Методы оптимизации. Кн.2

Ф. П. Васильев

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

ЧАСТЬ II

Оптимизация в функциональных пространствах.
Регуляризация. Аппроксимация

Издание новое,
переработанное и дополненное

Допущено Учебно-методическим объединением по классическому
университетскому образованию в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по специальности ВПО 010501
«Прикладная математика и информатика»

Москва
Издательство МЦНМО
2011

УДК 519.6(075.8)
ББК 22.19
В19

Васильев Ф. П.
В19
Методы оптимизации: В 2-х кн. — Новое изд., перераб. и доп. — М.:
МЦНМО, 2011.
ISBN 978-5-94057-706-5
Кн. 2. — 433 с. — ISBN 978-5-94057-708-9

В книге изложены численные методы решения задач оптимизации. Приводятся
теоретическое обоснование и краткие характеристики этих методов. Рассматриваются задачи минимизации функций в конечномерных и бесконечномерных пространствах, а также задачи оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Для студентов вузов по специальности «Прикладная математика» и специалистов в области задач оптимизации.
Предыдущее издание книги вышло в 2002 г. в издательстве «Факториал».

ББК 22.19

ISBN 978-5-94057-708-9

9 785940 577089 >

ISBN 978-5-94057-706-5
ISBN 978-5-94057-708-9 (кн. 2)
c⃝ Васильев Ф. П., 2011
c⃝ МЦНМО, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к новому изданию
7

Предисловие
8

ЧАСТЬ I
КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ.
ПРИНЦИП МАКСИМУМА.
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Глава 1. Методы минимизации функций одной переменной
12
§ 1.
Постановка задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 2.
Классический метод
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 3.
Метод деления отрезка пополам
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 4.
Метод золотого сечения. Симметричные методы . . . . . . . . .
21
§ 5.
Об оптимальных методах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§ 6.
Метод ломаных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
§ 7.
Методы покрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
§ 8.
Выпуклые функции одной переменной . . . . . . . . . . . . . . .
37
§ 9.
Метод касательных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
§ 10. Метод Стронгина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Глава 2. Классическая теория экстремума функций многих переменных
56
§ 1.
Постановка задачи. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . .
56
§ 2.
Классический метод решения задач на безусловный экстремум
67
§ 3.
Задачи на условный экстремум. Необходимые условия первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
§ 4.
Необходимые условия экстремума второго порядка
. . . . . . .
82
§ 5.
Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
§ 6.
Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103

Глава 3. Элементы линейного программирования
112
§ 1.
Постановка задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
§ 2.
Геометрическая интерпретация. Угловые точки
. . . . . . . . .
119
§ 3.
Симплекс-метод. Антициклин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 4.
Поиск начальной угловой точки
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
§ 5.
Условие разрешимости задач линейного программирования.
Теоремы двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 4. Элементы выпуклого анализа
171
§ 1.
Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
§ 2.
Выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
§ 3.
Сильно выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
§ 4.
Проекция точки на множество
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
§ 5.
Отделимость выпуклых множеств
. . . . . . . . . . . . . . . . .
219
§ 6.
Субградиент. Субдифференциал
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
§ 7.
Равномерно выпуклые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
§ 8.
Обоснование правила множителей Лагранжа . . . . . . . . . . .
244
§ 9.
Теорема Куна–Таккера. Двойственная задача
. . . . . . . . . .
252

Глава 5. Методы минимизации функций многих переменных
276
§ 1.
Градиентный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
§ 2.
Метод проекции градиента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
§ 3.
Метод проекции субградиента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
§ 4.
Метод условного градиента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
§ 5.
Метод возможных направлений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
§ 6.
Проксимальный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
§ 7.
Метод линеаризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
§ 8.
Квадратичное программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
§ 9.
Метод сопряженных направлений
. . . . . . . . . . . . . . . . .
340
§ 10. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
348
§ 11. Непрерывные методы с переменной метрикой
. . . . . . . . . .
356
§ 12. Метод покоординатного спуска . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
359
§ 13. Метод покрытия в многомерных задачах . . . . . . . . . . . . .
364
§ 14. Метод модифицированных функций Лагранжа . . . . . . . . . .
367
§ 15. Экстраградиентный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
§ 16. Метод штрафных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
§ 17. Доказательство необходимых условий экстремума первого
и второго порядков с помощью штрафных функций . . . . . . .
397
§ 18. Метод барьерных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407
§ 19. Метод нагруженных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
416
§ 20. О методе случайного поиска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428
§ 21. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432

