Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
НИЦ ИНФРА-М
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 1114
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN-онлайн: 978-5-16-106605-8
Артикул: 682723.02.99
Доступ онлайн
от 1 340 ₽
В корзину
Данное, 2-е издание является переработанным и дополненным. В учебном пособии изложены базовые разделы математики для бакалавров, ориентированных на изучение и моделирование социально-экономических процессов. В качестве среды изложения исполь-зуется пакет прикладных программ MATLAB. Курс включает 24 лекции и 24 семинарских занятия. Материалы лекций ограничены изложением теоретических сведений и результатов решений задач на семинарских занятиях. Семинары приготовлены в самодостаточной форме, т.е. они включают как теоретическую, так и практическую составляющие в изложе-нии материала. Весь курс можно поделить на четыре части. Первая часть называется “Ли-нейная алгебра и геометрия” (лекции и семинары №1 — №8). Во второй части курса изла-гаются основы “Математического анализа” (лекции и семинары №9 — №15). Третья часть курса посвящена знакомству с основами “Численных методов” (лекция и семинары №16 — №18). Наконец, четвертая часть курса посвящена изложению основ курса “Обыкновенные дифференциальные уравнения” (лекции и семинары №19 — №24).
В папке “Приложение к учебному пособию “Плохотников К.Э. Базовые разделы ма-тематики в среде MATLAB, MATLAB-файлы” сосредоточены 362 MATLAB-файла учеб-ных программ, разнесенных по 24-м папкам семинарских занятий. Данную папку можно скачать с сайта издательства. Коды всех программ представлены также в текстах семинар-ских занятий. Особенностью курса является активное использование изобразительных и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами навыками решения различного рода математических задач.
Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых вхо-дит дисциплина “Математика”. Он также может оказаться полезным для магистров, жела-ющих расширить свои знания по линейной алгебре и геометрии, математическому анализу, численным методам и обыкновенным дифференциальным уравнениям, опираясь на пакет прикладных программ MATLAB.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
К.Э. Плохотников Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB Москва Инфра-М 2018
К.Э. Плохотников Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB Учебное пособие Москва Инфра-М; Znanium.com 2018
УДК 512.1 + 514.7 + 517.1 + 519.2 ББК 99.9 Х99 Плохотников, К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB: учебное пособие / К.Э. Плохотников. – М.: Инфра-М; Znanium.com, 2018. – 2-е изд. – 1114 с. ISBN 978-5-16-106605-8 (online) Данное, 2-е издание является переработанным и дополненным. В учебном пособии изложены базовые разделы математики для бакалавров, ориентированных на изучение и моделирование социально-экономических процессов. В качестве среды изложения исполь-зуется пакет прикладных программ MATLAB. Курс включает 24 лекции и 24 семинарских занятия. Материалы лекций ограничены изложением теоретических сведений и результатов решений задач на семинарских занятиях. Семинары приготовлены в самодостаточной форме, т.е. они включают как теоретическую, так и практическую составляющие в изложе-нии материала. Весь курс можно поделить на четыре части. Первая часть называется “Ли-нейная алгебра и геометрия” (лекции и семинары №1 — №8). Во второй части курса изла-гаются основы “Математического анализа” (лекции и семинары №9 — №15). Третья часть курса посвящена знакомству с основами “Численных методов” (лекция и семинары №16 — №18). Наконец, четвертая часть курса посвящена изложению основ курса “Обыкновенные дифференциальные уравнения” (лекции и семинары №19 — №24). В папке “Приложение к учебному пособию “Плохотников К.Э. Базовые разделы ма-тематики в среде MATLAB, MATLAB-файлы” сосредоточены 362 MATLAB-файла учеб-ных программ, разнесенных по 24-м папкам семинарских занятий. Данную папку можно скачать с сайта издательства. Коды всех программ представлены также в текстах семинар-ских занятий. Особенностью курса является активное использование изобразительных и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами навыками решения различного рода математических задач. Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых вхо-дит дисциплина “Математика”. Он также может оказаться полезным для магистров, жела-ющих расширить свои знания по линейной алгебре и геометрии, математическому анализу, численным методам и обыкновенным дифференциальным уравнениям, опираясь на пакет прикладных программ MATLAB. ISBN 978-5-16-106605-8 (online) © К.Э. Плохотников, 2018
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 2 — УДК 512.1 + 514.7 + 517.1 + 519.2 ББК 99.9 Х99 Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB: Учеб. пособие (Электронный ресурс). — 2-е издание, переработанное и дополненное. — М.: Инфра-М; Вузовский Учебник; Znanium.com, 2018. — 1114с. Р е ц е н з е н т ы : док. тех. наук В.П. Белов; канд. физ.-мат. наук В.И. Приклонский; канд. тех. наук В.Н. Николенко Данное, 2-е издание является переработанным и дополненным. В учебном пособии изложены базовые разделы математики для бакалавров, ориентированных на изучение и моделирование социально-экономических процессов. В качестве среды изложения используется пакет прикладных программ MATLAB. Курс включает 24 лекции и 24 семинарских занятия. Материалы лекций ограничены изложением теоретических сведений и результатов решений задач на семинарских занятиях. Семинары приготовлены в самодостаточной форме, т.е. они включают как теоретическую, так и практическую составляющие в изложении материала. Весь курс можно поделить на четыре части. Первая часть называется “Линейная алгебра и геометрия” (лекции и семинары №1 — №8). Во второй части курса излагаются основы “Математического анализа” (лекции и семинары №9 — №15). Третья часть курса посвящена знакомству с основами “Численных методов” (лекция и семинары №16 — №18). Наконец, четвертая часть курса посвящена изложению основ курса “Обыкновенные дифференциальные уравнения” (лекции и семинары №19 — №24). В папке “Приложение к учебному пособию “Плохотников К.Э. Базовые разделы ма тематики в среде MATLAB, MATLAB-файлы” сосредоточены 362 MATLAB-файла учебных программ, разнесенных по 24-м папкам семинарских занятий. Данную папку можно скачать с сайта издательства. Коды всех программ представлены также в текстах семинарских занятий. Особенностью курса является активное использование изобразительных и вычислительных возможностей пакета MATLAB в целях овладения студентами навыками решения различного рода математических задач. Данный курс лекций ориентирован на бакалавров, в перечень обучения которых вхо дит дисциплина “Математика”. Он также может оказаться полезным для магистров, желающих расширить свои знания по линейной алгебре и геометрии, математическому анализу, численным методам и обыкновенным дифференциальным уравнениям, опираясь на пакет прикладных программ MATLAB. ISBN 9-999-99999-9 ББК 99.9 Х99 К.Э. Плохотников 2018
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 3 — ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ №1.....................................................................................................13 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.......................................13 §1. Определение матриц ............................................................................................................... 13 §2. Операции над матрицами ........................................................................................................ 17 §3. Определитель квадратной матрицы ........................................................................................ 22 §4. Свойства определителя ............................................................................................................ 26 ЛЕКЦИЯ №2.....................................................................................................29 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ...................................................29 §1. Линейные операции с векторами ............................................................................................ 29 §2. Координаты вектора ................................................................................................................. 32 §3. Скалярное произведение векторов ......................................................................................... 34 §4. Вектор в трехмерном пространстве ......................................................................................... 36 §5. Линейное векторное пространство .......................................................................................... 37 §6. Линейная зависимость (независимость) векторов .................................................................. 