Линейные электрические цепи в режиме гармонических колебаний

А.М. Пилипенко

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

в РЕЖИМЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное

учреждение высшего образования

“ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ”

Инженерно-технологическая академия

А.М. Пилипенко

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

в РЕЖИМЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Учебное пособие

Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2016

УДК 621.3.011.1 (075.8)
ББК 32.8я73

П 324

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Южного федерального университета

Рецензенты:

заведующий кафедрой «Радиоэлектронные и электротехнические сис
темы и комплексы» Института сферы обслуживания и предпринимательства (филиала) Донского государственного технического университета, 
доктор технических наук, профессор Марчук В.И.;

доцент кафедры антенн и радиопередающих устройств Инженерно
технологической академии Южного федерального университета, кандидат 
технических наук Демьяненко А.В.

Пилипенко, А.М.

П 324 Линейные электрические цепи в режиме гармонических 

колебаний / Пилипенко А.М.; Южный федеральный университет. – Таганрог: Издательство Южного федерального университета, 2016. – 84 с.

ISBN 978-5-9275-2200-2

В учебном пособии представлены материалы лекционных и 

практических занятий по следующим разделам дисциплины «Основы теории цепей»: «Общие сведения о гармонических колебаниях»;
«Метод комплексных амплитуд»; «Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме»; «Идеализированные пассивные элементы и простейшие цепи при гармоническом воздействии»; «Энергетические 
соотношения в линейных цепях». Учебное пособие предназначено 
для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки 
бакалавров 11.03.01 «Радиотехника» и 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи».

Табл. 2. Ил. 49. Библиогр.: 11 назв.

ISBN 978-5-9275-2200-2
УДК 621.3.011.1 (075.8)

ББК 32.8я73

© Южный федеральный университет, 2016
© Пилипенко А.М., 2016

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................5

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГАРМОНИЧЕСКИХ  КОЛЕБАНИЯХ....6

2. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД......................................10

2.1. Комплексные изображения гармонических функций...........10
2.2. Операции над комплексными изображениями 
гармонических функций.................................................................14
2.3. Комплексные сопротивление и проводимость......................16
2.4. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме ....................20

3. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В  ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ 
ПАССИВНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ............................................................22

3.1. Резистивный элемент при гармоническом воздействии.......22
3.2. Емкостный элемент при гармоническом воздействии..........23
3.3. Индуктивный элемент при гармоническом воздействии .....25
3.4. Комплексные сопротивления и проводимости 
идеализированных пассивных элементов.....................................27

4. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ В РЕЖИМЕ 
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ...................................................29

4.1. Последовательная RL-цепь при гармоническом 
воздействии......................................................................................29
4.2. Параллельная RC-цепь при гармоническом воздействии ....32
4.3. Последовательная RLС-цепь при гармоническом 
воздействии......................................................................................34
4.4. Метод эквивалентных преобразований..................................37

5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ 
ЦЕПЯХ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОМ  ВОЗДЕЙСТВИИ.....................45

5.1. Мгновенная мощность пассивного двухполюсника .............45
5.2. Активная, реактивная, полная и комплексная мощности.....46
5.3. Баланс мощностей....................................................................50
5.4. Коэффициент мощности..........................................................52
5.5. Согласование источника энергии с нагрузкой ......................53

6. ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ...................................................57

6.1. Контрольные вопросы..............................................................57
6.2. Тестовые задания......................................................................61
6.3. Практические задачи................................................................66
6.4. Примеры решения задач ..........................................................70

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ....................................................................................82

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.................................................83

ВВЕДЕНИЕ

Электрические цепи могут находиться под воздействием токов 

и напряжений разнообразной формы. Среди различных видов колебаний, описывающих токи и напряжения в электрических цепях, 
особое и очень важное значение имеют гармонические колебания, 
изменяющиеся по синусоидальному или косинусоидальному закону. Гармонические колебания используются в качестве носителей 
информации (несущих колебаний) в подавляющем большинстве 
систем радиосвязи, радиолокации и радионавигации. Кроме того, 
гармонические колебания широко применяются в качестве тестовых сигналов для исследования различных характеристик электрических цепей.

Разработка специализированных способов решения задач ана
лиза линейных электрических цепей в режиме гармонических колебаний крайне важна с методической точки зрения. Из курса математики известно, что периодическую функцию сложного вида, имеющую конечное число экстремумов и конечное число разрывов первого рода (скачков), можно представить в виде ряда Фурье [1]. Ряд 
Фурье, в свою очередь, имеет вид суммы гармонических функций с 
кратными частотами. Таким образом, периодическое колебание 
сложной формы можно представить в виде суммы (суперпозиции) 
гармонических колебаний. С помощью широко распространенной в 
теории электрических цепей теоремы наложения (теоремы суперпозиции) реакцию линейной цепи на сложное воздействие, представленное в виде суммы более простых воздействий, можно определить как сумму реакций на каждое из простых воздействий.