Глава 6. Принцип максимума Понтрягина
437
§ 1.
Постановка задачи оптимального управления . . . . . . . . . . .
437
§ 2.
Формулировка принципа максимума. Примеры . . . . . . . . . .
450
§ 3.
Доказательство принципа максимума
. . . . . . . . . . . . . . .
472
§ 4.
Принцип максимума для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
499
§ 5.
Связь между принципом максимума и классическим вариационным исчислением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
532

ОГЛАВЛЕНИЕ
629

Глава 7. Динамическое программирование
536
§ 1.
Схема Беллмана. Проблема синтеза для дискретных систем . .
536
§ 2.
Схема Моисеева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549
§ 3.
Проблема синтеза для систем с непрерывным временем . . . . .
555
§ 4.
Достаточные условия оптимальности
. . . . . . . . . . . . . . .
563

Список литературы
570

Дополнительный список литературы
604

Предметный указатель
611

Обозначения
615

ЧАСТЬ II
ОПТИМИЗАЦИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ.
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ. АППРОКСИМАЦИЯ

Глава 8. Методы минимизации в функциональных пространствах
631
§ 1.
Предварительные сведения. Обозначения . . . . . . . . . . . . .
632
§ 2.
Теорема Вейерштрасса в функциональных пространствах
. . .
639
§ 3.
Дифференцирование. Условия оптимальности . . . . . . . . . .
661
§ 4.
Методы минимизации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
694
§ 5.
Градиент в задаче оптимального управления со свободным правым концом
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
711
§ 6.
Градиент в задаче оптимального управления с дискретным временем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
726
§ 7.
Оптимальное управление процессом нагрева стержня . . . . . .
733
§ 8.
Оптимальное управление колебательными процессами
. . . . .
746
§ 9.
Оптимальное управление процессами, описываемыми уравнением Гурса–Дарбу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
757
§ 10. Взаимодвойственные задачи управления и наблюдения . . . . .
762
§ 11. Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
772

Глава 9. Методы решения неустойчивых задач оптимизации
786
§ 1.
Постановка задачи. Устойчивые и неустойчивые задачи минимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
786
§ 2.
Методы регуляризации для решения неустойчивых задач первого типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
795
§ 3.
Стабилизатор. Леммы о регуляризации . . . . . . . . . . . . . .
803
§ 4.
Метод стабилизации
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
812
§ 5.
Метод невязки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
830
§ 6.
Метод квазирешений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
834
§ 7.
Методы регуляризации с расширением множества . . . . . . . .
838
§ 8.
Регуляризованный метод проекции градиента
. . . . . . . . . .
846
§ 9.
Регуляризованный метод условного градиента . . . . . . . . . .
855
§ 10. Регуляризованный экстраградиентный метод . . . . . . . . . . .
863
§ 11. Регуляризованный проксимальный метод . . . . . . . . . . . . .
874
§ 12. Регуляризованный метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . .
880

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 13. Регуляризованный непрерывный метод проекции градиента . .
891
§ 14. Метод динамической регуляризации . . . . . . . . . . . . . . . .
899