39 §7. Ранг матрицы ............................................................................................................................ 42 ЛЕКЦИЯ №3.....................................................................................................45 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ....................................................45 §1. Обратная матрица .................................................................................................................... 45 §2. Теорема об обратной матрице ................................................................................................ 46 §3. Блочные (клеточные) матрицы ................................................................................................ 50 §4. Способы нахождения обратной матрицы................................................................................ 55 ЛЕКЦИЯ №4.....................................................................................................61 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ .................................................................................61 §1. Система линейных алгебраических уравнений ....................................................................... 61 §2. Нахождение единственного решения ..................................................................................... 62 §3. Нахождение решения с помощью блочной матрицы ............................................................. 64 §4. Нахождение решения с помощью формул Крамера ............................................................... 66 §5. Общий подход к решению систем линейных уравнений ........................................................ 69 ЛЕКЦИЯ №5.....................................................................................................77 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. II ............................................................................77 §1. Базисные решения системы уравнений .................................................................................. 77 §2. Однородные системы уравнений ............................................................................................ 79 §3. Фундаментальные решения ..................................................................................................... 80 §4. Общее решение неоднородной системы уравнений.............................................................. 83 §5. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева ................................................................... 85 §6. Размерность и базис векторного пространства ....................................................................... 89
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 4 — ЛЕКЦИЯ №6.....................................................................................................96 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ............................................................................................................96 §1. Линейные подпространства ..................................................................................................... 96 §2. Евклидовы пространства ........................................................................................................ 100 §3. Ортонормированная система векторов ................................................................................. 102 §4. Линейные операторы ............................................................................................................. 104 §5. Собственные векторы и значения линейного оператора ...................................................... 108 ЛЕКЦИЯ №7................................................................................................... 113 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.............................................113 §1. Уравнение линии на плоскости .............................................................................................. 113 §2. Уравнение прямой .................................................................................................................. 115 §3. Некоторые совместные свойства пары прямых .................................................................... 120 §4. Окружность и эллипс .............................................................................................................. 124 ЛЕКЦИЯ №8................................................................................................... 128 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.II.........................................128 §1. Гипербола ............................................................................................................................... 128 §2. Парабола ................................................................................................................................. 134 §3. Кривые в полярной системе координат ................................................................................ 136 §4. Иные поименованные кривые ............................................................................................... 139 ЛЕКЦИЯ №9................................................................................................... 142 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.........142 §1. Ретроспектива расширения множества используемых чисел .............................................. 142 §2. Вещественные числа .............................................................................................................. 145 §3. Предел последовательности .................................................................................................. 149 §4. Предел монотонной последовательности ............................................................................. 152 §5. Операции с последовательностями ....................................................................................... 155 ЛЕКЦИЯ №10................................................................................................. 159 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .................159 §1. Понятие функции .................................................................................................................... 159 §2. Способы задания функции ..................................................................................................... 163 §3. Элементарные функции ......................................................................................................... 167 §4. Предел функции ..................................................................................................................... 168 §5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ............................................................ 171 §5. Непрерывность функции в точке............................................................................................ 173 ЛЕКЦИЯ №11................................................................................................. 177 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ..............177 §1. Определение производной .................................................................................................... 177 §2. Производные простейших функций ....................................................................................... 179 §3. Дифференциал функции......................................................................................................... 180
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 5 — §4. Геометрический смысл производной .................................................................................... 183 §5. Физический смысл производной ........................................................................................... 184 §6. Правила вычисления производных ....................................................................................... 188 §7. Производная и дифференциал сложной функции ................................................................ 192 §8. Таблица производных основных функций............................................................................. 194 ЛЕКЦИЯ №12................................................................................................. 195 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. II ..........................195 §1. Теорема Ферма ....................................................................................................................... 195 §2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях ...................................................... 196 §3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя .......................................................... 202 §4. Формула Тейлора ................................................................................................................... 