r≥rn до остаточной прочности σсж
0 на контуре выработки (r= 1). При этом принимается линейная 
закономерность изменения прочности. 
Из теории механики сплошной среды и механики горных пород известно, что в области пластических деформаций (II) для плоской асимметричной задачи выполняются следующие уравнения [1,2,3,4]: Урав
нение равновесия: 
0
r
r
d
dr
r


  
 

;  
(1) 

Уравнение физического состояния: σθ-(2λ+1)σr=σn(r); 
 (2) 
где σθ,σr — соответственно тангенциальное и радиальное напряжение вокруг выработки; σr(r) — прочность горных пород в облести 
пластических деформеций, которая зависит от r; λ=sinφ/(1-sinφ); φ — 
угол внутреннего трения горных пород. 

Рис. 1. Расчетная схема к определению допустимых смещений 
контура подземных выработок 
 
С учетом функции напряжений F, которая тождественно удовлетворяет уравнение 
(1) 
при 
условии: 
σr=F/r; σθ=dF/dr; 
(3) 
(2) записывается в новом виде:  



 
2
1
n
dF
F
r
dr
r

 
 
; (4) 

Для решения (4) необходимо 
записать 
правую 
часть в виде явной функции 
от r. В соответствии с расчетной схемой на рис принимается линейная закономерность изменения 
прочности горных пород в области неупругах деформаций. В общем виде правую часть уравнения (4) можно записать так: σn(r)=ar+b; 
(5) 
где a, b — коэффициенты, определнемые из граничных условий: σn=σсж
0 
при r=1; или σn=σсж при r=rn. С учетом этого выражение (4) принимает 

вид: 
 



0
0
сж
1
1

сж
n
сж
n
r
r
r

 



 

; 
                                               (6) 

Подставим (6) в (3), получим:  






0
0
сж
2
1
1
1

сж
сж
n

dF
F
r
dr
r
r

 

 


 

; 
(7) 

Решение (7) имеет вид: 



0
2
2
1
1
1
1
2
1
2

сж
M
M
F
r
r
C r 
 
 


 

 

где 

0
сж
1
1

сж

n
M
r

 


; коэффициент С1 определяется из граничного ус
ловия при r = 1, σr = F/r = 0. 
С учетом условия (3) и уравнения (2) находим выражения для полных напряжений в области 2:  










0
0
0
0
2
сж
сж
сж
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1

сж
сж
сж
сж n
r
n
n
n

r
r
r
r
r
r











 






 


 





; 




 


0
0
сж
2
1
1
1

сж
r
n
сж
n
r
r


 
 
 
 

 

 
(8) 

Радиус области пластических деформаций определяется из граничного 
условия на границе раздела областей 1 и 2: r=rn→σr
1=σr
2=q-A/3; 
(9) 

где 
сж
3 2
2
1
q
A
  

 
. Отсюда rn определяется из решения уравнения: 








0
0
0
2
сж
сж
2
2
1
1
2
2
1
1

сж
сж
сж
n
n
n
n
r
r
r
r





 


 






 


 



 




0
сж
0
2
1
3

сж n

n

r
A
q
r

 






; 
(10) 

В общем случае уравнение (10) решается методом приближения, 
предварительно выбираются значения rn в интервале 1<rn<2. В частном 
случае при λ=1, т.е. φ=300, уравнение (10) намного упрощается и превращается в уравнение второго порядка относительно rn: 




0
2
0
сж
сж
2
0
3
сж n
сж
n
A
r
r
q



 
 


 





. 
(11) 

Относительное смещение контура выработки при отсутствии области руинного разрушения определяется выражением [1]:  



1
1
1
1
2
1
n
A
u
r
E









 


; 
(12) 

Итак, при подстановке в (2.13) значение rnmax, полученное из решения уравнения (10) или (11), будем иметь допустимое смещение контура 

выработки: 


1
max
1
1
1
2
1
ä
n
A
u
r
E









 


; 
(13) 

