Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Преподаватель XXI век, 2013, № 4. Часть 2

общероссийский журнал о мире образования
Бесплатно
Основная коллекция
Артикул: 688173.0006.99
Преподаватель XXI век : общероссийский журнал о мире образования. - Москва : МПГУ, 2013. - № 4. Часть 2. - 220 с. - ISSN 2073-9613. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/972873 (дата обращения: 29.03.2024)
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ХХВЕК
I

Общероссийский
журнал 
о мире образования

4/2013

4/2013
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ХХВЕК
I

часть 2

часть 2

СОДЕРЖАНИЕ

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

ЮБИЛЕЙ

Шелковников А.Ю. Три разговора со студентом Чаликовым: 
к 120-летнему юбилею А.Ф. Лосева  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

НАУКА, ОБРАЗОВАНИЕ, ТЕХНОЛОГИИ

Инновационные процессы в образовании
Матросов В.Л., Мельников Д.А., Артамонов Г.А., Пустовойтов В.В. 
Образовательные технологии: проблемы классификации 
и возможные решения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Никулин А.А. Некоторые аспекты кредитно-модульной системы 
в высшем образовании Монголии (на примере Академии 
полиции Монголии)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
Завалишина Л.В. Практическая подготовка будущих учителей 
в вузах ФРГ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Актуальные проблемы образования
Амиралиева Р.З. Подготовка педагогических кадров, обладающих 
необходимым уровнем ИКТ-компетенции, как одна из основных задач 
системы непрерывного педагогического образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Ниматулаев М.М. Самостоятельное повышение квалификации 
педагогов в условиях непрерывного самообразования 
на основе Web-технологий  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
Соколовская И.Э. Влияние религиозного самосознания на выбор 
ценностных ориентаций современной молодежи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Чернышова И.В. Личностное становление студентов 
в художественно-образовательной среде педвуза  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
Горшкова М.А. Модель воспитательной деятельности куратора 
студенческой группы в педагогическом вузе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Содержание и технологии образования
Саукова Н.М. Формирование нового дидактического мышления 
студентов педагогического образования в области мультимедиа 
технологий на основе моделирования педагогического процесса. . . . . . . . . . . . .67
Кисуркин В.В. Подготовка к межкультурному бизнес-взаимодействию 
средствами Google docs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Околович А.В. Подготовка будущих учителей иностранного языка 
к профессиональному усовершенствованию средствами 
информационно-коммуникационных технологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
Киреев Б.Н. Использование мультимедийных ресурсов при изучении 
спецкурса «Индивидуальный предприниматель»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
Кащук С.М. Современные информационно-коммуникационные 
технологии и мультимедиа в обучении иностранным языкам: 
история развития – уточнение понятийного аппарата  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
Полетаева М.И. К вопросу о разработке модели обучения 
с использованием современного вузовского учебника 
иностранного языка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Абдикаримова А.Б. Профессиональная направленность обучения 
учебным дисциплинам студентов средних профессиональных учебных 
заведений экономического и технического профилей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
Байгушева И.А. Формирование обобщенных методов решения 
типовых профессиональных задач экономистов при обучении математике  . . .112
Валишева А.Г., Крутова И.А. Методика обучения студентов 
машиностроительных направлений подготовки обобщенному методу 
решения типовых профессиональных задач  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

4/ 2013
Преподаватель XXВЕК

СОДЕРЖАНИЕ

Егупова М.В. Концепция методической подготовки учителя к практикоориентированному обучению математике в школе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Боженкова Л.И., Мотеюнене С.В. Преобразование учебной 
информации – необходимое условие формирования познавательных 
универсальных учебных действий при обучении геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . .135
Педагогическая наука – школе
Туктагулова М.Н. Генезис феномена «педагогическая 
поддержка школьника». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Кузьмина А.Н., Стефанова Г.П. Проектирование программы 
усвоения знаний школьного курса физики в рамках реализации 
Федерального государственного образовательного стандарта 
основного образования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

ФИЛОСОФИЯ И ИСТОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Кунц Е.В. Основные этапы истории европейской университетской 
идеи (XII–XIX вв.): к вопросу о поиске современной парадигмы 
существования университетского образования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
Косорукова М.И. Московское училище на Остоженке – важный этап 
становления коммерческого образования в России  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
Матюхина О.А. Школы духовного ведомства – как направление 
миссионерского служения Русской Православной Церкви 
в последней четверти XIX – начале XX в. 
(на примере Брянского уезда Орловской губернии) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
Яценко Н.Т. Советские учебники французского языка для студентов 
высших учебных заведений (1946–1985)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

ОБРАЗОВАНИЕ И ХУДОЖЕСТВЕННОЕ ТВОРЧЕСТВО

Чеканцева З.А., Чеканцев П.А. Пространство в станковой живописи  . . . . . . .189
Соколова Е.О. Стилизация как важнейший принцип взаимосвязи 
натурного и декоративного рисования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
Соколова О.Ю. Изобразительное искусство в специальном 
образовании. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

