Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Преподаватель XXI век, 2010, № 1. Часть 2

общероссийский журнал о мире образования
Бесплатно
Основная коллекция
Артикул: 687880.0002.99
Преподаватель XXI век : общероссийский журнал о мире образования. - Москва : МПГУ, 2010. - № 1. Часть 2. - 384 с. - ISSN 2073-9613. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/972185 (дата обращения: 29.03.2024)
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ХХВЕК
I

Общероссийский
журнал 
о мире образования

4/2010
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ХХВЕК
I

Общероссийский
журнал 
о мире образования

4/2010

4/2010
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ХХВЕК
I

часть 2

часть 2

СОДЕРЖАНИЕ

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

НАУКА, ОБРАЗОВАНИЕ, ТЕХНОЛОГИИ

Инновационные процессы в образовании

Санина Е. И., Маскаева А. М. Вариативное обучение 
как одно из направлений модернизации образования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Катуржевская О. В. Внутривузовская система управления 
качеством образования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Овакимян Ю. О., Насс О. В. Место электронных образовательных 
ресурсов в образовательном процессе на примере кредитной 
технологии обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Актуальные проблемы образования

Горшкова М. А. Активная профессиональная позиция будущего 
педагога и предпосылки ее развития в образовательном пространстве  . . . . . . .26

Хасанов Б. Э. Международное сотрудничество Узбекистана 
в повышении квалификации педагогических кадров  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Содержание и технологии образования

Таможняя Е. А. Реализация компетентностного подхода 
в методической подготовке современного учителя географии  . . . . . . . . . . . . . . .34

Киямова И. Б., Летягин А. А. Использование современных средств 
обучения в системе подготовки учителя географии (на основе 
результатов дистанционного зондирования Земли)  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Намаканов Б. А. Нейрофизиологические и нейробиологические 
аспекты педагогики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

Образование и художественное творчество

Золотарева Л. Р. Искусствоведческо-культурологическая 
и педагогическая концепция «художественной картины мира». . . . . . . . . . . . . . .58

Попова Е. В. Использование имприматуры в масляной живописи  . . . . . . . . . . .65

Макарова К. В. Связь композиции иллюстрации 
с литературным источником. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Катханова Ю. Ф. Анализ цифровых образовательных ресурсов 
с точки зрения педагогического дизайна  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Кулевская Е. С. К проблеме формирования графической 
компетенции бакалавров в дистанционном обучении математической 
обработке информации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

Подгорнева Э. В. Развитие информационной компетентности 
студентов-дизайнеров в рамках дидактической модели музейной практики. . . .90

Ажгихин С. Г. Активные методы обучения проектированию 
в графическом дизайне  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

Семенов Д. И. Особенности выбора программного обеспечения 
для процесса обучения студентов-дизайнеров правилам верстки 
полиграфических материалов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

Гурвиц В. Н. Развитие творчества у детей старшего дошкольного 
возраста на занятиях по художественному конструированию . . . . . . . . . . . . . . .112

4/ 2010

194

Преподаватель XXВЕК

СОДЕРЖАНИЕ

Фадеева Е. Р. Формирование познавательной активности старших 
дошкольников на занятиях по изобразительной деятельности  . . . . . . . . . . . . . .115

ФИЛОСОФИЯ И ИСТОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Янченко В. Д. Научный потенциал истории методики преподавания 
русского языка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Чжан Лисин. Очерк истории дошкольного образования в Китае. . . . . . . . . . . .127

ЯЗЫК И ОБРАЗОВАНИЕ

Аветисян Д. Д. Мотивация и коммуникация в дистанционном обучении 
иностранным языкам  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

Игнатенко И. И. Направления иноязычной подготовки 
к деловому общению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Брагина Н. В. Этапы изучения русского языка как иностранного 
в Великобритании  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

Али Анвар А. Лингвометодическое значение сопоставительного 
языкового анализа и его роль в прогнозировании трудностей 
усвоения РКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

Тюпенко Н. А. Обучение иностранных студентов вводно-модальным 
словам и словосочетаниям как средствам субъективной модальности 
в научном стиле речи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

Агатангелу Е. Формирование звукопроизношения у детей-билингвов 
от греко-русских смешанных браков. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

ПСИХОЛОГИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ

Шадриков В. Д., Зиновьева Н. А., Кузнецова М. Д., 
Моров М. Д.  Динамика развития познавательных способностей 
и личностных качеств младших школьников в различных 
образовательных системах  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

Макарова К. В., Таллина О. А. Развитие способностей: 
субъектный и личностный аспекты  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Физико-математические науки

Рустанов А. Р. Тождества кривизны почти контактных метрических 
многообразий класса С10  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

Карнаухов В. М. Использование двух и более попыток для решения 
одного задания теста  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208

Солонина А. Г., Филичева Н. П. Модернизация методов открытого 
персонализированного обучения алгебре в фазе лабилизации  . . . . . . . . . . . . .214

Философские науки

Колесников М. А. Философское понятие «мировоззрение»: 
исторический анализ эволюции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

Безуглова Н. П. Культурные стили и межкультурные взаимодействия . . . . . . .228

СОДЕРЖАНИЕ

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

Романова Н. В. Кукла в культуре постмодернизма: 
сущность эстетической эволюции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

Исторические науки

Лисейцев Д. В. Административно-финансовая реформа правительства 
Бориса Годунова и оформление четвертных приказов в Московском 
царстве конца XVI в.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