206 §5. Примеры разложения с помощью формулы Тейлора .......................................................... 209 §6. Использование формулы Тейлора для вычисления пределов ............................................. 212 ЛЕКЦИЯ №13................................................................................................. 215 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ................................................215 §1. Первообразная и неопределенный интеграл........................................................................ 215 §2. Основные свойства неопределенного интеграла .................................................................. 217 §3. Интеграл и задача об определении площади ....................................................................... 219 §4. Различные способы интегрирования ..................................................................................... 222 ЛЕКЦИЯ №14................................................................................................. 231 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ..........................231 §1. Определение интеграла по Риману ....................................................................................... 231 §2. Условия интегрируемости функций по Риману ..................................................................... 234 §3. Свойства определенного интеграла ...................................................................................... 237 §4. Методы вычисления определенного интеграла ................................................................... 240 §5. Геометрические и физические приложения определенного интеграла .............................. 244 ЛЕКЦИЯ №15................................................................................................. 253 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ .............253 §1. Евклидово пространство ........................................................................................................ 253 §2. Предел и непрерывность функций многих переменных ...................................................... 256 §3. Частные производные и частные дифференциалы ............................................................... 261 §4. Производная по направлению ............................................................................................... 266 §5. Частные производные высших порядков .............................................................................. 270 ЛЕКЦИЯ №16................................................................................................. 272 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ....................................272 §1. Полиномиальный метод интерполяции ................................................................................ 272 §2. Интерполяционный многочлен Лагранжа ............................................................................. 275 §3. Сплайны .................................................................................................................................. 277 §4. Метод наименьших квадратов............................................................................................... 279 §5. Многомерная интерполяция .................................................................................................. 282
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 6 — ЛЕКЦИЯ №17................................................................................................. 286 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: ПОИСК МИНИМУМА (МАКСИМУМА) .......................286 §1. Постановка задачи .................................................................................................................. 286 §2. Поиск экстремумов функций .................................................................................................. 288 §3. Методы золотого сечения и параболы .................................................................................. 297 §4. Минимум функции многих переменных ............................................................................... 302 ЛЕКЦИЯ №18................................................................................................. 308 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)....................................................................308 §1. Случайные величины .............................................................................................................. 308 §2. Разыгрывание случайной величины ...................................................................................... 311 §3. Интерполяция ......................................................................................................................... 316 §4. Решение линейных алгебраических систем уравнений ........................................................ 319 §5. Вычисление интегралов ......................................................................................................... 321 ЛЕКЦИЯ №19................................................................................................. 325 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................................325 §1. Демографические модели ..................................................................................................... 325 §2. Модель “хищник-жертва” и некоторые обобщения ............................................................. 335 §3. Дифференциальное уравнение первого порядка ................................................................. 336 ЛЕКЦИЯ №20................................................................................................. 341 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ........................................................................................................341 §1. Уравнения с разделяющимися переменными ...................................................................... 341 §2. Однородные уравнения ......................................................................................................... 344 §3. Линейные уравнения первого порядка ................................................................................. 347 §4. Уравнения в полных дифференциалах .................................................................................. 351 §5. Существование и единственность решений .......................................................................... 353 ЛЕКЦИЯ №21................................................................................................. 360 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. II...................................................................................................360 §1. Уравнения, не разрешенные относительно производной .................................................... 360 §2. Метод введения параметра ................................................................................................... 363 §3. Уравнения, допускающее понижение порядка ..................................................................... 368 §4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ....................................................... 371 ЛЕКЦИЯ №22................................................................................................. 377 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. III .................................................................................................377 §1. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ..................................................... 377 §2. Краевые задачи ...................................................................................................................... 382
