Математические методы финансового анализа

 

 

Н.В. Попова 

 

Математические методы 
финансового анализа 

 

Учебное пособие 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 

Инфра-М; Znanium.com 

2019 

 

 

 

 

 

 

 

 

Попова, Н.В. 

 
Математические методы финансового анализа: учеб. пособие / Н.В. 

Попова. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2019. – 81 с. 

ISBN 978-5-16-107309-4 (online) 

 

 

Учебное 
пособие 
предназначено 
для 
освоения 
дисциплины 
«Математические методы финансового анализа». Приводятся основные 
определения, теоремы, формулы и задачи по всем разделам дисциплины. 
Пособие содержит контрольные вопросы для проверки знаний и 
индивидуальные контрольные задания. 

Для студентов, обучающихся по направлениям бакалавриата «Прикладная 
математика и информатика» и «Экономика». 

 

 

 

 

 

 

ISBN 978-5-16-107309-4 (online) 
 
 
 
© автор, 2016, 2019 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Глава 
1. 
МАТЕМАТФИЧЕСКИЕ 
ОСНОВЫ 
ФИНАНСОВОГО 

АНАЛИЗА В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ................................ 4 

1.1. Математические методы, используемые для анализа 

инвестиций в условиях определенности ........................................... 4 

1.2. Основные понятия и методы финансовых вычислений ............ 6 

1.3. Потоки платежей ........................................................................ 20 

Глава 
2. 
ФИНАНСОВЫЙ 
АНАЛИЗ 
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ 
ИНВЕСТИЦИЙ …………………………………………………………….30  
Глава 3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИНАНСОВЫХ ИНВЕСТИЦИЙ  

С ФИКСИРОВАННЫМ ДОХОДОМ .................................................... 37 

Глава 4. УПРАВЛЕНИЕ ПОРТФЕЛЕМ ОБЛИГАЦИЙ ...................... 60 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ................................................................ 66 

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ......................... 73 

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………78 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................... 79 

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОГО 

АНАЛИЗА В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ 

 
1.1. Математические методы, используемые для анализа  
инвестиций в условиях определенности 
 
Вычисление пределов функций и последовательностей. В анализе инвестиций в условиях определенности чаще всего приходится 
вычислять пределы от показательных и логарифмических функций. 
При этом рекомендуется использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых функций. Так как 
1
ln
u
a
u
a


 и 


ln 1 u
u

 при 

0
u 
, то по свойству эквивалентных бесконечно малых функций 

 

 
0
0
limφ
1
limφ
ln
u
u

u
u
a
u u
a




 

и 

 


 
0
0
limφ
ln 1
limφ
u
u
u
u
u u




, 

где  
φ u  некоторая функция. 

Теорема (о сходимости монотонной последовательности). Неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная 
сверху 
(снизу) 
сходится, 
причем 
 
 
lim
sup
k
k
k
x
x



 
 


lim
inf
k
k
k
x
x


. 

Некоторые элементарные функции и их графики. Для иллюстрации процессов наращения и дисконтирования денежных сумм используются графики линейной, показательной, дробно-линейной 
функций. Правила построения графиков и вычисления пределов 
функций можно посмотреть в работе В. Е. Барбаумова и Н. В. Поповой «Индивидуальные контрольные задания по дисциплине «Математический анализ». Построение графиков. Предел и непрерывность 
функции» [2].   
Применение производных к исследованию функций. Пусть дана 
дифференцируемая функция 
 
f u , где 
 
u
u x

. По определению 

x
u
x
f
f
u





. В частности, 



1
n
n
u
nu
u





,    

ln
u
u
a
a
a u




, 

 


 


 
 


 
 
 
 


ln
ln
φ
φ
φ
φ
ln
x
x
f x
x
x
f
f x
e
e
x
f x







 
 
 
 
 
 
 

ln
φ
φ
ln
φ
x
f x
f
x
e
x
f x
x
f x














. 

