Практикум по математическим основам информатики. Ч. 1. Системы счисления. Двоичная арифметика. Представление чисел в памяти ЭВМ

московский 

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 
ГОРНЫЙ 
УНИВЕРСИТЕТ 

Р Е Д А К Ц И О Н Н Ы Й 

С
О
В
Е
Т 

Председатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 

Зам. председателя 

ЛХ. 
ГИТИС 

Члены 
редсовета 

ИВ. ДЕМЕНТЬЕВ 

АЛ. ДМИТРИЕВ 

Б.А. КАРТОЗИЯ 

M B. КУРЛЕНЯ 

В.И ОСИПОВ 

э.м. 
СОКОЛОВ 

КН. ТРУБЕЦКОЙ 

В.В. ХРОНИН 

В А. ЧАНТУРИЯ 

Е.И. ШЕМЯКИН 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

ректор 
МГГУ, 
чл. -корр. 
РАН 

директор 
Издательства 
МГГУ 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАЕН 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

академик 
МАН 
ВШ 

академик 
РАН 

профессор 

академик 
РАН 

академик 
РАН 

А.Л. Мейлахс 

ЧАСТЬ 1 

Системы 
счисления. 
Двоичная 
арифметика. 
Представление 
чисел в памяти 
ЭВМ 

А 

П О 
М А Т Е М А Т И Ч Е С К И М 

О
С
Н
О
В
А
М 

ИНФОРМАТИКИ 

Допущено 
Учебно-методической 
комиссией по специальности 
«Управление и информатика 
в технических системах» 
в качестве методических 
указаний для студентов вузов, 
обучающихся по направлению 
подготовки инженеров 651900 
«Автоматизация и управление» 
специальности 210100 
«Управление и информатика 
в технических системах» 
и направлению подготовки 
бакалавров 550200 
«А втоматизация 
и управление» 

МОСКВА 

ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО 
У Н И В Е Р С И Т Е Т А 

2004 

УДК 519.6:622 
ББК 22.131 
М41 

Экспертиза проведена 
Учебно-методической комиссией по специальности 210100 
«Управление и информатика в технических системах» 
Московского государственного горного университета 
(выписка из протоколам 1 от 05.09.2003) 

Книга соответствует 
«Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для 
взрослых СанПиН 1.2.1253—3», утвержденным Главным 
санитарным врачом России 30 марта 2003 г. 

Мейлахс А.Л. 

М41 
Практикум по математическим основам информатики: 
Метод, указания. — М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2004. — Ч. 1: Системы 
счисления. Двоичная арифметика. Представление чисел в 
памяти ЭВМ. — 63 с. 

Даны материалы практических занятии по темам «Системы счисления, 
применяемые в ЭВМ», «Арифметические операции над двоичными числами», 
«Представление чисел в памяти ЭВМ». Материал практических занятий изложен 
в форме, позволяющей студенту самостоятельно изучить его, познакомиться с 
примерами, выполнить упражнения, проверить правильность их выполнения. 

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки инженеров 651900 «Автоматизация и управление» специальности 
210100 «Управление и информатика в технических системах» и направлению 
подготовки бакалавров 550200 «Автоматизация и управление». 

УДК 519.6:622 
ББК 22.131 

© А.Л. Мейлахс, 2004 
© Издательство МГГУ, 2004 
© Издательство «Горная книга», 2004 
© Дизайн книги. Издательство МГГУ, 
2004 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1. 
«СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭВМ» 
Литература: [1, 2, 3, 6] 

ВВЕДЕНИЕ В СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

Системой счисления называют совокупность правил для записи чисел с помощью определенных: символов - цифр. Все известные системы счисления подразделяют на два класса: непозиционные и позиционные. 
Для позиционных систем счисления 
характерна однозначная связь между количественным значением 
цифры и ее положением в записи числа. Классическим примером 
позиционной системы счисления является обыденная для нас 
десятичная система. 