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 7 — §3. Линейные системы с постоянными коэффициентами .......................................................... 390 ЛЕКЦИЯ №23................................................................................................. 395 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): УСТОЙЧИВОСТЬ..............................................................................................................395 §1. Устойчивость ........................................................................................................................... 395 §2. Функция Ляпунова .................................................................................................................. 402 §3. Особые точки .......................................................................................................................... 406 ЛЕКЦИЯ №24................................................................................................. 413 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ........................................................................................................413 §1. Постановка задачи Коши ........................................................................................................ 413 §2. Метод Пикара ......................................................................................................................... 415 §3. Метод малого параметра ....................................................................................................... 416 §4. Метод ломаных ...................................................................................................................... 418 §5. Метод Рунге-Кутта .................................................................................................................. 421 §6. Решатели дифференциальных уравнений в пакете MATLAB ................................................ 428 СЕМИНАР №1................................................................................................ 433 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.....................................433 §1. Определение матриц ............................................................................................................. 433 §2. Операции над матрицами ...................................................................................................... 437 §3. Определитель квадратной матрицы ...................................................................................... 443 §4. Свойства определителя .......................................................................................................... 448 §5. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 450 СЕМИНАР №2................................................................................................ 453 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА .................................................453 §1. Линейные операции с векторами .......................................................................................... 453 §2. Координаты вектора ............................................................................................................... 457 §3. Скалярное произведение векторов ....................................................................................... 459 §4. Вектор в трехмерном пространстве ....................................................................................... 461 §5. Линейное векторное пространство ........................................................................................ 462 §6. Линейная зависимость (независимость) векторов ................................................................ 465 §7. Ранг матрицы .......................................................................................................................... 468 §8. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 470 СЕМИНАР №3................................................................................................ 477 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ОБРАТНАЯ МАТРИЦА ..................................................477 §1. Обратная матрица .................................................................................................................. 477 §2. Теорема об обратной матрице .............................................................................................. 478 §3. Блочные (клеточные) матрицы .............................................................................................. 484 §4. Способы нахождения обратной матрицы.............................................................................. 490 §5. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 495
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 8 — СЕМИНАР №4................................................................................................ 500 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ...............................................................................500 §1. Система линейных алгебраических уравнений ..................................................................... 500 §2. Нахождение единственного решения ................................................................................... 501 §3. Нахождение решения с помощью блочной матрицы ........................................................... 504 §4. Нахождение решения с помощью формул Крамера ............................................................. 506 §5. Общий подход к решению систем линейных уравнений ...................................................... 509 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 518 СЕМИНАР №5................................................................................................ 522 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. II ..........................................................................522 §1. Базисные решения системы уравнений ................................................................................ 522 §2. Однородные системы уравнений .......................................................................................... 524 §3. Фундаментальные решения ................................................................................................... 526 §4. Общее решение неоднородной системы уравнений............................................................ 529 §5. Модель многоотраслевой экономики Леонтьева ................................................................. 531 §6. Размерность и базис векторного пространства ..................................................................... 536 §7. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 543 СЕМИНАР №6................................................................................................ 549 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ..........................................................................................................549 §1. Линейные подпространства ................................................................................................... 549 §2. Евклидовы пространства ........................................................................................................ 555 §3. Ортонормированная система векторов ................................................................................. 557 §4. Линейные операторы ............................................................................................................. 560 §5. Собственные векторы и значения линейного оператора ...................................................... 564 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 570 СЕМИНАР №7................................................................................................ 576 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.............................................576 §1. Уравнение линии на плоскости .............................................................................................. 576 §2. Уравнение прямой .................................................................................................................. 579 §3. Некоторые совместные свойства пары прямых .................................................................... 586 §4. Окружность и эллипс .............................................................................................................. 591 §5. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 596 СЕМИНАР №8................................................................................................ 602 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: ЛИНИИ НА ПЛОСКОСТИ.II.........................................602 §1. Гипербола ............................................................................................................................... 602 §2. Парабола ................................................................................................................................. 610 §3. Кривые в полярной системе координат ................................................................................ 614 §4. Иные поименованные кривые ............................................................................................... 618 §5. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 622
