Простое доказательство Великой теоремы Ферма

A' 
A\f 
A' A' A >< Г А /У 
А' А- A 
A- A' A А 
А' 

А' А' A

1 A

F A' A 
А\ А А* А' А" А\А 
A* A* A* **У 

А' А' А''А' 
А" А 
А 
А- А' 
А' А А' А' А'' А" А V 
j 

'JrJrJf 
А " А ' А ' М0Ьк 

А 
А А V 
-* A- A- A 
A 
f 
А' 
А 
А 
А ' А

1 / ' А * 
А' 

4 
А 
А 
А- А 
А- А-А-У 
A
A
A 
А 
А 

> 
А ' A f 
А 
А 
А - > 
> 
A ' A*jF 
A * A * f 
л* А* А * 
А? А" 
А

1 
А' 
А' 
А 
А- А 
А- 
> 
А' V 'А

1 >У' А* А* 
А* 

6 
А' 
А' 
.<• .А- /У А' 
А- А\A'A'A. 
A '.A' A' 
A A A ' 

А? 
А~ ,А* А* А'А' 
А' А' 
А' 
А- 
.< 

/ А * 
^ гг4*г4*4 

А? А' 
А

1 
А
'
А 
'** / /' ф* / 
А 
А* 
А

1 
А* 
А 

**#'А* 
'А*А* 
А*А* 
л**/А* 
А* 
'А 

A\f 
\A\fA- 
А- А ' А ' А 
А 

" 
' \ # А * А 
'л? А' 
А 

А'А* 
А 

4- f 
А* ф9 A* f 'A f У A A A 

тЖ*ffdt. 
f. 
^А'.л*A*A*'A 

#'A*А*А* 
А*'А*А*'** 
4

Е.A 

A ' A ' A •#A*У У </'V 
A*VA 

ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 

' 
УУ У 
У 
~ 
УУ У 
У 
УУ У УУ У, УУ У /У Л 
/У /У /У /У УУ У 
У 
У 
УУ У 
УУ /У 
УУ У 

/ У / У » » У » 
» » > » / / » / / . / / / > » 

»
'
»
»
> 
* 
*\У 
f *> .*•*• 
У . f f fffy 
yt j 
f .ff f .ff 
.? 

•///>//»>/»/> 
*.ffAVAASM ?Ш/А* 

* y*ff**yi-y* 
ytj Syfy-УА* 
*
У
?
У
/
У
У
У
* 
* 
< 

ff.fS'S 
fff,f.ff./j* 
* У . У . * У *' * ? *\f.ff 
ff 
f 

У 
.,. 
*
*
*
*
*
*
* 
<
*
*
*
*
*
»
*
, 
УУ..,. 
*
*
,
. 
* 
' 
У 
У 

ff.fff 
*>* *•*• f/SSA 
» 
*>.f ff.f.ff.ff.fff 
f.f 

" - *-~f,ff'fyf,f?.f.f,** 
•<•>'• * ? 
f.f ffy* 
•'/< 

* ' fy <•*•*• > *•* >>* f f* * f * * 
\SffSf.ff.*ff 

/ У У / » € tAAk f *AA * WSSSS.SSAS i fS 
у ** 
****** 
e* f * * • * 
. 
* * • * 
•: .* 
* 
,• 
У 
•
*
,
:
,
*
* 

* .* *•* f * * 
УУ 
У 
У f* ff* 
У f * .* *• *• *• *- f *' *• f fy> 

f SS 
f .*• *• .*• f f *• * f * s * * * fyf 
f -f-.f У f fS 
f f f 4 

* * .*• * *• f f *• *• *• f *• * 
f *• f **, *•*• ff 
у *• * f , 

* у f *• *• * * yf 4 ,f * УУ f* *• 4 4-Sfff.S*'" 
* 

* 
* * *• * * *•** 
* *•*•_* * f /, f f* 
f *• *• 
yf.ff 
*- * 
*•* ************ 
ff*/ 
*•* .ГУ, * * * *** 
4 i УУУ 