Глава 10. Аппроксимация экстремальных задач
907
§ 1.
Разностная аппроксимация квадратичной задачи оптимального
управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
907
§ 2.
Общие условия аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
917
§ 3.
Разностная аппроксимация для квадратичной задачи с фазовыми ограничениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
926
§ 4.
Регуляризация аппроксимаций экстремальных задач . . . . . .
933
§ 5.
Разностная аппроксимация квадратичной задачи с переменной
областью управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
943
§ 6.
Аппроксимация задачи быстродействия . . . . . . . . . . . . . .
952
§ 7.
Разностная аппроксимация задачи об оптимальном нагреве
стержня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
960
§ 8.
Об аппроксимации максиминных задач . . . . . . . . . . . . . .
983
Рекомендации по использованию книги
996

Список литературы
1006
Дополнительный список литературы
1040

Предметный указатель
1047
Обозначения
1052

Г Л А В А 8

МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ

В части I книги мы занимались задачами минимизации функций конечного числа переменных и задачами оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Наряду с этими задачами большой интерес для
практики представляют задачи оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями, задачи
наилучшего приближения функций и др. Оказывается, все перечисленные задачи можно
трактовать как экстремальные задачи в подходящим образом выбранных функциональных
пространствах, и для исследования этих задач использовать аппарат и методы функционального анализа. Такая трактовка позволяет выявить общие закономерности, присущие
широким классам экстремальных задач, создавать и исследовать общие методы решения таких задач. Эти проблемы, а также вопросы аппроксимации и регуляризации экстремальных
задач в функциональных пространствах составляют основное содержание части II книги.
В гл. 8 мы кратко остановимся на элементах теории экстремальных задач в гильбертовых и банаховых пространствах, на методах их решения, рассмотрим некоторые классы
задач оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями с частными производными. Определение многих понятий, характеризующих задачи оптимизации (локальный и глобальный минимум, верхняя
и нижняя грань функции, минимизирующая последовательность и т. п.), многих понятий
выпуклого анализа (выпуклое множество, выпуклая функция, проекция точки, субградиент
и т. п.) получаются из определений, приведенных в гл. 1, 2, 4, нужно лишь в них под точкой теперь понимать элементы рассматриваемых банаховых и гильбертовых пространств,
а вместо |u|, ⟨u, v⟩ понимать соответственно норму, скалярное произведение в этих пространствах. Поэтому мы здесь, как правило, не будем заново воспроизводить определения таких
понятий и ограничимся ссылками на часть I книги. Многие теоремы, справедливые в конечномерных пространствах, без изменений остаются справедливыми и в бесконечномерных
функциональных пространствах, и в таких случаях на соответствующее утверждение мы
будем ссылаться в его прежней формулировке, указывая в контексте, о каком пространстве
теперь идет речь.
Следует предупредить неопытного читателя, что имеется немало утверждений, справедливых лишь в конечномерных пространствах, и их обобщение на бесконечномерные
пространства требует определенной аккуратности и осторожности. В таких случаях мы
будем приводить точные формулировки соответствующих утверждений, иллюстрировать
их примерами и контрпримерами.
Напомним, что в гл. 6, 7 мы уже рассматривали задачи оптимального управления,
в которых управление принадлежит бесконечномерному функциональному пространству,
но значения фазовой траектории в каждый фиксированный момент времени являются точкой конечномерного пространства. В задачах оптимального управления процессами, описываемыми уравнениями с частными производными, значения траекторий будут элементами бесконечномерных функциональных пространств. Для сохранения связи с гл. 6, 7
мы далее в основном будем придерживаться обозначений из этих глав: целевую функцию
(функционал) будем обозначать через J(u), множество, на котором ищется экстремум этой
функции — через U, элементы множества U — через u, фазовые траектории — через x,
пространственную переменную — через s, а время, как обычно, будем обозначать через t.

ГЛ. 8. МИНИМИЗАЦИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Для понимания содержания излагаемого ниже материала достаточно знания начальных
глав функционального анализа и элементов теории функций действительных переменных
[258; 350; 357; 371; 393; 444; 705; 768]. Впрочем, заметим, что рассмотрение конкретных
классов задач оптимального управления в гл. 8–10 в основном ведется в терминах, связанных с этими задачами, и для понимания не требует знания элементов функционального
анализа.