Колесникова Е. А. Место и роль выборного начала в процессах 
эволюции системы государственного управления России в XVI–XVII вв. . . . . . .253

Маландин В. В. Влияние византивизма на церковно-государственные 
отношения в допетровской России  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

Рафалюк О. Е. Два века русской культуры в восприятии 
современников и потомков   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271

Аксенова Г. В. «Великокняжеская, царская и императорская охота 
на Руси» Н. И. Кутепова – шедевр русского книгоиздания  . . . . . . . . . . . . . . . . .276

Малова Т. В. Апология романтизма: внутри Ар Деко и рядом с ним . . . . . . . . .283

Правдиковская Е. Н. «Общины сестер милосердия» в культуре России  . . . . .291

Стерин Е. Ф. Ликуд во главе с Нетаньяху – предвыборная гонка 
и борьба за электорат на выборах 1999 г.   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295

Филологические науки

Билялова А. А. Факультативность: тенденция или ошибка?  . . . . . . . . . . . . . . .302

Иосифова В. Е. Побудительные высказывания, выражающие требование . . .308

Назари Фатеме. Средства выражения приказа и просьбы 
в русском языке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314

Ли Сэ Бом. Проблема передачи русских антропонимов средствами 
корейского языка (на материале стихотворений в прозе И. С. Тургенева)  . . . .319

Шумбасова С. С. Этимология и семантика фитонима rose  . . . . . . . . . . . . . . . .327

Ощепков А. Р. Россия в литературном сознании 
наполеоновской Франции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334

Комаров С. Г. Своеобразие драмы-притчи в британской литературе 
второй половины ХХ века. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339

Боголюбова В. П. Творчество немецкой писательницы Кирстен Бойе: 
детские романы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .347

Социологические науки

Пархаев А. А. Социально-управленческие проблемы взаимодействия 
в современной организации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357

Халина А. А. Процесс развития и модели формирования 
управленческих команд в организации. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361

Культурология

Бороноева Д. Ц. Социокультурный облик современного Улан-Батора . . . . . . .368

Сведения об авторах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376

4/ 2010

196

Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

SCIENCE, EDUCATION AND TECHNIQUES

Innovational Processes in Education

Sanina E. I., Maskaeva A. M. Variable Training as One of the Areas 
of Education Modernization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Katurzhevskaya O. V. Higher Education Inside Education Quality 
Control System  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

Ovakimyan U. O., Nass O. V. Place of Electronic Educational Resources 
in Training as Exemplified by the Credit Education System  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Modern Educational Issues

Gorshkova M. A. Future Teacher’s Active Professional Position 
and Preconditions for its Development in the Educational Space. . . . . . . . . . . . . . . . .26

Khasanov B. E. Uzbekistan’s International Cooperation for Improving 
Teaching Staff’s Qualification  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Educational Topics and Techniques

Tamozhnyaya E. A. Implementing Competence Approach in Methodological 
Training of the Modern Geography Teacher  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Kiyamova I. B., Letyagin A. A. Using Modern Teaching Means 
in Geography Teacher Training (Based on the Results of Remote Sensing 
of Earth). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Namakanov B. A. Neurophysiological and Neurobiological Basis of Pedagogy. . . . .48

Education and Art Creativity

Zolotareva L. R. Art Criticism, Culture Studies and Pedagogy Aspects 
of the «Artistic World View». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

Popova E. V. Using Mastic in Oil Painting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Makarova K. V. The Connection between the Illustration and the Text: 
Concerning Training Art Students Who Take the Supplementary Program 
“Book Graphics”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Katkhanova U. F. Analysis of Educational Resources from the Point 
of View of Pedagogical Design  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

Kulevskaya E. S. To the Problem of Developing Bachelors’ Graphic 
Competence in Distance Learning of Mathematical Information Processing  . . . . . . . .86

Podgorneva E. V. Developing Design Students’ Information Competency 
within Museum Practice Didactic Model  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Azhgikhin S. G. Active Methods for Teaching Planning in Graphic Design  . . . . . . . .96

Semionov D. I. Peculiarities of Choosing Software for Teaching Design 
Students Publishing Layout Rules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

Gurvits V. N. Developing Senior Preschoolers’ Creativity 
in Art Design Classes  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

Fadeyeva E. R. Developing Senior Preschoolers’ Cognitive Activity 
in Art Classes  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

PHILOSOPHY AND HISTORY OF EDUCATION

Yanchenko V. D. Scientific Potential of the History of the Russian Language 
Teaching Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

Zhang Lixing. On History of Pre-School Education in China  . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

LANGUAGE AND EDUCATION

Avetisyan J. D. Motivation and Communication in Foreign Language 
Distance Learning  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

Ignatenko I. I. Directions of Foreign Language Preparation 
for Business Communication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Bragina N. V. The Milestones of Russian Language Learning 
in the United Kingdom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

Ali Anwar A. The Methodological Value of Comparative Analysis 
of Languages and its Role in Foreseeing Difficulties of Learning Russian 
as a Foreign Language  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

Tupenko N. A. Teaching Foreign Students Introductory Modal Words 
and Phrases as Means of Subjective Modality in the Scientific Style of Speech  . . . .165

Agatangelou E. Pronunciation Development in Bilingual Children 
from Greek-Russian Intermarriages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

PSYCHOLOGY AND EDUCATION

Shadrikov V. D., Zinovieva N. A., Kuznetsova M. D., Morov M. D.  
Development Dynamics of Primary Schoolchildren’s Cognitive Abilities 
and Personal Qualities in Different Educational Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