- 
i yy У * f УУ •:• У, У. 
1 У 
, 

• I . * 
" " " 
* 

'
f 
yt'.f.f.f 
'.f.f 
' 
УУ УУ УУ У 
UrSftbA 
'• ' '• ' • 
••>•>•< 
y—* 
y y . i y y y 
> > ^ M L / v n P A 
* 
* 
'• 
• 
У " у у у ••• У 
»
~ 
'У 
У У * * * 

У 
У Г * *• f 
УУ *• УУ УУ У УУ Л 
* 
А 
*' 
УУ УУ * 
/У *' 
* 
* 
* 
У 
УУ * 
*' 
*' 
У 

у^И 
3 А А т е л ь с т щ о 

шШШтюамравшного 

А? А 
А'А 
А" 
А" А'А'А'А 
А 
А',7 
А 
Л 
• 
: 
А' 
А 
А' у',' А' 
/У А' 
А 
А' 
А' А' 
А

% 
А 

ГОРНОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 

УУ У, .-" 
/У У * 
,У У 
У 
- 
1 
У 
У 
-У ,У УУ УУ У. У 
- У '. f Л i • 
I 
' •• 

УУ У *Л 
Л 
Л 
Л.У 
У 

A U'U 1 

f.**,y* 
* **•.*•* *f ** 
< •** 
У у *•**•?** 
* •: 
У, 
•ffffff.? 
ff 
?* ff.f* 
* 
fSf/A.SSSSSSSS*' 

УДК 511.118:518.4 

Горбунов В.А. Простое доказательство Великой теоремы Ферма. — М: Издательство Московского государственного горного университета, 2001. —19 с. ISBN 5-7418-0026-2 

Для любого натурального числа z (z < 1) рассматривается единичный 
квадрат, покрытый равномерной сеткой с рациональным шагом h = 1/z. 
Используя преобразования u = х I z, v = у I z, где х, у, z — целые числа, 
показывается, что только едини шая окружность и

1 + v

2 = 1 может проходить 
через узловые точки в единичном квадрате (Пифагоровы точки). Для кривых 
Ферма и" + V

я = 1 (и < 2) рационального разбиения не существует, и, следовательно, эти кривые через узловые точки единичного квадрата не проходят, 
а это означает справедливость теоремы Ферма. 

УДК 511.118:518.4 

ISBN 5-7418-0026-2 
© В.А.Горбунов, 2001 
© Издательство МГТУ, 2001 

ВВЕДЕНИЕ 

еорема Ферма являлась камнем преткновения для 
математиков всего мира более трех столетий. У Ф. Клейна [1] имеется ссылка на то, что многие математики 
думают, что доказательства (корректного) великой теоремы 
Ферма никогда не существовало. Для п=3 первое доказательство Великой теоремы Ферма дал в 1770 г. Эйлер, 
для п=5 — Дирихле, для и=7 — Ламе. Далее, Ф. Клейн 
упоминает работы Куммера, «которые существенно продвинули вопрос вперед». Проблему Куммер свел к решению 
задачи о делении окружности на равные части. Для этих целей 
он разработал теорию о разложении чисел на множители по 
числу е, являющемуся корнем и-й степени из единицы. 
Гильберт продолжал и развивал работы Куммера. 

Далее Ф. Клейн пишет: «Вряд ли можно сомневаться, 
что „удивительное" доказательство Ферма не попадало в 
эту область идей. Трудно думать, чтобы он владел операциями над алгебраическими числами в ту пору, когда относительно мнимых чисел математики еще не были достаточно ориентированы, когда была еще в зачаточном состоянии сама теория чисел, которая именно благодаря глубоким исследованиям Ферма получила импульс к дальнейшему развитию. С другой стороны, очень мало вероятно, 
чтобы такой математик, как Ферма, в своем доказательстве допустил ошибку, хотя такого рода случаи и бывали у величайших математиков. Нужно думать поэтому, что он нашел 
доказательство благодаря какой-либо особенно удачной, простой идее. Но так как мы не имеем никаких указаний, которые 
позволили бы уловить эту идею, то полное доказательство 
теоремы Ферма можно, по-видимому, ожидать получить 
только путем систематического развития работ Куммера». 

