Геометрия для самоподготовки: 8-й класс

Минск
«Вышэйшая школа»

8

класс
класс

äëÿ 
ñàìîïîäãîòîâêè

Ã.Í. Ñîëòàí  À.Å. Ñîëòàí
Геометрия

Пособие
для учащихся
учреждений общего среднего
образования

УДK 514(075.3/.4)
ББK 22.151я721
 
C60

Ре ц е н з е н т: старший преподаватель кафедры естественнонаучных дисцип лин и информационных технологий ГУO «Mинский областной институт 
развития образования» B.B. Казаков

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2152-8 
© Cолтан Г.Н., Cолтан A.Е., 2014
 
© Oформление. УП «Издательство
 
 “Bышэйшая школа”», 2014

Предисловие

Пособие написано в соответствии с программой по математике для общеобразовательных учреждений. В нем изложен курс геометрии 8 класса в виде материалов для самоподготовки, большинство из которых включает рассмотрение теоретических вопросов и решение типовых задач. Наиболее важное (определения, аксиомы, теоремы) выделено 
специальными шрифтами. После объяснительного текста 
предложены контрольные вопросы, которые предназначены 
для повторения и проверки усвоения теории. Далее идут 
упражнения для закрепления теоретических знаний и формирования практических умений и навыков. Для повторения учебного материала и подготовки к контрольным работам в отдельные параграфы включены задачи по основным 
темам, в которых предлагаются специальные задания под 
рубрикой «Проверь себя!». Tакже имеются «Приложения», 
в которых приведены таблицы квадратов натуральных чисел (10–99), приближенных значений синусов, косинусов 
(0°–90°) и тангесов (0°–89°) углов. К упражнениям даются 
указания и ответы. 
Для лучшего усвоения материала целесообразно пользоваться этим пособием по следующей схеме.
1. Изучить теоретический материал и примеры решения 
задач.
2. Ответить на контрольные вопросы и приступить к выполнению упражнений. 
3. Для проверки правильности решения задач и при возникновении значительных затруднений в их решении обратиться к ответам и указаниям. 
Желаем успехов!
Авторы

3

I. МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Многоугольник.
Сумма углов выпуклого многоугольника

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная вместе с образованной ею внутренней областью (рис. 1). 
При этом внутренняя область называется внутренней областью многоугольника. Простая замкнутая ломаная делит 
плоскость на две части: внутреннюю область (на рис. 1 она 
закрашена) и внешнюю область.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Две 
вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, 
называются соседними, а две стороны с общей вершиной – 
смежными (или соседними). 
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в 
одной полуплоскости, границей которой является каждая 
прямая, содержащая его сторону (см. рис. 1, б). Выпуклый 
многоугольник содержит любой отрезок, соединяющий две 
его различные точки. 

B

C
D

A
E
A1
A2

A3

A4
A5
A6

A7

A8

a
б

Pис. 1

Многоугольник называется невыпуклым, если существует хотя бы одна полуплоскость, на границе которой лежит 
его сторона, и не все его точки принадлежат этой полуплоскости (см. рис. 1, а). Для невыпуклого многоугольника 
всегда найдется отрезок, соединяющий две его различные 
точки, который не содержится в нем. 
Многоугольник с п вершинами, а значит, и с п сторонами 
называется n-угольником. Отрезок, соединяющий любые 
две не соседние вершины выпуклого многоугольника, называется его диагональю. Сумма длин всех сторон многоугольника называется его периметром. Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, стороны 
которого исходят из этой вершины и содержат две его соседние стороны. 
Если сторон – четыре, то многоугольник называют четырехугольником. Не соседние стороны AB и CD, BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD называются противоположными (рис. 2). В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A 
и C, B и D называются противоположными, ∠A и ∠D – прилежащими к стороне AD. 
Т е о р е м а. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 
(п – 2)180°. 
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим выпуклый п-угольник 
A1A2A3…An–1An (рис. 3). Углы AnA1A2, A1A2A3, …, An–1AnA1 
являются углами этого многоугольника. Найдем их сумму. 
Для этого, соединив диагоналями вершину A1 с другими 
вершинами, получим (п – 2) 
треугольника, сумма углов которых 
равна 
сумме 
углов 
n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, 
поэтому сумма углов многоугольника A1A2…An равна (п – 
– 2)180°. 

A
D

B
C

Pис. 2

A1

A2

A3

A4

An-1

An

Pис. 3

Из этой теоремы следует, что сумма углов выпуклого 
четырехугольника равна 360°. 
Угол, смежный с углом выпуклого многоугольника, называют его внешним углом (рис. 4, а) 

Т е о р е м а. Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. 
Докажите это свойство самостоятельно, используя 
рис. 4, б.
Т е о р е м а. В выпуклом многоугольнике длина каждой 
стороны меньше суммы длин остальных его сторон. 
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дан выпуклый пятиугольник ABCDK, например, 
и AB – его сторона, не меньшая каждой 
из остальных (рис. 5). Проведем диагонали BK и BD пятиугольника. Тогда по неравенству треугольника

АВ < AK + BK,
ВK < KD + DВ,
 
DВ < DC + CВ. 

