Геометрия для самоподготовки. 7 класс

УДК 514(075.3/.4)
ББК 22.151я721
 
С 60

Р е ц е н з е н т: старший преподаватель кафедры естественнонаучных 
дисциплин и информационных технологий ГУО «Минский областной институт 
развития образования» В.В. Казаков

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2151-1 
© Солтан Г.Н., Солтан А.Е., 2014
 
© Оформление. УП «Издательство
 
 “Вышэйшая школа”», 2014

Предисловие

Пособие написано в соответствии с программой по математике для общеобразовательных учреждений. В нем изложен курс геометрии 7 класса в виде материалов для самоподготовки, большинство из которых включает рассмотрение теоретических вопросов и решение типовых задач. Наиболее важное (определения, аксиомы, теоремы) выделено 
специальными шрифтами. После объяснительного текста 
предложены контрольные вопросы, которые предназначены 
для повторения и проверки усвоения теории. Далее идут 
упражнения для закрепления теоретических знаний и формирования практических умений и навыков. Для повторения учебного материала и подготовки к контрольным работам в отдельные параграфы включены задачи по основным 
темам, в которых предлагаются специальные задания под 
рубрикой «Проверь себя!». К упражнениям даются указания и ответы. 
Для лучшего усвоения материала целесообразно пользоваться этим пособием по следующей схеме.
1. Изучить теоретический материал и примеры решения 
задач.
2. Ответить на контрольные вопросы и приступить к выполнению упражнений. 
3. Для проверки правильности решения задач и при возникновении значительных затруднений в их решении обратиться к ответам и указаниям. 
Желаем успехов! 
Авторы

I. НАЧАЛЬНЫЕ 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

1. Начальные понятия планиметрии

Геометрия – это наука о плоских и пространственных фигурах и их свойствах. В курсе геометрии 7 – 9 классов изучаются свойства фигур, лежащих в одной плоскости. Фигура, все точки которой 
принадлежат одной плоскости, называется плоской. Например, отрезок, треугольник, прямоугольник, круг. Этот курс имеет название планиметрия. 

Слово планиметрия происходит от латинского planum 
(равнина, плос кость) и греческого metreo (измеряю). Особые 
заслуги в развитии геометрии принадлежат гречес кому ученому Евклиду, жив шему более 2300 лет назад. Разрозненные геометрические сведе ния Евклид впервые превратил в стройную систему знаний и изложил в 15 книгах под 
названием «Начала». Они со держат не только геометрию, но 
и почти всю математику того времени. В геометрии, которая 
изучается в школе в настоящее время, также используется в 
современном изложении многое из «Начал» Евклида.

При изучении планимет рии используются и неплоские фигуры – прямоуголь ный параллелепипед, 
шар, пирамида и другие (рис. 1), а также плоские 
фигуры, лежащие в разных плоскостях. 

Свойства таких фигур последовательно изучаются в курсе геометрии старших классов, имеющем 
название стереометрия (от греч. stereos – пространственный).
Чтобы начать изучать свойства той или иной геометрической фигуры, надо иметь понятие о самой 
этой фигуре, иметь его определение. В определении 
дается разъяснение того, что это понятие означает, 
какими существенными свойствами, позволяющими распознать его, оно обладает. 
Например, ранее вы называли две прямые плоскости пересекающимися, если они имеют только 
одну общую точку, а две прямые плоскости параллельными, если они не пересекаются. Окружностью 
называли фигуру, состоя щую из множества всех точек плоскости, которые находятся на данном расстоянии от данной точки этой плоскости. Кругом называли фигуру, состоящую из множества всех то чек 
плоскости, которые находятся от данной точки этой 
плос кости на расстоянии не больше данного. Данную точку называли центром окружности или круга, а отрезок, соединяющий центр с какой-нибудь 
точкой окружности, – радиусом окружности или 
круга. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называли ее хордой, а хорду, проходящую через 

Рис. 1

центр, – диаметром. Вы знаете, что любые две точки окружности делят ее на две части, каждую из которых называют дугой окружности. 
Определение нового понятия дается через известные понятия. Но всем понятиям дать определения 
нельзя, нужны первоначальные понятия. Они принимаются без определений и называются основными. 
В курсе планиметрии основными понятиями являются: точка, прямая, плоскость. 
Представление о точке дает место прокола листа 
бумаги иголкой или вершина пирамиды; о прямой – 
туго натянутые шнур или рыболовная леска; о плоскости – поверхность пола в большом зале или поверхность озера в затишье. Точку, прямую и плоскость надо представлять как фигуры, не имеющие 
измерений. 
Кроме этих геометрических понятий в планиметрии даются без определений следующие понятия: 
число, множество, бесконечность, принадлежность, соответствие, величина, наложение фигур. 
Понятие «множество» целесообразно разъяснить 
с помощью примеров. Так, можно вести речь о множестве всех учащихся класса, о множестве натуральных чисел, о множестве всех точек круга. Любое множество точек называют геометрической фигурой. Можно, например, вести речь о множестве 