Из приведенных выше сведений следует, что применение ме
тодов анализа линейных цепей при гармоническом воздействии совместно с теоремой наложения может существенно упростить анализ линейных цепей при сложных периодических, а также непериодических воздействиях (на ограниченном интервале времени непериодическая функция также может быть представлена в виде ряда 
Фурье). Таким образом, разработка методики анализа линейных 
электрических цепей в режиме гармонических имеет важнейшее 
значение для теории цепей.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ГАРМОНИЧЕСКИХ 

КОЛЕБАНИЯХ

С точки зрения теории электрических цепей гармоническое 

колебание представляет собой напряжение или ток, мгновенное 
значение которого описывается функцией косинуса или синуса:

)
2
/
sin(
)
cos(
)
(










t
A
t
A
t
a
m
m
,
(1.1)

где a(t) – мгновенное значение гармонического колебания (напряжения или тока); Am, ω, ψ – основные параметры гармонического 
колебания, которые описаны ниже.

Косинусоидальная и синусоидальная формы записи гармониче
ской функции (см. выражение (1.1)), являются равноценными. При 
решении задач радиотехники и связи принято использовать косинусоидальную форму [1], поэтому в дальнейшем изложении гармонические функции будут сводиться к косинусоидальному закону. 

Временная диаграмма гармонической функции (зависимость 

мгновенного значения функции от времени) приведена на рис. 1.1.

Рис. 1.1. Гармоническое колебание

Рассмотрим подробнее основные параметры гармонической 

функции. Амплитуда Am – это наибольшее значение гармонической 
функции. Единица измерения амплитуды гармонического колебания совпадает с размерностью его мгновенного значения (вольт или 
ампер). Аргумент гармонической функции 





t
называют 

полной фазой или мгновенной фазой. Начальная фаза ψ равна 
значению полной фазы в момент времени t = 0:

0




t
.

Полная и начальная фазы гармонической функции измеряются 

в радианах или в градусах. Формула перехода от начальной фазы ψ, 
измеряемой в радианах, к начальной фазе ψ°, измеряемой в градусах, имеет вид








180
.
(1.2)

Угловая частота ω равна скорости изменения полной фазы 

гармонической функции:

dt
d


.
(1.3)

Единица измерения угловой частоты – радиан в секунду (рад/с).
Гармоническая функция является периодической функцией 

времени. Известно, что функция называется периодической, если ее 
значения повторяются через равные промежутки времени. Наименьший интервал времени T, через который значения периодической функции повторяются, называется периодом [2]. Единица измерения периода в системе СИ совпадает с размерностью времени. 
Для гармонической функции, как и для любой другой периодической функции справедливо следующее равенство:

)
(
)
(
nT
t
a
t
a


,
(1.4)

где n = 0, 1, 2, …

Один период колебаний соответствует изменению полной фазы 

гармонической функции на 2π, т. е.



2
T
(см. рис. 1.1). Таким 

образом, период связан с угловой частотой с помощью следующего
соотношения:



 2
T
.
(1.5)

Величина, обратная периоду, называется частотой

T
f
1

,
(1.6)

единица измерения частоты f в системе СИ – герц (Гц).

Из соотношений (1.5) и (1.6) нетрудно выразить угловую час
тоту ω через период T и частоту f:

f
T





2
2
.
(1.7)

Для количественного описания периодических напряжений и 

токов широко используют среднее и действующее (среднеквадратическое) значения.

Среднее значение периодической функции а(t) имеет вид 




T

dt
t
a
T
A

0

ср
)
(
1
.
(1.8)

Подставляя в формулу (1.8) выражение (1.1), получаем среднее 

значение гармонической функции за период



.0
)
sin(
)
2
sin(

)
sin(
)
cos(
1

0

0

ср



















 

T

A

t
T

A
dt
t
A
T
A

m

T
m

T

m

(1.9)

Таким образом, среднее значение гармонического напряжения 

или тока равно нулю. Полученный результат нетрудно обосновать 
графически. Интеграл в выражении (1.8) равен площади, ограниченной функцией a(t) и осью времени за период колебаний T. Поскольку на интервале времени 
]
,0
[
T
t
площадь, ограниченная по
ложительным участком гармонической функции, равна площади, 
ограниченной отрицательным участком (см. рис. 1.1), то общая 
площадь, ограниченная функцией a(t) и осью времени за период 
колебаний, будет равна нулю.

