Доказательство гипотезы Гольдбаха
Покупка
Тематика:
Математика
Издательство:
Московский государственный горный университет
Год издания: 2007
Кол-во страниц: 88
Дополнительно
Уровень образования:
ДПО - повышение квалификации
Артикул: 698495.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Доказательство гипотезы Гольдбаха удалось получить на основе введенной бесконечной системы последовательностей праймориальных чисел.
Через члены этой системы последовательностей и небольших
простых чисел можно получать сколь угодно большие простые числа. В
приложении 3 приведены таблицы больших простых чисел для некоторых последовательностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА М Г Г У В.А. Горбунов
МОСКВА ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА 2007 М Г Г У ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА В.А. Горбунов
УДК Г 67 51 Г 67 Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для взрослых. СанПиН 1.2.1253—03», утвержденным Главным государственным санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 29.124—94). Санитарноэпидемиологическое заключение Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей № 77.99.60.953.Д.008501.07.07. Горбунов В.А. Доказательство гипотезы Гольдбаха.— М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2007. — 88 с. Доказательство гипотезы Гольдбаха удалось получить на основе введенной бесконечной системы последовательностей праймориальных чисел. Через члены этой системы последовательностей и небольших простых чисел можно получать сколь угодно большие простые числа. В приложении 3 приведены таблицы больших простых чисел для некоторых последовательностей. УДК 51 В.А. Горбунов, 2007 Издательство МГГУ, 2007 Дизайн книги. Издательство МГГУ, 2007
ВВЕДЕНИЕ Доказательство гипотезы Гольдбаха состоит из нескольких этапов. На первом этапе вводится сетка, построенная на простых числах в первом квадранте, то есть по осям OX и OY откладываются простые числа и через них проводятся прямые параллельные координатным осям. Точки пересечения этих линий назовем узловыми, а сумма координат этих точек, (простых чисел), дает четное число 2n. Пусть это будут числа p и p, 2 p p n . Простые числа p и p расположены симметрично относительно центра симметрии n. Поскольку простых чисел бесконечное множество, то мы не можем построить всю сетку простых чисел, поэтому на рис. 1 изображена малая часть бесконечной сетки. Затем на эту сетку мы нанесем семейство прямых линий 2 , 3, 4, 5,... . x y n n Рис.1. Сетка простых чисел и семейство прямых 2 . x y n
Из рис. 1 видно, что каждая прямая этого семейства обязательно проходит, по крайней мере, через одну узловую точку построенной сетки. Наша задача доказать, что такая ситуация справедлива для любой прямой 2 x y n каково бы n ни было, (или найти, по крайней мере, одну прямую этого семейства, которая не содержит узловых точек сетки простых чисел, что опровергает гипотезу Гольдбаха). На рис. 2 путем прямого разложения четных чисел на сумму двух простых чисел, нанесено количество вариантов разложения четного числа на сумму двух простых чисел вплоть до 2 634 n . Точечный график на этом рисунке соединен прямыми отрезками. Из этого рис.2 видно характерное поведение функции 2 K * n — количества разбиений четного числа на сумму двух простых чисел. Из рис. 2 видно также выделение пиков у этой функции. На втором этапе будет понятна такая картина поведения функции 2 K * n . На первом этапе дается также вероятностная оценка гипотезы Гольдбаха. На втором этапе вводится система последовательностей праймориальных чисел, которая является мощным инструментом для изучения различных свойств простых чисел. Здесь доказывается теорема о разложении членов последовательности # k m p , 1 1, 2, ..., 1 k m p на сумму двух простых чисел. Она является ключевой для доказательства гипотезы Гольдбаха. Следствием теоремы является то, что простые числа из интервалов 2 1; # # k k k k m p p m p p могут быть представлены в виде # k i m p p , где 2 1 ; i k k p p p — простое число. Наконец, завершающим этапом доказательства гипотезы Гольдбаха является доказательство разложимости на сумму двух простых чисел всех четных чисел, расположенных на интервале 1 ; # # k k m p m p , то есть четных чисел, расположенных между двумя соседними членами праймориальных последовательностей чисел.