§ 1. Предварительные сведения. Обозначения

Здесь мы не будем приводить определения линейных, метрических, нормированных, банаховых и гильбертовых пространств — эти определения, а также основные свойства этих пространств читатель может найти в [393]. Ограничимся рассмотрением лишь вещественных банаховых и гильбертовых пространств, не оговаривая этого в дальнейшем. Элементы этих пространств
часто будем называть точкой или вектором. Норму элемента в банаховом
пространстве B будем обозначать через ∥u∥B, скалярное произведение двух
элементов u, v из гильбертова пространства H — через ⟨u, v⟩H. Напоминаем,
что всякое гильбертово пространство H является банаховым пространством
с нормой ∥u∥H = (⟨u, v⟩H)1/2. Во всяком банаховом пространстве B можно
ввести метрику, взяв в качестве расстояния ρ(u, v) между точками u, v ∈ B
величину ρ(u, v) = ∥u − v∥B. В тех случаях, когда ясно, о каком банаховом
или гильбертовом пространстве идет речь, знаки B и H в обозначениях ∥u∥B,
⟨c, u⟩H будем опускать и писать просто ∥u∥, ⟨c, u⟩. Всюду ниже такие понятия,
как ограниченность, сходимость, замкнутость, полунепрерывность сверху или
снизу, компактность, будут пониматься в сильном смысле, т. е. в смысле нормы или метрики рассматриваемых банаховых пространств. Если эти понятия
будут употребляться в слабом смысле, то будем говорить о слабой сходимости, слабой замкнутости, слабой полунепрерывности сверху или снизу, слабой
компактности. Определение некоторых из этих понятий мы приведем и кратко поясним ниже по мере необходимости.
Кратко остановимся на понятии отображения. Пусть X и Y — два произвольных множества. Говорят, что на X определено отображение, если каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие некоторый однозначно определяемый элемент y ∈ Y . Для обозначения отображения F из X в Y часто
пользуются записью y = F(x) или y = Fx или F : X → Y . В зависимости от
того, какова природа множеств X и Y , вместо общего термина «отображение»
в соответствии с установившимися традициями часто употребляются термины «функция», «функционал», «оператор» и т. д. В частности, если Y представляет собой множество на числовой оси E1, то отображение F : X → E1

часто называют функцией. В классическом вариационном исчислении, когда
в роли X выступают различные функциональные пространства, вместо термина «функция» часто употребляют термин «функционал». Мы ниже будем
отождествлять термины «функция» и «функционал» — это позволит нам без
изменения формулировок пользоваться многими определениями и теоремами
из части I и в тех случаях, когда X представляет собой множество из метрического или банахова пространства.

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ
633

Через B∗ будем обозначать пространство, сопряженное к банахову пространству B. Напоминаем, что B∗ состоит из линейных ограниченных функций (функционалов), определенных на B. Значение линейной функции c ∈ B∗

в точке u ∈ B будем обозначать через ⟨c, u⟩B или ⟨c, u⟩. По определению, линейная ограниченная функция c такова, что

⟨c, αu + βv⟩ = α⟨c, u⟩ + β⟨c, v⟩,
|⟨c, u⟩| ⩽ M∥u∥

при всех u, v ∈ B и всех вещественных числах α, β; M — неотрицательная
постоянная, зависящая от функции c, но не зависящая от u ∈ B. Сопряженное
пространство B∗ само является банаховым с нормой ∥c∥B∗ = sup⟨c, u⟩B, где
верхняя грань берется по единичному шару ∥u∥B ⩽ 1. Отсюда следует, что
|⟨c, u⟩B| ⩽ ∥c∥B∗∥u∥B при всех u ∈ B, c ∈ B∗.
Если H — гильбертово пространство, то для всякой линейной ограниченной функции на H найдется элемент c ∈ H такой, что значение этой функции в любой точке u ∈ H можно представить в виде скалярного произведения
⟨c, u⟩H [393]. Поэтому пространство H∗, сопряженное к гильбертову пространству H, можно отождествить с самим H, причем такое отождествление будет
изометричным, т. е. ∥c∥H∗ =
sup
∥u∥H⩽1
⟨c, u⟩H = ∥c∥H. Последнее равенство выте
кает из неравенства Коши–Буняковского

|⟨u, v⟩H| ⩽ ∥u∥H∥v∥H,
u, v ∈ H.