Непозиционные системы счисления разнообразны, правила 
связывающие позицию цифры в записи числа с ее количественным значением и значением числа в целом могут быть сложны и 
неоднозначны. В силу этого недостатка непозиционные системы 
счисления практически вышли из повседневного употребления. 

• Примеры 
1. Десятичное число 1987,95 дважды содержит в своей записи цифру «9», однако, мы понимаем, что количественное значение этой цифры различно. В разряде сотен «9» имеет количественное значение 900. в разряде десятых - 0,9. Правило, связывающее количественное значение цифры и позицию в записи 
числа, не допускает разночтения. 

Запись числа в некоторой позиционной системе счисления 
является частным случаем обобщенной записи числа, рассматриваемой ниже. 

2. Сравнение десятичных чисел 103 и 45 выполняется естественно и не требует количественной оценки. Достаточно убе
- 3 

диться в том, что в записи первого числа содержится большее 
число разрядов! Непозиционные системы счисления таким достоинством не обладают. 

3. Двоичные числа содержат в своей записи лишь пару цифр 
«О» и «1», однако, любое число может быть однозначно записано 
и прочитано! Единственным недостатком является, возможно, 
значительная длина записи числа. 

4. Римский способ записи чисел является непозиционной 
системой счисления. На примере римских чисел можно проследить и основные недостатки непозиционных систем счисления. 

При записи римских чисел используется семь цифр: I - 1, V 
- 5, X - 10, L - 50, С - 100, D - 500, М - 1000 (слева в каждой 
паре указано значение цифры в десятичной системе); и огромное 
количество правил чтения. Так пара одних и тех же цифр ГХ - 9 и 

XI - 11 читается совершенно по разному, в одном случае надо 
прибавить к десяти единицу, в другом - отнять. Кроме пар цифр в 
римской записи существуют еще и тройки, четверки, например 
XXX - 30, VIII - 8. При этом не все пары, тройки и четверки цифр 
разрешены, например запрещены группы ГШ, 1ГХ. 

Перед прочтением римского числа необходимо правильно 
разбить его запись на группы цифр, что в случае длинной записи 
затруднительно. К тому же теряется связь между длиной записи и 
количественным значением числа. Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на пару римских чисел отличающихся на единицу: 

МСМХСГХ- 1999, 
ММ - 2000. 

5. Система счисления, вероятно, использовавшаяся нашими 
первобытными предками, содержала одно единственное правило: 
количественное значение числа соответствует числу сделанных 
«заметок». Так число 13 необходимо было записывать так 

- 4 

/ / / / / / / / / / / / / . 

Данная система счисления при всей примитивности правил записи является непозиционной. • 

Определим еще несколько понятий, связанных с позиционными системами счисления. Позицию цифры в записи числа в 
позиционной системе счисления именуют разрядом. Количество 
цифр применяемых при записи числа в позиционной системе 
счисления называют основанием системы счисления. 

• Примеры 

1. Десятичная система счисления построена на записи чисел 
символами десяти арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9. Их 
количественные значения очевидны. Десятичную форму записи 
числа часто называют естественной. 

2. Двоичная запись числа строится на применении двух первых арабских цифр: О, Л. 

3. Восьмеричная система счисления использует первые восемь арабских цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 

4. В шестнадцатеричной системе счисления задействованы 
все десять арабских цифр: 0, 1, ... , 8, 9, кроме того введены дополнительные цифры с количественными значениями от десяти 
до пятнадцати - заглавные буквы латинского алфавита: А - 10, 
В - 1 1 , С - 12, D - 13, Е - 14, F - 15. • 

При работе в нескольких системах счисления используют 
расширенную 
запись числа, позволяющую безошибочно определять принадлежность записи к той или иной системе счисления. В 
расширенной записи числа 

А(Р)> 

- 5 

А - запись числа, р - основание системы счисления, записываемое всегда в десятичной системе и выделяемое парой круглых 
скобок. Без указания основания системы счисления запись числа 
не может быть прочитана правильно. 

