Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Департамент научно-технологической политики и образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования

«Волгоградский государственный аграрный университет»

Кафедра «Высшая математика»

А. Ш. ДЖАБРАИЛОВ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебно-методическое пособие 

для проведения практических занятий

Волгоград

Волгоградский ГАУ

2017

УДК 519.2
ББК 22.171
Д-40

Рецензент –

доктор технических наук, профессор Волгоградского государственного технического университета Скоробогатченко Д.А.

Джабраилов, Арсен Шахнавазович

Д-40
Теория вероятностей и математическая статистика:

учебно-методическое пособие для проведения практических 
занятий / А. Ш. Джабраилов. – Волгоград: ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 2017. – 72 с. 

Разработанное учебно-методическое пособие предназначено для 

проведения практических занятий студентов инженерно-технологического и электроэнергетического факультетов по направлению подготовки 35.03.06 «Агроинженерия» в соответствие с учебным планом. 

Приведены примеры решения типовых задач. Для студентов оч
ного и заочного отделений.

УДК 519.2
ББК 22.171

© ФГБОУ ВО Волгоградский госу
дарственный аграрный университет, 2017 

© Джабраилов А.Ш., 2017

О Г Л А В Л Е Н И Е

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……………………………
4

Занятие № 1. Классическое определение вероятности. Формулы 
комбинаторики ……………………………………………………..
4

Занятия № 2 и № 3. Основные теоремы теории вероятностей ….
6

Занятие № 4. Формула полной вероятности ……………………..
9

Занятие № 5. Повторные независимые испытания ……………...
12

Занятие № 6. Случайные величины и законы их распределения
18

Занятие № 7. Числовые характеристики дискретных случайных 
величин ……………………………………………………………..
22

Занятие № 8. Функция распределения и плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины ………….. 24

ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА ……………….
28

Практическая работа № 1. Дискретный вариационный ряд и 
его характеристики ………………………………………………..
28

Практическая работа № 2. Интервальный вариационный ряд и 
его характеристики ………………………………………………..
35

Практическая работа № 3. Проверка гипотезы о нормальном 
распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона
45

Приложения …………………………………………………………. 49
Список использованной литературы ………………………………
71

ЧАСТЬ 1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЗАНЯТИЕ № 1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 
ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

Повторить: события, вероятность случайного события, формулы 

комбинаторики (перестановки, сочетания, размещения).

Задачи

1. Готовясь к докладу, студент выписал из книги цитату, но, за
быв номер страницы на которой она находится, написал его наудачу. 
Какова вероятность того, что студент записал нужный номер, если он 
помнит, что номер выражается двузначным числом с различными 
числами.

Решение. Обозначим событие: А-студент записал нужный но
мер. Найдем вероятность события А, применив формулу:

n
m
)
A
(
P

.

Общее число n исходов испытания получим, воспользовавшись 

формулами теории соединений. Всего имеется 10 цифр, т. е. число 
элементов k=10; в каждое соединение входит по 2 цифры, т. е. s=2; 
порядок цифр (элементов) существенен при образовании двузначных 
чисел, следовательно, надо найти число размещений из 10 элементов, 
по 2. По формуле размещений получим:





90
10
9
!
2
10

!
10

!
s
k

!
k
As

k







.

Из общего числа полученных размещений, следует исключить те

9 размещений, которые начинаются с цифры 0, а именно: 01, 02, …, 09.
Таким образом: n=90-9=81.

Число исходов испытания, благоприятствующих появлению со
бытия А, равно m=1, так как цитата находится на одной определенной 
странице. Вероятность события А равна:

81
1
)
A
(
P

.

2. Восемь различных книг расставляются на полке наугад. 

Сколькими способами их можно расставить так, чтобы 2 определенные книги стояли рядом. (Ответ: 10080).

3. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероят
ность того, что разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, З, П, он составит слово ПРАЗДНИК? (Ответ: 1/40320).

4. В партии 10 деталей из них 4 с дефектом. Наудачу берется 

3 детали. Сколькими способами можно взять эти детали, чтобы среди 
них были 2 детали, удовлетворяющие стандарту и одна деталь с дефектом?

5. Имеется 8 карточек; одна сторона каждой из них чистая, а на 

другой написаны буквы: И, Я, Л, З, Г, О, О, О. Карточки кладут на 
стол чистой стороной вверх, перемешивают, а затем последовательно 
одну за другой переворачивают. Какова вероятность того, что при последовательном появлении букв будет составлено слово ЗООЛОГИЯ?
(Ответ: 1/6720).