Гиперплоскостью в банаховом пространстве B называют множество

Γ = {u: ⟨c, u⟩ = γ},

где c ̸= 0 — фиксированный элемент из B∗, называемый нормальным вектором гиперплоскости, а γ — некоторое вещественное число.
Если X и Y — два банаховых пространства, то прямое произведение B =
= X × Y также является банаховым пространством с нормой ∥u∥B = ∥x∥X +
+ ∥y∥Y элемента u = (x, y) ∈ B, и сопряженное к B пространство B∗ представимо в виде B∗ = X∗ × Y ∗.
В банаховых пространствах наряду с понятием сходимости по норме, или,
как еще говорят, сильной сходимости, важную роль играет понятие слабой
сходимости. Напомним
О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что последовательность {uk} из банахова
пространства B сходится к точке u ∈ B слабо в B, если

lim
k→∞⟨c, uk⟩ = ⟨c, u⟩
при всех
c ∈ B∗.

Если последовательность {uk} сходится к точке u сильно в B, т. е.
lim
k→∞ ∥uk − u∥ = 0, то {uk} сходится к той же точке также и слабо в B, так
как
|⟨c, uk⟩ − ⟨c, u⟩| = |⟨c, uk − u⟩| ⩽ ∥c∥B∥uk − u∥ → 0

при k → ∞. Обратное неверно: из слабой сходимости последовательности, вообще говоря, не следует ее сильная сходимость.

ГЛ. 8. МИНИМИЗАЦИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

П р и м е р 1. Пусть H — гильбертово пространство, пусть {ek} — некоторая бесконечная ортонормированная система в H, т. е. ⟨ei, ek⟩ = 0 при i ̸= k
и ⟨ek, ek⟩ = 1, где i, k = 1, 2, . . . Возьмем произвольный элемент c ∈ H∗ = H.
Тогда числа ck = ⟨c, ek⟩, k = 1, 2, . . ., представляют собой коэффициенты Фурье элемента c по системе {ek}. Согласно неравенству Бесселя [393, с. 151]
∞
k=1
c2
k ⩽ ∥c∥2, т. е. ряд
∞
k=1
c2
k сходится. Тогда lim
k→∞ ck = lim
k→∞⟨c, ek⟩ = 0 = ⟨c, 0⟩

при всех c ∈ H. Это значит, что последовательность {ek} слабо в H сходится
к нулю. Однако ∥ek − em∥2 = 2 при любых k ̸= m, поэтому последовательность
{ek} не является фундаментальной в H и не может сильно сходиться в H.
В частности, пусть H = L2[a, b] — пространство Лебега функций u = u(t),
a ⩽ t ⩽ b, с нормой

∥u∥L2 =

b
a
|u(t)|2 dt

1/2

и со скалярным произведением ⟨u, v⟩L2 =
ba
u(t)v(t) dt. Тогда ортонормированные системы
ek =

2

b − a sin πk(t − a)

b − a

,
ek =

2

b − a cos πk(t − a)

