Геометрия для самоподготовки. 10 класс

Минск
«Вышэйшая школа»

10
10
класс
класс

äëÿ 
ñàìîïîäãîòîâêè

Ã.Í. Ñîëòàí  À.Å. Ñîëòàí
Геометрия

Пособие
для учащихся
учреждений общего среднего
образования

УДK 514(075.3/.4)
ББK 22.151я721
 
C60

Ре ц е н з е н т: заведующий кафедрой информационных технологий ГУО 
«Минский городской институт развития образования» кандидат педагогических наук Т.О. Пучковская

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Солтан, Г. Н. 
Геометрия для самоподготовки : 10-й класс : пособие 
для учащихся учреждений общего среднего образования / Г. Н. Солтан, A. Е. Солтан. – Mинск : Bышэйшая 
школа, 2016. – 207 с. : ил.
ISBN 978-985-06-2540-3.

Kнига написана в соответствии с программой по математике для учреждений общего среднего образования. В ней изложен курс гео метрии 
10 класса в виде теоретических и практических материалов для самоподготовки. 
Для учащихся учреждений общего среднего образования, гимназий, 
абитуриентов. Пособие будет полезным для самостоятельной рабо ты 
учащихся, а также для систематизации знаний и закрепления практических умений и навыков при подготовке к экзаменам по математике.

УДK 514(075.3/.4)
ББK 22.151я721 

ISBN 978-985-06-2540-3 
© Cолтан Г.Н., Cолтан A.Е., 2016
 
© Oформление. УП «Издательство
 
 “Bышэйшая школа”», 2016

С60

Предисловие

Пособие написано в соответствии с программой по математике для учреждений общего среднего образования. В нем отражено содержание курса геометрии для 10 класса. Отличительной особенностью пособия является компактное и в то же 
время полное изложение теоретических и практических материалов для самоподготовки к каждой теме учебной программы, приведены решения типовых задач. Определения 
понятий, аксиомы, теоремы, следствия из них выделены специальными шрифтами. После объяснительного текста предложены контрольные вопросы, которые предназначены для 
проверки усвоения теории и ее повторения. Во всех темах содержатся упражнения для закрепления теоретических знаний и формирования практических умений и навыков, которые расположены по нарастающей степени сложности. После 
каждого раздела предлагаются тесты, самостоятельное выполнение которых позволит систематизировать знания по темам и подготовиться к контрольным испытаниям. К упражнениям даются указания и ответы.
Для лучшего усвоения материала целесообразно обстоятельно изучить теорию, примеры решения типовых задач и 
приступить к выполнению упражнений, в процессе которого учащиеся будут овладевать новыми способами решения 
задач. При изучении стереометрии комплексно используется и повторяется ранее пройденный материал по всем разделам школьной математики. 
Желаем успехов!

Авторы

I. ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
И АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

1. Введение в стереометрию

Школьный курс геометрии состоит из планиметрии и 
стереометрии. Слово стереометрия происходит от греческих stereos (пространственный, объемный) и metreo (измеряю). В планиметрии изучаются фигуры, все точки которых 
лежат в одной плоскости. Такие фигуры называются плоскими. Например, отрезок, угол, треугольник, круг. Геометрической фигурой называют любое множество точек. Множество всех точек, рассматриваемых в стереометрии, называется пространством. Если фигура F1 состоит только из 
точек фигуры F2, то говорят, что она содержится в фигуре F2 
или фигура F2 содержит фигуру F1, или фигура F1 является 
частью фигуры F2 (обозначают: F1 ⊂ F2). Пространство – не 
только воображаемое, но и реальное трехмерное, в котором 
мы живем. В стереометрии изучают фигуры, содержащиеся 
в пространстве, среди которых имеются плоские фигуры и 
неплоские фигуры, т.е. такие, не все точки которых лежат в 
одной плоскости. Например, ломаная может быть как плоской, так и неплоской фигурой. Если расстояние между 
каждыми двумя точками фигурами не больше длины некоторого отрезка, то ее называют ограниченной фигурой. Примерами неплоских ограниченных фигур являются куб, пирамида, цилиндр, шар.
В пространстве рассматриваются разные линии, геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают физические тела, например кирпич – о пря

