Стратегии решения математических задач: различные подходы к типовым задачам

Посвящаем эту книгу о методах решения 
математических задач грядущим 
поколениям, которые, мы надеемся, будут 
любить математику за ее мощь и красоту!

Нашим детям и внукам, чьи перспективы 
безграничны, Лайзе, Дэниелу, Дэвиду, 
Лорен, Максу, Самюэлю и Джеку.

Альфред Позаментье

Нэнси, Дэну, Джеффу, Аманде, Айану, Саре 
и Эмили.

Стивен Крулик

Problem-Solving Strategies 
in Mathematics
From Common Approaches 
to Exemplary Strategies

Alfred S. Posamentier
Mercy College New York, USA

Stephen Krulik
Temple University, USA

Стратегии решения

Различные подходы
к типовым задачам

Альфред Позаментье, Стивен Крулик

МАТЕМАТИЧЕСКИХ 
ЗАДАЧ

Москва
2018

Перевод с английского

ISBN 978-5-9614-6700-0 (рус.)
ISBN 978-9814651622 (анг.)

Все права защищены. Никакая часть этой книги 
не может быть воспроизведена в какой бы 
то ни было форме и какими бы то ни было 
средствами, включая размещение в сети интернет и в корпоративных сетях, а также запись 
в память ЭВМ для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав. По вопросу организации 
доступа к электронной библиотеке издательства обращайтесь по адресу mylib@alpina.ru

© 2015 by World Scientifi c Publishing Co. Pte. 
Ltd.
 
Russian translation arranged with World 
Scientifi c Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore.
© Издание на русском языке, перевод, 
оформление. ООО «Альпина Паблишер», 
2018 год

УДК 51-3
ББК 22.1
 
П61

Переводчик Вячеслав Ионов

Позаментье А.

П61  
Стратегии решения математических задач: Различные подходы 
к типовым задачам / Альфред Позаментье, Стивен Крулик ; Пер. 
с англ. — М. : Альпина Паблишер, 2018. — 223 с.

ISBN 978-5-9614-6700-0

Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее 
умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть 
даже и необычный, способ решения.
В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения 
задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии 
и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике. Для 
каждой задачи авторы приводят сначала стандартное решение, а затем 
более элегантный и необычный метод. Так вы узнаете, насколько рассматриваемая стратегия облегчает поиск ответа.

УДК 51-3
ББК 22.1

Оглавление 

Об авторах ....................................................................................... 7

Введение .......................................................................................... 13

Глава 1
Логическое рассуждение ................................................ 25

Глава 2
Распознавание закономерности .................................. 41

Глава 3
Действие от обратного ...................................................... 61

Глава 4
Принятие другой точки зрения .................................... 81

Глава 5
Анализ экстремальных ситуаций ............................. 105

Глава 6
Решение более простой аналогичной задачи .... 127

Глава 7
Организация данных ......................................................... 145

Стратегии решения математических задач

Глава 8
Схематичное изображение, 
или Визуальное представление .................................167

Глава 9
Учет всех возможностей .................................................187

Глава 10
Обоснованное предположение и проверка .... 203

Об авторах

Альфред Позаментье — в настоящее 
время декан педагогического факультета и профессор математического 
образования в колледже Мерси, НьюЙорк, в прошлом почетный преподаватель Городского технологического 
колледжа Городского университета 
Нью-Йорка. Он почетный профессор 
математического образования Городского университета Нью-Йорка и бывший декан педагогического факультета, где проработал 40 лет. Позаментье автор 
и соавтор более 55 книг по математике для преподавателей, учащихся средних и начальных школ, а также широкого круга читателей. Статьи д-ра Позаментье по вопросам 
образования можно часто встретить в газетах и журналах.
После получения степени бакалавра в области математики в Хантер-колледже Городского университета НьюЙорка он получил должность преподавателя математики 
в средней школе Теодора Рузвельта (в Бронксе, НьюЙорк), где сосредоточился на развитии навыков учащихся, 
связанных с решением задач, и одновременно на расширении традиционной программы обучения. За шесть лет 
работы благодаря его усилиям в школе были созданы математические группы (младшего и старшего уровней). Позаментье продолжает работать с учителями математики 

