Производная и её приложения

Т.Я. Тычинская

Производная и её приложения

Москва

Инфра-М

2018

Т.Я. Тычинская

Производная и её приложения

Учебное пособие

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

Тычинская, Т.Я.

Производная и её приложения: учеб. пос. / Т.Я. Тычинская. – М.: 

Инфра-М; Znanium.com, 2018. – 15 с.

ISBN 978-5-16-106937-0 (online)

ISBN 978-5-16-106937-0 (online)
© Тычинская Т.Я., 2018

 

 

 

 

 

 

 

КОНКУРСНАЯ РАБОТА 

Номинация: Общеобразовательные дисциплины «Математика». 

Тема: Производная и ее приложения. 

 

 

 

 

 

Автор: Тычинская Таисья Яковлевна 

Место работы, должность: ГАПОУ СО 

«Екатеринбургский промышленно-технологический 

Техникум им. В.М. Курочкина» 

Контактный адрес электронной почты: annettych@e1.ru 

Контактный номер телефона: 8(912)669-67-76 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 

Пособие предназначено для повторения материала и подготовки к 

контрольной работе, зачету и экзамену по теме. 

Перед началом повторения этого раздела математики проверь себя! 

→ Предел функции; 

→ Непрерывная функция; 

→ Промежутки возрастания и убывания; 

→ Тангенс угла; 

→ Уравнение прямой на плоскости; 

→ Основные свойства степени; 

→ Основные свойства логарифма; 

→ Основные тригонометрические формулы. 

Если не уверен в правильности ответов повтори материал «Блока 

актуализации». 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

БЛОК АКТУАЛИЗАЦИИ 

 

 

 

 
y 
 
 

 
C 

 
y0 
M 

 

 
α 

 
0 
 
x0 
x1 
 
x 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

lim f(x)=f(x0) 

x→x0 

В точке x0 функция f(x) 
непрерывна 

lim f(x)=f(x0) 

x→x0 

В точке x1 функция f(x) 
разрывна 

lim f(x)≠f(x1) 

x→x1 

C – касательная к функции 
f(x) в точке x0 

C∩f(x)=M 

C:y=kx+b 

k=tgα 

ПРЕДЕЛЫ 

1. lim(1+x)1/x=e                  2. lim 
=1                     3. lim 
=1 

x→0                                    x→0                                     x→0 

Степени 

an=a*a…a 

         n∈N 

a-n=
, a>0  √a0=1, a≠0 

ax
1*ax
2=ax
1
+x
2 

ax
1:ax
2=ax
1
-x
2 

(ax
1)x
2=ax
1
*x
2 

(ab)x=axbx 

(
)x=
Логарифмы 

logax=b⇔ab=x 

alog
a
x=x, loga0=1, logaa=1 

log10x=lgx 

logex=lnx 

logax1+logax2=logax1*x2 

logax1-logax2=loga 
logaxp=plogax 

loga
p x=
logax 

БЛОК «ВХОД» 

Цель: проверить усвоение базового материала необходимого для применения 
его в теме «Производная». 

1. Оценка «3» 

1) Найти О.О.Ф. f(x)=
2) Упростить ⋅ √3) Найти наименьшее целое значение x, удовлетворяющее 
неравенству 3≤0 

4) Для функции y=2sin3x найти область определения, область 
значения и нули функции 
4а) Вычислить: lim(x3+x-5) 
                            x→3

2. Оценка 
«4» 

5) Найти промежутки ↑ и ↓ функции y=x2-5x+6 
6) Решить уравнение: 7*5x-5x+1=2*5-3 
7) Вычислить 252-log
5
75+7-log
7
3 
8) Построить график функции: y=cos(x) 

8а) Вычислить: lim(1)x 
                            x→∞

3. Оценка «5» 

9) При каких значениях параметра α ось абсцисс является 
касательной к графику функции f(x)=ax2-6x+9? 
10)Решить уравнение √2 2 √6 
11) Решить уравнение: logx(8x2)=812) Решить систему уравнений: 

2

1
 

13) Вычислить: x→∞ 
  

Ответы: 