з 

Отрывки из книги Ф. Клейна, приведенные выше, были 
им написаны до 1924 г. (первое издание этой книги). 

В начале 90-х годов появились в прессе сообщения о 
доказательстве теоремы Ферма: сначала японским математиком Мияокой, а затем английским математиком Уайлсом. 

Впоследствии в доказательстве Мияоки обнаружили 
ошибку. Та же участь постигла первое доказательство теоремы Уайлсом [2]. Это был 1993 год. Доказательство теоремы было представлено на 200-х страницах, и после доклада Уайлса в течение нескольких месяцев шесть экспертов проверяли доказательство. 

Спустя два года Уайлс вновь представил свое доказательство теоремы Ферма и на этот раз оно было признано 
верным. Объем работы содержал уже 130 страниц! 

Саймон Сингх 
[2] посвятил целую книгу истории 
Великой теоремы Ферма. Из этой книги мы узнаем, что 
Эндрю Уайлс, будучи аспирантом Кембриджского университета, занимался исследованиями эллиптических кривых. 
Доказательство Великой теоремы Ферма было мечтой его 
детства. 

В 1984 г. на симпозиуме по теории чисел Дж. Фрей в 
своем выступлении в результате сложных математических 
преобразований свел исходное уравнение Ферма, обладающее гипотетическим решением, к виду 

где A,B,N 
— целые числа (N>2), 
удовлетворяющие уравнению Ферма 

А +В 
= С , 

где С — также целое число. 

Фрей указал на то, что полученная им эллиптическая 
кривая обладает «весьма причудливым характером» и из 

4 

существования решения уравнения Ферма следует, что 
гипотеза Таниямы-Шимуры неверна (к тому времени эта 
гипотеза не была доказана). В конце своего доклада Фрей 
сделал сенсационный вывод о том, что если бы удалось 
доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, то автоматически доказывалась бы Великая теорема Ферма. 

После нескольких лет напряженной работы Уайлсу 
удалось доказать гипотезу Таниямы-Шимуры и, следовательно, Великую теорему Ферма. Это был 1995 год. 

Однако сообщение у Ф. Клейна о некой «удивительной» 
идее доказательства у самого Ферма, не обнаруженной до сих 
пор, меня заинтересовало. Как мне кажется, я нашел простое 
доказательство теоремы Ферма, которое и приводится ниже. 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ФЕРМА 

Теорема Ферма утверждает, что не существует целочисленных решений уравнения 

п 
п 
п 
X 
+ у 
= Z 

при любом натуральном п > 2. 
Доказательство. 
Введя преобразования 

(О 

(2) 

уравнение (1) приводится к виду 

и

л+у"=1. 
(3) 

Очевидно, что переменные и и v удовлетворяют неравенствам 0 < м < 1; 0 < v < 1. 

Обозначим через Sn сумму и" + v", а график уравнения 

Sn = 1 будем называть кривой Ферма, соответствующей 
выбранному показателю п. 

5 

Рис 1. Единичный квадрат: 
Si = 1 — единичная окружность; 
S} = 1 — кривая Ферма: ы

3 t- v

3 = 1; 

S„ = 1 — кривая Ферма: u" + 
= 1; 

Bi, i?2. В, — точки пересечения этих 
кривых с диагональю единичного 
квадрата 

На рис. 1 изображен 
единичный квадрат, в котором представлены: единичная окружность, кривая Ферма S3 = 1 и кривая Ферма Sn = 1 (в данном случае при п = 10). 