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 9 — СЕМИНАР №9................................................................................................ 630 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ .............................................................................................630 §1. Ретроспектива расширения множества используемых чисел .............................................. 630 §2. Вещественные числа .............................................................................................................. 635 §3. Предел последовательности .................................................................................................. 640 §4. Предел монотонной последовательности ............................................................................. 643 §5. Операции с последовательностями ....................................................................................... 646 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 651 СЕМИНАР №10.............................................................................................. 659 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .................659 §1. Понятие функции .................................................................................................................... 659 §2. Способы задания функции ..................................................................................................... 664 §3. Элементарные функции ......................................................................................................... 668 §4. Предел функции ..................................................................................................................... 669 §5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции ............................................................ 674 §5. Непрерывность функции в точке............................................................................................ 677 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 681 СЕМИНАР №11.............................................................................................. 690 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ..............690 §1. Определение производной .................................................................................................... 690 §2. Производные простейших функций ....................................................................................... 692 §3. Дифференциал функции......................................................................................................... 694 §4. Геометрический смысл производной .................................................................................... 697 §5. Физический смысл производной ........................................................................................... 699 §6. Правила вычисления производных ....................................................................................... 704 §7. Производная и дифференциал сложной функции ................................................................ 710 §8. Таблица производных основных функций............................................................................. 711 §9. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 712 СЕМИНАР №12.............................................................................................. 719 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. II ..........................719 §1. Теорема Ферма ....................................................................................................................... 719 §2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях ...................................................... 721 §3. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя .......................................................... 727 §4. Формула Тейлора ................................................................................................................... 733 §5. Примеры разложения с помощью формулы Тейлора .......................................................... 736 §6. Использование формулы Тейлора для вычисления пределов ............................................. 740 §7. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 742 СЕМИНАР №13.............................................................................................. 751 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .............................................................................751 §1. Первообразная и неопределенный интеграл........................................................................ 751 §2. Основные свойства неопределенного интеграла .................................................................. 753
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 10 — §3. Интеграл и задача об определении площади ....................................................................... 757 §4. Различные способы интегрирования ..................................................................................... 759 §5. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 769 СЕМИНАР №14.............................................................................................. 773 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ..........................773 §1. Определение интеграла по Риману ....................................................................................... 773 §2. Условия интегрируемости функций по Риману ..................................................................... 778 §3. Свойства определенного интеграла ...................................................................................... 780 §4. Методы вычисления определенного интеграла ................................................................... 784 §5. Геометрические и физические приложения определенного интеграла .............................. 789 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 799 СЕМИНАР №15.............................................................................................. 804 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ..................................................................................................................804 §1. Евклидово пространство ........................................................................................................ 804 §2. Предел и непрерывность функций многих переменных ...................................................... 807 §3. Частные производные и частные дифференциалы ............................................................... 815 §4. Производная по направлению ............................................................................................... 821 §5. Частные производные высших порядков .............................................................................. 825 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 828 СЕМИНАР №16.............................................................................................. 833 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ....................................833 §1. Полиномиальный метод интерполяции ................................................................................ 833 §2. Интерполяционный многочлен Лагранжа ............................................................................. 837 §3. Сплайны .................................................................................................................................. 840 §4. Метод наименьших квадратов............................................................................................... 844 §5. Многомерная интерполяция .................................................................................................. 847 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 852 СЕМИНАР №17.............................................................................................. 862 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: ПОИСК МИНИМУМА (МАКСИМУМА) .......................862 §1. Постановка задачи .................................................................................................................. 862 §2. Поиск экстремумов функций .................................................................................................. 864 §3. Методы золотого сечения и параболы .................................................................................. 875 §4. Минимум функции многих переменных ............................................................................... 883 §5. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 890 СЕМИНАР №18.............................................................................................. 901 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ: МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ (МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО)....................................................................901 §1. Случайные величины .............................................................................................................. 901 §2. Разыгрывание случайной величины ...................................................................................... 904 §3. Интерполяция ......................................................................................................................... 912
