Основные математические преобразования в кинетической теории газов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. В. Кустова, М. А. Мехоношина

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ГАЗОВ

Учебное пособие

ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 533.6
ББК 22.253
K94

Р е ц е н з е н т ы: докт. физ.-мат. наук, профессор М. М. Кузнецов (Моск. гос. областной ун-т), докт. физ.-мат. наук, профессор Е. А. Нагнибеда
(С.-Петерб. гос. ун-т)

Рекомендовано к публикации
Учебно-методической комиссией
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

К94
Кустова Е. В., Мехоношина М. А.
Основные математические преобразования в кинетической
теории газов: учеб. пособие. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та,
2017. — 108 с.

ISBN 978-5-288-05771-7

Целью настоящего учебного пособия является подробное описание
математического аппарата, применяемого в кинетической теории неравновесных газов. Кратко изложены основные этапы метода Энскога—
Чепмена, акцент сделан на детальном расчете функций распределения,
методе решения интегральных уравнений, расчете коэффициентов переноса в неравновесных течениях реагирующих смесей газов. Выкладки приводятся для одной из наиболее детальных моделей кинетической
теории — модели поуровневой кинетики. В пособии отражены некоторые
разделы спецкурса «Современные методы в задачах неравновесной газодинамики», читаемого Е. В. Кустовой на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов университетов, специализирующихся в области механики жидкости и газа.
Материал, представленный в пособии, может быть полезен аспирантам и
научным сотрудникам, занимающимся теоретическими исследованиями
кинетики и процессов переноса в неравновесных течениях смесей газов
с внутренними степенями свободы и химическими реакциями.

УДК 533.6
ББК 22.253

ISBN 978-5-288-05771-7

c⃝
Е. В. Кустова,
М. А. Мехоношина, 2017
c⃝
Санкт-Петербургский
государственный
университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Глава 1. Метод Энскога—Чепмена для описания
неравновесных течений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
§ 1.1. Основные определения .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . —
§ 1.2. Общая схема метода Энскога—Чепмена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
§ 1.3. Поуровневое приближение.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
§ 1.4. Вывод уравнений переноса из уравнения Больцмана . . . . . . . . 15
1.4.1. Интегральная лемма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1.4.2. Вывод уравнений детальной поуровневой
колебательной и химической кинетики.. . . . . . . . . . . . . . . .18
1.4.3. Вывод уравнения сохранения импульса . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.4. Вывод уравнения сохранения энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Глава 2. Нулевое приближение метода Энскога—Чепмена. . . .28
§ 2.1. Вывод функции распределения нулевого порядка
в приближении поуровневой кинетики.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .—
§ 2.2. Уравнения переноса в нулевом приближении . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Глава 3. Первое приближение метода Энскога—Чепмена . . . . . 39
§ 3.1. Функция распределения первого порядка.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .—
3.1.1. Интегральное уравнение для функции распределения..—
3.1.2. Расчет дифференцильного оператора Df (0)
cij . . . . . . . . . . . . 40
3.1.3. Интегральное уранение для поправки первого
порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48
§ 3.2. Потоковые члены в первом приближении
метода Энскога—Чепмена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1. Тензор напряжений .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
3.2.2. Скорость диффузии .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.3. Тепловой поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.4. Релаксакционные члены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Глава 4. Расчет коэффициентов переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
§ 4.1. Общая схема расчета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .—
4.1.1. Разложение по полиномам Сонина и Вальдмана—
Трубенбахера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.2. Выражение коэффициентов переноса через
коэффициенты разложений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.3. Системы уравнений для коэффициентов разложения . . 70
§ 4.2. Интегральные скобки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Приложение А. Операции с векторами и тензорами. . . . . . . . . . .97