Сложив левые и правые части этих неравенств, получим 
AB < AK + KD + DC + CB. Следовательно, длина каждой стороны выпуклого пятиугольника меньше суммы длин остальных его сторон. Aналогично доказывается эта теорема для 
любого выпуклого n-угольника.

1

3

2

4

5

а
б

Pис. 4

A
B

C

D

K

Pис. 5

1. Объясните, какая фигура называется многоугольником.
2. Что такое вершины, стороны, диагонали и периметр многоугольника?
3. Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие 
углы называются углами выпуклого многоугольника.
4. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого 
n-уголь ника. 
5. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?
6. Постройте выпуклый четырехугольник и покажите его диагонали, 
противоположные стороны и противоположные углы.

У п р а ж н е н и я

1. Выберите верные утверждения: а) сумма углов многоугольника не зависит от числа его сторон; б) сумма углов 
четырехугольника всегда постоянна; в) сумма углов пятиугольника равна 720°.
2. Могут ли быть все углы выпуклого четырехугольника 
тупыми? Ответ объясните.
3. Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны 
числам: а) 2 : 4 : 5 : 7; б) 3 : 7 : 4 : 6. Найдите наибольший 
и наименьший углы этого многоугольника. 
4. а) Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая.
б) Можно ли одним перегибанием сложить выпуклый четырехугольник, вырезанный из бумаги, так, чтобы периметр полученной фигуры был больше, чем периметр этого четырехугольника? Ответ объясните. 

2. Виды четырехугольников.
Параллелограмм и его свойства

Выпуклый четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом (рис. 6, а).

Параллелограмм, в котором все углы прямые, называется прямоугольником (рис. 6, б).
Параллелограмм, в котором все стороны равны, называется ромбом (рис. 6, в).
Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом (рис. 6, г). 
Выпуклый четырехугольник, в котором только две противоположные стороны параллельны, называется трапецией (рис. 6, д). Параллельные стороны трапеции называются ее основа ниями, а две другие стороны – боковыми 
сторонами. 
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые 
сто роны равны (рис. 7, а). Трапеция, имеющая пря мой угол, 
называется прямоугольной (рис. 7, б).

Т е о р е м а  (свойство углов и сторон параллелограмма). 
В параллелограмме противоположные стороны равны и 
противоположные углы равны. 

а
б
в
г
д

Pис. 6

а
б

Pис. 7

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим 
параллелограмм 
ABCD (рис. 8). Диагональ AC 
разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти 
треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (AC – общая сторона, ∠1 = 
= ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест ле жащие углы при пересечении 
секущей AC параллельных прямых AB и CD, AD и BC соответственно). Поэтому AB = CD, AD = BC и ∠B = ∠D. Получаем ∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C, что и требовалось 
доказать. 
Т е о р е м а  (свойство диагоналей параллелограмма). 
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся 
пополам.
Доказательство. Пусть 
ABCD – параллелограмм, а 
его диагонали пересекаются 
в точке O (рис. 9). Тогда AB = 
= CD (как отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными прямыми); ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 (как накрест лежащие 
углы при параллельных прямых AB и CD и соответствующих секущих). Тогда ΔAOB = ΔCOD (по второму признаку 
равенства треугольников). В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому AO = OC, BO = OD, что 
и требовалось доказать. 

1. Что называется параллелограммом, прямоугольником, ромбом, 
квадратом?
2. Что называется трапецией?
3. Какая трапеция называется равнобедренной, прямоугольной?
4. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 
5. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

A

C

D

B

1

2

3

4

Pис. 8

A

B
C

D

O

1

3
2

4

Pис. 9

У п р а ж н е н и я

5. В прямоугольнике ABCЕ проведена диагональ AC. Известно, что ∠CAB = 8 · ∠ACB. Найдите ∠CAB. 
6. По данным на рис. 10, а, б найдите: а) углы параллелограмма RFQP; б) углы параллелограмма ABCD 
и докажите, что он является ромбом. 

7. Биссектрисы углов при основании трапеции пересекаются в точке другого основания. Докажите, что это 
основа ние трапеции равно сумме ее боковых сторон.
8. а) Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 94°. Найдите углы параллелограмма.
б) Найдите углы параллелограмма, если разность двух 
из них равна 70°.
9. В параллелограмме ABCD BC : AB = 1 : 2. Середина M стороны AB со единена отрезками с вершинами C и D. Докажите, что ∠CMD равен 90°.
10. ABCD – параллелограмм, отрезки AA1, BB1, CC1, DD1 лежат на  биссектрисах его углов 
(рис. 11). Установите вид четырех уголь ника MNKL. 

3. Применение свойств параллелограмма
при решении задач

Фигура называется симметричной относительно точки 
O (или центрально-симметричной), если для каждой точки 

R

F
Q

P
A

B

D

C

α
β
α

а
б

Pис. 10

A

B
D
A
C

D

M
N
K
L

1

C1
B1

1

Pис. 11