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 11 — §4. Решение линейных алгебраических систем уравнений ........................................................ 916 §5. Вычисление интегралов ......................................................................................................... 918 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 924 СЕМИНАР №19.............................................................................................. 933 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................................933 §1. Демографические модели ..................................................................................................... 933 §2. Модель “хищник-жертва” и некоторые обобщения ............................................................. 946 §3. Дифференциальное уравнение первого порядка ................................................................. 948 §4. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 952 СЕМИНАР №20.............................................................................................. 959 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ........................................................................................................959 §1. Уравнения с разделяющимися переменными ...................................................................... 959 §2. Однородные уравнения ......................................................................................................... 963 §3. Линейные уравнения первого порядка ................................................................................. 966 §4. Уравнения в полных дифференциалах .................................................................................. 972 §5. Существование и единственность решений .......................................................................... 974 §6. Дополнительные задачи ........................................................................................................ 980 СЕМИНАР №21.............................................................................................. 987 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. II...................................................................................................987 §1. Уравнения, не разрешенные относительно производной .................................................... 987 §2. Метод введения параметра ................................................................................................... 991 §3. Уравнения, допускающее понижение порядка ..................................................................... 996 §4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ......................................................1000 §5. Дополнительные задачи .......................................................................................................1007 СЕМИНАР №22............................................................................................ 1017 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. III ...............................................................................................1017 §1. Линейные уравнения с переменными коэффициентами ....................................................1017 §2. Краевые задачи .....................................................................................................................1023 §3. Линейные системы с постоянными коэффициентами .........................................................1032 §4. Дополнительные задачи .......................................................................................................1038 СЕМИНАР №23............................................................................................ 1046 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОДУ): УСТОЙЧИВОСТЬ............................................................................................................1046 §1. Устойчивость ..........................................................................................................................1046 §2. Функция Ляпунова .................................................................................................................1055 §3. Особые точки .........................................................................................................................1060 §4. Дополнительные задачи .......................................................................................................1072
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 12 — СЕМИНАР №24............................................................................................ 1082 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ..........................................................................1082 §1. Постановка задачи Коши .......................................................................................................1082 §2. Метод Пикара ........................................................................................................................1084 §3. Метод малого параметра ......................................................................................................1085 §4. Метод ломаных .....................................................................................................................1087 §5. Метод Рунге-Кутта .................................................................................................................1091 §6. Решатели дифференциальных уравнений в пакете MATLAB ...............................................1101 §7. Дополнительные задачи .......................................................................................................1106
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 13 — Лекция №1 АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ: МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Определяется понятие “матрицы”, а также основные операции с матрицами и над матрицами. Вводятся единичная и нулевая матрицы, понятие “определителя” квадратной матрицы. Формулируется теорема об определителе квадратной матрицы. §1. Определение матриц В этой и последующих лекциях будут рассмотрены основные положения классической математической дисциплины — линейной алгебры. Изложение будет осуществляться параллельно: обычным способом, т.е. с изложением деталей вычислений, а также на семинарах с помощью опоры на такой пакет прикладных программ, как MATLAB1. Курс линейной алгебры является классическим разделом математики, излагаемым в вузах самой разной ориентации. Существует огромное количество учебников по курсу линейной алгебры2 разного уровня сложности, полноты изложения и различного рода специализации. Мы рассмотрим лишь некоторые разделы, которые наиболее важны для целей исследования и моделирования социально-экономических процессов. Матрица или таблица чисел прямоугольной формы занимает особую роль в знаковой деятельности человека. Человеку трудно изучать бесформенную совокупность чисел. На рис.1,а приведена пара совокупностей чисел, которые разбросаны случайно в прямоугольнике A и собраны в виде таблицы B на рис.1,б. Когда числа собраны в прямоугольную таблицу, то можно говорить о числе строк и столбцов. Так в таблице на рис.1,б — 3 строки и 2 столбца. В этом случае будем говорить, что таблица на рис.1,б имеет размер 32. Таблица чисел может быть и квадратная, например, 33, т.е. она тогда квадратная, когда у нее число строк и столбцов совпадает. Наконец, можно говорить о самой простейшей матрице, которая состоит из одной строки и одного столбца, т.е. о матрице 11 — это просто одно число. 1 Среда MATLAB для научных и технических математических вычислений изложена во множестве учебных пособий, среди них выделим: Мартынов Н.Н. Введение в MATLAB6. — М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2002. 352с.; Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5+Simulink4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. — М.: СОЛОН-Пресс, 2002. 768с.; Плохотников К.Э., Волков Б.И., Задорожный С.С., Антонюк В.А., Терентьев Е.Н., Белинский А.В. Методы разработки курсовых работ. Моделирование, вычисления, программирование на С/С++ и MATLAB, виртуализация, образцы лучших студенческих курсовых работ: Учеб. пособие/ Под ред. К.Э. Плохотникова. — М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2006. 320с.; Плохотников К.Э. Вычислительные методы. Учебное пособие для вузов. — 2-е изд., испр. — М.: Горячая линия — Телеком, 2013. 496с. 2 Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для вузов. — 6-н изд. стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 280с.; Воеводин В.В. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1980. — 400с.; Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования, 1998. — 320с.; Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. — М.: Эксмо, 2006. — 224с.; Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х. ч. Ч.1 — М.: Финансы и статистика, 2000. — 224с.; Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: в 2-х. ч. Ч.2 — М.: Финансы и статистика, 2000. — 376с.