Теорема. Пусть функция 
 
f x  дифференцируема на интервале 



,a b . Если производная этой функции 
 
 


0
0
f
x
f
x




 на ин
тервале 

,a b , то функция 
 
f x  является возрастающей (убываю
щей) на этом интервале. 
Теорема. Пусть функция 
 
f x  дважды дифференцируема на ин
тервале 

,a b . Функция 
 
f x  выпукла (вогнута) на интервале 

,a b  

тогда и только тогда, когда вторая производная неотрицательна    
(неположительна) на этом интервале, т.е. 
 
0
f
x


 


0
f
x


. 

Разложение функций в степенные ряды 
Чаще всего в анализе инвестиций используются следующие разложения: 



1
1
,
,
!
n

n
u
u
e
u
n




 
  

, 







1

1
ln 1
1
,
1, 1

n

n
n
u
u
u
n









 

, 





 




1

α
α α 1 α
2 ... α
1
1
1
,
1, 1
!
n

n
n
u
u
u
n










 
 

. 

Теоремы о непрерывных функциях, об исследовании функций с 
помощью производных, о разложении функций по формуле Тейлора 
можно посмотреть в учебнике [3].  
Метод математической индукции 
Предположим, требуется доказать истинность утверждения A(n) 
для всех натуральных n. Применение метода математической индукции для доказательства этого утверждения требует выполнения трех 
шагов: 1) проверить истинность утверждения для n = 1; 2) предположить истинность утверждения A(n) для n
k

, где k  любое натуральное число; 3) доказать истинность утверждения A(n) для 

1.
n
k



Методы оптимизации решения задач линейного программирования. Пусть дана каноническая задача линейного программирования 




11 1
12
2
1
1

21 1
22
2
2
2

1 1
2
2

1

1 1

...
...
...
...
...
...
...

0,...,
0
...
min

n
n

n
n

mn
n
m
m
m

n

n
n

a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b

a x
a
x
a
x
b

x
x
f
x
x






















 

 

 

Оптимальное решение канонической задачи линейного программирования находят на основе следующих теорем. 
Теорема. Каноническая задача минимизации линейного программирования разрешима тогда и только тогда, когда множество 
допустимых решений задачи не пусто, а целевая функция ограничена 
снизу на множестве допустимых решений. 
Теорема. Если задача линейного программирования разрешима, 
то по крайней мере одно из ее решений достигается в угловой точке 
множества допустимых решений задачи. 
Для отыскания оптимального решения канонической задачи линейного программирования применяется симплекс-метод или используется программное обеспечение решения задач линейного и выпуклого программирования (средство «Поиск решения» табличного процессора Microsoft Office Excel). 
Для отыскания оптимального решения любой задачи линейного 
программирования ее достаточно привести к каноническому виду и 
применить соответствующие теоремы.   
 
1.2. Основные понятия и методы финансовых вычислений 
 
Для приведения денежных сумм к заданному моменту времени 
применяется одна из двух операций – наращения или дисконтирования. Для выполнения этих операций необходима процентная ставка. 
Операция наращения применяется тогда, когда заданы сумма 
первоначального долга P0, процентная ставка и срок долга T. Требуется найти сумму погашаемого долга ST. Найденную наращением 
сумму погашаемого долга ST называют наращенной суммой долга. 

Определение. Число 
 
0
T
F T
S
P

 называется множителем наращения на временном отрезке [0, Т]. Множитель наращения показывает во сколько раз наращенная сумма долга больше первоначальной. Очевидно, что 
 
1
F T
 . 
Определение. Кривая наращения – это график зависимости наращенной суммы долга ST от срока долга Т. Кривая наращения – это 
графическое изображение процесса наращения суммы P0. 
Операция дисконтирования применяется тогда, когда заданы 
сумма погашаемого долга ST в момент T в будущем, срок долга T и 
процентная ставка. Требуется найти сумму первоначального долга P0. 
Найденную дисконтированием сумму первоначального долга P0 называют современной величиной или современной стоимостью суммы погашаемого долга ST. 
Определение. Современная стоимость суммы ST, подлежащей 
выплате через время T, это сумма денег P0, которая, будучи вложенной в момент t = 0 под заданную процентную ставку, через время T 
даст сумму ST. 
Определение. Число 
 
0
T
T
P S


 называется дисконтным 
множителем на временном отрезке [0, Т]. Дисконтный множитель 
показывает, какую долю от суммы погашаемого долга составляет современная его величина. Очевидно, что  
1
T 

