Лабораторный практикум по численным методам

А.С. Шевченко

Лабораторный практикум по численным 

методам

Москва

Инфра-М

2018

А.С. Шевченко

Лабораторный практикум по численным 

методам

Практикум

Москва

Инфра-М; Znanium.com

2018

Шевченко, А.С.

Лабораторный практикум по численным методам: практикум / А.С. 

Шевченко. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2018. – 199 с.

ISBN 978-5-16-106606-5 (online)

ISBN 978-5-16-106606-5 (online)
© Шевченко А.С., 2014, 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................4

ТЕМА 
1: 
МЕТОДЫ 
РЕШЕНИЯ 
СИСТЕМ 
ЛИНЕЙНЫХ 

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)..........................................5

1.
Краткие сведения из теории...............................................................5

1.1.
Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности матрицы .5

1.2.
Прямые методы решения СЛАУ...............................................6

1.3.
Итерационные методы решения СЛАУ .................................14

2.
Решение задач линейной алгебры с использованием Maple.........21

2.1 Функции определения матриц ........................................................21
2.2. Работа со структурой матрицы ......................................................23
2.3. Основные матричные операции.....................................................25
2.4. Решение задач линейной алгебры .................................................26
2.5. Векторный анализ ...........................................................................28

Лабораторная работа №1. Решение систем линейных алгебраических 
уравнений ...................................................................................................30

ТЕМА 2: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И 
СИСТЕМ .......................................................................................................34

1.
Краткие сведения из теории.............................................................34

1.1.
Постановка задачи ...................................................................34

1.2.
Отделение корней ....................................................................34

1.3.
Алгоритмы уточнения корней уравнения..............................37

1.4.
Решение систем двух нелинейных уравнений.......................47

2.
Двумерная графика в Maple.............................................................53

3.
Использование Maple для решения нелинейных уравнений и 

систем..........................................................................................................57
Лабораторная работа №2. Методы отделения корней уравнений с 
одной переменной......................................................................................62
Лабораторная работа №3. Приближенное вычисление корней системы 
нелинейных уравнений..............................................................................63

ТЕМА 3: АППРОКСИМАЦИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ...65

1.
Краткие сведения из теории.............................................................65

1.1.
Интерполяционный многочлен Лагранжа .............................65

1.2.
Интерполяционная формула Ньютона ...................................68

1.3.
Интерполяционные и экстраполяционные формулы при 

равноотстоящих значениях аргумента.................................................71
1.4.
Интерполяция сплайнами........................................................80

1.5.
Среднеквадратичное приближение (метод наименьших

квадратов) ...............................................................................................87

2.
Решение задачи интерполяции средствами Maple.........................96

Лабораторная работа №4. Интерполирование функций ......................102
Лабораторная работа №5. Аппроксимация функций. Методы обработки 
экспериментальных данных....................................................................107

ТЕМА 4 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ...........................111

1.
Краткие сведения из теории...........................................................111

1.1.
Интерполяционный подход...................................................111

1.2.
Оценка погрешности численного дифференцирования .....121

2.
Возможности Maple для дифференцирования .............................125

Лабораторная работа №6. Численное дифференцирование.................127

ТЕМА 5: ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ...................................132

1.
Краткие сведения из теории...........................................................132

1.1.
Постановка задачи численного интегрирования.................132

1.2.
Общий подход к построению квадратурных формул. 

Квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона...133
1.3.
Формулы Ньютона-Котеса....................................................141

1.4.
Квадратурные формулы Гаусса ............................................144

1.5.
Метод Монте-Карло...............................................................151

2.
Возможности Maple для интегрирования.....................................162

Лабораторная работа №7. Приближенное вычисление определенных 
интегралов ................................................................................................167

ТЕМА 6: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ 
ДИФФЕРЕНЦАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ................................................170

1.
Краткие сведения из теории...........................................................170

1.1.
Одношаговые методы ............................................................170

1.2.
Многошаговые методы..........................................................179

2.
Решение дифференциальных уравнений в Maple ........................186

2.1.Аналитические решения ОДУ ......................................................188
2.2. Поиск решения ОДУ в виде разложения в ряд...........................191
2.3. Численные решения ОДУ.............................................................192

Лабораторная работа №7. Численные методы решения обыкновенных 
дифференциальных уравнений первого порядка ..................................196

ЛИТЕРАТУРА............................................................................................199

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математические модели, описывающие реальные процессы, как 

правило, настолько сложны, что не могут быть исследованы 
аналитически; в таких случаях используются численные методы, 
позволяющие свести решение исходной задачи к выполнению 
конечного числа арифметических операций над числами и получить 
ответ в виде числа или набора чисел.