A
B
C
X

Y
A
B
C
a
p

б
а

Рис. 2

точек А, В, С плоскости; о множестве точек прямой а, которых бесконечно много (рис. 2, а).
В геометрии точки обычно обозначаются большими буквами латинского алфавита, а прямые – малыми или двумя большими буквами, которые отмечены на них. Для прямой существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие ей. 
Например, на рис. 2, б точки X и Y не принадлежат прямой р (обозначают: X
p
∉
, Y
p
∉
), точки А, В 
и С принадлежат прямой р (обозначают A
p
∈
, B
p
∈
,

C
p
∈
). О точках А, В, С, принадлежащих прямой р, 
иначе можно сказать так: прямая р проходит через 
точки А, В и С. Если точки расположены на прямой, 
как показано на рис. 2, б, то говорят, что точка В лежит между точками А и С, а точки В и С лежат по 
одну сторону от точки А. 
Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением. 
Например, на рис. 3, а, б показаны равные фигуры, одна из которых получена из другой копированием. Эти фигуры совмещаются всеми своими точками.
Отрезком называется фигура, состоящая из множества точек прямой, которое содержит две ее точки и все точки, лежащие между ними. Эти две точки 
А и В (рис. 4, а) называются концами отрезка, 

б
а

Рис. 3

а  точка X, лежащая между ними, – внутренней 
точкой отрезка. Точка, делящая отрезок на два 
равных отрезка, называется его серединой. 
Если взять прямую и отметить на ней точку 
(рис. 4, б), то она разделит (разобьет) эту прямую на 
две части. Каждая из двух частей прямой, на которые разбивает ее точка, вместе с этой точкой называется лучом. Данная точка называется началом 
луча. Два луча прямой, имеющие общее начало, называются противоположными. Например, лучи АВ 
и АС (рис. 4, б). 
Если на плоскости провести прямую (рис. 5, а), то 
она разделит ее на две части, каждая из которых, 
вместе с этой прямой, называется полуплоскостью, 
а сама прямая – границей полуплоскости. Если концы отрезка АВ лежат в одной полуплоскости с границей а, то говорят, что он не пересекает прямую а, 
а точки А и В лежат по одну сторону от прямой а. 
Если отрезок АВ имеет с прямой только одну внутреннюю общую точку, то говорят, что он пересека
Рис. 4

Рис. 5

A

X

B

B
A
C
а
б

A

B

O

б
а
a

ет эту прямую, а точки А и В лежат по разные стороны от нее. Будем считать, что: 
а) два отрезка пересекаются, если они имеют 
только одну общую внутреннюю точку; 
б) два луча пересекаются, если они имеют единственную общую точку, отличную от их начал; 
в) отрезок и луч пересекаются, если отрезок имеет с ним единственную общую внутреннюю точку, 
отличную от начала луча; 
г) прямая и луч пересекаются, если они имеют 
единственную общую точку, отличную от начала 
луча.
Два луча, имеющие общее начало, разделяют всю 
плоскость на две части (рис. 5, б). Одна из двух частей плоскости, на которые ее разделяют два луча с 
общим началом, вместе с этими лучами называется 
углом. Общее начало лучей называется вершиной 
угла, лучи – сторонами угла, а указанные части без 
лучей – его внутренней областью. Угол на рисунке выделяют одной или несколькими дужками. На 
рис. 5, б выделен угол АОВ (обозначение ∠AOB).
Если луч с началом в вершине угла делит его на
два угла, то говорят, что луч проходит между сторонами этого угла. Так на рис. 6, а луч ОС проходит 
между сторонами ∠AOB. 

Рис. 6

A

O
C

B
N

M
P

K

а
б

Луч с началом в вершине угла, делящий его на 
два равных угла, называется его биссектрисой. 
На рис. 6, б луч NР является биссектрисой 
∠МNК, так как ∠
= ∠
MNP
PNK. 

1. Какие понятия в планиметрии принимаются за  основные? 
2. Что называется геометрической фигурой? 
3. Какие фигуры называются равными?
4. Что называется отрезком? 
5. Что называется лучом?
6. Чем отличаются между собой прямая, луч и отрезок?
7. Что называется полуплоскостью?
8. Какая фигура называется углом? 
9. Что такое биссектриса угла?

У п р а ж н е н и я

1. Посмотрите на рис. 7 и выполните следующие задания: а) запишите, используя знак ∈, каким 
прямым принадлежит точка А, 
точка В; б) назовите прямые, которые проходят через точку С, 
точку D; в) назовите точки, принадлежащие прямой АС, и точки, 
не принадлежащие прямой АС. 
2. Постройте отрезок АС. Можно ли утверждать, что 
точка В является серединой отрезка АС, если 
АВ = ВС? Поясните ответ на чертеже. 
3. Постройте прямую а и отметьте на ней точки А и В. 
Отметьте на прямой а точки М и N, лежащие по 
одну ст орону от точки В. (Выполните рисунки 
для разных случаев расположения точек М и N.) 
Можно ли утверждать, что точка В лежит между 
точками А и М? 

A

B

C
D
a

b
c
m

Рис. 7