Приложение Б. Некоторые интегральные соотношения. . . . . .101

Приложение В. Ответы и пояснения к упражнениям . . . . . . . . 103

Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

ПРЕДИСЛОВИЕ

Студенты и аспиранты, начинающие изучать фундаментальные
методы кинетической теории газов, часто сталкиваются в классических монографиях с утверждениями типа: «легко показать,
что. . . », «после несложных преобразований. . .» и пр. Как показывает практика чтения курса лекций «Современные методы в неравновесной газовой динамике» на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета, многие
«несложные преобразования» совсем не очевидны для студентов.
Цель настоящего учебного пособия — помочь молодым исследователям, пробующим свои силы в кинетической теории процессов переноса и релаксации, научиться самостоятельно проходить все этапы
построения замкнутой модели неравновесного течения газа, от построения функции распределения до вычисления коэффициентов
переноса.
Для примера взят обобщенный метод Энскога—Чепмена, модифицированный для условий, когда в газе протекают быстрые и медленные процессы [1, 2]. Рассматривается смесь газов с внутренними
степенями свободы и химическими реакциями в условиях сильных
отклонений от равновесия. Все выкладки приводятся для одной из
наиболее детальных и современных моделей кинетической теории —
модели поуровневой кинетики.
В первой главе приводятся основные определения, необходимые
для работы, схематично изложены наиболее важные этапы построения замкнутой математической модели неравновесного течения с
помощью метода Энскога—Чепмена, подробно проводится вывод
уравнений неравновесной гидродинамики из уравнения Больцмана для функции распределения. Во второй главе дается детальный
вывод функции распределения нулевого приближения, вычисляются потоковые члены, записана система уравнений невязкого нетеплопроводного газа с учетом поуровневой колебательно-химической
кинетики. В третьей и четвертой главах детально описан матема
5

тический аппарат, применяемый для расчета функции распределения первого порядка, вывода и решения интегральных уравнений, расчета коэффициентов переноса в неравновесных течениях
реагирующих смесей газов, показано, как вычисляются интегральные скобки. Материал, приведенный в последних двух главах, дает
возможность построить самосогласованную модель неравновесного
течения вязкого теплопроводного газа.
Описанный математический аппарат является универсальным и
может применяться для построения замкнутых кинетических моделей течений при произвольной степени отклонения от состояния
термодинамического равновесия. В конце глав читателю предлагаются упражнения, с помощью которых он может самостоятельно
провести аналогичные выкладки для других моделей течения.
Учебное пособие предназначено для студентов старших курсов
университетов, специализирующихся в области механики жидкости, газа и плазмы. Материал, представленный в пособии, может
быть полезен аспирантам и научным сотрудникам, занимающимся теоретическими исследованиями кинетики и процессов переноса
в неравновесных течениях смесей газов с внутренними степенями
свободы и химическими реакциями.

Глава 1
Метод Энскога—Чепмена
для описания неравновесных течений

§ 1.1. Основные определения

В кинетической теории описание неравновесных течений смесей газов строится на основании функции распределения частиц по скорости и энергии.
Пусть fcij (r, u, t) — одночастичная функция распределения молекул смеси по химическим сортам c, уровням колебательной энергии i и вращательной j в пространстве скоростей u, координат r
и времени t. Функция fcij (r, u, t) определяется как плотность математического ожидания числа частиц сортов c, i, j в элементе фазового пространства (r, r + dr), (u, u + du) в момент времени t. На
основании функций распределения вводятся макроскопические характеристики течения [2].
Заселенность колебательного уровня i молекул сорта c в расчете
на единицу объема выражается соотношением

nci(r, t) =
j

fcij (r, u, t) duc.
(1.1)

Числовая плотность молекул сорта c в расчете на единицу объема выражается формулой

nc(r, t) =
ij

fcij (r, u, t) duc =
i
nci,
(1.2)

а числовая плотность смеси газов —

n(r, t) =
cij

fcij (r, u, t) duc =
c
nc.
(1.3)

7

Массовая плотность частиц сорта c задается формулой

ρc(r, t) =
ij
mc

fcij (r, u, t) duc = mcnc,
(1.4)

(mc — масса частиц сорта c), массовая плотность смеси

ρ(r, t) =
cij
mc

fcij (r, u, t) duc =
c
ρc.
(1.5)

Макроскопическая скорость газа v (r, t) представляется в виде

ρv (r, t) =
cij
mc

ucfcij (r, u, t) duc.
(1.6)