Численные методы являются основным инструментом решения 

современных прикладных задач. Вот почему численный анализ 
математических 
моделей
–
метод, 
алгоритм, 
программа, 

вычислительный эксперимент –
является в настоящее время 

актуальным и наиболее эффективным аппаратом конструктивного 
исследования прикладных проблем.

Следует также подчеркнуть компьютерно – ориентированный 

характер численных методов в конечном итоге их реализация связана 
с применением вычислительной техники и программирования. 
Естественно, что прогресс в области вычислительной математики в 
немалой степени обусловлен новыми возможностями в развитии 
компьютерных ресурсов. Однако даже сравнительно высокая 
производительность современных компьютеров не снимает проблему 
разработки эффективных и экономичных в плане вычислительных 
затрат методов решения, специализированных для определенных 
классов задач. Проблема оптимизации (модификации, модернизации) 
вычислительных методов по-прежнему сохраняет свою актуальность 
и определяет перспективу дальнейшего развития численного анализа.

Основное 
предназначение 
пособия 
–
облегчить 
работу 

преподавателя и повысить эффективность учебного процесса. Оно 
позволяет сформировать у студентов основные сведения о численных 
методах, 
необходимых 
для 
первоначального 
ознакомления 
с 

предметом, привить навыки алгоритмизации численных методов.

Каждая тема содержит теоретическое обоснование и большое 

количество примеров решения практических задач с использованием 
современного математического пакета Maple.

Если 
содержание 
или 
количество 
учебных 
заданий, 

помещенных в лабораторный практикум, покажется избыточным, то 
преподаватели (кафедра) выберут столько заданий, сколько нужно.

Лабораторный практикум предназначен для студентов всех 

форм обучения направления подготовки «Прикладная информатика 
(по 
отраслям)» 
и 
направления 
подготовки 
«Информатика и 

вычислительная техника».

Тема 1: МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ 

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

1.
Краткие сведения из теории

1.1.
Обусловленность СЛАУ. Число обусловленности 

матрицы

Понятия согласованных норм матриц и векторов позволяют 

оценить погрешности, возникающие при численном решении СЛАУ. 
Пусть и матрица, и правая часть системы заданы с некоторой 
погрешностью, тогда наряду с системой 

A

X
B
(1.1)

рассматривается система 




A
A
 



X +
X
B +
B .
(1.2)

Теорема. Пусть правая часть и невырожденная матрица 

СЛАУ
вида 
A

X
B , 
n
n
L
L


X
,B
(
nL
n-мерное линейное 

нормированное пространство), получили приращения B
и 
A


соответственно. Пусть существует обратная матрица 
1
A
и 

выполнены условия 
0
A 
, 
1
A

A
 
 , где 

1
A
A




. В этом 

случае 
оценка 
относительной 
погрешности 
решения 
X

X

удовлетворяет неравенству

1

A

A
A

A





















X
B

X
B

.
(1.3)

При 
0
A
 
получаем оценку при наличии погрешности только 

правых частей





X
B

X
B
(1.4)

В этом случае абсолютная погрешность решения имеет оценку 

1
A



X
B
(1.5)

Если в (1.2) положить 
0
A
 

X
, то 
A

A
 













X
B

X
B
(1.6)

Величина 

 

1
A
A
A




(1.7)

называется 
числом 
обусловленности
матрицы 
A . 
Число 

обусловленности 
определяет, 
насколько 
погрешность 
входных 

данных может повлиять на решение системы.

1.2.
Прямые методы решения СЛАУ

Наиболее распространѐнными среди прямых методов являются 

метод исключения Гаусса и его модификации. 

Метод Гаусса основан на последовательном исключении 

неизвестных. Существуют различные схемы, реализующие этот 
метод. Рассмотрим схему единственного деления. 

Пусть дана СЛАУ. Предполагается, что определитель СЛАУ 

отличен от нуля. 

Процесс получения решения СЛАУ по методу Гаусса состоит 

из двух последовательных этапов:

-прямой 
ход 
(процесс 
последовательного 
исключения 

неизвестных, т.е. приведения расширенной матрицы системы к 
“квази” треугольному виду),

-обратный 
ход 
(процесс 
получения 
решения 
из 

преобразованной упрощенной системы).

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n

неизвестными:

11 1
12
2
1
1

21 1
22
2
2
2

1 1
2
2

...
,

...
,

                     ...

...
.

n
n

n
n

n
n
nn
n
n

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b




















(1.8)

Прямой ход.
Шаг 1. Предположим, что 
11
0
a 
. Составим отношения 

1

1

11

, 
2,
i

i

a
l
i
n
a


. Числа 
1il
назовем множителями первого шага. 