ОБРАЗОВАНИЕ И МУЗЫКА

Юдин А.П. Фортепианная музыка А.С. Даргомыжского 
в учебном процессе педвуза  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

ПСИХОЛОГИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ

Бусарова О.Р. Связь асоциальных стратегий совладающего поведения 
студентов с психологической защитой личности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Физика и математика
Матросов В.Л., Шибзухов З.М. Об агрегированно корректных 
операциях над алгоритмами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
Демедерос Аила. Тождества кривизны транссасакиевых многообразий. . . . .232
Новиков А.Д. О физическом смысле функций действительной 
и комплексной переменной  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237
Матвеев В.Ю., Чирский В.Г. О ряде из произведений членов 
арифметической прогрессии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
Матвеев В.Ю. О значениях некоторого ряда в полиадических точках, 
хорошо приближаемых натуральными числами  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254

222

СОДЕРЖАНИЕ

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

История
Воробьева О.В. Историческое событие как категория 
современного научно-философского анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260
Буданова В.П. Великие миграции II–VII вв.: 
этапы и системно-структурная характеристика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268
Чертина З.С. Иммиграция в Западную Европу: дилемма ХХI века  . . . . . . . . . .276
Вдовченков Е.В. «Мужское» и «женское» в погребальном обряде 
и обществе сарматов Подонья (по материалам курганного 
могильника Новый) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
Колесникова Е.А., Введенский Р.М. Институты самоуправления 
и проблема кризиса традиционализма в России. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
Елохин К.А. Ремесленницы, торговки и прочие 
в позднесредневековой Португалии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301
Иерусалимская Е.В. Дипломатия Вильгельма Оранского и первые 
европейские союзы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
Ильин А.В. Деятельность лондонского Общества защиты старинных 
зданий в Викторианскую эпоху  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316
Лингвистика
Иконникова В.А. Центробежные и центростремительные тенденции 
в развитии англоязычных юридических терминосистем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
Ильичева О.А. К вопросу о формировании профессиональной 
терминологии (на примере русского, немецкого и английского языков)  . . . . . .331
Чжао Мэн. Процесс адвербиализации в современном русском 
литературном языке в сопоставлении с китайским языком . . . . . . . . . . . . . . . . .336
Ли Чуньли. Национально-культурная специфика фразеологизмов, 
описывающих характер человека в русском и китайском языках. . . . . . . . . . . .345
Гилева Е.С. Пoнятиe зaимcтвoвaния в oтeчecтвeннoм, eвpoпeйcкoм 
и apaбcкoм языкoзнaнии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350
Можде Дехган Халили. Речевой жанр просьбы в кругу 
императивных жанров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357
Таваколи Хадидже. Перспективы сравнения русского и голландского 
ЛСП «Живопись» в аспекте изучения профессиональной картины мира  . . . . .369
Литературоведение
Климакина Е.А. Проблема жанра в эстетических трудах Геллерта. . . . . . . . . .377
Красухин Г.Г. Фольклорные и мифологические мотивы 
в творчестве Пушкина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .386
Лазарева Е.Ю. «Мой Мир» Н. Коляды: к вопросу о формах выражения 
авторского присутствия  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398
Боголюбова В.П. К юбилею писателя: мир детства в романе Петера 
Хертлинга «Лена на крыше»  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .407
Психология
Тарабакина Л.В. Эмоциональные установки менеджеров 
в групповом принятии решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412
Чурбакова А.И. Социальные эмоции в сплоченности 
малых рабочих групп. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419
Экономика и социология
Лебедева Н.В., Тимофеева О.Н. Личностно-профессиональное 
развитие слушателей курсов переподготовки и повышения 
квалификации, работающих в системе социальной защиты населения 
города Москвы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425

Информация об авторах   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433

4/ 2013
Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

ANNIVERSARY
Shelkovnikov A.Yu. Three Conversations with Student Chalikov 
(to the 120th anniversary of A.F. Losev). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