Стратегии решения математических задач

и методистами, помогая им повышать эффективность преподавания.
Сразу после прихода на математический факультет Городского колледжа в 1970 г. (после получения там степени 
магистра в 1966 г.) он занялся созданием курса повышения 
квалификации без отрыва работы для учителей математики 
средних школ, включавшего такие специальные области, 
как занимательная математика и решение задач в математике. Как декан педагогического факультета Городского 
колледжа, Позаментье на протяжении 10 лет всесторонне 
занимался вопросами образования. За это время ему удалось поднять рейтинг факультета в штате Нью-Йорк до высшего уровня с идеальной оценкой Нацио нального совета 
по аккредитации подготовки учителей (NCATE) в 2009 г.
В 2014 г. д-р Позаментье повторил свое достижение, 
подняв педагогический факультет Колледжа Мерси до статуса единственного в США, получившего идеальную первоначальную аккредитацию одновременно и в NCATE, и в Совете по аккредитации подготовки преподавателей (CAEP).
В 1973 г. д-р Позаментье получил степень доктора философии в Фордэмском университете (Нью-Йорк) в области математического образования, и с той поры заслужил 
профессио нальное уважение не только в США, но и в Европе. Он является приглашенным профессором университетов в Австрии, Англии, Германии, Чешской Республике и Польше, а в Венском университете — профессором 
по программе Фулбрайта (1990 г.).
В 1989 г. д-р Позаментье был удостоен звания «почетный член» в Университете Саут-Бэнк (Лондон, Англия). 
В знак признания его достижений в области преподавания 
Ассоциация выпускников Городского колледжа называла 
его «преподавателем года» в 1994 и 2009 гг. В Нью-Йорке 
в его честь был устроен праздник 1 мая 1994 г. В 1994 г. он 

Об авторах

получил «Большую медаль почета» от Республики Австрия, 
а в 1999 г. с одобрения парламента президент Австрии 
присвоил ему звание «Профессор университета Австрии». 
В 2003 г. он получил звание Ehrenbürger (Почетный член) 
Венского технологического университета, а в 2004 г. — Почетный крест за достижения в области искусства и науки 
первого класса. В 2005 г. его имя увековечили и Зале славы 
выпускников Хантер-колледжа, а в 2006 г. Ассоциация выпускников Городского колледжа вручила ему престижную 
медаль Таунсенда Харриса. Его имя с 2009 г. присутствует 
в Зале славы преподавателей математики штата Нью-Йорк, 
в 2010 г. он получил в Берлине почетную премию Кристиана Петера Бойта.
Д-р Позаментье занимает целый ряд руководящих должностей в сфере преподавания математики на местном 
уровне. Он является членом Полномочной комиссии при 
комиссаре по вопросам образования в штате Нью-Йорк 
и Комитета по стандартам математического образования, 
а также входит в консультативный совет канцлеров школ 
г. Нью-Йорк.
Д-р Позаментье — один из ведущих обозревателей по вопросам образования и продолжает активно искать пути 
повышения интереса к математике как у учителей и учащихся, так и у широкой публики. Это ясно видно по его 
книгам: Numbers: Their Tales, Types and Treasures 
(Prometheus, 2015), Teaching Secondary Mathematics: 
Techniques and Enrichment Units, 9th Ed. (Pearson, 2015), 
Mathematical Curiosities: A Treasure Trove of Unexpected 
Entertainments (Prometheus, 2014), Geometry: Its Elements 
and Structure (Dover, 2014), Magnificent Mistakes in 
Mathematics (Prometheus Books, 2013), 100 Commonly Asked 
Questions in Math Class: Answers that Promote Mathematical 
Understanding, Grades 6–12 (Corwin, 2013), What successful 