Полная средняя энергия частиц смеси в расчете на единицу массы
U выражается соотношением

U (r, t) = Etr + Erot + Evibr + Ef,
(1.7)

где Etr, Erot, Evibr, Ef — поступательная, вращательная, колебательная энергия и энергия образования частиц смеси в расчете на единицу массы,

ρEtr = 3

2nkT =
cij

mcc2
c

2
fcij (r, u, t) duc,
(1.8)

ρErot =
cij
εci
j

fcij (r, u, t) duc,
(1.9)

ρEvibr =
cij
εc
i

fcij (r, u, t) duc =
ci
εc
inci,
(1.10)

ρEf =
cij
εc

fcij (r, u, t) duc =
ci
εcnci =
c
εcnc.
(1.11)

Здесь cc = uc − v — собственная скорость частицы сорта c; индексы c, i, j изменяются в пределах c = 1..L, i = 0..Lc, j = 0..Lci,
L — число химических компонентов смеси, Lc — число возбужденных колебательных уровней частицы сорта c, Lci — число возбужденных вращательных уровней частицы сорта c на i-том колебательном уровне; величины εci
j , εc
i — вращательная и колебательная

8

энергии, отсчитываемые от нулевых значений, εc — энергия образования частицы сорта c.
Полная удельная энергия определяется через функцию распределения в виде:

ρU (r, t) =
cij

mcc2
c

2
+ εci
j + εc
i + εc

fcij (r, u, t) duc.
(1.12)

Скорость диффузии Vc частиц сорта c определяется выражением
ncVc (r, t) =
ij

ccfcij (r, u, t) duc.
(1.13)

Скорость диффузии Vci частиц сорта c на колебательном уровне
i определяется выражением

nciVci (r, t) =
j

ccfcij (r, u, t) duc.
(1.14)

Тензор напряжений P имеет вид

P (r, t) =
cij
mc

ccccfcij (r, u, t) duc,
(1.15)

где cccc — тензор второго ранга, составленный из произведений компонент собственной скорости c.
Поток полной энергии q вводится следующим образом:

q (r, t) =
cij

mcc2
c

2
+ εci
j + εc
i + εc

ccfcij (r, u, t) duc.
(1.16)

В зависимости от детальности выбранной модели набор макропараметров, дающих замкнутое описание неравновесного течения,
может изменяться.

§ 1.2. Общая схема метода Энскога—Чепмена

Для построения замкнутой модели процессов переноса и релаксации в современной кинетической теории чаще всего используются
метод Энскога—Чепмена [3, 4] и его модификации для газов с быстрыми и медленными процессами [1, 2].

9

Система кинетических уравнений для функции распределения
реагирующей смеси газов при отсутствии массовых сил может быть
записана в виде уравнения Больцмана (для газов с внутренними
степенями свободы мы используем форму записи Ванг Чанг–
Уленбека):
∂fcij

∂t
+ uc · ∇fcij = Jcij,
(1.17)

здесь
Jcij — интегральный
оператор,
описывающий
изменение
функции распределения в результате различных столкновений.
Для решения этих уравнений функция распределения раскладывается в ряд по малому параметру ϵ, представляющему собой
аналог числа Кнудсена:

fcij (r, u, t) =
n
ϵnf (n)
cij
u, ρλ(r, t), ∇ρλ(r, t), ∇2ρλ(r, t), . . .
. (1.18)

Особенностью метода Энскога—Чепмена является то, что функция
распределения зависит от координат r и времени t не явно, а через
макропараметры ρλ(r, t) и их градиенты различных порядков.
Подробное изложение метода и его обобщений дается в работах [2, 3]. Приведем краткую схему модифицированного метода
Энскога—Чепмена, которую можно использовать для построения
замкнутого описания течения газа при произвольных отклонениях
от равновесия.
1. Разбиение столкновительных процессов на быстрые и медленные, определение иерархии времен релаксации и малого параметра
как отношения характерных времен быстрых и медленных процессов.
2. Запись уравнения Больцмана в безразмерном виде; выделение
интегральных операторов быстрых и медленных процессов.
3. Выбор аддитивных инвариантов быстрых процессов.
4. Определение макропараметров, соответствующих аддитивным инвариантам быстрых процессов; данный набор макропараметров обеспечивает замкнутое описание течения в рассматриваемых неравновесных условиях.
5. Запись условий нормировки для функции распределения;
функция распределения нормируется относительно набора макропараметров, выбранных на предыдущем шаге; особенностью нормировки является то, что функция распределения нулевого приближения полностью определяет макропараметры, а следующие