• Примеры 

1. Записи чисел 1001,101,2) и 1001,101 (Ю) совпадают, однако 
указанные к нижнем индексе в скобках основания позволяют 
определить, что первая запись сделана в двоичной системе, вторая - в десятичной, следовательно, числа различны. 

2. Запись 180,5(8), очевидно, ошибочна. Нижний индекс указывает на восьмеричную систему счисления, при этом в записи 
числа используется не применяемая цифра «8». 

3. Рассмотрим равенство 

245,2(8) = 165,25(ю). 

Пренебрежем записью оснований систем счисления в нижнем 

индексе. Полученное выражение 

245,2= 165,25 

читается привычным образом в десятичной системе, поэтому 
оказывается абсурдным. Небрежность свела ценность записи к 
нулю! • 

ОБОБЩЕННАЯ ЗАПИСЬ ЧИСЛА В ПОЗИЦИОННОЙ 

СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ 

Обобщенная запись числа в позиционной системе счисления 

с основанием р имеет вид: 

А ( Р ) =

ат

ат-\ат_2...а2аха0,а_ха_2...а_л^а_п. 
(1.1) 

- 6 

Возможные номера разрядов / принадлежат множеству целых 
чисел и ограничены количеством разрядов целой и дробной части 
числа 

n<i<m. 
(1.2) 

Обобщенная запись имеет т+\ разряд в целой части и п разрядов 
в дробной части. Целая и дробная часть числа разделены символом «,». Цифра ctj, занимающая позицию г'-го разряда, принадлежит множеству возможных цифр 

Основание системы счисления должно быть натуральным числом 
не меньшим, чем два 

Обобщенная запись числа (1.1) с условиями (1.2) - (1.4) образуют универсальное правило записи числа в любой позиционной системе счисления. 

Любую цифру в записи числа можно однозначно указать по 
номеру ее разряда. В случае необходимости номера разрядов 
записывают над цифрами. Некоторые разряды имеют собственные названия, так разряды с номерами т и 0 называют старшим 
и младшим разрядами целой части числа. Аналогично, разряды с 
номерами -1 и -и именуют страшим и младшим разрядами дробной части. Термины «старшие» и «младшие» удобно применять 
для указания на группу разрядов, соседних по отношению к 
старшему и младшему разрядам. 

Представление рационального числа в обобщенной записи 
может содержать в дробной части бесконечно большое число 
разрядов. Работа с такой записью числа требует специальных 
приемов. Бесконечно повторяющуюся в дробной части группу 

(1.3) 

р еN, 
р>2. 
(1.4) 

- / 

цифр выделяют парой круглых скобок «(», «)» и именуют периодической. 

• Примеры 
1. Запись десятичного числа 

5 4 3 2 1 0 -1-2-3 
397051,4 2 6 Гю; 

составлена десятью разрядами. Целая часть составлена шестью 
разрядами с номерами от 0 до 5, дробная - тремя разрядами с 
номерами от -1 до -3. Три старших разряда целой части заполнены цифрами 3, 9, 7. Пара младших разрядов дробной части цифрами 2, 6. Во 2 разряде - цифра 0. в -2 - цифра 2. 

2. В целой части шестнадцатеричного числа 

2 1 0 - 1 -2-3-4 -5-6-7 

\FC,A(53)N6) 
= \FC,A 5 3 53 5 З . . . п б ; 

заняты три разряда, в дробной части - бесконечное число разрядов, указать младший нельзя. Старший разряд дробной части цифра А. Пара цифр 5, 3 повторяется. В правой части равенства 
представлен альтернативный способ записи числа с повтором в 
дробной части. Символ троеточие «...» используется для указания 
на то, что запись числа не закончена. • 

Число при неизменном количественном значении может 
быть записано в различных позиционных системах счисления. 
Интерес представляют практические приемы, связанные с преобразованием записи числа из одной системы счисления в другую. 
Эти приемы именуют правшами 
перевода. 

Постановка задачи перевода числа из одной системы счисления в другую может быть символически записана 

Х(а) 
Х(Ь)> 

- 8