b − a

слабо в L2[a, b] сходятся к нулю, т. е.
ba
c(t)ek(t) dt → 0 при k → ∞ для любой
функции c(t) ∈ L2[a, b].
Так как сопряженное пространство B∗ само является банаховым, то в свою
очередь можно рассматривать второе сопряженное пространство (B∗)∗ = B∗∗,
состоящее из линейных ограниченных функций на B∗. Каждому элементу
u ∈ B можно поставить в соответствие линейную ограниченную функцию
⟨c, u⟩ переменной c ∈ B∗, т. е. некоторый элемент из B∗∗. Оказывается, это
соответствие таково, что норма ∥u∥B совпадает с нормой порожденной им
функции ⟨c, u⟩, c ∈ B∗. Поэтому, отождествляя элемент из B с порожденной
им функцией из B∗∗, получаем изометричное вложение пространства B в пространство B∗∗. В общем случае указанное вложение B ⊂ B∗∗ является строгим, т. е. возможно, что B ̸= B∗∗. В тех случаях, когда это вложение таково, что B = B∗∗, банахово пространство B называется рефлексивным. Всякое
гильбертово пространство H рефлексивно, так как H = H∗ = H∗∗ [393; 705].
Отображение A: X → Y , где X, Y — банаховы пространства, называют линейным оператором, если A(αx + βy) = αAx + βAy для всех x, y ∈ X и всех
вещественных чисел α, β. Линейный оператор A: X → Y называется ограниченным, если существует постоянная M ⩾ 0 такая, что ∥Ax∥Y ⩽ M∥x∥X для
всех x ∈ X. Если для каждого линейного ограниченного оператора A определить норму ∥A∥ =
sup
∥x∥X⩽1
∥Ax∥Y , то линейное пространство таких операто
ров превращается в банахово пространство, которое принято обозначать через
L(X → Y ). Для каждого оператора A ∈ L(X → Y ) равенство

⟨c, Ax⟩ = ⟨A∗c, x⟩,
x ∈ X,
c ∈ Y ∗,

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ
635

однозначно определяет оператор A∗ ∈ (Y ∗ → X∗), называемый сопряженным
к оператору A. Можно показать, что ∥A∗∥ = ∥A∥ [393; 705].
Если X = Y = H — гильбертово пространство, то H = H∗ = H∗∗ и при
каждом A ∈ L(H → H) сопряженный оператор A∗, определяемый равенством
⟨Au, v⟩H = ⟨u, A∗v⟩H, также действует из H в H. Поэтому здесь возможно
равенство A = A∗ — такой оператор A называют самосопряженным.
Приведем определения и обозначения некоторых конкретных банаховых
и гильбертовых пространств, которые нам понадобятся в дальнейшем.
В конечномерном линейном вещественном пространстве Rn точек u =

= (u1, . . . , un) наряду с евклидовой нормой |u| =
ni=1
|ui|21/2
могут быть

введены различные другие нормы. Например, полагая |u|p =
ni=1
|ui|p1/p
при

1 ⩽ p < ∞ или |u|∞ = max
1⩽i⩽n |ui|, получим различные банаховы пространства

Rn
p, 1 ⩽ p ⩽ ∞. Пространства Rn
p и Rn
q , где p−1 + q−1 = 1 при 1 < p < ∞, q = 1
при p = ∞ и q = ∞ при p = 1, являются взаимно сопряженными. В частности,
(Rn
2)∗ = Rn
2 = En. Заметим, что все нормы в Rn эквивалентны, т. е. если ∥u∥I
и ∥u∥II — какие-либо две нормы в Rn, то найдутся числа c1, c2 > 0 такие,
что c1∥u∥I ⩽ ∥u∥II ⩽ c2∥u∥I при всех u ∈ Rn. Заметим также, что в любом конечномерном банаховом пространстве понятия сильной и слабой сходимости
равносильны.
Через lp, 1 ⩽ p < ∞, будем обозначать банахово пространство после
довательностей u = (u1, . . . , uk, . . .) с конечной нормой ∥u∥lp =
∞
i=1
|uk|p1/p
.