. 
Определение. Дисконтная кривая – это график зависимости современной стоимости долга P0 от срока долга T. Дисконтная кривая – 
это графическое изображение процесса дисконтирования суммы погашаемого долга ST. 
Определение. Проценты, или процентные деньги, – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг на срок T  

 
0
T
T
I
S
P


. 
Если доход получен в результате операции дисконтирования, то 
абсолютную величину дохода называют дисконтом и обозначают 
D(T). 
В финансовой математике различают два вида процентных 
ставок. Пусть t* – фиксированный отрезок времени. 
Определение. Процентная ставка за период t* – это отношение 
дохода за время t* к сумме вложенных средств в начале этого периода. Если период [0, t*], то 

0

0

*
( )
tS
P
i
P
t
 

. 

Процентная ставка 
*
( )
i t
 показывает, на сколько процентов уве
личилась сумма 
0P  за время t*.  
Определение. Учетная ставка за период t* – это отношение дохода за время t* к сумме погашаемого долга в конце этого периода. Если период [0, t*], то 

0
*
( )
t

t

S
P
d
S
t






. 

Учетная ставка 
*
( )
d t
 показывает, на сколько процентов снизи
лась сумма погашаемого долга 
tS   за время t*. 

В зависимости от выбранного отрезка t*, процентную ставку называют полугодовой, годовой и т. д. Чаще всего применяется годовая 
процентная ставка.  
Обе ставки выражаются в процентах или десятичных дробях. 
Отрезок времени t*, к которому приурочена процентная ставка, 
называется периодом начисления процентов. 
Определение. Процентная ставка называется простой, если на 
каждом периоде база для начисления процентов остается постоянной. 
Определение. Процентная ставка называется сложной, если на 
каждом периоде базой для начисления процентов является сумма, 
полученная на предыдущем периоде начисления процентов. 

Методы наращения и дисконтирования по ставке i 
Пусть i – процентная ставка за единицу времени. Существуют 
следующие методы наращения по ставке i: 
– по простой процентной ставке 



0 1
n
S
P
in


, 
0
n 
; 

– по сложной процентной ставке 



0 1
n
n
S
P
i


, 
0
n 
; 

– по годовой номинальной ставке 
(
)
m
i
 (начисление сложных 
процентов производится m раз в году каждый раз по ставке 

(
)
m
i
m) 



(
)
0 1
mn
m
n
S
P
i
m


, 
0
n 
, 
1
m  ;  

– по годовой непрерывной процентной ставке δ  

0
δn
n
S
P e

, 
0
n 
.  
Непрерывное начисление процентов – это начисление сложных 
процентов за бесконечно малые отрезки времени. По определению 

(
)
lim
m

m
i

 
. 

Методы дисконтирования по ставке i получают путем решения 
задачи, обратной задаче о наращении суммы долга. Из формул наращения по ставке i для сроков 
0
n 
получаем 

0
1

n
S
P
in
 

,                                
0
(1
)

n
n
S
P
i



, 




0
(
)
,
1,
1
m
n
mn
S
P
m
i
m




0
n
n
P
S e



.   

Это формулы дисконтирования суммы Sn соответственно по простой, сложной, номинальной и непрерывной процентной ставке. 

Методы дисконтирования и наращения по учетной ставке d 
Пусть d  учетная ставка за единицу времени. Дисконтирование 
по ставке d называют коммерческим, или банковским. Существуют 
следующие методы банковского дисконтирования: 
 по простой учетной ставке 



0
1
n
P
S
nd


, 
0
n 
; 

 по сложной учетной ставке 



0
1
n
n
P
S
d


,   
0
n 
; 

 по годовой номинальной учетной ставке 
(
)
m
d



(
)
0
1
m
mn
n
P
S
d
m


, 
0
n 
, 
1
m  ; 

 по годовой непрерывной процентной ставке δ 

0
n
n
P
S e



, 
0
n 
. 
Из формул дисконтирования по учетной ставке для сроков 
0
n 
 
получаем следующие методы наращения по учетной ставке d: 

0
1
n
P
S
nd
 

,                                    
0
(1
)
n
n
S
d
P



, 




(
)

0

1
,
1
m
mn
n
P

d
m
S
m


 ,             
0
δn
n
S
P e

. 