Makarova K. V., Tallina O. A. Abilities Development: Agent Position 
and Personal Aspects  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

FUNDAMENTAL SCIENCE TO HIGHER EDUCATION INSTITUTIONS

Physics and Mathematics

Rustanov A. R. Curvature Identities of Almost Contact Metric Varieties 
of the С10 Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

Karnaukhov V. M. Using Two and More Attempts in Doing One Test Task . . . . . . .208

Solonina A. G., Filicheva N. P. Modernizing Methods of Open Personalized 
Algebra Teaching in the Labilization Phase  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

Philosophy

Kolesnikov M. A. Philosophical Concept of “World View”: 
A Historical Analysis of Its Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

Bezuglova N. P. Cultural Styles and Intercultural Interactions  . . . . . . . . . . . . . . . . .228

Romanova N. V. Doll in the Culture of Postmodernism: Essence 
of the Aesthetic Evolution  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236

4/ 2010

198

Преподаватель XXВЕК

CONTENTS

History

Liseitsev D. V. Administrative and Financial Reform of Boris Godunov’s 
Government and Development of Chetvertnie Prikazi in the Moscow 
Kingdom at the End of the 16th Century. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

Kolesnikova E. A. Position and Role of the Electoral Element 
in the Evolution Processes of the State Management System in Russia 
in the 16-17th Centuries  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

Malandin V. V. Impact of Byzantism on Church and State Relations 
in Russia before Peter the Great. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265

Rafaluk O. E. Two Centuries of Russian Culture as Perceived 
by Contemporaries and Descendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271

Aksyonova G. V. “Grand Duke, Tsar and Emperor Hunting in Russia” 
by N. I. Kutepov – a Masterpiece of Russian Book Publishing. . . . . . . . . . . . . . . . . .276

Malova T. V. Apology of Romanticism: Inside and Around Art Deco  . . . . . . . . . . . .283

Pravdikovskaya E. N. “Communities of Sisters of Charity” 
in the Russian Culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

Sterin E. F. Likud Led by Netanyahu – Pre-Election Race and Fight 
for Electorate at the Elections of 1999  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .295

Philology

Bilyalova A. A. Optionality: Tendency or a Mistake?  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302

Iosifova V. E. Imperative Sentences Expressing Demand  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308

Nazari Fateme. Means of Expressing Order and Request in Russian  . . . . . . . . . . .314

Lee Seh Bom. The Problem of Expressing Russian Antroponemes 
in Korean (exemplified by poems in I. S. Turgenev’s prose) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .319

Shumbasova S. S. Etymology and Semantics of the Word “Rose”  . . . . . . . . . . . . .327

Oshchepkov A. R. Russia in the Literary Conscience 
of the Napoleonic France  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .334

Komarov S. G. Specific Features of the Parable Play in the British Literature 
of the Late 20th Century  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339

Bogolubova V. P. German Writer Kirsten Boie and Her Books for Children  . . . . . .347

Sociology

Parkhaev A. A. Social Administrative Problems of Interaction 
in a Modern Company . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357

Khalina A. A. A Company’s Management Teams Development Process 
and Formation Models. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361

Culturology

Boronoeva D. Ts. Social and Cultural Image of the Contemporary Ulan-Bator . . . .368

Information about the authors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .376

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

В 

данной работе мы рассматриваем интересный класс почти контактных метрических структур, который является естественным обобщением косимплектических структур. Этот класс многообразий в классификации Чинея и 
Гонзалеза [1] обозначается как АС-многообразия класса С10 и характеризуется 
тождеством:

(1)
( )(
)
( )
( )(
)
( )
( )
( )
M
X
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Z
Y
X
Y
X
∈
∇
−
Φ
∇
−
=
Ω
∇
Φ
,
,
  ;
,
η
η
η
η
 .

Поскольку 

( )(
)
( )
( )
>
∇
=   <
∇
>
Φ
∇
<
−
=
Ω
∇
ξ
η
X
X
X
X
Y
Y
Z
Y
Z
Y
,
 ,
,
,

и  ( )
>
=  <
X
X
,
ξ
η
, 
то тождество (1) можно переписать в виде: 

(2)
( )
( )
( )
( )
M
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
∈
∇
+
Φ
∇
=
Φ
∇
Φ
,
  ;
ξ
η
η
ξ
.

Положим в (2) Х = ξ, тогда

( )
( )
M
X
Y
Y
∈
∀
=
Φ
∇
 ,0
ξ
(3)

В частности, 
( )
0
=
Φ
∇
ξ
ξ
. А значит, шестой структурный тензор для данного 
класса многообразий равен нулю 
( )
0
=
Φ
∇
Φ
=
ξ
ξ
G
 [2], [3]. С учетом (3) для 
третьего структурного тензора имеем 

ТОЖДЕСТВА КРИВИЗНЫ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ 
МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С10

А. Р. Рустанов

Аннотация. На основе дополнительных свойств на тензор римановой кривизны в 
работе выделены классы почти контактных метрических многообразий класса 
С10. Получена полная классификация выделенных классов, а также некоторые 
тождества тензора римановой кривизны.

Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, косимплектическое многообразие, тензор римановой кривизны.

Summary. The article singles out classes of almost contact metric varieties of the С10 class 
for the tensor of the Riemannian curvature on the basis of additional properties. The author presents a full classification of the allocated classes, as well as some identities of the 
tensor of the Riemannian curvature.