В случае p = ∞ под l∞ понимают банахово пространство последовательностей
u =(u1, . . . , uk, . . .) с конечной нормой ∥u∥l∞ = sup
k
|uk|. Можно показать, что

lim
p→∞ ∥u∥lp = ∥u∥l∞ для всех u ∈ l∞. Сопряженным для lp, 1 ⩽ p < ∞, простран
ством является пространство lq, где p, q связаны равенством p−1 + q−1 = 1
при 1 < p < ∞ и q = +∞ при p = 1. Описание сопряженного к l∞ пространства
см. в [258; 371]. Пространство lp при 1 < p < ∞ рефлексивно. Пространство

l2 является гильбертовым со скалярным произведением ⟨u, v⟩l2 =
∞
i=1
uivi

и с нормой ∥u∥l2 = (⟨u, u⟩)1/2.
Пусть G — некоторое фиксированное измеримое по Лебегу множество из
евклидова пространства En. Через Lr
p(G), где 1 ⩽ p < ∞, r — целое положительное число, будем обозначать банахово пространство измеримых векторфункций u = u(t) = (u1(t), . . . , ur(t)), t ∈ G, с конечной нормой

∥u∥p =

G

|u(t)|p
Er dt

1/p

.

Если p = ∞, то через Lr
∞(G) будем обозначать банахово пространство ограниченных измеримых вектор-функций u = u(t) = (u1(t), . . . , ur(t)) с нормой

∥u∥L∞ = ess sup
t∈G
|u(t)|Er = inf
v sup
t∈G
|v(t)|Er,

ГЛ. 8. МИНИМИЗАЦИЯ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

где v = v(t) пробегает множество всех измеримых вектор-функций, совпадающих с u(t) почти всюду на G. Можно показать, что lim
p→∞ ∥u∥Lp = ∥u∥L∞ для

всех u ∈ L∞(G). Если r = 1, то вместо Lr
p(G) будем писать просто Lp(G),
1 ⩽ p ⩽ +∞. Если p = 2, то пространство Lr
2(G) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

⟨u, v⟩L2 =
G

⟨u(t), v(t)⟩Er dt =
G

r
i=1
ui(t)vi(t)
dt;

тогда ∥u∥2
L2 = ⟨u, u⟩L2. Пространство Lr
p(G) при 1 < p < ∞ является рефлексивным, а при p = 1 и p = ∞ оно нерефлексивно. Сопряженным для Lr
p(G),
1 < p < ∞, является пространство Lr
q(G), где 1 < q < ∞, p−1 + q−1 = 1, для
Lr
1(G) сопряженным является пространство Lr
∞(G); описание сопряженного
пространства для Lr
∞(G) см. в [258; 371].
Через C(G) будем обозначать банахово пространство непрерывных на замкнутом множестве G функций с нормой ∥u∥C = max
t∈G |u(t)|; это пространство

нерефлексивно; описание сопряженного к нему пространства см. в [258; 371].
Пусть множество G из En имеет непустую внутренность. Через C∞(G) будем обозначать множество функций, бесконечно дифференцируемых на множестве G. Говорят, что функция f(s) = f(s1, . . . , sn) ∈ L1(G) имеет обобщенную производную ∂f(s)/∂si = fsi(s) по переменной si в G, если fsi(s) ∈ L1(G)
и
G
ϕ(s)fsi(s) ds = −
G
ϕsi(s)f(s) ds для любой функции ϕ(s) ∈ C∞(G), об
ращающейся в нуль в некоторой приграничной полосе множества G; здесь
ϕsi(s) — частная производная ϕ(s) по переменной si [441; 492; 648].
Через H1(G) (или W 1
2 (G)) принято обозначать гильбертово пространство
функций
f(s) ∈ L2(G),
обладающих
обобщенными
производными
fsi(s) ∈ L2(G) по всем переменным s1, . . . , sn, причем скалярное произведение в этом пространстве определяется так:

⟨f, g⟩H1 =
G

f(s)g(s) +

n
i=1
fsi(s)gsi(s)
ds,

а норма имеет вид ∥f∥H1 = (⟨f, f⟩H1)1/2.
Через Hm(G) (или W m
2 (G)) обозначают гильбертово пространство функций f(s) ∈ L2(G), обладающих всеми обобщенными частными производными
до порядка m включительно, принадлежащими L2(G); скалярное произведение в Hm(G) определяется равенством

⟨f, g⟩Hm =
G

0⩽m1+...+mn⩽m

∂m1+...+mnf(s)
∂sm1
1
. . . ∂smn
n
∂m1+...+mng(s)
∂sm1
1
. . . ∂smn
n
ds,

а норма имеет вид ∥f∥Hm = (⟨f, f⟩Hm)1/2 [492; 648; 649].