SCIENCE, EDUCATION AND TECHNIQUES

Innovational Processes in Education
Matrosov V.L., Melnikov D.A., Artamonov G.A., Pustovoytov V.V. 
Educational Technologies: Problems of Classification 
and Potential Answers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
Nikulin A.А. Some Aspects of Credit and Modular System in Higher 
Education of Mongolia (on the Example of Mongolian Police Academy)  . . . . . . . . . . .22
Zavalishina L.V. Practical Preparation of Future Teachers in Higher 
Education Institutions of Germany. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
Modern Educational Issues
Amiralieva R.Z. Training of Teachers with the Necessary Level of ICT 
Competence as One of the Main Tasks of Continuous Pedagogical 
Education System  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
Nimatulaev M.M. Independent Professional Development of Teachers 
In Conditions Of Continuous Self-Education On The Basis Of Web-Technologies  . . .42
Sokolovskaya I.E. Influence of Religious Identity on Selection 
of Value Orientation of Modern Youth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Сhernyshova I.V. Personal Formation of Students in their Art-Educational 
Environment of Pedagogical University. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
Gorshkova M.А. The model of Educational Activity of the Curator 
of the Student Group in Pedagogical University  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
Educational Topics and Techniques
Saukova N.M. Formation of a New Didactic Thinking of Teacher Education 
Students in the Field Of Multimedia Technology Based On Modeling 
of the Pedagogical Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Kisurkin V.V. Preparation for Intercultural Business-Interaction 
with the Help of Google docs  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Okolovych О.V. Foreign-Language Teacher Training to the Professional 
Self-Perfection by Means of Information-Communicative Technologies . . . . . . . . . . . .82
Kireev B.N. The Use of Multimedia Resources in Learning of “Individual 
Entrepreneur” Special Course . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
Kashchuk S.M. Modern Information and Communication Technology 
and Multimedia in Foreign Language Teaching: History of Development – 
Updating the Framework of Concepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
Poletaeva M.I. To the Question of Creating a Learning Model with a Modern 
Foreign Language Textbook for Higher Education  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Abdicarimova A.B. Professional Orientation of Training in Subject Matters 
of Students of Average Professional Educational Institutions of Economic 
and Technical Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
Baygusheva I.A. Forming of the Generalized Methods 
of Solution of Typical Professional Tasks of Economists 
in the Mathematical Training . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
Valisheva A.G., Krutova I.A. Methodology of Generalized Training 
of the Students of Machine Building Departments in Dealing with Typical 
Professional Tasks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
Egupova M.V. The Concept of the Methodical System 
of Preparation of Teachers to Practice-Oriented Teaching 
of Mathematics at School  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

224

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

Bozhenkova L.I., Moteyunene S.V. Transformation of Educational 
Information as the Necessary Condition for the Formation of Cognitive 
Universal Academic Actions when Teaching Geometry  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
Pedagogy Science to School
Tuktagulova M. N. The Genesis of the Phenomenon of “Pedagogical 
Support of the Student” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Kuzminа A.N., Stefanova G.P. Designing a Program of Mastering School 
Course of Physics within Implementation of the Federal State Educational 
Standard of the Basic Education. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

PHILOSOPHY AND HISTORY OF EDUCATION
Kunts Eu.V. The Main Stages of the History of the European University 
ideas (12th–19th cc.): to the Question of Search of a Modern Paradigm 
of University Education Existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
Kosorukova M.I. The Moscow School on Ostogenka is Important Step 
of Commercial Education in Russia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167
Matyukhina O.A. Schools of Spiritual Department as the Direction 
of the Missionary Service of the Russian Orthodox Church 
in the Last Quarter of the 19th – early 20th Centuries (on an Example 
of Bryansk District of Orel County)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
Yatzenko N.T. Soviet French Language Textbooks for the Students 
of Higher Education Institutions (1946–1985) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

EDUCATION AND ART

Chekantseva Z.A., Chekantsev P.A. Space in Easel Painting  . . . . . . . . . . . . . . . .189
Sokolova E.O. Stylization as the Main Principle of Interconnection Between 
Natural and Decorative Painting  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
Sockolova O.Yu. Visual Arts in Special Education  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

EDUCATION AND MUSIC

Udin A.P. Piano Music of A.S. Dargomyzhsky in the Educational Process 
of Pedagogical Universities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

PHYCOLOGY AND EDUCATION

Busarova O.R. Connection of Asocial Strategy of Coping Behavior 
of Students with Psychological Defenses of the Personality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216

FUNDAMENTAL SCIENCE TO HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS

Physics and Mathematics
Matrosov V.L., Shibzukhov Z.M. On Aggregationally Correct Operations 
on Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
Demederos Aila. Curvature Identities of Trans-Sasakian Manifolds. . . . . . . . . . . . .232
Novikov A.D. On the Physical Meaning of Functions Real and Complex Variable. .237
Matveev V.Yu., Chirskii V.G. On the Series of Products of Terms 
of an Arithmetic Progression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
Matveev V.Yu. On the values of a Certain Series at Poyiadic Points, 
Well Approximate by Positive Integers  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254
History
Vorobieva O.V. Historical Event as a Category of Modern Scientific 
and Philosophical Analysis  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260
Budanova V.P. The Great Migrations of 2nd–7th Centuries: 
Stages and System-Structural Description  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .268