Умножим первое уравнение системы (1.8) на 
1il
и вычтем из i-го 

уравнения, 
2,
i
n

. В результате переменная 
1x
исключится из i-го 

уравнения. Что приводит к следующей системе

 
 
 
 

 
 
 

11 1
12
2
1
1
1

1
1
1
1

22
2
2
2
2

1
1
1
(1)

2
2

...
...
 
,

0     
..
...
,

                            ...

0     
..
...
.

j
j
n
n

j
j
n
n

n
nj
j
nn
n
n

a x
a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
b










 







 





(1.8.1)

Формулы преобразования коэффициентов при переходе от (2.1) 

к (1.8.1) имеют вид

 
 
1
1

1 1 ,   
1 1, ,
2, .
ij
ij
i
j
i
i
i
a
a
l a
b
b
bl
i j
n






Пусть 
 
1
A
- матрица коэффициентов, 
 
1
B
- вектор правых 

частей системы (1.8.1). Тогда после первого шага система (1.8) 
примет вид 
 
(1)
1
A

X
B .

В элементарном плане шаг 1 метода исключения означает, что 

переменная 
1x
находится из первого уравнения и подставляется в 

последующие уравнения системы (1.8).

Если в системе (1.8) 
11
0
a 
, то в первом столбце матрицы A

найдется не нулевой элемент 
1ia
(в силу невырожденности A ). В 

этом случае до начала шага 1 переставляются уравнения с номерами 1 
и i , после чего исключение 
1x
проводится прежним образом.

Шаг 2. Считая, что 
 1
22
0
a

, вычислим множители второго шага 

 

 

1
2

2
1
22

, 
3,
i

i

a
l
i
n

a



. Умножим второе уравнение на 
2
il
и вычтем из i-го 

уравнения, 
3,
i
n

. В результате переменная 
2x
исключится из i-го 

уравнения и получим систему вида

 
 
 
 
 

 
 
 
 

11 1
12
2
13
3
1
1
1

1
1
1
1
1

22
2
23
3
2
2
2

2
2
2
2

33
3
3
3
3

...
...
 
,

          
...
...
,

                     
...
...
,

  ...

j
j
n
n

j
j
n
n

j
j
n
n

a x
a x
a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
a x
b

a
x
a
x
a
x
b






















 
 
 
2
2
2
(2)

3
2
             
...
...
.
n
nj
j
nn
n
n
a
x
a
x
a
x
b















(1.8.2)

Формулы преобразования коэффициентов при переходе от 

(1.8.1) к (1.8.2) имеют вид

 
 
 
 
 
2
1
1
2
1
(1)

2
2
2
2
,   
, ,
3, .
ij
ij
i
j
i
i
i
a
a
l a
b
b
b l
i j
n






В 
векторно-матричной 
форме 
после 
второго 
шага 

преобразований исходная система имеет вид 
 
(2)
2
A

X
B
, где 
 
2
A

матрица коэффициентов, 
 
2
B
- вектор правых частей системы (1.8.2).

Если 
 1
22
0
a

, то необходимо переставить второе уравнение 

системы (1.8.1) с одним из нижеследующих.

Дальнейший ход процесса вполне понятен. 

После (n-1)-го шага переменная 
1
nx 
исключена из n-го 

уравнения, что приводит к треугольной системе:

 
 
 
 
 

 
 
 
 

11 1
12
2
13
3
1
1
1

1
1
1
1
1

22
2
23
3
2
2
2

2
2
2
2

33
3
3
3
3

...
...
 
,

          
...
...
,

                     
...
...

                                      ...

j
j
n
n

j
j
n
n

j
j
j
n

a x
a x
a x
a x
a x
b

a x
a x
a x
a x
b

a
x
a
x
a
x
b


























1
1
 
.

n
n

nn
n
n
a
x
b














(1.8.n-1)

Отметим 
векторно-матричный 
вариант 
системы 
(1.8.n-1) 



(
1)
1
n
n
A



X
B
.

Переход от системы (1.8) к треугольной системе (1.8.n-1) 

называется прямым ходом метода Гаусса. 

Расчетные формулы прямого хода, приводящие к исключению 

переменной с номером 
1,
1
k
n

 , следующие:







 





 





1

1

1
1

,   

1
1

,

, ,
1, .

k

ik

ik
k
kk

k
k
k

ij
ij
ik
kj

k
k
k

i
i
k
ik

a
l

a

a
a
l a

b
b
b
l
i j
k
n





















(1.9)

Процесс последовательного вычисления компонент решения из 

системы (1.8.n-1) называется обратным ходом. Коэффициенты 
11
a , 

 1
22
a
, 

1
n
nn
a

 , 
на 
которые 
производится 
деление 
в 
процессе 

преобразований 
системы, 
называются 
ведущими 
элементами 

метода.