Keywords: almost contact metric varieties, cosymplectic diversity, tensor of the Riemannian curvature.

/ 2010

200

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

( )
( )
( )
{
}

( )
( )
{
}
( ),
2
1
      
          
          
          

2
2
4
1

2

2

2

2

X
F

X
D

X
X

X
X

=
Φ
∇
Φ
−
Φ
∇
Φ
=

=
Φ
∇
Φ
−
Φ
∇
Φ
=

Φ
Φ

Φ
Φ

ξ
ξ

ξ
ξ

то есть ( )
( )
X
F
X
D
=
.
Теперь положим в (2) Y = ξ, тогда 

( )
( )
ξ
ξ
ξ
ξ
η
ξ
ξ
ξ
ξ
X
X
X
X
X
Φ
Φ
∇
+
∇
Φ
=
∇
+
Φ
∇
=
Φ
∇
,
, 

то есть
(4)
( )
( )
M
X
X
X
X
∈
∀
∇
=
Φ
∇
Φ
 ,
ξ
ξ
.

В (2) сделаем замену Y → ФY, тогда получим

(5)
( )(
)
( )
( )
M
X
Y
X
X
Y
Y
X
∈
∀
Φ
∇
=
Φ
Φ
∇
Φ
,
  ,
η
ξ
.

Подействуем оператором Ф на обе части тождества (5). Тогда получим

(6)
( )(
)
( )
M
X
Y
X
Y
X
∈
∀
=
Φ
Φ
∇
Φ
,
  ,0
.

Из (6) и аналитических выражений структурных тензоров АС-структуры [2; 
3] следует, что первый и второй структурные тензоры данного класса многообразий нулевые, то есть

(
)
(
(
)
)
( )(
)
{
}

(
()
)
( )(
)
{
}

(
)
(
(
)
)
( )(
)
{
}

(
()
)
( )(
)
{
}
.0
8
1
     
          

8
1
,

;0
8
1
     
          

8
1
,

2

2

2

2

2
2
2

2

2
2
2

2

=
Φ
Φ
∇
Φ
+
Φ
Φ
∇
Φ
−

−
Φ
Φ
∇
Φ
+
Φ
Φ
∇
Φ
−
−
=

=
Φ
Φ
∇
Φ
−
Φ
Φ
∇
Φ
−

−
Φ
Φ
∇
Φ
+
Φ
Φ
∇
Φ
−
=

Φ
Φ

Φ
Φ

Φ
Φ

Φ
Φ

X
X

X
X
Y
X
C

X
X

X
X
Y
X
B

Y
Y

Y
Y

Y
Y

Y
Y

Вычислим компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма. На пространстве присоединенной G-структуры тождество (2) примет вид: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7)
l
k

i
l
j
l
k
j
l
i
i
k
j
Φ
+
Φ
=
Φ
, 
,
,
ξ
η
η
ξ
.
Из (7) имеем:

.0
 
8  )
   
;0
 
7  )
   
;0
 
6  )

;0
 
5  )
   
;
 
4  )

;
 
3  )
   
;0
 2  ) 
   
;0
 
1  )

0
,ˆ
0
ˆ,
ˆ
ˆ,0
,0
ˆ
0,
0,ˆ

0
0,
ˆ
0,0
0
0,ˆ
0,0
0
ˆ,ˆ
0
ˆ,ˆ

0
,
0
,
ˆ,ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ,
,ˆ

=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ

=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
Φ
−
=
Φ

Φ
−
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ

b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b

a
a
a
a
b
a
a
b

a
b
b
a
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b

(8)

Проводя обратные рассуждения, убеждаемся в справедливости следующих 
предложений.

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

Предложение 1. На пространстве присоединенной G-структуры компоненты 
ковариантного дифференциала структурного оператора AC-структуры класса С10 
имеют вид:

. 
 
4  )
   
;
 
3  )
 

;0
 
 
2  )

;0
 
 
1  )

0
ˆ,ˆ
0
ˆ,ˆ
0
,
0
,

0
,ˆ
0
ˆ,
ˆ
ˆ,0
,0
ˆ
0,
0,ˆ

0
0,
ˆ
0,0
0
0,ˆ
0,0
ˆ,ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ,
,ˆ

b
a
a
b
a
b
b
a

b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b

a
a
a
a
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b

Φ
−
=
Φ
Φ
−
=
Φ

=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ

=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
=
Φ

Предложение 2. Пусть S = (Φ, ξ, η, g) – AC-структура класса С10 на многообразии 
М. Тогда справедливы следующие тождества:

( )
( )
( )
( )
( )

( )(
)
(
()
)
( )(
)

(
()
)
(
()
)
( )(
)
(
()
)

( )(
)
( )
( )
( ).
,
 
0  ;
X
Y
 
9  )

 ;
         
          
          
          

 
)
8 

;
        
          
          
          

 
7  )

 ;
 
6  )

;
 
5  )
   
;
 
4  )

;0
 
;0
 
2  ) 
3) 
   
;0
 
1  )