Действующее значение периодической функции а(t) равно 

ее среднеквадратическому значению:






T

dt
t
a
T
A

0

2
)
(
1
.
(1.10)

Подставим в формулу (1.10) выражение для мгновенного зна
чения гармонической функции (1.1) и определим действующее значение гармонической функции:








.
707
,0

2

)
(
2
cos
2

)
(
2
cos
2
1

2
1
)
cos(
1

0
0

2

0

2

0

2

m

m

T
T

m

T

m

T

m

A
A
dt
t
dt
T
A

dt
t
T
A
dt
t
A
T
A









































(1.11)

Из выражения (1.11) видно, что действующее значение гармо
нической функции в 
2 меньше ее амплитуды. Размерности сред
него и действующего значений гармонического колебания совпадают с размерностью его мгновенного значения. 

Действующее значение периодического напряжения или тока 

(U или I соответственно) особенно важно для практических задач, 
поскольку с помощью данного значения легко определить энергию, 
потребляемую некоторым сопротивлением R за период колебаний
T:

.

2

2

0

2

0

2

0

T
R
U
RT
I
dt
R
u
Rdt
i
dt
p
W

T
T
T

R








(1.12)

Выражение для энергии (1.12), полученное для периодических 

токов и напряжений, совпадает с выражением для закона Джоуля−Ленца, который сформулирован для случая, когда резистивный 
элемент находится под воздействием постоянного тока или напряжения. Таким образом, действующее значение периодического тока 
(напряжения) численно равно величине постоянного тока (напряжения), при воздействии которого на сопротивление R за время,
равное T, выделится такое же количество энергии, как и при воздействии периодического тока (напряжения).

2. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД

2.1. Комплексные изображения гармонических функций
Метод комплексных амплитуд является символическим ме
тодом, который основан на представлении мгновенных значений 
гармонических токов и напряжений (гармонических функций времени) в виде комплексных чисел.

Гармонической функции 
)
cos(
)
(




t
A
t
a
m
можно поставить 

в соответствие комплексное число
)
(t
a
, которое называют мгно
венным комплексом гармонической функции:

)
(
)
(




t
j

me
A
t
a
,
(2.1)

где 
1


j
− мнимая единица, e – экспонента (основание нату
рального логарифма).

Выражение (2.1) представляет собой показательную форму за
писи мгновенного комплекса, где модуль мгновенного комплекса 
равен амплитуде гармонической функции 
m
A
t
a

)
(
, а аргумент –

полной фазе гармонической функции 








t
t
a )
(
arg
.

С помощью формулы Эйлера
x
j
x
e jx
sin
cos


можно перей
ти от показательной формы записи мгновенного комплекса к тригонометрической [2]:

)
sin(
)
cos(
)
(
)
(












t
jA
t
A
e
A
t
a
m
m

t
j

m
,
(2.2)

где

)
(
Re
)
cos(
t
a
t
Am




и 

)
(
Im
)
sin(
t
a
t
Am




− вещест
венная и мнимая части мгновенного комплекса соответственно.

Из выражения (2.2) очевидно, что исходная гармоническая 

функция равна вещественной части мгновенного комплекса


)
(
Re
)
(
t
a
t
a

.
(2.3)

Мгновенный комплекс можно представить в виде вектора на 

комплексной плоскости (рис. 2.1, а). Длина этого вектора равна модулю мгновенного комплекса 
m
A
t
a

)
(
. Угол между положитель
ным направлением вещественной оси и вектором мгновенного комплекса, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу 
мгновенного комплекса 








t
t
a )
(
arg
. Для получения ука

занного выше закона изменения аргумента мгновенного комплекса 
вектор 
)
(t
a
должен вращаться против часовой стрелки со скоро
стью ω.

Рис. 2.1. Представление на комплексной плоскости мгновенного комплек
са (а) и комплексной амплитуды (б)

С учетом свойств показательных функций мгновенный ком
плекс можно представить в виде

t
j

m

t
j
j

m

t
j

m
e
A
e
e
A
e
A
t
a










)
(
)
(
,
(2.4)

где
m
A
− комплексная амплитуда гармонической функции; 
t
je 
−

оператор вращения.

Оператор вращения 
t
je 
представляет собой вектор на ком
плексной плоскости, имеющий единичную длину и вращающийся 
против часовой стрелки со скоростью ω. Очевидно, что конец вектора 
t
je 
будет описывать окружность единичного радиуса с цен
тром в начале координат. Умножение комплексного числа на оператор вращения приводит к вращению против часовой стрелки вектора, соответствующего исходному комплексному числу.

В соответствии с выражением (2.4) комплексная амплитуда

равна значению мгновенного комплекса в момент времени t = 0

.
)
(
0



 

j

m
t
m
e
A
t
a
A
(2.5)

Из выражения (2.5) видно что, комплексная амплитуда – это 

комплексное число, модуль которого равен амплитуде гармонической функции 
m
m
A
A


, а аргумент – начальной фазе гармониче
ской функции 


)
arg(
m
A
. На комплексной плоскости комплекс