Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Доказательство гипотезы Гольдбаха

Покупка
Артикул: 698495.01.99
Доступ онлайн
295 ₽
В корзину
Доказательство гипотезы Гольдбаха удалось получить на основе введенной бесконечной системы последовательностей праймориальных чисел. Через члены этой системы последовательностей и небольших простых чисел можно получать сколь угодно большие простые числа. В приложении 3 приведены таблицы больших простых чисел для некоторых последовательностей.
Горбунов, В. А. Доказательство гипотезы Гольдбаха / Горбунов В.А. - Москва :МГГУ, 2007. - 88 с.: ISBN. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/996150 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

М Г Г У
В.А. Горбунов

МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ГОРНОГО УНИВЕРСИТЕТА
2007

М Г Г У

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА

В.А. Горбунов

УДК 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

Г 67 

51 
Г 67 

 

 

 

 

Книга соответствует «Гигиеническим требованиям к изданиям книжным для 
взрослых. СанПиН 1.2.1253—03», утвержденным Главным государственным 
санитарным врачом России 30 марта 2003 г. (ОСТ 29.124—94). Санитарноэпидемиологическое заключение Федеральной службы по надзору в сфере защиты прав потребителей № 77.99.60.953.Д.008501.07.07. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Горбунов В.А. 
Доказательство гипотезы Гольдбаха.— М.: Издательство Московского государственного горного университета, 2007. — 88 с. 
 
Доказательство гипотезы Гольдбаха удалось получить на основе введенной бесконечной системы последовательностей праймориальных чисел. 
Через члены этой системы последовательностей и небольших 
простых чисел можно получать сколь угодно большие простые числа. В 
приложении 3 приведены таблицы больших простых чисел для некоторых последовательностей. 
 
УДК 51 
 
 
   
 
 

В.А. Горбунов, 2007 

Издательство МГГУ, 2007 
 

Дизайн книги. Издательство 
МГГУ, 2007 

ВВЕДЕНИЕ 

Доказательство гипотезы Гольдбаха состоит из нескольких 
этапов. На первом этапе вводится сетка, построенная на простых 
числах в первом квадранте, то есть по осям OX и OY откладываются простые числа и через них проводятся прямые параллельные координатным осям. Точки пересечения этих линий назовем 
узловыми, а сумма координат этих точек, (простых чисел), дает 
четное число 2n. Пусть это будут числа p и p, 


2
p
p
n



. Простые числа p и p расположены симметрично относительно центра симметрии n. 
Поскольку простых чисел бесконечное множество, то мы не 
можем построить всю сетку простых чисел, поэтому на рис. 1 
изображена малая часть бесконечной сетки. 
Затем на эту сетку мы нанесем семейство прямых линий 



2 , 
3, 4, 5,... .
x
y
n
n



 

 

Рис.1. Сетка простых чисел и семейство прямых 
2 .
x
y
n


 

Из рис. 1 видно, что каждая прямая этого семейства обязательно проходит, по крайней мере, через одну узловую точку построенной сетки. 
Наша задача доказать, что такая ситуация справедлива для 
любой прямой 
2
x
y
n


 каково бы n ни было, (или найти, по 
крайней мере, одну прямую этого семейства, которая не содержит узловых точек сетки простых чисел, что опровергает гипотезу Гольдбаха). 
На рис. 2 путем прямого разложения четных чисел на сумму 
двух простых чисел, нанесено количество вариантов разложения 
четного числа на сумму двух простых чисел вплоть до 2
634
n 
. 
Точечный график на этом рисунке соединен прямыми отрезками. 
Из этого рис.2 видно характерное поведение функции 


2
K *
n  — 
количества разбиений четного числа на сумму двух простых чисел. Из рис. 2 видно также выделение пиков у этой функции. На 
втором этапе будет понятна такая картина поведения функции 


2
K *
n . 
На первом этапе дается также вероятностная оценка гипотезы Гольдбаха. 
На втором этапе вводится система последовательностей 
праймориальных чисел, которая является мощным инструментом 
для изучения различных свойств простых чисел. 
Здесь доказывается теорема о разложении членов последовательности 
#
k
m p

, 


1
1, 2, ..., 
1
k
m
p 


 на сумму двух простых 
чисел. Она является ключевой для доказательства гипотезы 
Гольдбаха. Следствием теоремы является то, что простые числа 
из интервалов 


2
1; 
#
#
k
k
k
k
m p
p
m p
p





 могут быть представлены 

в виде 
#
k
i
m p
p


, где 



2
1
; 
i
k
k
p
p
p 

 — простое число. Наконец, 

завершающим этапом доказательства гипотезы Гольдбаха является доказательство разложимости на сумму двух простых чисел 
всех 
четных 
чисел, 
расположенных 
на 
интервале 




1
; 
#
#
k
k
m
p
m p



, то есть четных чисел, расположенных между 

двумя соседними членами праймориальных последовательностей 
чисел. 

Наконец, в заключении, на основе введенной бесконечной 
системы последовательностей праймориальных чисел (4.1), приводится таблица больших простых чисел и на ее основе построена реальная кривая плотности распределения простых чисел. 
Хотя эта тема и не имеет прямого отношения к доказательству гипотезы Гольдбаха, ее важность очевидна. Приведенная таблица простых чисел, записанных в компактном виде, может быть 
расширена сколь угодно и каждый пользователь может строить 
свои таблицы простых чисел в соответствии с поставленными задачами. 
 