Y

2

2
2
2

2
2

2
2

2

2

2

2
2

2

M
X
Y
X

X

X
X
X

X

X
X
X

X

X

Y

Y
Y
Y

Y

Y
Y
Y

X
X

X
X
X
X

∈
=
Φ
Φ
∇
+
Φ
Φ
∇

Φ
Φ
∇
Φ
+

+
Φ
Φ
∇
Φ
+
Φ
Φ
∇
Φ
=
Φ
Φ
∇
Φ

Φ
Φ
∇
Φ
+

+
Φ
Φ
∇
Φ
+
Φ
Φ
∇
Φ
=
Φ
Φ
∇
Φ

Φ
∇
Φ
−
=
Φ
∇
Φ

∇
Φ
−
=
∇
∇
=
Φ
∇

=
∇
=
Φ
∇
=
Φ
∇

Φ
Φ

Φ

Φ
Φ
Φ

Φ

Φ
Φ
Φ

Φ
Φ

Φ
Φ

ξ
ξ

ξ
ξ
ξ
ξ

ξ
ξ
ξ
ξ
ξ

Приведем доказательство свойства (9). Поскольку 
0
 ,0
 ,0
0
,ˆ
ˆ
,ˆ
,ˆ
=
Φ
=
Φ
=
Φ
c
b
a
c
b
a
c
b
, 

то есть 
0
,ˆ
=
Φi
c
b
, то есть 
( )
0
ˆ =
Φ
∇
b
c
ε
ε
. Так как { }
a
ε
 и { }
aˆ
ε
 являются базисами под
пространств 
1
−
Φ
D
 и 
1
−
−
Φ
D
, а проекторами на эти подпространства являются про
екторы 
(
)
Φ
−
+
Φ
−
=
1
2
1
2
π
 
и 
(
)
Φ
−
+
Φ
−
=
1
2
1
2
π
, 
соответственно, 
то 

( ()
)
0
1
2
1
2
=
Φ
−
+
Φ
−
Φ
∇
Φ
−
+
Φ
Y
Y
X
X
. Выделяя действительную и мнимую части, 

получим равенства, эквивалентные следующему:

(9)
( )
( )
( )
M
X
Y
X
Y
Y
X
X
∈
=
Φ
Φ
∇
+
Φ
Φ
∇
Φ
Φ
,
 ;0
2
2

.
Применяя описанную процедуру восстановления тождества [3; 4] к равенству 

0
,
0
,
a
b
b
a
Φ
−
=
Φ
, получим 

(10)
( )
( )
( )
( )
( )
M
X
Y
X
X
Y

X
Y

Y
X

Y
X
∈
Φ
Φ
∇
+
Φ
Φ
∇
=

=
Φ
Φ
∇
+
Φ
Φ
∇

Φ
Φ

Φ
Φ
,
 ;

2
2
2
2

.

/ 2010

202

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Из (9) и (10) следует 
( )
( )
( )
M
X
Y
X
X
Y
Y
X
∈
=
Φ
Φ
∇
+
Φ
Φ
∇
Φ
Φ
,
 ;0
. Что и требовалось доказать.
Предложение 3. Пусть S = (Φ, ξ, η, g) – AC-структура на многообразии М. 
Тогда следующие утверждения равносильны:
(1) S – AC-структура класса С10;
(2) В = С = D0 = E = F0 = G = 0;
(3) S – AC-34-структура.
Согласно сказанному структурный тензор F имеет вид:

( )
( )
( )
M
X
X
X
F
X
X
X
∈
−   ∇
=
∇
Φ
−
=
Φ
∇
Φ
=
Φ
Φ
  ;
2
ξ
ξ
 ξ
.
(11)

Назовем тензор 
( )
( )
M
X
X
X
F
X
∈
−   ∇
=
  ;
ξ
 структурным тензором АСструктуры класса С10. Этот тензор обладает свойствами:

( )
( )

( )
( )
( ).
,
 ;0
 
4  )
  ;
 )
3

;
,
,
 
2  )
  ;
 )1

2
M
X
Y
X
F
X
F
X
F

Y
F
X
Y
X
F
F
F

∈
=
−
=
Φ

−
=
Φ
−
=
Φ

η
.
(12)

Матрица 
структурного 
тензора 
на 
пространстве 
присоединенной 
G-структуры имеет вид: 

( )
⎟⎟
⎟

⎠

⎞

⎜⎜
⎜

⎝

⎛
=
0
0
0
0
0
0
0

a  b

a  b
i
j
F
F
F
.

Предложение 4. AC-структура класса С10 является косимплектической 

структурой тогда и только тогда, когда 
0
=
=
a  b
a  b
F
F
, то есть ( ) 0
=
X
F
, то есть 

0
=
∇
ξ
X
.

Предложение 4 дает примеры АС-многообразий класса С10. Пример 3-х мерного АС-многообразия класса С10 приведен в работе [1].
С учетом вышеизложенного первая группа структурных уравнений АСмногообразий класса С10 на пространстве присоединенной G-структуры примет вид:

,
 
3  )

;
 
2  )

;
 
1  )

ω
ω
ω
θ
ω

ω
ω
ω
θ
ω

ω
ω
ω
ω
ω

∧
+
∧
=

∧
+
∧
−
=

∧
+
∧
=

b
a  b
b
b
a
a

a
a  b
b
a
b
a
b
a
a  b
b
a
a  b

F
d

F
d

F
F
d

(13)

где 

.
  ,

,
  ,
1
  ,
1
0
,
0
ˆ,ˆ

b  a
a  b
b  a
a  b

a  b
a  b
b
a
a  b
b
a
a  b

F
F
F
F

F
F
F
F

−
=
−
=

=
Φ
−
−
=
Φ
−
=

(14)

Стандартная процедура дифференциального продолжения дает нам вторую 
группу структурных уравнений АС-многообразия класса С10:

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

.0
 
2  )

;
 
1  )

=
−
−

∧
=
∧
+
∧
+

c
b
a  c
c
a
c  b
a  b

d
c
ad
b  c
d
c
b  c
ad
c
b
a
c
a
b

F
F
d  F

A
F
F
d

θ
θ

ω
ω
ω
ω
θ
θ
θ

(15)

Таким образом, имеют место следующие теоремы.
Теорема 1. Структурный тензор АС-многообразия класса С10 параллелен в первой 
канонической связности.
Дифференцируя внешним образом (15:1), получим:

.
  