В силу симметрии уравнения (3) в дальнейшем будем 
рассматривать только верхнюю часть квадрата относительно побочной диагонали (терминология матричная). 

Для любого натурального числа z (z > 1) нанесем на 
единичном квадрате равномерную сетку с рациональным 

шагом h = —. Чем больше z, тем меньше шаг h , то есть тем 

z 

«гуще» сетка, покрывающая единичный квадрат. Теорема 
Ферма утверждает, что каково бы ни было число z (а следовательно, и h ) кривые Ферма не проходят через узловые 
точки в единичном квадрате, что и предстоит доказать. 

Известно, что на единичной окружности расположено 
бесконечное множество Пифагоровых точек. Так, например, 
Г 
при z = 5 к = j | на единичной окружности имеется Пифагорова точка Р 3 4^ 
1 
—: — .На сетке с шагом h = — 
(z = 25) на 
У 
5) 
25 

единичной окружности будет уже две Пифагоровы точки 

(15 
20Л 
„(7 
24^ 

Л 25 25 
и А 25 25 

6 

Если 
взять 
достаточно 
большое 
число 
z 
вида 

к 
к 
к 

* = Р\

1 
Рг • ••• • Pi , где рх, р
2 , р
х 
— простые числа, для 
которых существуют Пифагоровы точки на единичной 
окружности с шагом разбиения Л = 1/z, а кх,к2,...,к, 
— 
кратности этих чисел, то в верхней части квадрата на единичной окружности будет кх + к2 +... + kt Пифагоровых точек. 

Теорема Ферма утверждает, таким образом, что окружность — единственная кривая семейства Sn = 1 (при п = 2), 
которая проходит через узловые точки сетки (при подходящем разбиении квадрата на ячейки). 

При заданном разбиении единичного квадрата обозначим координаты узловых точек через ah и bh, где а и Ъ 
целые числа (а — номер вертикальной линии; Ь — номер 
горизонтальной линии сетки). Наличие Пифагоровой точки 
на единичной окружности означает, что ей отвечают два 
квадрата с вершинами на диагонали единичного квадрата 
в[{а,а) 
и в1(Ь;Ь). Сумма площадей этих квадратов равна 
площади единичного квадрата, то есть единице. 

Обозначим через X отношение координат точки, 
лежащей на единичной окружности: Х = Ыа. Тогда любой точке, лежащей на единичной окружности, можно 
поставить в соответствие два квадрата с вершинами на 

диагонали единичного квадрата: 
Вх 
и 

В2 
г
—
, 
г
— 
. Сумма площадей этих квадратов рав
,V1 + X.

2 yl + X

2 

на площади единичного квадрата. В общем случае длины 
сторон этих квадратов иррациональны, за исключением квадратов, образованных координатами Пифагоровых точек. 

Параметр X = tgcp, где <р — угол между осью Ои и лучом, на котором лежит точка, принадлежащая окружности. 

7 

Случай <p = 
— 
вырожденный. Ему отвечают «два» 

квадрата с вершинами на диагонали единичного квадрата: 
один квадрат совпадает с единичным квадратом, а второй 
«нулевой». В остальных случаях любой точке на окружности отвечают два (ненулевых) квадрата с вершинами на 
диагонали единичного квадрата, сумма площадей которых 
равна единице (то есть площади единичного квадрата). 

( 1 
п 

В точке В, —f=; —j= (на диагонали единичного квад
\i/2 
л/2) 

рата) вершины этих квадратов совпадают и площадь каждого из них равна 1/2, то есть половине площади единич¬

ного квадрата. Дробь 
' 
есть отношение длннь, стороны 

V2 

единичного квадрата к длине диагонали. Разбивая сторону 
единичного квадрата на z частей, диагональ квадрата также 
разбивается на z частей, так что квадрат с вершиной на 
диагонали единичного квадрата Вх 

f 1 
1 
будет иметь 

разбиение, подобное разбиению единичного квадрата. 