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ОБОЗНАЧЕНИЯ
637

Ниже нам понадобятся пространства Hm
r (G), m ⩾ 1, представляющие
собой обобщение пространств Hm(G) на случай r-мерных вектор-функций.
Приведем соответствующие определения для случая, когда G = [a, b] =
= {t ∈ E1 : a ⩽ t ⩽ b}, a < b. Через Hm
r [a, b] обозначим гильбертово пространство вектор-функций u = u(t) = (u1(t), . . . , ur(t)) ∈ Lr
2[a, b], обладающих

обобщенными
производными
diu(t)

dti
=
diu1(t)

dti
, . . . , diur(t)

dti
,
i = 1, . . . , m,

принадлежащими Lr
2[a, b]; скалярное произведение в этом пространстве определяется равенством

⟨u, v⟩Hm
r =

b
a

⟨u(t), v(t)⟩Er +

m
i=1

diu(t)

dti , div(t)

dti
Er

dt,

норма равна

∥u∥Hm
r = (⟨u, u⟩Hm
r )1/2 =

b
a

|u(t)|2
Er +

m
i=1

diu(t)

dti
2

Er

dt

1/2

.

Удобно считать, что H0
r [a, b] = Lr
2[a, b]. Можно показать [95; 535; 649], что если

u(t) ∈ Hm
r [a, b], m ⩾ 1, то u(t), du(t)

dt , . . . , dm−1u(t)

dtm−1
представляют собой абсолютно непрерывные вектор-функции на отрезке [a, b].
При r = 1 пространство Hm
r [a, b], как и выше, будем обозначать просто

Hm[a, b]. Подпространство функций из Hm[a, b] со свойством
diu(a)

dti
= 0,
diu(b)

dti
= 0, i = 1, . . . , m − 1, будем обозначать через Hm
0 [a, b]. Подпространство Hm
0 [a, b] замкнуто в Hm[a, b] и поэтому само является гильбертовым
пространством. В Hm
0 [a, b] наряду со скалярным произведением и нормой, индуцированными из Hm[a, b], можно ввести скалярное произведение

⟨u, v⟩Hm
0 =
ba

dmu(t)

dtm
dmv(t)

dtm
dt и норму ∥u∥Hm
0 =
ba

dmu(t)

dtm
2
dt
1/2
, эквива
лентную норме ∥u∥Hm, т. е. c1∥u∥Hm ⩽ ∥u∥Hm
0 ⩽ ∥u∥Hm, c1 = const > 0.

Пополнение L2[a, b] в норме
sup
ϕ∈H1
0 [a,b]

⟨f, ϕ⟩L2[a,b]

∥ϕ∥H1
0
обозначают через H−1[a, b].

Можно показать [458; 557], что получающееся гильбертово пространство
H−1[a, b] изометрично пространству (H1
0[a, b])∗, поэтому можно считать, что
H−1[a, b] = (H1
0[a, b])∗. Пространство H−1[a, b] состоит из обобщенных функций (распределений), являющихся производными функций из L2[a, b] в смысле
обобщенных функций (например, известная δ-функция Дирака, являющаяся
производной функции скачка Хевисайда, принадлежит H−1[a, b]).
Пусть Q = G × {0 ⩽ t ⩽ T }, G ⊆ En, T — заданное положительное число. Через Hm,q(Q) будем обозначать пространство функций f(s, t) ∈ L2(Q),

обладающих обобщенными частными производными ∂i1+...+inf(s, t)

∂si1
1 . . . ∂sin
n
∈ L2(Q);

0 ⩽ i1 + . . . + in ⩽ m, ∂if(s, t)

∂ti
∈ L2(Q), i = 1, . . . , q; это пространство является