6. Из колоды карт вынули 4 туза и 4 короля. Эти карты переме
шали и разложили в ряд. Какова вероятность того, что все 4 короля 
окажутся расположенными рядом? (Ответ: 1/14).

7. Подготовлены для посадки на садовом участке и случайно 

смешаны саженцы двух сортов черной смородины: 6 саженцев сорта 
Селеченская и 8 – сорта Вологда. Какова вероятность того, что первым будут посажены 3 саженца смородины сорта Селеченская? (Ответ: 5/91).

8. На полке в почвенной лаборатории случайно смешаны бюксы 

с различными образцами почвы: 8 бюксов с влажной почвой и 6 –
с сухой. Найти вероятность того, что три из пяти наудачу взятых 
с этой полки бюксов будут сухими. (Ответ: 0,2797)

ЗАНЯТИЯ № 2 И № 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 

ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Основные формулы:

1. Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий:

)
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P



.
(1)

2. Если А1, А2, … Аn – n несовместных события, образующих 

полную группу, то 

1
)
A
(
P
....
)
A
(
P
)
A
(
P
n
2
1




.
(2)

3. Теорема умножения вероятностей:

)
B
(
P
)
A
(
P
)
AB
(
P
A


,                                       (3)

события А и В – зависимы.

4. Сложение совместных событий:

)
AB
(
P
)
B
(
P
)
A
(
P
)
B
A
(
P




.
(4)

5. Если A и A - два несовместных события, образующих 

полную группу, то:

)
A
(
P
1
)
A
(
P


.
(5)

Задачи

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов прихо
дится 5 денежных и 20 вещевых выигрышей. Какова вероятность выигрыша на один билет?

Решение. Рассмотрим события:
А1 – вещевой выигрыш по одному билету;
А2 – денежный выигрыш по одному билету;
А – любой выигрыш по одному билету.

А1 и А2 – несовместные события. Событие А состоит в том, что 

произойдет или событие А1 или событие А2 (безразлично, какое); это 
означает, что событие А является суммой событий А1 и А2: А=А1+А2. 
Найдем вероятности событий А1 и А2: 



005
,
0
1000
/
5
A
P
1




02
,
0
1000
/
20
A
P
2


.

Вероятность события А найдем по теореме сложения вероятно
стей несовместных событий:



025
,
0
02
,
0
005
,
0
A
A
P
)
A
(
P
2
1





.

2. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. 

Вынули 1 шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: а) белый 
или черный; б) синий или красный; в) белый, черный или синий.

3. За ответ на экзамене студент может получить одну из следу
ющих оценок: 5, 4, 3, 2. Вероятность того, что студент получит оценку 5, равна 0,3; оценку 4 – 0,4; оценку 3 – 0,2 и оценку 2 – 0,1. Какие 
из названных событий образуют полную группу? Какое событие противоположно событию «студент получит оценку 5» и какова вероятность этого события? (Ответ: 0,7).

4. Контрольная работа по математике оценивается целым чис
лом баллов, причем наибольшее число баллов равно 10. Вероятность 
получить студенту N за эту работу 10 баллов равна 0,2; 9 баллов – 0,3 
и от 1 до 9 баллов включительно – 0,7. Найти вероятность того, что 
студент N получит: а) не менее 9 баллов; б) ноль баллов. (Ответ: 
а) 0,5; б) 0,1).

5. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второ
го орудия соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из них. (Ответ: 0,94).

6. В урне содержится 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды 

на удачу вынимают по одному шару, не возвращая их в урну. Найти 
вероятность появления белого шара при втором испытании, если при 
первом испытании был извлечен черный шар.

7. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух ору
дий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле первым из орудий, если известно, что для второго орудия эта 
вероятность равна 0,8.

8. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщин. По табельным номе
рам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все 
отобранные лица окажутся мужчинами.

9. В урне 4 белых, 6 черных и 5 красных шаров. Из нее извлека
ют наугад наугад один за другим два шара. Найти вероятность того, 
что оба шара одного цвета.

10. Отдел технического контроля фабрики проверяет половину 

изделий некоторой партии (для проверки изделия из партии берут 
наудачу) и признает годной всю партию, если среди проверенных изделий будет не более одного бракованного. Какова вероятность того, 
что партия из 20 изделий, в которой имеется 2 бракованных, будет 
признана годной. (Ответ: 0,7632).

11. В некоторой серии денежно-вещевой лотереи на 1000 биле
тов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто приобрел 2 билета этой серии. Какова вероятность выигрыша: а) хотя бы по 
одному билету; б) по первому билету денег, а по второму – вещи?
(Ответ: а) 0,0669; б) 0,00024).

12. Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. 

Условием непригодности всей партии является наличие хотя бы одной 
дефектной детали среди четырех проверяемых. Какова вероятность 
того, что данная партия не будет принята, если она содержит 3 % дефектных деталей. (Ответ: 0,1164).

13. Вероятность установления в некоторой местности устойчи
вого снежного покрова с октября равна 0,2. Какова вероятность того, 
что в ближайшие два года в этой местности устойчивый снежный покров с октября а) не установится ни разу; б) установится по крайней 
мере один раз. (Ответ: а) 0,64; б) 0,36).

14. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и наби
рает ее наудачу. Какова вероятность того, что ему придется набрать 
номер не более, чем три раза? (Ответ: 0,3).

15. Сколько нужно выбрать чисел из таблицы случайных чисел, 

чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9 быть уверенным в том, что 
среди них хотя бы одно число четное? (Ответ: 
4
n 
).

ЗАНЯТИЕ № 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. 

Формула Байеса

1. Вероятность события А, которое может наступить при усло
вии появления одного из n
несовместных событий (гипотез) 

i
B (
n
,...,
2,1
i 
), образующих полную группу, находят по формуле пол
ной вероятности:

 
).
A
(
P
)
B
(
P
A
P

iB

n

1
i

i





(6)

2. Пусть событие А может наступить лишь при условии появле
ния одного из несовместных событий (гипотез) 
n
2
1
B
,...,
B
,
B
, которые 

образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то 
вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:





 



 

,

A
P
B
P

A
P
B
P

B
P
n

1
i

B
i

B
i

i
A

i

i






.n
,...,
2,1
i 
(7)

Задачи

1. Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором 

стоит бензоколонка, относится к числу легковых, проезжающих по 
тому же шоссе, как 3:2. Известно, что в среднем одна из 30 грузовых и 
2 из 45 легковых автомашин подъезжают к бензоколонке для заправки. Чему равна вероятность того, что подъехавшая к бензоколонке 
машина будет заправляться?

Решение. Рассмотрим события:
B1 – к бензоколонке подъехала грузовая автомашина;
В2 – к бензоколонке подъехала легковая автомашина;
А – подъехавшая к бензоколонке машина будет заправляться.

Учитывая, что число грузовых машин относится к числу легко
вых как 3:2, найдем вероятности гипотез события В1 и В2: Р(В1)=0,6,
Р(В2)=0,4. Гипотезы В1 и В2 составляют полную группу несовместных 
событий; сумма вероятностей этих событий равна 1. 

Событие А может произойти только или вместе с событием В1, 

или с событием В2. Условная вероятность 
30
/
1
)
A
(
P 1
B

; условная ве
роятность 
.
45
/
2
)
A
(
P 2
B


Найдем вероятность события А, применив формулу (6):



 


 
0378
,
0
45
2
4,
0
30
1
6,
0
A
P
B
P
A
P
B
P
)
A
(
P

2
1
B
2
B
1







.

2. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из 

нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров по цвету. (Ответ: 2/3).

3. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй 3 белых 

и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, 
а затем из первой урны вынули наугад один шар. Найти вероятность 
того, что вынутый шар – белый.

4. Команда стрелков состоит из 5 человек. Трое из них попадают 

с вероятностью 0,8, а двое с вероятностью 0,6. Наудачу из команды 
выбирается стрелок и производит выстрел. Какова вероятность того, 
что стрелок попадет? (Ответ: 18/25).

5. По предмету «Теория вероятностей» имеется 30 экзаменаци
онных билетов. Студент N выучил только 20. Каким ему выгоднее 
зайти: первым или вторым?

6. У пользователя на рабочем столе компьютера находятся две 

папки с файлами. В первой папке 16 файлов, причем 4 из них имеют 
размер менее 500 килобайт. Во второй папке 20 файлов, из них 5 файлов с размером менее 500 килобайт. Не интересуясь размерами файлов, пользователь переводит из первой папки во вторую один файл, 
после чего открывает файл из второй папки. Найти вероятность того, 
что будет открыт файл размером менее 500 килобайт. (Ответ: 1/4).

7. В трех урнах находятся черные и белые шары: в первой –

2 белых и 3 черных, во второй – 2 белых и 2 черных, в третьей –
3 белых и 1 черный. Из первой урны переложили шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью. Наконец, из третьей урны переложили шар в первую. Чему равна вероятность того, 
что состав шаров во всех урнах не изменился? (Ответ: 0,336).

8. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товаро
ведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, 
равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,9, 
а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано 
стандартным. Найти вероятность того, что его проверил второй товаровед.