Обратный ход осуществляется по следующим формулам 















1

1

1
1

1

1

,

,
1,1.

n

n

n
n
nn

n

i
i

i
ij
j

j i

i
i
ii

b
x

a

b
a
x

x
i
n

a








 



















(1.10)

Рассмотренный простейший вариант метода Гаусса имеет ряд 

недостатков. Во-первых, предположения о том, что коэффициенты 
(ведущие 
элементы) 
не 
равны 
нулю, 
может 
оказаться 

невыполненным, даже если матрица A является невырожденной (
det
0
A
), и система должна иметь единственное решение. Тогда 

приведенный метод решения формально непригоден. Кроме того, 
ведущие элементы могут оказаться достаточно малыми и после 
деления на них точность решения системы резко снижается из-за 
ошибок округления. 

Для того чтобы избавиться от указанных недостатков, 

применяют метод Гаусса с выбором главного элемента. Этот метод 
всегда дает единственное решение, если определитель системы 
отличен от нуля. Кроме того, он менее чувствителен к ошибкам 
округления. Уменьшение вычислительной погрешности в методе 
Гаусса 
с 
выбором 
ведущего 
элемента 
производится 
путем 

перестановки строк и столбцов матрицы A
так, чтобы ведущий 

элемент на k-м шаге исключения был наибольшим по модулю из 
коэффициентов, участвующих в дальнейшем исключении:





 
1
1
0

,
max
, 1
, 

k
k

kk
ij
ij
ij
k i j n
a
a
k
n a
a










.
(1.11)

Выбор ведущих элементов по формуле (3.4) называют методом 

исключения с полным упорядочением.
Полное упорядочение 

требует большой дополнительной вычислительной работы, поэтому 
часто останавливаются на методе исключения с частичным 
упорядочением по строкам или столбцам.

Рассмотрим метод Гаусса с выбором главного элемента по 

столбцу. Перед исключением 
1x
отыскивается максимальный по 

модулю элемент первого столбца матрицы A :
1
max
i
i
a
. Пусть это 

будет 

11
ia . Если 1
1
i  , то переставляем уравнения с номерами 1, 1i и 

реализуем первый шаг стандартного метода Гаусса. Отметим, что в 
результате такого выбора все множители первого шага по модулю не 
больше 1. Затем перед исключением из оставшихся уравнений 
отыскиваем максимальный по модулю элемент первого столбца 

матрицы 
 



1 , ,
2,
ija
i j
n

: 
 1
2
2max
i
i n a

 
. Пусть это будет 
 

2

1
2
ia
. Если 2
2
i 
, 

то переставляем уравнения с номерами 2, 
2i и реализуем второй шаг 

метода Гаусса. В данном случае 

2
1
il
 , 
3,
i
n

. Дальнейший ход 

метода вполне очевиден. Отметим, что в данной схеме порядок 
исключения неизвестных сохраняется: 1,2,.., n .

Аналогичным образом выглядит метод Гаусса с выбором 

главного элемента по строкам. В этом случае переставляются 
столбцы матриц A , 
 
1
A ,…, т.е. изменяется порядок исключения 

неизвестных.

Пример 1.1. Дана система линейных алгебраических уравнений

1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

8.302
3.416
4.103
1.897
9.847,

8.214
2.848
1.687
6.990
8.351,

3.921
8.452
6.976
2.463
12.209,

3.770
8.014
8.046
2.276
14.653.

x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x




 





 













1.
Решите систему методом Гаусса.

2.
Зная, что коэффициенты исходной системы заданы точно, а 

свободные члены имеют абсолютную погрешность 0.001, найдите 
оценку абсолютной и относительной погрешности решения.

Решение: Рассмотрим метод Гаусса с выбором главного 

элемента 
по 
столбцу. 
Перед 
исключением 
1x
отыскиваем 

максимальный по модулю элемент первого столбца матрицы A : 



1
11
max
max 8.302, 8.214, 3.921,3.770
8.302
i
i
a
a



.

Шаг 1. Исключаем переменную 
1x из i-го уравнения, 
2,4
i 
. 

11
8.302
0
a 

. Вычислим множители первого шага 
1

1

11

,
2,4
i

i

a
l
i
a


: 

21

21

11

8.214
0.9894001445
8.302

a
l
a



, 
31

31

11

3.921
0.4722958323
8.302

a
l
a



, 

41

41

11

3.770
0.4541074440
8.302

a
l
a



.

Умножим первое уравнение системы на 
1il
и вычтем из i-го 

уравнения, 
2,4
i 
.