моугольном 
параллелепипеде, 
апельсин – о шаре, пирамиды 
Древнего Египта – о геометрических телах, называемых пирамидами (рис. 1).
В отличие от предметов геометрические тела (или как говорят кратко – тела), как и любые геометрические фигуры, 
являются воображаемыми объектами. Геометрическое тело 
можно представить как ограниченную часть пространства, 
отделенную от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Например, граница шара – сфера. Всю часть тела без его границы называют внутренней областью тела, а любую точку внутренней области тела – его 
внутренней точкой. Любые две точки внутренней области 
тела можно соединить пространственной ломаной, все точки 
которой принадлежат телу. Если фигура состоит из внутренних точек тела, то говорят, что она расположена внутри 
тела. Из пространственных фигур путем их объединения 
или пересечения получают разные фигуры. Объединение 
фигур – это фигура, состоящая из всех их точек, а пересечение фигур – это фигура, состоящая из всех их общих точек. 
При изучении пространственных фигур пользуются их 
изображениями на рисунке. Изображением пространственной фигуры является ее проекция на ту или иную плоскость. 
Одна и та же фигура может иметь различные изображения. 
Обычно выбирается то из них, которое более наглядно и 
удобно для исследования свойств этой фигуры. Например, 
на рис. 2, а изображен прямоугольный параллелепипед, на 
рис. 2, б – куб, на рис. 2, в, г – треугольная и четырехугольная пирамиды (невидимые части фигур показывают штриховыми линиями). Все эти тела являются представителями 
большого класса фигур, называемых многогранниками. 
Многогранник – это тело, поверхность которого состоит из 
конечного числа многоугольников, называемых его гранями. 

Рис. 1

Стороны этих многоугольников называются ребрами, а вершины – вершинами многогранника.
Параллелепипед – это многогранник, в котором 6 граней 
(рис. 3, а); все его грани – параллелограммы (в прямоугольном параллелепипеде все грани – прямоугольники).
Куб – это прямоугольный параллелепипед, в котором все 
6 граней – квадраты.
Призма – это многогранник, две грани которого – равные п-угольники, а остальные n граней – параллелограммы. 
Две грани, являющиеся равными многоугольниками, называются основаниями призмы, а остальные грани – ее боковыми гранями. Стороны боковых граней, не лежащие в основаниях, называются боковыми ребрами призмы (рис. 3, б).

В зависимости от числа сторон основания призмы бывают треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. Например, на рис. 4, а, б изображены пятиугольная и шестиугольная призмы. Призма называется прямой, если все ее 
боковые грани – прямоугольники, и наклонной, если в ней 
имеются боковые грани, которые не являются прямоуголь
Рис. 2

а
б
в
г

Рис. 3

вершина

ребра

боковая
грань

основание

основание

боковые
ребра

а
б

а
б

Рис. 4

никами. Например, на рис. 3, а, б 
изображены наклонные призмы, 
а на рис. 4, а, б – прямые призмы. 
Призма называется правильной, 
если она прямая и ее основания – 
правильные многоугольники.
Пирамида – это многогранник, в котором одна грань – n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной (рис. 5, а–в). Одну 
грань – n-угольник – называют основанием пирамиды, 
остальные грани – треугольники – боковыми гранями, а их 
общую вершину – вершиной пирамиды (см. рис. 5, б). В зависимости от числа сторон основания пирамиды бывают 
треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т.д. Например, на рис. 5, а изображена треугольная пирамида, а на 
рис. 5, в – шестиугольная. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром (т.е. четырехгранником, в переводе с 
греческого языка). Любая грань тетраэдра может быть его 
основанием.
Пирамида называется правильной, если ее основание – 
правильный многоугольник, а все боковые грани – равные 
равнобедренные треугольники. Правильный тетраэдр – это 
тетраэдр, все грани которого – правильные треугольники.
В стереометрии, как и в планиметрии, два треугольника 
называются равными, если равны их соответственные стороны и углы. Признаки равенства треугольников выполняются не только для треугольников, содержащихся в одной 

A

B

C

P
вершина

ребро

боковая
грань

основание

а
б
в

Рис. 5

плоскости, но и для треугольников, лежащих в разных плоскостях. Действительно, пусть, например, в треугольниках 
АРВ и АРС (рис. 5, а) РВ = РС, а ∠ВРА = ∠СРА (АР – общая 
сторона). Тогда по теореме косинусов, примененной для треугольников ВРА и СРА, устанавливаем, что ВА = АС. Далее, 
пользуясь этой же теоремой, устанавливаем равенство углов 
РВА и РСА, РАВ и РАС. Таким образом, треугольники АРВ 
и АРС равны.