4/ 2013

226

Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

Chertina Z.S. Immigration to Western Europe: the Dilemma 
of the 21st Century  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276
Vdovchenkov Eu.V. “Male” And “Female” in the Funeral Rite 
and Sarmatians Society of Don (on the Material of New Burial Mounds). . . . . . . . . .287
Kolesnikova E.A., Vvedenskiy R.M. Self-governance Institutions 
and the Problem of Crisis of Traditionalism in Russia 
at the End of the 17th Century  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295
Elokchin K.A. Women-Artisans, Traders and Others 
in the Late Medieval Portugal  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301
Jerusalimskaya E.V. William of Orange Diplomacy 
and the First European Unions  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
Ilin A.V. The London Society for the Protection of Ancient Buildings Activities 
in the Victorian Era  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .316
Linguistics
Ikonnikova V.A. Centrifugal and Centripetal Tendencies in the Development 
of Anglo-American Legal Terminological Systems  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
Ilyicheva O.A. On the Question of formation of Professional Terminology 
(On an Example Russian, German and English Languages) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331
Zhao Meng. Adverbialization Process in Modern Russian Literary Language 
in Comparison to Chinese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336
Li Chunli. National and Cultural Specifics of Phraseological Units, 
Describing the Character of the Person in Russian 
and Chinese Languages  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .345
Gilyeva Eu.S. The Notion of Borrowing in the Russian, European 
and Arabic Linguistics  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350
Mojdeh Dehghan Khalili. Speech Genre Requests 
among the Mandatory Genres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357
Таваколи Хадидже. Prospects of Comparison Russian and Dutch LSP 
“Painting” within the Aspects of Studying the Professional Picture of the World  . . . .369
Philology
Klimakina E.A. The Problem of Genre in Gellert’s Aesthetic Works . . . . . . . . . . . . .377
Krasukchin G.G. Folklore and Mythological Motives in Pushkin’s Works. . . . . . . . .386
Lazareva E.Yu. “My World” by N. Kolyady: to the Question 
of the Author’s Presence Expression Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398
Bogoljubova V.P. To the Writer’s Anniversary: the World of Childhood 
in Peter Härtling’s novel “Lena on the Roof”  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .407
Phsycology
Tarabakina L.V. Emotional Attitudes of Managers 
in the Group Decision-Making . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412
Churbakova A.I. Social Emotions in Small Working Group Cohesion  . . . . . . . . . . .419
Economy and Sociology
Lebedeva N.V., Timofeeva O.N. Personal and Professional Development 
of Re-training and Professional Growth Courses Listeners, Working 
in the System of Social Protection of the Population of the Moscow  . . . . . . . . . . . . .425

Information about the authors   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

Физика и математика

ОБ АГРЕГИРОВАННО КОРРЕКТНЫХ ОПЕРАЦИЯХ 
НАД АЛГОРИТМАМИ*

В.Л. Матросов, З.М. Шибзухов

Аннотация. Работа посвящена изучению корректных операций над алгоритмами, которые преобразуют наборы корректных алгоритмов в корректные алгоритмы. Основное внимание уделено изучению применения агрегирующих функций 
типа среднего для построения корректных операций над алгоритмами. Описаны 
некоторые схемы построения агрегировано корректных операций.

Ключевые слова: корректный алгоритм, корректная операция, агрегирующая 
функция, смеси алгоритмов.

Summary. The article deals with the study of valid operations on algorithms that transform sets of the correct algorithms into the correct algorithms. The main attention is given 
to the study of the application of aggregate functions  of medium type to build correct operations on algorithms.  It also describes some schemas of the formation of aggregated correct 
operations.

Keywords: correct algorithm, correct operation, aggregation function, mixture of 
algorithms.

В 

настоящей работе обсуждается один класс корректных операций [1–3] 
над алгоритмами распознавания и прогнозирования. Корректные операции (КО) возникают в связи с проблемой построения корректных алгоритмов [4–5].
КО образуют значительный подкласс корректирующих операций. Они обладают важным свойством – сохраняют свойство корректности алгоритмов. Это 
свойство является весьма полезным при построении процедур монотонно корректного обучения с возможностью порождения семейств корректных алгоритмов, таких как конструктивное обучение ΣΠ-нейронных сетей [6], алгоритмы 
вычисления ΣΠ-оценок [7] и многослойных перцептронных сетей [8].
Типичная задача поиска корректной операции возникает, когда используемый метод обучения позволяет строить множество различных алгоритмов, 
корректных на своем обучающем множестве и обладающих относительно хорошим качеством функционирования на контроле. В этой ситуации применение 
корректной операции позволяет порождать новые алгоритмы в расширенной 
модели алгоритмов, которые, с одной стороны, сохраняют свойство корректности на обучающем множестве, а с другой – имеют лучшее качество функционирования на контроле.

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-01-00162.

/ 2013

228

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Пусть 
Y
y
→
X
:
 – неизвестная функциональная зависимость между описаниями объектов из множества допустимых описаний X и ответами из множества допустимых ответов Y  на интересующий вопрос, 
Y
a
→
X
:
 – некоторый 
алгоритм из заданного класса (модели) алгоритмов A, который «аппроксимирует» y .

