Методы функционального анализа в теории систем автоматического управления

Московский 
государственный 
горный 
университет 

Р Е Д А К Ц И О Н Н Ы Й 

С
О
В
Е
Т 

ИЗДАТЕЛЬСТВО 
М О С К О В С К О Г О 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 

Пр 
едседатель 

Л.А. 
ПУЧКОВ 
ректор 
МГГУ, 
чл.-корр. 
РАН 

Зам. председателя 

Л.Х. 
ГИТИС 
директор 
Издательства 
МГГУ 

Члены 
редсовета 

И. В. ДЕМЕНТЬЕВ 
академик 
РАЕН 

А. П. ДМИТРИЕВ 
академик 
РАЕН 

Б.А. КАРТОЗИЯ 
академик 
РАЕН 

М.В. КУРЛЕНЯ 
академик 
РАН 

В Н. ОСИПОВ 
академик 
РАН 

Э.М. СОКОЛОВ 
академик 
МАИ 
ВШ 

КН. 
ТРУБЕЦКОЙ 
академик 
РАН 

В. В. ХРОНИН 
профессор 

ВА. 
ЧАНТУРИЯ 
академик 
РАН 

Е.И. ШЕМЯКИН 
академик 
РАН 

А.В. Шаронов 

МЕТОДЫ 

ФУНКЦИОНАЛЬНОГО 
АНАЛИЗА 
В ТЕОРИИ СИСТЕМ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО 
УПРАВЛЕНИЯ 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области горного дела в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» (квалификация - горный 
инженер) направления подготовки дипломированных специалистов 
«Электротехника, 
электромеханика и электротехнологии» 

Высшее 

горное 
образование 

МОСКВА 
ИЗДАТЕЛЬСТВО 
МОСКОВСКОГО 
ГОСУДАРСТВЕННОГО 
ГОРНОГО 
УНИВЕРСИТЕТА 
2005 

УДК 62-50, 531.3 
ББК 22.11 
Ш25 

Экспертиза проведена Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области горного дела (письмо № 51¬
86/6 от 29.06.05 г.) 

Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям 
книжным для взрослых. СанПиН 1.2.1253—03», утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. 

Р е ц е н з е н т ы : 
• 
проф., д-р физ.-мат. наук Н.А. Парусников (кафедра «Прикладная 
механика и управление» Московского государственного университета); 

• 
проф., канд. техн. наук А.Д. Яризов (Российский государственный 
университет нефти и газа им. И.М. Губкина) 

Шаронов А.В. 

Ш 25 
Методы функционального анализа в теории систем автоматического управления: Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство Московского государственного горного университета. — 246 с : ил. 

ISBN 5-7418-0388-1 (в пер.) 

Изложены подходы, основанные на идеях и методах функционального 
анализа, к постановке и решению задач, которые возникают при анализе и 
синтезе систем автоматического управления. Даны многочисленные примеры с решениями. 

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов» (квалификация — горный инженер) направления подготовки дипломированных специалистов «Электротехника, электромеханика и 
электротехнологии». 

УДК 62-50, 531.3 
ББК 22.11 

ISBN 5-7418-0388-1 
© А.В. Шаронов, 2005 
© Издательство МГГУ, 2005 
© Дизайн книги. Издательство МГГУ, 
2005 

Предисловие 

В пособие вошли материалы семестрового курса лекций по 
дисциплине «Прикладной функциональный анализ и теория случайных процессов», относящиеся к теории линейных операторов и 
линейных функционалов, частично расширенные за счет разделов, 
наличие которых определяется традиционным содержанием курса 
функционального анализа. Указанные разделы могут быть вынесены на самостоятельное изучение. Этот курс читается автором на 
протяжении ряда лет магистрам первого года, обучающимся по направлению «Автоматизация и управление». 

Основной целью пособия является изложение на максимально 
доступном уровне с сохранением математической строгости идей и 
методов функционального анализа применительно к многочисленным задачам, возникающим в теории систем управления. 