          
          
          
          
          
h
adh
b  c
h
a  d
bch

h
c
a  d
b  h
h
b
a  d
h  c
d
h
a  h
b  c
a
h
h  d
b  c
a  d
b  c

A
A

A
A
A
A
d  A   

ω
ω

θ
θ
θ
θ

+
=

=
−
−
+
+

(16)

При этом получим следующее тождество:

[
[
(
)
]
0
 
=
−
d
h
c
b
a  h
a  h
c
b
F
F
F
A
.
(17)

Назовем тождество (17) первым фундаментальным тождеством АС-многообразий 
класса С10.
Теорема 2. Полная группа структурных уравнений АС-структуры класса С10 на 
пространстве присоединенной G-структуры имеет вид:

(
)

,
 
7  )

;0
 
6  )

;0
  
5  )

;
 
4  )

;
 
3  )

;
 
2  )

;
 
1  )

h
adh
b  c
h
a  d
bch
h
c
a  d
b  h
h
b
a  d
h  c
d
h
a  h
b  c
a
h
h  d
b  c
a  d
b  c

c
b
a  c
c
a
c  b
a  b

b
c
a  c
a
c
c  b
a  b

d
c
b  c
a  d
a  d
b  c
c
b
a
c
a
b

b
a  b
b
b
a
a

a
a  b
b
a
b
a
b
a
a  b
b
a
a  b

A
A
A
A
A
A
d  A

F
F
d  F

F
F
d  F

F
F
A
d

F
d

F
d

F
F  
d

ω
ω
θ
θ
θ
θ

θ
θ

θ
θ

ω
ω
θ
θ
θ

ω
ω
ω
θ
ω

ω
ω
ω
θ
ω

ω
ω
ω
ω
ω

+
=
−
−
+
+

=
−
−

=
+
+

∧
−
=
∧
+

∧
+
∧
=

∧
+
∧
−
=

∧
+
∧
=

(18)

где { }
a  d
b  c
A
 – глобально определенная система функций на пространстве присоединенной G-структуры, симметричная по верхним и нижним индексам.
Для тензорных компонент формы римановой связности на пространстве 
присоединенной G-структуры имеют место следующие соотношения [3]:

 .
1
 
6  )
  
;
1
 
5  )
  
;
1
 
4  )

;
1
 
3  )
  
;
2
1
 
2  )
  ;
2
1
 
1  )

0
,ˆ
0
ˆ
0
,
0
ˆ
,0
ˆ
0

,0
0
ˆ
,
ˆ
,ˆ
ˆ

k
k
a
a
k
k
a
a
k
a
k
a

k
a
k
a
k
a
k
b
a
b
k
a
k
b
a
b

ω
θ
ω
θ
ω
θ

ω
θ
ω
θ
ω
θ

Φ
−
=
Φ
−
−
=
Φ
−
−
=

Φ
−
=
Φ
−
−
=
Φ
−
=

(19)

/ 2010

204

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Для АС-многообразий класса С10 соотношения (19) примут вид:

 .
 
 
4  )

;
 
3  )
  ;0
 
2  )
  ;0
 
1  )

ˆ
0
0

0
0
ˆ
ˆ
ˆ

b
a  b
a
a

b
a  b
a
a
a
b
a
b

F

F

ω
θ
θ

ω
θ
θ
θ
θ

=
−
=

=
−
=
=
=

(20)

Продифференцировав внешним образом соотношения (20), с учетом (18) 
получим:

.
 
4  )

;
 
3  )

;0
 
2  )
   
;0
 
1  )

ˆ
0
0
0
0
ˆ

ˆ
ˆ

ω
ω
ω
θ
θ
θ

ω
ω
ω
θ
θ
θ

θ
θ

∧
+
∧
=
−
=

∧
+
∧
−
=
−
=

=
=

b
c  b
a  c
b
c
a
c  b
a
a

b
c  b
a  c
b
a
c
c  b
a
a

a
b
a
b

F
F
F
d
d

F
F
F
d
d

d
d

(21)

Напомним, что вторая группа структурных уравнений римановой связности имеет вид [3]:

l
k
i
jkl
k
j
i
k
i
j
R
d
ω
ω
θ
θ
θ
∧
+
∧
−
=
2
1
,
(22)

где { }
(
)
B  M
C
Ri
jkl
∞
⊂
 – компоненты тензора Римана-Кристоффеля.