При непрерывном начислении процентов формулы наращения и 
дисконтирования по ставкам i и d совпадают (при m → ∞ номинальные процентные ставки (
)
m
i
 и 
(
)
m
d
 перестают различаться). 
Замечание. В анализе инвестиций применяется процентная ставка наращения i.  
Определение. Процентные ставки различного вида, приводящие 
к одному и тому же финансовому результату за один и тот же срок, 
называются эквивалентными. 
Определение. Годовая эффективная процентная ставка эф
i
 это 

ставка сложных процентов, начисляемых один раз в год, эквивалентная годовой номинальной процентной ставке (
)
m
i
.  
Приравнивая множители наращения по сложной i и номинальной 
процентной ставке i(m), получаем 



(
)
эф
1
1
m
m
i
m
i


 . 

Эффективная ставка эф
i
 измеряет реальный относительный доход, 

получаемый в целом за год от начисления процентов по ставке (
)
m
i
. 
Определение. Годовая эффективная учетная ставка 
эф
d
 

сложная учетная ставка, дисконтирование по которой производится 
один раз в году, эквивалентная номинальной учетной ставке 
(
)
m
d
. 
Из равенства дисконтных множителей по сложной d и номинальной учетной ставке 

(
)
m
d
получаем 



(
)
эф
1
1
m
m
d
d
m
 

. 

Ставка 
эф
d
 показывает, на сколько процентов снижается сумма 

погашаемого долга за год при ее дисконтировании по ставке 
(
)
m
d
. 
Определение. Процентная ставка называется переменной, если 
она изменяет свое значение в течение срока долга. 
Пусть срок долга 
1
...
k
n
n
n



, где 
p
n  – период в сроке долга, 

когда применяется процентная ставка 
pi , 
1,...,
p
k

. Тогда, например, 

формула наращения по простой переменной процентной ставке имеет 
вид 



0
1 1
1
...
k
k
n
S
P
i n
i n




, 

а формула дисконтирования по сложной переменной процентной 
ставке имеет вид     

1
1
0
1
1
(1
)
(1
)
....(1
)
n
k
k
k
k
n
n
n
S
P
i
i
i







. 

Формулы наращения и дисконтирования по непрерывной переменной процентной ставке имеют следующий вид: 

0
0
δ( )

n

n
t dt
S
Pe



и   
0
0
δ( )

n

n
t dt
P
S e





. 

Как правило, рассматриваются два вида функции  
δ t   линей
ная  
0
δ
δ
α
t
t


 и экспоненциальная  
0
δ
δ
αt
t 

.  
Средняя процентная ставка при использовании переменной простой или сложной процентной ставки определяется из равенств 



1 1
ср
1
1
...
k
k
i n
i n
i n

 


 
и  



1
1
1
ср
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
...
.
k
k
k
k
n
n
n
n
i
i
i
i







 

Как видим, средняя ставка эквивалентна переменной. 
Доходность финансовой операции 
Определение. Доходность финансовой операции за единицу 
времени – это число r , удовлетворяющее равенству 

 

 
0 1
P
rT
P T


 или  

 
0 1
T
P
r
P T


. 

Определение. Доходность финансовой операции за весь период 
[0, T] – это число r, удовлетворяющее равенству 

 

 
0 1
P
r
P T


. 

Если необходимо учесть инфляцию, то в уравнении доходности 

 
( )
n
T
P
S
J T

, где 
( )
J T   индекс цен за период [0, T]. Если темп 

инфляции за единицу времени h, то  


1
T
J T
h


. 

Эквивалентное изменение условий контракта 
Расчет параметров эквивалентного изменения условий контракта 
производится на основе определения эквивалентности финансовых 
потоков (раздел 1.3), а также на основе следующего определения. 
Определение. Денежные суммы 

1t
C  в момент t1 и 

2t
C в момент t2 

называются эквивалентными по принятой процентной ставке,                  
если, будучи приведенными к одному моменту времени по данной 
процентной ставке, они совпадают.