Поточечно корректные алгоритмы

Пусть 
)
|
(
x
a
Q
 – функция 
+
→
×
R
X
A
, которая оценивает качество ответа алгоритма 
A
∈
a
 на описании 
X
x∈
. Рассмотрим случай задач регрессии: когда 

R
⊂
Y
. Для каждого 
Y
y ∈
~
 определим подмножество 
Y
U y ⊂
~
 ответов, содержательно соответствующих корректному ответу y~.
Определение. Ответ 
)
(x
a
y =
 – корректный, если 
y
U
a
Q
~
)
|
(
∈
x
, где 
)
(
~
x
y
y =
.
Один из способов оценки качества ответов основан на использовании функции потерь 
)
~
,
(
y
y
l
, которая вычисляет «стоимость» потерь от различия между 
ответами 
)
(x
a
y =
 и 
)
(
~
x
y
y =
.
Определение. 
+
→
×
R
Y
Y
:
l
 – функция потерь, если выполняются следующие условия: 
1) если 
y
y
~
=
, то 
0
)
~
,
(
=
y
y
l
;
2) если 
y
y
y
~
2
1
≥
≥
 или 
y
y
y
~
2
1
≤
≤
, то 
)
~
,
(
)
~
,
(
2
1
y
y
y
y
l
l
≥
.
Таким образом, ответ y  принимается как корректный по отношению пра
вильному ответу y~, если 
0
)
~
,
(
=
y
y
l
 и 
}
0
)
~
,
(
:
{
~
=
∈
=
y
y
Y
y
U y
l
.

По определению, 
(
)
)
(
),
(
)
|
(
x
x
x
y
a
a
Q
l
=
.

Определение. Алгоритм a  – поточечно корректный на 
X
X ⊆
0
, если для каждого 
0
X
x∈
 ответ 
)
(x
a
y =
 – корректный.

Поточечно корректные операции по ответам

Поточечно корректные операции по ответам можно строить на базе агрегирующих функций [9–11].
Пусть M – агрегирующая функция на Y , т.е. для всех 
,...
2,1
=
m
:

● 
Y
y
y
m ∈
∀ ,...,
1
: 
Y
y
y
m ∈
}
,...,
{ 1
M
;

● 
}
,...,
{ 1
m
y
y
M
 – монотонная функция на 
m
Y
 (т.е. для каждого 
Y
y ∈
: прооб
раз 
)
(y
-1
M
 – связное множество).
Критерий поточечной корректности операции. M – корректная операция над алгоритмами по ответам, если для каждого m  и каждого 
Y
y ∈
~
: 

y
y
y
U
U
U
~
~
~
)
,...
(
⊆
M
.
В частности, если 
}
~
{
~
y
U y =
 и M – идемпотентная агрегирующая функция 
(т.е. 
y
y
y
=
)
,...,
M(
), то M – корректная операция над алгоритмами по ответам.
Пример. Взвешенные g -средние по Колмогорову-Нагумо [12–13].

,
)
(
}
,...,
{

1

1
1
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
=
∑
=

−
m

i
j
i
m
g
y
g
w
g
y
y
M

где веса 
0
,...,
1
>
m
w
w
 и 
1
1
=
+
+
m
w
w
L
, g  – строго монотонная непрерывная 
функция 
R
→
Y
.

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

Физика и математика

Хорошо известны примеры 
g
M :
● среднее степенное:
p
m

i

p
j
i
m
p
y
w
y
y

/
1

1
1
}
,...,
{
⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
= ∑
=
M
;

● «мягкий» максимум:

⎟⎟
⎠

⎞

⎜⎜
⎝

⎛
=
∑
=

m

i

py
i
m
j
e
w
p
y
y

1
1
ln
1
}
,...,
{
M

 
;

● cреднее геометрическое:

∏
=
=

m

i

w
i
m
G
i
y
y
y

1
1
}
,...,
{
M
.

Взвешенное среднее по Колмогорову можно обобщить следующим образом:

,
)
(
}
,...,
{

1

1
1
,...,
1
⎟⎟
⎠

⎞

⎜⎜
⎝

⎛
=
∑
=

−
m

i
j
i
m
g
g
y
g
g
y
y
m
M

где 
)
(
)
(
)
(
1
y
g
y
g
y
g
m
+
+
=
L
, 
m
g
g ,...,
1
 – строго монотонные непрерывные функции 
R
→
Y
, которые одновременно возрастают или одновременно убывают, а 

g  – строго монотонная функция.
Критерий поточечной корректности операции 
g
M : Если 
y
U ~  – связный 
интервал, то 
y
y
y
g
U
U
U
~
~
~
)
,...
(
⊆
M
, т.е. 
g
M  – поточечно корректная операция над 
алгоритмами по ответам.

Поточечно корректные операции по оценкам

Когда Y  – конечное множество, алгоритм a  всегда строится в виде композиции 
A
R
a
o
=
, где 
q
A
R
U
X
⊆
→
:
 – алгоритм, который вычисляет «оценки», 

Y
R
→
U
:
 – решающее правило, которое выдает ответ на основании оценки. 
В таких случаях качество ответа 
)
(x
a
y =
 вычисляется как качество оценки 