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ОЦЕНКА  

ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА 

На рис.1 в системе координат XOY жирными точками обозначены узлы сетки, образованной линиями, параллельными координатным осям, проходящим через простые числа 3, 5, 7, 11, 
13, …. 
На прямой y
x

 точками с целыми координатами 

; 
n n  образуются четные числа, равные сумме координат 2n, где n — любое натуральное число большее двух. На прямой 

2
x
y
n


 в 
любой точке значение 2n сохраняется. 
Если натуральное число n является простым, то на прямой 
y
x

 будет узел сетки простых чисел 


0
; 
M
n n . Следовательно, 

для прямых 

2
,
x
y
n


 проходящих через эти точки гипотеза 
Гольдбаха доказана. 
Пусть теперь прямая 

2
x
y
n


 проходит через узловую 
точку сетки простых чисел, не лежащую на прямой y
x

. Обо
значим координаты этого узла через 


; 
i
i
M p p , где pi — простое 

число на оси OX, а 
ip — простое число на оси OY. Точке 


; 
i
i
M p p  на прямой y
x

 можно поставить в соответствие две 

узловые точки: 


; 
i
i
A p p
 и 


; 
i
i
B p p

 . Очевидно, что для точки 



0
; 
M
n n  выполняются условия 

 
2
i
i
p
p
n



 
 (2.1) 

и 

0
0
M A
M B.

 
(2.2) 

Из условия (2.2) следует, что на координатных осях OX и OY 
простые числа pi и 
ip расположены симметрично относительно 
натурального числа n. 
Если натуральное число n четное, то 2n делится на 4 и, следовательно, простое число pi будет вида 4
1
m  , а простое число 

ip вида 4
3
l 
, где m и l — натуральные числа; либо наоборот 
4
3
ip
l


, а 
4
1
ip
m
 
 . Сумму таких простых чисел будем называть смешанной. Если натуральное число n нечетное, то простые числа pi и 
ip в равенстве (2.1) будут простые одноименные 
числа (либо вида 4
1
m  , либо вида 4
3
l 
). 
Рассмотрим случай, когда n четное число. Тогда интервалы 


0; n  и 

; 2
n
n  разобьем на частичные интервалы с шагом 


 




 



2: 0; 2 , 2; 4 , ..., 
2; 
 и 
; 
2 , 
2; 
4 , ..., 2
2; 2
h
n
n
n n
n
n
n
n






. Внутри каждого такого интервала расположено нечетное число. 
Оно либо простое, либо составное (кроме 1). 
Если на интервалах 

0; n  и 

; 2
n
n  найдутся два частичных 
интервала симметрично расположенных относительно точки n, в 
которых содержатся простые числа pi и 
ip, то для прямой 
2
x
y
n


 выполняется условие (2.1), а на самой прямой будут 

две узловые точки сетки простых чисел 


1
; 
i
i
M
p p  и 


2
; 
i
i
M
p p

. 
Если рассматривать четное число 2n вида 4
2
m 
, то центром 
симметрии для частичных интервалов будет нечетное число 
2
1
n
m

 . Если это число простое, то гипотеза Гольдбаха для 
прямой 
2
x
y
n


 доказана. В противном случае, исключая частичный интервал, содержащий эту точку из рассмотрения, симметрия частичных интервалов относительно точки n сохраняется. 
Таким образом, четные числа всегда симметрично расположены относительно точки n. Если в разложении числа n на простые множители содержится число 3, то все числа кратные 3 слева и справа от точки n расположены симметрично и, следовательно, расположение простых чисел будет в частичных интервалах, исключающих эти интервалы. Аналогично, если в разложении числа n на простые множители содержатся другие простые 
числа (5, 7, и т. д.), то будут добавляться частичные интервалы с 
нечетными числами кратными этим числам, также симметрично 
расположенные относительно точки n. Очевидно, что если четное 
число является праймориалом, то есть 2
2 3 5 7
#
k
k
n
... p
p

   


, 
то число частичных интервалов, содержащих нечетные числа, 
кратные сомножителям праймориала, будет максимальным (по 

сравнению с соседними четными числами). Это означает, что 
простые числа в интервалах 

0; n  и 

; 2
n
n  будут расположены 
более симметрично относительно точки n по сравнению с четными числами, у которых в разложении меньше простых чисел (например, числа вида 2
2m
n 
, где m — натуральное число). 
Таким образом, число разбиений четного числа 2n на сумму 
двух простых чисел 


2
K *
n  существенно зависит от разложения 
на простые множители числа n. На рис. 2 приведено характерное 
поведение функции 


2
K *
n  — числа разбиений четного числа 
2n в сумму двух простых чисел для 6
2
634
n


. 
 

0

10

20

30

40

50

0
200
400
600
800

K*(2n)

 
Рис.2. Характерное поведение функции 


2
K *
n , (точечный график, соеди
ненный прямыми отрезками). 
 
Обозначим через n — количество простых чисел, принадлежащих интервалу 

0; n , а через 
n  — количество простых чи
сел, принадлежащих интервалу 

; 2
n
n . 
Пусть разложение числа на простые множители имеет вид 

1
2
3
2
3
5
m
k
k
k
k
m
n
... p





, где числа 


, 
1, 2,...,
ik
i
m

, либо равны 
нулю, либо натуральные числа. 
Далее, обозначим через N1 количество четных чисел на ин
тервалах 

0; n  и 

; 2
n
n ; 
1
2
n
N
 
  
 
. Обозначим через N2 количе


2
K *
n

—


2
K *
n

Доступ онлайн
295 ₽
В корзину