1) (2,2)U(2;3)U(2;+∞)                                         9) 1 
2) а                                                                      10) 7 
3) -2                                                                     11)1/2 
4) D(y)=R; E(y)=[2;2]                                         12) (/4+n, /4-n) 
x=
, nz                                                           (-/4+n; 3/4-n) 

     4a) 25                                                                    13) 2/5 

5) (-∞;2,5]↓;(2,5;+∞)↑ 
6) -3 
7) 4/9 

8a) e-2 

БЛОК - ДЕРЕВО «ПРОИЗВОДНАЯ» 

Цель: получить обобщённое представление об объеме и структуре 

модуля «Производная». 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила 
нахождения 
производной 

Методы 
оптимизации 

Методы 
исследования 
функций 

Физический 
смысл 
производной 

Общий метод 
вычисления 
производной 

Методы опр-я 
наибольшего и 
наименьшего 
знач. функции 

Геометрическ
ий смысл 
производной 

Определение производной 

f’(x)=Δx→0 

Предел и непрерывность 
функций 

БЛОК - ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 

Цель: осознать и усвоить основные этапы решения задачи о функции 

 
y=f(x) 

f(x+Δx) 

 
 

 
 
Δf 

 
α 

f(x) 
 
Δx 

 
α 

 
   x 
x+Δx 

 
 

Теплоемкость 
тела 
Мгновенная 
величина тока 
Скорость 
химической 
реакции 

Скорость 
изменения 
функции 

Q – количество 
тепла 
t – температура тела 

q – количество 
электричества 
t – момент времени 
  

M – количество 
вещества 
t – момент времени 

f – функция 
x - аргумент 

Δt – измерение 
температуры 
Δt – промежуток 
времени 
Δt – промежуток 
времени 
Δx – приращение 
аргумента 

ΔQ=Q(t+Δt)-Q(t) 
Δq=q(t+Δt)-q(t) 
ΔM=M(t+Δt)-M(t) 
Δf=f(x+Δx)-f(x) 

Средняя 
теплоемкость 
Сср=
Средняя сила тока 
Ιср=
Средняя скорость 
химической 
реакции 
Vср=
Средняя скорость 
изменения функции 
Vср=
Теплоемкость тела 
при данной t 

Δt→0 

Мгновенная сила 
тока 
Ι = Δt→0 

Скорость 
хим.реакции в 
момент времени t 
V=Δt→0 

Скорость изменения 
функции 
V=Δx→0 

 

 

C:y=kx+b, k=tgα 
k – угловой коэффициент 
→ Δx→0     Δx→0 
f'(x)=Δx→0 
f'(x)=k (Производная – это угловой коэффициент касательной). 

БЛОК - ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 

Цель: осознать физический смысл производной 

 

 
                         Падает шарик 

 
t0 
S(t0) 

 

 

 
t 
 
S(t) 

 

 
Δt 
ΔS 

 
t+Δt 
S(t+Δt) 

 
Δt→0 
V(t) - ? 

 

Производная от расстояния есть V (скорость) 
S'(t) = Δ t→0 
 

 

 

 
t 
V(t) 

 

 
Δt 
ΔV 

 
t+Δt 
ΔV(t+Δt) 

 
Δt→0 
 
a(t) - ? 

 

Производная от скорости есть a (ускорение) 

→8 
 

БЛОК - ОБЩИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ 

Цель: овладеть общим методом нахождения производной для решения 

конкретных задач. 

 
(1) 

 
 

(2) 

 
 

          (3) 
 

(4) 

 

(5) 

 

 

1

1. 1
2. Δf=kx+kΔx+b-kx-b=kΔx 
1
1
3. 
1
4. limk=k 
Δx→0 
1
1
Δx→0 

5. (kx+b)'=k 
1
1
Дать х приращение Δх и найти f(x+Δx) 

Вычислить приращение функции f(x)  
Δf=f(x+Δx)-f(x) 

Составить отношение Δf/Δx 

→Найти предел Δf/Δx при Δх→0 

→Значение предела есть производная f(x)