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 14 — 5,1 2 5,2 3 2 1 B Рис.1,а. Бесформенная совокупность некоторого числа чисел Рис.1,б. Числа собраны в виде сово купности прямоугольной формы Ниже приведен пример статистики3 с данными по числу самоубийств и количеству потребляемого алкоголя в РФ в течение ряда лет. Определение такой таблицы уже подразумевает изучение вопроса: как связаны друг с другом количество потребляемого алкоголя с числом самоубийств в РФ? Год Алкоголь (млн. дкл) Самоубийства (тыс. чел.) 1970 101,0 38,9 1975 122,0 44,8 1980 137,0 47,9 1985 109,0 44,6 1990 78,8 39,2 1995 60,8 61,0 1996 39,3 57,8 1997 46,0 55,0 1998 50,0 51,8 1999 73,4 57,3 2000 74,4 56,9 2001 83,5 57,3 2002 90,4 55,3 2003 91,5 51,7 2004 95,9 49,4 В общем случае прямоугольную матрицу A можно определить двумя це лыми числами: числом строк — n (n 1) и числом столбцов — m (m 1). Число строк и столбцов или порядок матрицы, или габариты матрицы можно представить в виде: A = A(nm). Сами матрицы будем обозначать заглавными латинскими буквами A, B, …, а их элементы — строчными, например, a11, a12,…an,m; b11, b12,…, bn,m, … Элементы матриц могут быть самыми разнообразными числами: целыми, вещественными, комплексными или иными объектами. В этом случае приняты следующие способы изображения матриц в виде прямоугольных таблиц: 3 Российский статистический ежегодник. 2005: Стат. сб./Росстат. — М.:, 2006. 819с. A 1 2 3 2,5 2 1,5
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 15 — m n n n m m m n n n m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a m n A A , 2 , 1, ,2 22 21 ,1 12 11 , 2 , 1, ,2 22 21 ,1 12 11 ... ... ... ... ... ... ... ... ) ( . На семинаре при обращении к пакету MATLAB научимся генерировать различного рода матрицы, используя специальные генераторы случайных чисел. К ним относятся rand, randi, randn и пр. Пример №1. Построить матрицу A размером 45, элементами которой выступают равновероятно случайные натуральные числа из набора 1,2,…,9. Решение. На рис.2 приведен пример построения искомой матрицы в па кете MATLAB, где используется генератор randi. Рис.2. Генерация в среде MATLAB матриц со случайными элементами Рис.3. Генерация в среде MATLAB матриц со случайными элементами В качестве элементов матрицы могут выступать равномерно случайные числа из иных других интервалов.