На первый взгляд использование методов функционального 
анализа в задачах теории автоматического управления, для которых существуют хорошо разработанные и проверенные, а главное 
имеющие физическую интерпретацию подходы, не дает ничего нового. Однако это далеко не так. Действительно, традиционно применяемые классические подходы основываются на выполнимости 
ряда гипотез: 1) гипотезы о неизменности свойств управляемого 
объекта во времени; 2) гипотезы о его линейности; 3) гипотезы о 
независимости свойств от его геометрии. 

Первая гипотеза выделяет из всего класса объектов управления 
только стационарные объекты, вторая — только линейные объекты, а третья из всех стационарных объектов выделят так называемые объекты с сосредоточенными параметрами. 

Во-первых, хорошо известно, что такие объекты формализуются в рамках теории обыкновенных линейных дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами, позволяющей ввести 
понятие передаточной функции, в терминах которой осуществляется описание систем управления. Вместе с тем, любая линейная стационарная система с сосредоточенными параметрами может быть 
представлена некоторыми комбинациями только четырех элементарных блоков: усилительного, интегрирующего, апериодического 

5 

и колебательного с передаточными функциями к, —, 
и 

s 
Ts + l 

к 

соответственно. 

Изучение свойств таких систем сводится к изучению корней характеристических уравнений, связанных с собственными частотами 
систем, их устойчивостью и качеством переходных процессов. 

Во-вторых, в классической теории автоматического управления понятие передаточной функции ассоциируется с введением 
некоторых стандартных входных воздействий, таких как единичный скачок, импульс, гармоническое воздействие. Это, естественно, не позволят изучить общие свойства преобразований входных 
воздействий, принадлежащих широкому классу функций. 

При разработке современных систем автоматического управления становится все труднее обосновывать выполнимость перечисленных выше гипотез. При этом не соблюдение первой гипотезы приводит к введению обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, для которых хотя 
и существует понятие передаточных функций, но их практическое 
использование весьма ограничено из-за возникающих технических 
сложностей. 

С другой стороны, не соблюдение второй гипотезы приводит к 
введению нелинейных, обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы. В этом случае понятие передаточной функции вообще отсутствует. 

Не выполнение же третьей гипотезы приводит к необходимости рассмотрения совершенно другого класса дифференциальных 
уравнений — уравнений в частных производных, для которых введение передаточной функции становится проблематичным, хотя и 
здесь существуют интересные подходы, разработанные А.Г. Бутковским, связанные с понятием элементарного распределенного 
блока. Эти элементарные распределенные блоки по существу задают описание стандартных задач уравнений математической физики, решения которых известны и хорошо изучены. При этом основная сложность здесь заключается в создании таблиц распределенных блоков, содержащих всю информацию об их свойствах, 
которые зависят не только от уравнения в частных производных, 
но и от вида так называемых краевых условий. 
6 

Следует отметить, что если выполнимость первых двух гипотез еще как-то можно обосновать для достаточно широкого круга 
задач теории автоматического управления, то выполнимость третьей гипотезы, например, в задачах управления температурными полями внутри замкнутой поверхности, в задачах управления МГДгенераторами, в задачах управления упругими летательными аппаратами обосновать много труднее. 

От многих из указанных недостатков свободны методы функционального анализа. Эти методы позволяют, во-первых, с единых 
позиций исследовать свойства операторов систем, заданных на 
конкретных пространствах, образуемых входными воздействиями, 
и, во-вторых, формулировать и решать как задачи, для которых 
применимы классические методы, так и задачи для которых эти 
методы не применимы. Например, известно, что решение задач математической физики может быть сведено к решению соответствующих интегральных уравнений, свойства которых зависят от 
свойств интегральных операторов, входящих в них, кроме того, к 
интегральным уравнениям сводятся задачи, возникающие в нестационарных и нелинейных системах. 

Предлагаемое учебное пособие по существу является элементарным введением в теорию линейных операторов и линейных 
функционалов. Для ее углубленного изучения могут быть использованы соответствующие учебники по функциональному анализу. 
Методы этой теории являются также основным инструментом и 
при исследовании задач, возникающих в современной теории случайных процессов и в теории стохастических систем управления. 