10

приближения не вносят вклад в определяющие макроскопические
переменные.
6. Вывод уравнений переноса из уравнения Больцмана в общем
виде; определение потоковых и релаксационных членов.
7. Нулевое приближение обобщенного метода Энскога—Чепмена:
— вычисление функции распределения нулевого приближения
из условия равенства нулю интегрального оператора быстрых
процессов;
— использование условий нормировки для определения неизвестных коэффициентов в выражении для функции распределения;
— расчет потоковых и релаксационных членов и запись уравнений переноса в нулевом приближении; данные уравнения
соответствуют модели невязкой нетеплопроводной жидкости
(уравнениям Эйлера) с учетом сильных отклонений от равновесия.
8. Первое приближение:
— запись интегрального уравнения для функции распределения
первого приближения;
— расчет дифференциального оператора Df (0);
— запись структурного вида поправки первого порядка к функции распределения через градиенты макропараметров;
— вывод выражений для потоковых и релаксационных членов
в первом приближении; полученные уравнения переноса соответствуют модели вязкой теплопроводной жидкости (уравнениям Навье–Стокса) с учетом сильных отклонений от равновесия;
— расчет коэффициентов переноса, входящих в выражения для
скорости диффузии, теплового потока, тензора напряжений,
коэффициентов скорости физико-химических процессов.
Как уже отмечалось, данная схема является достаточно универсальной. Ее реализация зависит от необходимого уровня детализации описания неравновесного течения. Среди известных моделей, применяемых в современной неравновесной газовой динамике,
можно отметить модель поуровневой колебательно-химической кинетики, многотемпературные и однотемпературные модели течений
газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями [2]. В настоящем пособии рассмотрена реализация метода для
наиболее детального описания течения — модели поуровневой кинетики.

11

§ 1.3. Поуровневое приближение

Рассмотрим неравновесное течение смеси газов с колебательной релаксацией и химическими реакциями. Применим описанную выше
схему для построения замкнутой модели течения.
Поуровневое приближение справедливо, когда характерные времена процессов, происходящих при столкновениях частиц, удовлетворяют следующему условию:

τtr < τrot ≪ τvibr < τreact ∼ θ,
(1.19)

τtr, τrot, τvibr, τreact – соответственно времена релаксации поступательных, вращательных, колебательных степеней свободы и время
химических реакций, θ – время изменения макропараметров. Данное условие позволяет ввести малый параметр, равный отношению
характерных времен быстрых и медленных процессов: ϵ = τtr/τreact.
Перейдем к безразмерной записи системы (1.17) в поуровневом
приближении:

∂fcij

∂t
+ uc · ∇fcij = 1

ϵ Jrap
cij + Jsl
cij.
(1.20)

Интегральный оператор быстрых процессов описывает только упругие столкновения и столкновения с переходами вращательной энергии:
Jrap
cij = Jtr
cij + Jrot
cij ,
(1.21)

а оператор медленных процессов содержит оператор столкновений
с переходами колебательной энергии и химическими реакциями:

Jsl
cij = Jvibr
cij
+ Jreact
cij
.
(1.22)

В свою очередь, оператор Jvibr
cij
разбивается на операторы, соответствующие VV-обменам колебательными квантами и VT-переходам
колебательной энергии в поступательную, а оператор Jreact
cij
описывает реакции обмена и диссоциации-рекомбинации:

Jvibr
cij
= JVV
cij + JVT
cij ,
Jreact
cij
= Jexch
cij
+ Jdiss
cij .
(1.23)

Интегральный оператор быстрых процессов имеет вид (см. [2])

12