Наконец, в заключении, на основе введенной бесконечной системы последовательностей праймориальных чисел (4.1), приводится таблица больших простых чисел и на ее основе построена реальная кривая плотности распределения простых чисел. Хотя эта тема и не имеет прямого отношения к доказательству гипотезы Гольдбаха, ее важность очевидна. Приведенная таблица простых чисел, записанных в компактном виде, может быть расширена сколь угодно и каждый пользователь может строить свои таблицы простых чисел в соответствии с поставленными задачами.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА На рис.1 в системе координат XOY жирными точками обозначены узлы сетки, образованной линиями, параллельными координатным осям, проходящим через простые числа 3, 5, 7, 11, 13, …. На прямой y x точками с целыми координатами ; n n образуются четные числа, равные сумме координат 2n, где n — любое натуральное число большее двух. На прямой 2 x y n в любой точке значение 2n сохраняется. Если натуральное число n является простым, то на прямой y x будет узел сетки простых чисел 0 ; M n n . Следовательно, для прямых 2 , x y n проходящих через эти точки гипотеза Гольдбаха доказана. Пусть теперь прямая 2 x y n проходит через узловую точку сетки простых чисел, не лежащую на прямой y x . Обо значим координаты этого узла через ; i i M p p , где pi — простое число на оси OX, а ip — простое число на оси OY. Точке ; i i M p p на прямой y x можно поставить в соответствие две узловые точки: ; i i A p p и ; i i B p p . Очевидно, что для точки 0 ; M n n выполняются условия 2 i i p p n (2.1) и 0 0 M A M B. (2.2) Из условия (2.2) следует, что на координатных осях OX и OY простые числа pi и ip расположены симметрично относительно натурального числа n. Если натуральное число n четное, то 2n делится на 4 и, следовательно, простое число pi будет вида 4 1 m , а простое число
ip вида 4 3 l , где m и l — натуральные числа; либо наоборот 4 3 ip l , а 4 1 ip m . Сумму таких простых чисел будем называть смешанной. Если натуральное число n нечетное, то простые числа pi и ip в равенстве (2.1) будут простые одноименные числа (либо вида 4 1 m , либо вида 4 3 l ). Рассмотрим случай, когда n четное число. Тогда интервалы 0; n и ; 2 n n разобьем на частичные интервалы с шагом 2: 0; 2 , 2; 4 , ..., 2; и ; 2 , 2; 4 , ..., 2 2; 2 h n n n n n n n n . Внутри каждого такого интервала расположено нечетное число. Оно либо простое, либо составное (кроме 1). Если на интервалах 0; n и ; 2 n n найдутся два частичных интервала симметрично расположенных относительно точки n, в которых содержатся простые числа pi и ip, то для прямой 2 x y n выполняется условие (2.1), а на самой прямой будут две узловые точки сетки простых чисел 1 ; i i M p p и 2 ; i i M p p . Если рассматривать четное число 2n вида 4 2 m , то центром симметрии для частичных интервалов будет нечетное число 2 1 n m . Если это число простое, то гипотеза Гольдбаха для прямой 2 x y n доказана. В противном случае, исключая частичный интервал, содержащий эту точку из рассмотрения, симметрия частичных интервалов относительно точки n сохраняется. Таким образом, четные числа всегда симметрично расположены относительно точки n. Если в разложении числа n на простые множители содержится число 3, то все числа кратные 3 слева и справа от точки n расположены симметрично и, следовательно, расположение простых чисел будет в частичных интервалах, исключающих эти интервалы. Аналогично, если в разложении числа n на простые множители содержатся другие простые числа (5, 7, и т. д.), то будут добавляться частичные интервалы с нечетными числами кратными этим числам, также симметрично расположенные относительно точки n. Очевидно, что если четное число является праймориалом, то есть 2 2 3 5 7 # k k n ... p p , то число частичных интервалов, содержащих нечетные числа, кратные сомножителям праймориала, будет максимальным (по
сравнению с соседними четными числами). Это означает, что простые числа в интервалах 0; n и ; 2 n n будут расположены более симметрично относительно точки n по сравнению с четными числами, у которых в разложении меньше простых чисел (например, числа вида 2 2m n , где m — натуральное число). Таким образом, число разбиений четного числа 2n на сумму двух простых чисел 2 K * n существенно зависит от разложения на простые множители числа n. На рис. 2 приведено характерное поведение функции 2 K * n — числа разбиений четного числа 2n в сумму двух простых чисел для 6 2 634 n . 0 10 20 30 40 50 0 200 400 600 800 K*(2n) Рис.2. Характерное поведение функции 2 K * n , (точечный график, соеди ненный прямыми отрезками). Обозначим через n — количество простых чисел, принадлежащих интервалу 0; n , а через n — количество простых чи сел, принадлежащих интервалу ; 2 n n . Пусть разложение числа на простые множители имеет вид 1 2 3 2 3 5 m k k k k m n ... p , где числа , 1, 2,..., ik i m , либо равны нулю, либо натуральные числа. Далее, обозначим через N1 количество четных чисел на ин тервалах 0; n и ; 2 n n ; 1 2 n N . Обозначим через N2 количе 2 K * n — 2 K * n
Доступ онлайн
В корзину