)
(x
u
A
=
.
Пусть 
+
→
×
R
U
Y
:
l
 
– 
функция 
качества. 
По 
определению, 

(
)
)
(
),
(
)
|
(
x
x
x
y
A
a
Q
l
=
. Пусть 
Q
L  – подмножество значений функции качества, 
которая содержательно соответствуют верным ответам.
Пусть 
}
)
~
,
(
:
{
~
Q
y
y
L
u
U
u
U
∈
∈
=
l
. 
Определение. Оценка 
)
(x
u
A
=
 – корректная по отношению к ответу y~, 
если 
y~
U
u ∈
.
Пусть M – агрегирующее отображение на U , т.е. для каждого 
,...
2,1
=
m
:
● для всех 
U
u
u
∈
m
,...,
1
: 
U
u
u
∈
}
,...,
{ 1
m
M
;
● 
}
,...,
{ 1
m
u
u
M
 – монотонная (т.е. для каждого 
U
u ∈
: прообраз 
)
(u
-1
M
 – связное множество).
Критерий поточечной корректности. M – поточечно корректная операция по оценкам, если для каждого m  и каждого 
Y
y ∈
~
: 
y
y
y
~
~
~
)
,...
(
U
U
U
⊆
M
.
Пример. Взвешенное многомерное g -среднее по Колмогорову.

,
)
(
}
,...,
{

1

1
1
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝

⎛
=
∑
=

−
m

i
j
i
m
u
g
w
g
u
u
g
M

где 
0
,...,
1
>
m
w
w
 и 
1
w
w
=
+
+
m
L
1
, g  – непрерывное монотонное обратимое 
отображение 
Q
R
U →
.

/ 2013

230

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Агрегировано корректные алгоритмы
Пусть Q  – некоторая агрегирующая функция. Для вычисления качества алгоритмов на конечном множестве описаний 
0
X  определим агрегирующий 
функционал:

{
}
0
0
:)
|
(
)
|
(
X
x
x
X
∈
=
a
Q
a
Q
Q
.

Пусть 
U
L
⊂
Q
 – заданное подмножество значений функционала Q . Значения из 
Q
L  (и только они) соответствуют алгоритмам, которые принимаются 
как корректные на 
0
X  по отношению к функционалу качества Q .
Определение. Алгоритм a  – агрегировано корректный на 
0
X  по отношению к 
функционалу качества Q, если 
Q
Q
L
X
∈
)
|
(
0
a
.

Агрегировано корректные операции над алгоритмами по ответам

Пусть F – агрегирующая функция на Y . 
Определение. Операция 
}
,...,
{ 1
m
a
a
a
F
=
 – агрегировано корректная, если 

Q
Q
Q
F
L
L
L
⊆
}
,...,
{
.
Пусть 
R
⊆
Y
 – связный интервал, 
Y
Y
f
→
:
 – вещественная функция 
)
(x
f
, 

M – идемпотентная агрегирующая функция.
Определим понятие M-выпуклой функции.
Определение. 
)
(x
f
 – M-выпуклая, если 

(
)
{
}
)
(
),...,
(
}
,...,
{
1
1
m
m
x
f
x
f
x
x
f
M
M
≤
.

Рассмотрим g -средние по Колмогорову 
g
M .
Лемма. Пусть g  – монотонно возрастающая, 
1
−
g
f
g
o
o
 – выпуклая функция 

R
R →
. Тогда f  – M-выпуклая.
Приведем примеры:

● 

>
<
>
<
>
<
−
=
p
p
p
y
y
y
y
/
1
~
)
~
,
(l
, где 
p
p
y
y
y
|
|)
(
sign
=
>
<
 – выпуклая относительно 

степенного среднего;

● 

y
p
py
e
e
p
y
y
~
ln
1
)
~
,
(
−
=
l
 – выпуклая относительно экспоненциального 

среднего.
Пусть 
)
(x
f
 – M-выпуклая функция на Y , M~  – идемпотентная агрегирующая 
функция на Y .
Определение. M~  – не доминирует над M, если

{
}
{
}}
,...,
{
~
},...,
,...,
{
~
}
,...,
{
},...,
,...,
{
~
1
1
11
1
1
11
Nm
m
N
Nm
N
m
u
u
u
u
u
u
u
u
M
M
M
 
M
M
M
≤
.

Приведем примеры:
● если 
M
M
~
=
 и M – бисимметричная, то M не доминирует над собой;
● min  не доминирует над max .
Теорема. Пусть 
)
~
,
(
y
y
l
 – M-выпуклая на Y , функционал Q определен на 
базе M~  и M~  не доминирует над M. Тогда M – агрегировано корректная операция над алгоритмами по ответам относительно Q.

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

Физика и математика

Приведем пример. Пусть 
g
M
M
M
=
= ~
. Тогда

(
)
(
) .
),
(
)
|
(

1

1
0
⎟⎟
⎠

⎞

⎜⎜
⎝

⎛
⋅
=
∑
=

−
N

k
k
k
k
y
a
g
w
g
a
x
X
l
Q

В этом случае агрегировано корректная операция над алгоритмами имеет 
вид:

.
)
(
}
,...,
{

1

1
1
⎟⎟
⎠

⎞

⎜⎜
⎝

⎛
=
∑
=

−
m

i
i
i
m
a
g
w
g
a
a
F

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

Шибзухов З.М.
1. 
 Корректные расширения корректных ΣΠ-алгоритмов // Доклады 15-й Всероссийской конференции «Математические методы распознавания образов». – M.: MаксПресс, 2011. – С. 116–119.
Шибзухов З.М.
2. 
 Поточечно корректные операции над алгоритмами // Доклады Международной конференции «Интеллектуализация обработки информации» ИОИ-10. – M.: ТорусПресс, 2012. – С. 90–93.
Шибзухов З.М.
3. 
 Поточечно корректные операции распознавания и прогнозирования // Доклады РАН. – М.: МАИК «Наука/Interperiodica», 2013. – Т. 405. – №. 1. – С. 24–27.
Журавлев Ю.И.
4. 
 Об алгебраическом подходе к решению задач распознавания и классификации // Проблемы кибернетики. – М.: Наука, 1978. – Т. 33. – С. 5–68.
Матросов В.Л.
5. 
 Синтез оптимальных алгоритмов в алгебраических замыканиях моделей алгоритмов распознавания // Распознавание, классификация, прогноз. – М.: Наука, 1989. – 
С. 149–176.
Шибзухов З.М.
6. 
 Конструктивные методы обучения ΣΠ-нейронных сетей. – М.: МАИК Наука, 2006.
Матросов В.А., Шибзухов З.М.
7. 
 Об одном классе корректных алгоритмов вычисления ΣΠоценок // Всероссийской конференции ММРО-15. – М.: Макс-Пресс, 2011. – С. 116–119.
Parekh R., Yang J., Honavar V.
8. 
 IEEE Transactions on Neural Networks. – 2000. – Vol. 11. – 
No. 2. – P. 436–451.
Beliakov G., Pradera A., Calvo T.
9. 
 Aggregation Functions: A Guide for Practitioners. – Springer, 
Heidelberg, Berlin, New York, 2007.
Mesiar R., Komornikova M., Kolesarova A., Calvo T.
10. 
 Aggregation functions: A revision // 
H. Bustince, F. Herrera, and J. Montero, editors, Fuzzy Sets and Their Extensions: Representation, 
Aggregation and Models. – Springer, Berlin, Heidelberg, 2008.
Grabich M., Marichal J.-L., Pap E.
11. 
 Aggregation Functions // Series: Encyclopedia of Mathematics 
and its Applications. – No. 127. – Cambridge University Press, 2009.
Kolmogorov A.N.
12. 
 Sur la notion de la moyenne // Atti Accad. Naz. Lincei. – 1930. – 12(6). – 
P. 388–391.
Nagumo M.
13. 
 Uber eine klasse der mittelwerte // Japanese Journ. of Math.  1930. – 7. – P. 71–79. ■

/ 2013

232

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

П

усть М – n-мерное риманово многообразие с метрическим тензором g, 

 обозначает преобразование кривизны в касательном пространстве 
, определяемое векторами 
. Тензор (поле) римановой кривизны для М, обозначаемый также через R, есть тензорное поле, 4-ко ва ри антное и определяемое так [1]: 

 .

При этом тензор римановой кривизны, рассматриваемый как квадрилинейное отображение 
, в каждой точке 
 обладает свойствами:

Имеет место следующее предложение [2].
Предложение 1. Кривизна R келерова многообразия обладает следующими 
свойствами: 
.
Широко известно высказывание А. Грея о том, что ключом к геометрии 
почти эрмитовых многообразий являются тождества, которым удовлетворяет 
их тензор римановой кривизны [3]. В начале 1970-х гг. Альфред Грей в работе 

ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ 
ТРАНССАСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Аила Демедерос

Аннотация. В работе получены некоторые тождества, которым удовлетворяет 
тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий. Также получены условия, при которых тензор римановой кривизны транссасакиевых многообразий удовлетворяет контактным аналогам тождеств Грея. Получено локальное строение 
транссасакиевых многообразий класса  
.

Ключевые слова: почти контактные метрические структуры, транссасакиевые структуры, пространство присоединенной G-структуры, тензор римановой 
кривизны, тождества Грея. 

Summary. The article deals with some identities obtained to  satisfy the Riemann curvature tensor of trans-sasakian varieties. The conditions are also obtained, under which the 
Riemann curvature tensor of trans-sasakian manifolds satisfies the contact analogs of the 
identities of Gray. The local structure of trans-sasakian manifolds of class   are obtained.

Keywords: almost contact metric structure, trans-sasakian structure, space associated Gstructure, the Riemann curvature tensor, the identities of Gray.

.