1. Что такое стереометрия? 
2. Приведите примеры плоских и неплоских фигур в пространстве.
3. Перечислите многогранники, известные вам.

У п р а ж н е н и я

1. Докажите, что: а) любая пирамида имеет четное число 
ребер; б) число ребер любой призмы кратно трем.
2. Какие размеры может иметь прямоугольный лист бумаги, если известно, что из него можно вырезать развертку 
куба с ребром 7 см?
3. Радиус окружности, вписанной в одну из граней куба, 
равен 2 см. Вычислите площадь поверхности куба.
4. Боковые грани деревянного куба с ребром 10 см покрасили, а затем этот куб разрезали на кубики с ребром 2 см. 
Сколько получилось кубиков: а) с одной окрашенной 
гранью; б) двумя окрашенными гранями; в) не имеющих 
окрашенных граней?
5. Какое из утверждений является признаком равенства 
двух треугольников, лежащих в двух разных плоскостях: 
а) если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны; б) если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого 
треугольника, то такие треугольники равны; в) если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие 
треугольники равны; г) если две стороны и угол между 

ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие 
треугольники равны?
6. Пусть РАВС – тетраэдр. Сколько пар равных треугольников среди его граней, если: 
а) РА = РВ = РС, АВ = ВС = СА; б) РА = ВС, РВ = АС, 
РС = АВ?
7. SABC – правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 
8 см. Точки M, N, D, F – середины ребер SA, SC, CB, SB соответственно. Вычислите длину пространственной ломаной AMNCDFA. 
8. а) Пусть РАВС – правильная треугольная пирамида, точка О – центр ее основания. Соедините точку О отрезками 
с точками Р, А, В, С и на полученном рисунке найдите 
все равные между собой треугольники.
б) Имеются 6 одинаковых палочек. Какая фигура получится, если в пространстве сложить их так, чтобы образовалось 4 правильных треугольника, стороны которых 
равны данной палочке?
9. Из плотного листа бумаги изготовьте модель: а) прямой 
треугольной призмы (рис. 6, а), основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6 см, 
с боковым ребром, равным 7 см (на рис. 6, б показана развертка такой призмы, на ней выделены цветом места для 
склеивания); б)правильного тетраэдра, ребро которого 
равно 9 см (рис. 7 а, б).

Рис. 6

7
8
6

6
а
б

10. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде равны высоты боковых граней, проведенные из ее 
вершины.
11. Сумма площадей всех граней правильного тетраэдра равна 49 3  см2. Вычислите длину ребра этого тетраэдра.
12. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат, диагональ которого равна 4 см. Чему равна 
длина диагонали боковой грани этого параллелепипеда, если площадь его боковой грани – 8 3  см2?
13. Из плотного листа бумаги изготовьте модель: а) прямой 
четырехугольной призмы, основание которой – параллелограмм со сторонами 8, 5 см и углом 45° между 
ними, а ее боковое ребро равно 8 см; б) правильной шестиугольной призмы со стороной основания, равной 
4 см, и боковым ребром, равным 5 см; в) правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания – 6 см 
и боковым ребром – 7 см. 
14. SABCD – правильная четырехугольная пирамида, каждое ребро которой равно 1 дм, О – точка пересечения 
диагоналей основания. Найдите расстояние SO. (В обозначении любой пирамиды первая буква – ее вершина.)
15. Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды равна 96 3  см2, а площадь ее полной 
поверхности – 112 3  см2. Найдите сторону основания 
пирамиды.
П р и м е ч а н и е. Площадью боковой поверхности пирамиды или 
призмы является сумма площадей всех ее боковых граней, а площадью полной поверхности (кратко: площадью поверхности) – сумма 
площадей всех ее граней.

Рис. 7

9
9

а
б