где E-модуль деформации горных пород; β-коэффициент поперечной 
деформации для запредельного состояния горных пород. 
Напомним, что все линейные показатели в этих выражениях являются безразмерными относительными величинами; для получения фактических значений следует умножить их на фактический радиус выработки. Величина оптимально допустимого смещения контура выработки 
служит ограничением при выборе величины податливости крепи и контролью за смещением массива. Крепь, с одной стороны, должна быть 
достаточно податливой, чтобы позволять породному массиву смещаться 
в определенных пределах и тем самым уменьшать на себя нагрузку при 
наступлении равновесия. С другой стороны, податливость крепи должна 
быть ограничена, чтобы не допускать переход горных пород приконтурной зоны в состояние руинного разрушения. Во всяком случая величина податливости крепи не должно превышать оптимально допустимого смещения. 

Однако для научного подхода к выбору оптимальных параметров 
крепи представляется особый интерес вопрос количественной оценки 
зависимости ожидаемой нагрузки на крепь от допускаемого крепью 
смещения контура выработки. 
 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 

1. Баклашов К.В., Картозия Б.А. Механика подземных сооружений и конструкции крепей. — М., Кедра, 1984. 
2. Баклашов И.В. Деформирование и разрушение породных массивов. — 
М., Недра, 1988. 
3. Баклашов К.В., Картозия Б.А. Механические процессы в породных массивах. — М., Недра. 1986. 
4. Булычев Н.С.Механика подземных сооружений: учебник для вузов. 2-е 
изд., перераб. — М.: Недра, 1994. 
 

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ 

Нгуен Зуен Фонг — аспирант, Горный институт НИТУ «МИСиС», 
nguyenduyenphong@gmail.com. 

UDC 622.261; 622.831 

MATHEMATICAL MODELING OF THE ALLOWABLE MIXING DEFORMATION TUNNEL ROUND SECTION 
 
Nguyen Duyen Phong, Graduate Student, Moscow Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», Russia. 
 
 
When tunneling initial stress state of the rock mass is broken and in the vicinity of the 
educated generation is the process of redistribution of stresses, which in turn can lead to the 
formation of the zone of plastic deformation. Values rock displacement loop tunnels which depends on the dimensions of the tunnels themselves and the development of plastic deformation 
zone can vary from several to tens of centimeters. 
Key words: tunnel construction, stress strain state of rocks lining tunnel. 

REFERENCES 
1. Baklashov K.V., Kartozija B.A. Mehanika podzemnyh sooruzhenij i konstrukcii krepej 
(Mechanics of underground structures and construction). Moscow, Kedra, 1984. 
2. Baklashov I.V. Deformirovanie i razrushenie porodnyh massivov (Deformation and 
failure of rock masses). Moscow, Nedra, 1988. 
3. Baklashov K.V., Kartozija B.A. Mehanicheskie processy v porodnyh massivah (Mechanical processes in rock masses). Moscow, Nedra. 1986. 
4. Bulychev N.S. Mehanika podzemnyh sooruzhenij (Mechanics of underground structures): uchebnik dlja vuzov. 2-e izd., pererab. Moscow: Nedra, 1994. 

УДК 622.261; 622.831 
© Нгуен Зуен Фонг, 2015 

ИССЛЕДОВАНИЕ СЧЕТА УРАВНЕНИЯ  
РАВНОВЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ СИСТЕМЫ 
«КРЕПЬ-МАССИВ» ПРИ СМЕЩЕНИИ  
КОНТУРА ПОРОДНЫХ МАССИВ 

Рассмотрена количественная сторона зависимости отпора крепи (контактного напряжения на границе крепь-массив) от общего смещения контура выработки. Для выбора оптимации параметров крепи в свете теории 
взаимовлияющей деформации представляет интерес только случай образования вокруг выработки одной области пластических деформаций без 
разрушения, так как при отсутствии этой области массив находится в 
устойчивом упругом состоянии и крепь применяется только как ограждающая конструкция. 
Ключевые слова: строительство туннелей, напряженно-деформированное состояние пород, обделка выработки, смещение контура породных массив. 
 