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

Физика и математика

[4] изучал дифференциально-геометрические свойства келеровых многообразий с точки зрения специального тождества, которому удовлетворяет их тензор 
римановой кривизны.
Итак, если богатство геометрии келеровых многообразий связано с тем, 
что их тензор кривизны удовлетворяет келерову тождеству, то в работе [3] Альфредом Греем был поставлен вопрос нахождения аналогичных тождеств для 
общих типов почти эрмитовых многообразий. И в этой же работе Греем были 
выделены несколько специальных классов 
 почти эрмитовых многообразий, 
характеризующихся следующими тождествами:
1. Класс 
2. Класс 
3. Класс 
Для произвольного почти эрмитова многообразия им же было показано, 
что для классов 
 справедливы включения 
. При этом, если 
многообразие келерово, то его тензор кривизны удовлетворяет всем трем соотношениям [3], для эрмитовых многообразий классы 
 и 
 совпадают. Ввиду 
этого естественно ожидать, что среди AH-многообразий по дифференциальногеометрическим и топологическим свойствам наиболее близки к келеровым 
многообразиям многообразия класса 
, затем многообразия класса 
, и, наконец, многообразия класса 
.
Тем самым Альфред Грей сформулировал новый принцип изучения строения почти эрмитовых структур на многообразиях – по дифференциальногеометрическим инвариантам второго порядка (свойствам симметрии тензора 
R римановой кривизны). В его основу положен принцип, выдвинутый А. Греем 
и сформулированный в ряде его работ [3–5] и других.
Отметим, что в научной литературе нет однозначно устоявшихся названий 
для выделенных А. Греем классов. Так, многообразия класса 
 Рицца изучал 
под названием паракелеровых [6], в литературе эти многообразия встречаются 
под названием F-пространств. Этот термин был предложен Саваки и Секигавой 
[7], Баррос и Рамирес [8]. Многообразия класса 
, или с J-инвариантным тензором кривизны, называются также RK-многообразиями. Наряду с А. Греем их 
рассматривали Ванхекке [9–10], Навейра, Хервелла [11]. Многообразия класса 

, пока не имеющие специального наименования, были введены в рассмотрение А. Греем в связи с изучением приближенно келеровых многообразий ввиду 
того, что 
 [5; 12], и рассматривались Греем и Ванхекке [13], Уотсоном и 
Ванхекке [14] и другими авторами.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1 [15]. Пусть 
 – почти эрмитова структура. Тогда:

(1) 
 – структура класса 
 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры 
;
(2) 
 – структура класса 
 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры 
;
(3) 
 – структура класса 
 тогда и только тогда, когда на про
странстве присоединенной G-структуры 
.

/ 2013

234

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Контактными аналогами тождеств А. Грея 
 кривизны почти эрмитовых многообразий являются тождества кривизны 
 для почти 
контактных метрических многообразий:

Таким образом, тождества 
 в изучении строения почти контактных метрических структур имеют большое значение. Исследуем эти тождества 
для транссасакиевых многообразий. Имеет место следующая аналогичная теореме 1 теорема.
Теорема 2 [15]. Пусть 
 – AC-структура. Тогда:
(1) 
 структура класса 
 тогда и только тогда, когда на 
пространстве присоединенной G-структуры 
;

(2) 
 структура класса 
 тогда и только тогда, когда на 
пространстве присоединенной G-структуры 
;

(3) 
 структура класса 
 тогда и только тогда, когда на 
пространстве присоединенной G-структуры 
.
В предыдущей работе [16] были вычислены компоненты тензора РиманаКристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры:

.
(1)

А остальные компоненты нулевые.
Поскольку 
, то согласно теореме 2 транссасакиевы многообразия являются AC-многообразиями классов 
 и 
.
Пусть TS-многообразие М является AC-многообразием класса 
. Тогда согласно 
теореме 
2 
имеет 
место 
равенство 
, 
т.е. 

. Свернем полученное равенство сначала по индексам a 

и c, а затем по индексам b и d, тогда получим: 
. Из полученного 

4 / 2013
Преподаватель XXВЕК

Физика и математика

равенства следует, что либо 
, т.е. многообразие является трехмерным, 
либо 
. Во втором случае полная группа структурных уравнений TSмногообразия М примет вид [16]:

;

.

И согласно теореме 4 [16] TS-многообразие класса 
 является косимплектическим многообразием. Поскольку очевидно, что косимплектическое многообразие является AC-многообразием класса 
, то нами доказана следующая 
теорема.
Теорема 3. TS-многообразия являются AC-многообразиями классов 
 и 
. 
TS-многообразие размерности больше 3 является AC-многообразием класса 
 
тогда и только тогда, когда оно является косимплектическим мно го об ра зием.
Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [15], то можно 
сформулировать следующее следствие.
Следствие. TS-многообразие класса 
 размерности больше 3 локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.
А теперь рассмотрим дополнительные тождества, которым удовлетворяет 
тензор римановой кривизны TS-многообразий.
1) Поскольку согласно (1)

 ,

т.е. 
, то 
. Так как 
 
образуют базис подпространства 
, а проектором модуля 
 на это подпространство 
является 
эндоморфизм 
, 
то 

. Раскрывая 

по линейности это равенство и выделяя действительную и мнимую части, получим два равносильных тождества:

.

Рассмотрим первое тождество, т.е.

.
(2)

Назовем тождество (2) первым дополнительным тождеством кривизны TSмногообразия.
2) Поскольку 
, т.е. 
, то 
. Так как 

 образуют базис подпространства 
, а проектором модуля 
 на это 
подпространство 
является 
эндоморфизм 
, 
то 

. Полученное тождество равносильно следующему

.
(3)