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 16 — Пример №2. Построить матрицу A(79), в качестве элементов которой выступают целые как положительные, так и отрицательные, например, из диапазона –N, –N + 1, …, –1, 0, 1, 2, …, M (N, M — целые положительные числа, т.е. N 1, M 1) Решение. Итог представлен на рис.3, где изображена матрица размером 79, элементы которой выбраны равновероятно случайно из диапазона –10, — 9, …, –1, 0, 1, …, 20. Здесь также используется генератор randi. Можно строить матрицы и с иными элементами, например, веществен ными. Пример №3. Построить матрицу A(47) с вещественными элементами. Решение. В этом случае можно использовать, например, генератор слу чайных чисел randn. Итог работы подходящей программы представлен на рис.4, где изображена матрица размером 47, элементами которой выступают случайные вещественные числа, распределенные по нормальному закону4. Рис.4. Генерация в среде MATLAB матриц со случайными элементами Помимо обозначения матрицы в виде одной заглавной буквы, например, A, будем также использовать обозначения: A = ||ai,j|| = (ai,j), i = 1,…,n; j = 1,…,m. В последней записи матрицы первый индекс i обозначает номер строки, второй индекс — номер столбца j. Главной диагональю квадратной матрицы n n n n n n a a a a a a a a a n n A , 2 , 1, ,2 22 21 ,1 12 11 ... ... ... ... ) ( 4 В теории вероятностей говорят, что случайные вещественные числа, принимающие значения на всей числовой оси (–;+), подчинены стандартному нормальному распределению, когда плотность распределе ния случайной величины N(0,1) определяется выражением 2 2 2 1 )1,0 ( x e N . Например, известно, что рост и вес людей приближенно подчиняется нормальному распределению. Более подробно с нормальным распределением студенты познакомятся в курсе теории вероятностей.
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 17 — называется набор элементов матрицы: a11, a22, …, an,n. Главная диагональ идет с левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. §2. Операции над матрицами Будем полагать две матрицы A(n1m1) = ||ai,j||, B (n2m2)= ||bi,j|| равными, когда их размеры и все элементы совпадают, т.е. n1 = n2 = n, m1 = m2 = m, ai,j = bi,j, i = 1,…,n; j = 1,…,m. Сложение матриц. Суммой двух матриц одинаковых размеров A(nm) = ||ai,j|| и B(nm) = ||bi,j|| называется такая матрица C(nm) = ||ci,j|| тех же размеров, что ci,j = ai,j + bi,j; i = 1,…,n; j = 1,…,m. (1) В краткой форме сложение матриц A и B записывается в форме C = A + B. В итоге, согласно (1), можем записать: . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... , 2 , 1, ,2 22 21 ,1 12 11 , , 2 , 2 , 1, 1, ,2 ,2 22 22 21 21 ,1 ,1 12 12 11 11 , 2 , 1, ,2 22 21 ,1 12 11 , 2 , 1, ,2 22 21 ,1 12 11 m n n n m m m n m n n n n n m m m m m n n n m m m n n n m m c c c c c c c c c b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b b b a a a a a a a a a Пример №4. Построить и сложить пару матриц A(nm) и B(nm). Решение. На семинаре №1 рассмотрена короткая программа среды MATLAB, которая генерирует две целочисленные матрицы A(nm) и B(nm) с равномерно случайными элементами из диапазона 1,…,10 и находит их сумму C(nm). На рис.5 приведен итог работы одного из запусков данной программы. Из определения суммы матриц в (1) вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и сложение вещественных чисел, т.е. свойствами коммутативности и ассоциативности: 1) свойства коммутативности: A + B = B + A; 2) свойство ассоциативности: (A + B) + C = A + (B + C). Перечисленные выше свойства позволяют не заботиться о порядке сле дования слагаемых в сумме двух и более матриц. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A(nm) = ||ai,j|| на число называется матрица B(nm) = ||bi,j||, элементы которой вычисляются по правилу: bi,j = ai,j; i = 1,…,n; j = 1,…,m. (2) Для записи произведения матрицы A на число используется запись: B = A. Из формулы (2) вытекают следующие свойства произведения матрицы на число:
Плохотников К.Э. Базовые разделы математики для бакалавров в среде MATLAB — 18 — 1) свойство ассоциативности по числовому множителю: ()A = (A); 2) свойство дистрибутивности относительно сложения матриц: (A + B) = A + B; 3) свойство дистрибутивности относительно суммы чисел: ( + )A = A + A. Рис.5. Пример генерации и сложения двух матриц Теперь можно определить разность двух матриц A и B, как такую мат рицу C, которая, будучи сложенной с матрицей B, даст матрицу A. Для обозначения разности пары матриц A и B используют привычную запись C = A – B. Данная запись также может быть выведена из правил произведения матрицы на число. Пример №5. Построить две матрицы A(nm) и B(nm), определить две константы , и найти выражение C = A + B. Решение. На семинаре №1 рассмотрена MATLAB-программа, которая определяет пару целочисленных матриц A(nm) и B(nm) с равномерно случайными элементами из диапазона –N, …, M, а также два сомножителя и . В результате работы программы вычисляется матрица C = A + B. На рис.6 приведен итог одного из запусков данной программы.
Доступ онлайн
от 1 340 ₽
В корзину