Первоначальное напряженное состояние разнокомпонентное с величиной q, сечение туннеля кругное с относительным радиусом rB = 1, 
вокруг выработки образуется максимальная область пластических деформаций радиусом rn, в которой прочность горных пород снижается от 
первоначальной прочности в массиве σсж при r≥rn до остаточной прочности σсж
0 на контуре выработки (r=1). При этом принимается линейная 
закономерность изменения прочности [1,2,3]. 
Итак, в качестве исходного рассматриваем уравнение, выражающее 
зависимость ожидаемой нагрузки на крепь (или отпора крепи) Р от радиуса зоны пластических деформаций rn для случая отсутствия области 
руинного разрушения. Расчетная схема представлена на рис. 1. [3]. Согласно [1] это уравнение имеет вид: 











2
1 2
2
1
1
1
1
1
2
2
1

сж
n
n
n
A
A
Pr
r
r

  

 
 






 
   
  
 

0
3
A
q
 

; 
(1) 

где, кроме известных обозначений [3]; ξ=Е*/Е — коэффициент, характеризующий отношение модулей деформации в допредельном и запредельном состояниях; Преобразуем уравнение (1) в явную функцию за

висимости P от rn и для сокращения принимаем следующие обозначе
ния: 




1
1
1
2
A
K

  
   
; 






2
1
2
1

сж
A
K
  
 

  
; К3=q-A/3; 
(2) 

С учетом этого уравнение (1) преобразуется в новый вид: 

1
2
3
1
1
2
2
n
n

K
K
K
P
K r
K
r








; 
(3) 

Функция (3) представляет собой функцию зависимости величины 
отпора крепи, или точнее говоря, величины ожидаемой нагрузки на крепь 
при достижении равновесного состояния системы «крепь-массив», от радиуса области запредельного деформация. Относительное смещение контура выработки при отсутствии области руинного разрушения определя
ется выражением [1]: 


1
1
1
1
2
1
n
A
u
r
E









 


; 
(4) 

Функция (3) вместе с уравнением (4), выражающим зависимость 
смещений контура выработки от радиуса области запредельного деформирования, составляет систему уравнений равновесных состояний. Однако для выяснения зависимости ожидаемой нагрузки на крепь P от смещения контура выработки u оказывается более удобной функция, которая 
способна выразить явную зависимость исследуемых величий. Для получения этой функции из выражения (4) сначала исключается rn:  




1
1
1
1
2
n
uE
r
A


 



 





; 
(5) 

Затем в (3) подставляется вместе rn выражение (5), в результате получена функция:  







3
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2

K
K
K
uE
P
K
K
A
uE
A




 



 







 


 






; 
(6) 

Функция (6) служит уравнением равновесных состояний системы 
«крепь-массив» в свете теории запредельного деформирования. С целью 
выяснения зависимости P от u проводим математическое исследование 
(6) как функции Р=f(u). Производная от этой функции по u имеет вид: 

 




3
1
2
1
2
'
'
1
K
K
K
E
K E
P
f
u
A
A






 

  






2
1

1
1
1
2
uE
A




 



 





; 
(7) 

Для сокращения принимаются обозначения: 


1
1
1
K E
M
A

 
; 



2
1
2
2
2
K
K
K
E
M
A





; 



1
1
E
a
A  

; 
1
1
2
b
  
; 2
1
1
n
   

 
; 
(8) 

С учетом этого (7) принимает вид: 
 



2
1

1
1
'
n
M
f
u
M
a u
b



; 
(9) 

При этом M1, M2, a1, b1, n — константы и n>1 
Приравняв (9) нулю, находим u*:  

f’(u) =0 →

1

2
1
1
1

1
*

n
M
u
b
a
M


















; 
(10) 