Площадь ячейки единичного квадрата И?, а площадь 

ячейки квадрата с вершиной на диагонали единичного квадрата Вх -J=; -1= 
равна 
. Таким образом, при любом 

рациональном разбиении единичного квадрата квадрат, 
вписанный в окружность, имеет ячейки по площади в два 
раза меньше, чем в единичном квадрате. Иными словами, 
разбиение единичного квадрата и квадрата, вписанного в 
единичную окружность, подобны (отношение площадей 
ячеек равно двум). 

Рассмотрим теперь кривую Ферма S3 = 1. Точка пересечения этой кривой с диагональю единичного квадрата 

8 

в2 

J 
1_ 

V 2

; V 2 j 

Опять пусть X = tgcp — тангенс угла наклона 

луча, на котором находится точка, принадлежащая кривой 

Ферма .У, = 1. Координаты этой точки: 
, 1 
и 
, = 
. Им 

з / i 7 з 
з[л 
Гэ 
Vl + X 
V1 + X 

отвечают два квадрата с вершинами на диагонали единичного 

' 
1 
1 
^ 
' 
- 
- 
^ 
квадрата: В 
и J?2 

квадраты являются основаниями кубов со сторонами 

Эти 

1 

3
W 

и 
, = 
соответственно, так что сумма объемов этих кубов 

V1 + X

3 

равна единице. 

( 1 
\

л 

В точке В2 y-t 
вершины квадратов В{ и В2 совпадают (X, = 1) и кубы, основаниями которых являются эти 

квадраты, имеют объемы, равные 1/2. Таким образом, куб, 

построенный на основании квадрата с вершиной в точке 

В2, 
имеет объем в два раза меньший объема куба, 

построенного на единичном квадрате. 

Любое равномерное разбиение квадрата с вершиной в 

точке В2 на z

2 частей дает шаг h2 = ^=, где h = \lz — раци
V2 

ональный шаг разбиения единичного квадрата. Отсюда следует, что не существует рационального разбиения квадрата с 
вершиной в точке В2 
и, следовательно, этот квадрат не 
является 
подобным 
единичному 
квадрату. 
Отношение 
площадей единичного квадрата и квадрата с вершиной в точке 

В2 число иррациональное, равное \[4, поэтому для кривой 

Ферма S3 - 1 не существует разбиения с рациональным шагом. 

9 

Прохождение кривой Ферма £ 3 = 1 через узел равномерной сетки единичного квадрата означало бы обратное 
утверждение. 

Аналогично дело обстоит с любой другой кривой 
Ферма S„ = 1. Элементарные объемы будем называть п
мерными кубиками. Тогда точка 
Вп 

4/2'
 
п4г. 
являющаяся точкой пересечения диагонали единичного квадрата и кривой Ферма S„ = 1, будет вершиной квадрата, 

шаг разбиения которого будет Л„ = —j=. Объем w-мер
ного элементарного кубика будет в два раза меньше 
объема w-мерного элементарного кубика в единичном 
квадрате. 

Так же, как и для кривой Ферма S3 = 1, для кривой 
Ферма Sn = 1 заключаем, что кривая Sn -1 не может проходить через узлы сетки с рациональным шагом разбиения 
единичного квадрата. 

Квадраты с вершинами на диагонали единичного квадрата условно назовем квадратами Ферма и обозначим каждый из них меткой Вп — вершиной квадрата на диагонали 
единичного квадрата. 

Рассмотрим 
последовательность 
квадратов 
Ферма 
Вх, В2, .... Вп, ... При п —» да квадрат Ферма Вп стремится к 

пределу — исходному единичному квадрату, на котором мы 
в самом начале нанесли равномерную сетку с рациональным шагом И. Но предел (единичный квадрат) не 
является квадратом Ферма (то есть членом 
последовательности 
Вх, В2, 
В„,...). 
Следовательно, 
узловые 
точки, принадлежащие единичному квадрату, не являются 
таковыми на любом квадрате Ферма. 

ю