Стратегии решения математических задач

Math Teacher Do: Grades 6–12 (Corwin, 2006, 2013), The 
Secrets of Triangles: A Mathematical Journey (Prometheus 
Books, 2012), The Glorious Golden Ratio (Prometheus Books, 
2012), The Art of Motivating Students for Mathematics 
Instruction (McGraw-Hill, 2011), The Pythagorean Theorem: 
Its Power and Glory (Prometheus, 2010), Mathematical 
Amazements and Surprises: Fascinating Figures and Noteworthy 
Numbers (Prometheus, 2009), Problem Solving in Mathematics: 
Grades 3–6: Powerful Strategies to Deepen Understanding 
(Corwin, 2009), Problem-Solving Strategies for Effi cient and 
Elegant Solutions, Grades 6–12 (Corwin, 2008), The Fabulous 
Fibonacci Numbers (Prometheus Books, 2007), Progress in 
Mathematics, K-9 textbook series (Sadlier-Oxford, 2006–2009), 
What Successful Math Teacher Do: Grades K-5 (Corwin, 2007), 
Exemplary Practices for Secondary Math Teachers (ASCD, 
2007), 101+ Great Ideas to Introduce Key Concepts in 
Mathematics (Corwin, 2006), π, A Biography of the World’s 
Most Mysterious Number (Prometheus Books, 2004), Math 
Wonders: To Inspire Teachers and Students (ASCD, 2003), 
и Math Charmers: Tantalizing Tidbits for the Mind (Prometheus 
Books, 2003).

Стивен Крулик — почетный профессор математического образования 
в Университете Темпл в Филадельфии. 
В университете д-р Крулик отвечает 
за преддипломную и последипломную 
подготовку преподавателей математики для 1–12 классов, а также за повышение квалификации преподавателей 
математики. Он читает разнообразные 
курсы, в числе которых история математики, методы преподавания математики и обучение методам решения задач. 

Об авторах

Последний курс появился как результат интереса к решению задач и логическому рассуждению на уроках математики. Основой этого интереса стало его стремление к тому, 
чтобы учащиеся понимали красоту и ценность решения задач, а также умели логически рассуждать.
Д-р Крулик получил степень бакалавра в области математики в Бруклинском колледже Городского университета 
Нью-Йорка, а степень магистра и степень доктора педагогических наук в области математики — в Педагогическом 
колледже Колумбийского университета. До прихода в Университет Темпл он в течение 15 лет преподавал математику 
в школах г. Нью-Йорк. В средней школе Лафайетт в Бруклине он организовал ряд курсов для подготовки учащихся 
к SAT-экзамену с акцентом на освоении методов решения 
задач вместо механического запоминания алгоритмов.
На общенацио нальном уровне д-р Крулик входит в состав комитета Нацио нального совета преподавателей математики, отвечающего за разработку Профессио нальных 
стандартов преподавания математики. В 1980 г. он был 
редактором ежегодника Нацио нального совета под названием «Решение математических задач в школе». На региональном уровне он был президентом Ассоциации преподавателей математики Нью-Джерси, в 1993 г. входил 
в редакционный совет математического справочника The 
New Jersey Calculator Handbook и в 1997 г. редактировал 
монографию Tomorrow’s Lessons.
Основная сфера его интереса — обучение методам решения задач и умению логически рассуждать, методические 
материалы по преподаванию математики, также комплексная оценка математических способностей. Он является 
автором и соавтором более 30 книг для преподавателей 
математики, в том числе Roads to Reasoning (классы 1–8) 
и Problem Driven Math (классы 3–8). Д-р Крулик, помимо 

Стратегии решения математических задач

прочего, является основным автором задач для серии базовых учебников. Д-р Крулик часто выступает со статьями 
по математическому образованию в профессио нальных 
журналах. Он консультировал и проводил семинары 
в школьных округах США и Канады, а также выступал с лекциями в Вене (Австрия), Будапеште (Венгрия), Аделаиде 
(Австралия) и Сан-Хуане (Пуэрто-Рико). Д-ра Крулика часто приглашают на нацио нальные и международные совещания, где он концентрирует внимание на формировании 
у всех учащихся умения логически рассуждать и решать задачи как на уроках математики, так и в жизни.
В 2007 г. в Университете Темпл ему вручили премию 
«Выдающийся учитель». В 2011 г. Нацио нальный совет преподавателей математики представил его к почетной премии за «Выдающиеся заслуги в сфере математического образования».