Однако из-за специфических свойств случайных процессов, 
представляется целесообразным посвятить использованию методов 
функционального анализа в задачах линейных стохастических систем специальное учебное пособие. 

Предлагаемое пособие содержит большое число простейших 
задач с достаточно подробным разбором решений, иллюстрирующих некоторые проблемы теории автоматического управления, которые могут быть вынесены как на практические занятия, так и на 
самостоятельное изучение. 

Материалы пособия могут быть полезны аспирантам, круг интересов которых связан с исследованиями динамических систем 
различного назначения. 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ СИСТЕМ 
АВТОМАТИЧЕСКОГО 
УПРАВЛЕНИЯ 

1.1. Понятия системы. Входы, 
состояния, выходы. Формализация 
входов, состояний и выходов системы 

1.2. Линейные комбинации входных 
воздействий 

1.3. Использование понятия 
расстояния между элементами 
множеств в задачах контроля 
и принятия решений 

1.4. Формализация множества 
допустимых входных воздействий 

1.5. Задачи для самостоятельного 
решения 

Г л а в а 

1 

1.1. Понятия системы. 
Входы, состояния, выходы. 
Формализация входов, состояний 
и выходов систем 

Одной из основных особенностей развития науки и техники 
является широкое распространение идей теории систем и системных исследований, в основе которых лежат понятия системы и системности [26, 27, 34]. В силу этого возникает необходимость в определении этих понятий. Если в понятие системности все исследователи вкладывают один и тот же смысл — использование единообразных подходов к исследованию широкого круга явлений и 
объектов, то с понятием системы возникают некоторые сложности. 
Проведенный в [34] анализ сорока различных определений понятия 
системы показал, что это многообразие включает в себя три различных группы определений. 

В первую группу входят определения системы как некоторых 
классов математических моделей, например, «система — математическая абстракция, которая служит моделью динамического явления». 

Вторая, наиболее значительная по объему, группа включает в 
себя определения системы через понятия «элементы», «отношения», «связи». 

И, наконец, в третью группу входят определения системы с 
помощью понятий «вход», «выход», «состояние», «отображения». 

Наибольший интерес, во всяком случае, для исследования систем управления, представляет третья группа определений. 

Когда говорят о системе, то, во-первых, подразумевают наличие достаточно сложных и многообразных связей как внутри, так и 
в ее взаимодействий с внешним окружением (средой) и, во-вторых, 
наличие вполне определенных целей ее функционирования, которые могут быть и противоречивыми. 

Далеко неполный перечень классов и примеров типов систем, 
которые могут быть описаны и исследованы методами теории систем, включает в себя: 

И 

• 
социальные системы (экономика, психология); 

• 
биологические системы (человеческий организм, поведение биологических популяций); 

• 
лингвистические системы (произведения искусства, языки 
общения); 

• 
технические 
системы 
(автоматизированные 
системы 
управления, автоматические системы управления, системы связи и т.п.). 

Поскольку предметом изучения является система, то для ее исследования необходимо формализовать понятие системы на подходящем языке. Таких языков существует достаточно много. 

Известно, что любая система может быть изображена графически. На рис. 1.1 показаны элементы системы, входы и выходы, а 
также связи между элементами и окружающей средой. 

Ясно, что здесь использовался язык графики. Этот язык очень 
нагляден и ярок, но он имеет существенный недостаток — описание системы на этом языке не позволяет проводить ее количественные и качественные исследования. 

Наиболее естественным языком описания таких систем является язык теории множеств, использование которого делает возможным применение хорошо разработанных методов функционального анализа. При такой формализации основными являются 
несколько первичных понятий: вход, состояние, выход и отображения «вход — состояние», «состояние — выход», вводимые на 
основании физических представлений о функционировании исследуемой системы. Закрепим за этими понятиями следующие обозначения: х, у, z, / р / 2 соответственно. 

Рис. 1.1 

12