Расписывая (22) на пространстве присоединенной G-структуры, с учетом 
(21) и (18), получим:

,
 
4  )
   
;
 
3  )

;
 
2  )
   
;
 )1

ˆ
ˆ
ˆˆ

ˆ
0
0
ˆ

c  d
a  b
a
bcd
c  d
a  b
a
d
c
b

a  d
b  c
a
d
b  c
c  b
a  c
b
a

F
F
R
F
F
R

A
R
F
F
R

−
=
−
=

=
=

(23)

плюс соотношения, полученные с учетом классических свойств симметрии тензора R. Остальные компоненты этого тензора – нулевые.
Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве присоединен
ной G-структуры вычисляются по формуле 
k
ijk
i j
R
S
−
=
, которая на простран
стве присоединенной G-структуры АС-многообразия класса С10, в силу (23), принимает вид:

,
 
2  )
   
;
2
 )1
ˆ
ˆ
0  0
c  b
a  c
b  c
a  c
a
b
b
a
b  a
a  b
F
F  
A
S
S
F
F
S
−
=
=
−
=
(24)

остальные компоненты нулевые.
Скалярная кривизна

a  b
a  b
a  b
a  b
i j
i j
F
F
A
S
g
4
2
−
=
=
χ
.
(25)

Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам: 

1) 
a  b
b  c
b
a
b
a
a
F
F
R
R
R
=
=
=
0  0
ˆ
0  0
0
0  0 
 ,0
; 

2) 
0
ˆ
0
0
0
0
=
=
=
c
a  b
c
a  b
a  b
R
R
R
; 

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

3) 
0
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
0
ˆ
0
=
=
=
c
b
a
c
b
a
b
a
R
R
R
; 

4) 
0
ˆ
0
0
0
0
=
=
=
c
b
a
c
b
a
b
a
R
R
R
; 

5) 
c
d  b
a  d
c
b
a
c
d  b
a  d
c
b
a
d  b
a  d
b
a
F
F
R
F
F
R
F
F
R
ˆ
ˆ
ˆ
0
ˆ
0
0
0
ˆ
0
 ,
 ,
ξ
ξ
ξ
−
=
−
=
−
=
; 

6) 
b  c
d  a
d
abc
b  c
a
d
d
abc
b  c
a
abc
F
F
R
F
F
R
F
F
R
−
=
−
=
−
=
ˆ
ˆ
0
0
 ,
 ,
; 

7) 
c
d
a  b
d
c
a  b
d  c
a  b
d
c
a  b
ñ
a  b
c
a  b
A
R
A
R
A
R

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
0
ˆ
  ,
  ,
=
=
=
; 

8) 
0
  ,0
  ,0
ˆ

ˆˆ
ˆˆ
0
ˆˆ
=
=
=
d
c
b
a
d
c
b
a
c
b
a
R
R
R
, получим следующую теорему.

Теорема 
3. 
Тензор 
Римана-Кристоффеля 
АС-многообразия 
класса 
С10 
удовлетворяет следующим тождествам:

(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )

( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ).
,
,
 ;
       

,
2
,
2
         
          

,
,
,
,
 
8  ) 

;
,
2
       
          
          
          
          

,
,
4
  
          

,
,
,
,
 
7)

;
,
2
,
2
        
          
          
         
          
          

,
,
,
,
 
6)

;
,
2
,
,
 
5  )

;
,
,
 
4  )

;
,
,
 
3  )

2)
;
,
,
 

;
,
 
1)

2
2

2
2

2
2

2

2

2
2

2
2

2

M
X
Z
Y
X
X
F
Z
Y
Y
F
Z
X

Z
F
X
F
Y
Z
F
Y
F
X

Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R

Z
F
Y
F
X

X
F
Z
Y
Y
F
Z
X
Y
X
Z
A

Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R

Y
F
X
Z
F
Y
F
X
Z
F

X
F
Z
Y
Y
F
Z
X

Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R

X
F
Y
F
X
F
Y
Y
X
R
Y
X
R

X
F
Y
Y
X
R
Y
X
R

X
F
Y
Y
F
X
Y
X
R
Y
X
R

X
F
Y
Y
F
X
Y
X
R
Y
X
R

X
F
X
R

∈
∀
−
+

+
−
=

=
Φ
Φ
−
Φ
Φ
+
Φ
Φ
+

+

+
−
+
=

=
Φ
Φ
+
Φ
Φ
−
Φ
Φ
+

Φ
Φ
+
−

−
−
=

=
Φ
Φ
−
Φ
Φ
−
Φ
Φ
−

+
=
Φ
Φ
+

=
Φ
Φ
−

−
=
Φ
Φ
+

−
=
Φ
Φ
−

=

η
η
η
η

ξ  η
ξ  η

ξ  η

η
η
η
η

η
η
η
η

ξ
η
ξ
ξ

η
ξ
ξ

η
η
ξ
ξ

η
η
ξ
ξ

ξ
ξ

(26)

Назовем тождество (26:1) первым тождеством кривизны АС-многообразий 
класса С10.
Определение 1. Скажем, что АС-многообразие класса С10 является 
многообразием класса R1, если (
)
( )
M
X
X
X
R
∈
∀
=
 ;0
,
ξ
ξ
.
Теорема 4. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R1 тогда 
и только тогда, когда 
( )
( )
M
X
X
X
F
∈
∀
=
 
0  ;
2
.
Теорема 5. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R1 тогда 
и только тогда, когда оно является косимплектическим многообразием.