Легко доказать, что M1 и M2 — положительные константы, и 
функция (9) монотонно возрастает, обращаясь в ноль при единственном 
значении u = u*. Итак: При u<u*→P’=f’(u)<0; При u=u*→P’=f’(u)=0; 
При u>u*→P’=f’(u)>0. Отсюда следует, что функция (6) P=f(u) имеет 
единственный минимум в точке с координатами u* и P*= (u*). В общем 
случае график функции (6) имеет вид (рис. 2). Однако функция (6) является справедливой не на всем интервале изменения смещений от поля 
до бесконечности. Как уже было сказано при постановке задачи и введении расчетной схемы, функция (6) приемлема только при условии, 
что вокруг выработки образуется область пластической деформеций, но 
без руинного разрушения приконтурной части массива. Поэтому в нее 
следует ввести ограничение по сметениям u с обеих сторон: 
1. Условие наличия области пластических деформаций. Для удовлетворения этого условия нужно, чтобы радиус области пластических 
деформаций rn в выражении (5) был большим или по крайней мере равным 1. 

Т.е. 



1
1
1
1
1
2
uE
A


 


 






 или 


1
1
1
2
uE
A
 
 


; 
(11) 

Отсюда: u≥A/2E. Согласно [1] правая часть (11) является упругим 
компонентом смещения контура выработки uy. Итак, первое ограничение функции (6) записывается следующим образом: u≥uy,  
где uy=A/2E; 
(12) 
2. Условие отсутствия руинного разрушения контура выработки. 
Это условие требует, чтобы вокруг выработки образовалась максималь

ной возможной облаеть пластических деформаций при сохранении минимальной устойчивости породного контура. Согласно этому условию 
должно быть соблюдено соотношение: rn≤rnmax. Согласно [1,3] это урав
нение имеет вид: 







0
0
0
2
сж
сж
2
2
1
1
2
2
1
1

сж
сж
сж
n
n
n
n
r
r
r
r





 


 






 


 



 




0
сж
0
2
1
3

сж n

n

r
A
q
r

 






; 
(13) 

где rnmax — максимально допустимый радиус области пластических деформаций, полученный из решения уравнения (13). Другими словами, 
это условие означает, что смещение контура выработки не должно превышать величины допустимого смещения: u≤uд; 
 
(14) 
Смещение контура выработки [1,3]:  



1
max
1
1
1
2
1
д
n
A
u
r
E









 


; 
(15) 

Таким образом, полные условия ограничения для функции (6) записываются в следующей форме: uy≤ u≤uд; 
(16) 
Следует отметить, что u=uд=A/2E выражение в квадратных скобках 
в (6) обращается в единицу и тогда: P=Kз=q-(A/3); 
(17) 
То есть, для того, чтобы ограничить смещение контура выработки 
в рамках упругой деформации и предупредить образование области 
пластических деформаций, необходимо прилагать к контуру выработки 
крепь с величиной отпора P=q-(A/3). В случае отсутствия крепи (незакрепленной выработки) для удовлетворения этого условия необходимо, 

чтобы: 
1 3 2
3
3 2
1

сж
A
q
q
  


 
 отсюда следует: σсж≥2q; 
(18) 

Если вспомнить, что для выработок круглого сечения коэффициент 
концентрации напряжений η=2 и q=γH — напряжение в нетронутом 
массиве, то можно записать [1]: σсж≥2γН; 
(18') 
И условие ограничения (18) обращается в условие упругой устойчивости незакрепленной выработки. Это означает, что если прочность 
горных пород превышает величину концентрированного напряжения на 
контуре выработки, то последния остается в упругом устойчивом состоянии без вмешательства какой-либо несущей конструции. Однако в 
свете теория запредельного деформирования породный контур способен 
сохранить свою устойчивость без участия крепи и после того, как напряжение в массиве достигает и превышает величину прочности горных 
пород, т.е. при σсж<2q (запредельно-устойчивое состояние). Возвращаемся к исследованию функции (6). Для наглядности результаты исследования приведены в табл. 1.