/ 2010

206

Преподаватель XXВЕК

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ НАУКА ВУЗАМ

Доказательство. Пусть М – АС-многообразие класса С10, являющееся многообразием класса R1. Тогда 
( )
( )
M
X
X
X
F
∈
∀
=
 
0  ;
2
. С другой стороны, 

( )
( )
Y
F
X
Y
X
F
,
,
−
=
, значит 
( )
( )
( )
0
,
,
2
=
−
=
Y
X
F
Y
F
X
F
. В частности, 

( )
( )
M
X
X
X
F
∈
∀
=
 ,0
2
, то есть ( ) 0
=
X
F
, то есть 
( )
M
X
X
X
∈
∀
=
∇
 ,0
ξ
. Кроме того, согласно (8) имеем 
0
=
Φ
∇
, то есть 
0
 ,0
=
∇
=
Φ
∇
ξ
. Итак М – косимплектическое многообразие.
Обратно, если М – косимплектическое многообразие, то 
0
=
∇ξ
, а значит 

( ) 0
=
X
F
, то есть 
( )
( )
M
X
X
X
F
∈
∀
=
 
0  ;
2
. Тогда по теореме 1, М – многообразие класса R1. Ч.т.д.
При выводе тождества (26:5) мы получаем промежуточный результат:

(
(
)
)
( )
( )
( )
M
X
Y
X
X
F
Y
F
Y
X
R
Y
X
R
∈
=
Φ
Φ
=
Φ
Φ
,
 ;
,
,
,
2
2
ξ
ξ
ξ
.
(27)

Назовем тождество (27) вторым тождеством кривизны АС-многообразий 
класса С10.
Определение 2. С10-многообразие назовем многообразием класса R2, если 
выполнено 

(
(
)
)
( )
M
X
Y
X
Y
X
R
Y
X
R
∈
∀
=
Φ
Φ
=
Φ
Φ
,
 ;0
,
,
2
2
ξ
ξ
.

Пусть АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R2 тогда 

согласно определению 2 
( ) ( )
( )
M
X
Y
X
X
F
Y
F
∈
∀
=
,
 ;0
,
, то есть с учетом (12), 

( )
( )
M
X
Y
X
X
Y
F
∈
∀
=
,
 ;0
,
2
, то есть 
0
2 =
F
. Таким образом, многообразие 

согласно теореме 1 является многообразием класса R1.
Очевидно, что всякое многообразие класса R1 является многообразием 
класса R2, то есть мы доказали следующую теорему.
Теорема 6. С10-многообразия класса R1 и класса R2 совпадают.
При выводе тождества (24:6) мы получим промежуточный результат:

(
(
(
(
)

)
)
)

( )
( )

( )
( )
( ).
,
,
 ;
,
2

,
2
,

,
,
,

2

2
2
2
2
2

M
X
Z
Y
X
Y
F
X
Z
F

Y
F
X
Z
F
Z
Y
X
R

Z
Y
X
R
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R

∈
Φ
Φ
+

+
=
Φ
Φ
Φ
−

−
Φ
Φ
Φ
−
Φ
Φ
Φ
−
Φ
Φ
Φ

(28)

Тождество (28) назовем третьим тождеством кривизны АС-многообразий 
класса С10.
Определение 3. С10-многообразие назовем многообразием класса R3, если 
выполнено следующее тождество

(
(
(
(
)
)
)
)
( ).
,
,
 ;0
,
,

,
,

2
2

2
2
2
2

M
X
Z
Y
X
Z
Y
X
R
Z
Y
X
R

Z
Y
X
R
Z
Y
X
R

∈
=
Φ
Φ
Φ
−
Φ
Φ
Φ
−

−
Φ
Φ
Φ
−
Φ
Φ
Φ

(29)

Предложение 5. АС-многообразий класса С10 является многообразием класса R3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры 

0
=
c  d
a  bF
F
.

4 / 2010
Преподаватель XXВЕК

Физико-математические науки

Пусть теперь АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R3 

тогда согласно предложению 5 
0
=
c  d
a  bF
F
, то есть 
0
=
c  d
a  bF
F
. Из последнего ра
венства получим, в частности, что 
0
,

2
=
=
∑
a  b
a  b
b
a
a  b
F
F 
F
, откуда следует, что 

0
=
a  b
F
. И согласно предложению 4 многообразие является косимплектическим 

многообразием. Легко видеть, что косимплектическое многообразие является С10
многообразием класса R3. Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 7. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса R3 тогда 
и только тогда, когда оно является косимплектическим. А значит, АС-многообразие 
класса С10, являющееся многообразием класса R3, также является многообразием 
класса R1.
Используя известную классификацию косимплектических многообразий, 
можно сформулировать следующую основную теорему, дающую полную классификацию АС-многообразий класса С10, являющихся многообразиями класса R1.
Основная теорема. АС-многообразие класса С10 является многообразием класса 
R1 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно одному из следующих 
многообразий:
1) произведению комплексного евклидова пространства на вещественную 
прямую;
2) произведению комплексного проективного пространства на вещественную 
прямую;
3) произведению комплексного гиперболического пространства на вещественную 
прямую;
4) произведению двумерного многообразия на вещественную прямую.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
Chinea D., Gonzalez C. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica 
pura ed applicata (IV). – CLVI. – 1990. – P. 15–36.
2. 
Кириченко В. Ф., Дондукова Н. Н. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур // Математические заметки. – Т. 80. – Вып. 2. – 2006. – С. 209–
219.
3. 
Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. – М.: 
МПГУ, 2003. – 495 с.
4. 
Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р. Дифференциальная геометрия квази-сасакиевых многообразий // Математический сборник. – Т. 193. – № 8. – С. 71–100.
5. 
Kiritchenko V. F. Sur le géométrie des variétés approximativement cosymplectiques // Acad C. R. 
Sci. – Paris. Sér. I. Math. 1982. – V. 295. – P. 673–676. ■