Абелевы многообразия, тэта-функции и преобразование Фурье

polishuk-3-fin-2.ai  01.06.2010 18:50:13
polishuk-3-fin-2.ai   01.06.2010   18:50:13

Абелевы многообразия, тэта-функции
и преобразование Фурье

Alexander Polishchuk
Boston University

Abelian Varieties, Theta Functions
and the Fourier Transform

Александр Полищук

Абелевы многообразия,
тэта-функции и
преобразование Фурье

Перевод с английского Ю. Ю. Кочеткова

Москва
Издательство МЦНМО
2010

УДК 512.7
ББК 22.147
П50

Издание осуществлено при поддержке РФФИ
(издательский проект № 04-01-14115)

П50
Полищук А. Е.
Абелевы многообразия, тэта-функции и преобразование
Фурье / Перевод с английского Ю. Ю. Кочеткова. — М.:
МЦНМО, 2010. — 312 с.
ISBN 0-521-80804-9 (англ.)
ISBN 978-5-94057-621-1 (русск.)

Книга является современной монографией по теории абелевых многообразий (как над комплексными числами, так и над произвольным
полем). Освещены, в частности, такие вопросы, как тэта-функции,
связь с группой Гейзенберга, преобразование Фурье—Мукаи, теория
якобианов кривых.
Для научных работников, аспирантов, студентов старших курсов.

ББК 22.147

Translation from the English language edition: Abelian Varieties, Theta Functions and
the Fourier Transform by A. Polishchuk. Cambridge University Press, 2003.

Александр Евгеньевич Полищук

Абелевы многообразия, тэта-функции
и преобразование Фурье

Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83

Подписано в печать 15.03.2010 г. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная. Печать
офсетная. Печ. л. 19,5. Тираж 400 экз. Заказ №

Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП «Типография „Наука“»
199034, Санкт-Петербург, В. О., 9 линия, 12

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине
«Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11.
Тел. (499) 241–72–85. E-mail: biblio@mccme.ru, http://biblio.mccme.ru

ISBN 0-521-80804-9 (англ.)
ISBN 978-5-94057-621-1 (русск.)
c⃝ Cambridge University Press, 2003.
c⃝ МЦНМО, перевод с англ., 2010.

Оглавление

Предисловие
13

Часть I. Аналитическая теория

Глава 1. Линейные расслоения на комплексных торах
21
§ 1.1.
Когомологии структурного пучка . . . . . . . . . . . . .
22
§ 1.2.
Теорема Аппеля—Гумберта . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§ 1.3.
Метрики и связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 1.4.
Линейное расслоение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . .
29
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

Глава 2. Представления групп Гейзенберга I
34
§ 2.1.
Группы Гейзенберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
§ 2.2.
Представление, порожденное изотропной подгруппой .
36
§ 2.3.
Вещественная группа Гейзенберга
. . . . . . . . . . . .
37
§ 2.4.
Представления, порожденные комплексными структурами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
§ 2.5.
Канонические тэта-функции . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

Глава 3. Тэта-функции I
45
§ 3.1.
Действие конечной группы Гейзенберга . . . . . . . . .
46
§ 3.2.
Выбор подъема
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
§ 3.3.
Тэта-ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
§ 3.4.
Теорема Лефшеца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Приложение А. Тэта-ряды и сигма-функция Вейерштрасса . .
56

Глава 4. Представления групп Гейзенберга II: сплетающие
операторы
59
§ 4.1.
Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
§ 4.2.
Построение сплетающих операторов . . . . . . . . . . .
61
§ 4.3.
Квадратичная функция, связанная с допустимой тройкой лагранжевых подгрупп
. . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 4.4.
Индекс Маслова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

Оглавление

§ 4.5.
Лагранжевы подпространства и решетки . . . . . . . .
69
§ 4.6.
Вычисление гауссовых сумм . . . . . . . . . . . . . . . .
71
§ 4.7.
Еще о гауссовых суммах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Приложение Б. Гауссовы суммы, связанные с целыми квадратичными формами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

Глава 5. Тэта-функции II: функциональные уравнения
80
§ 5.1.
Тэта-ряды и сплетающие операторы . . . . . . . . . . .
81
§ 5.2.
Существование совместимого лагранжева подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
§ 5.3.
Функциональное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . .
82
§ 5.4.
Групповое действие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
§ 5.5.
Тэта-ряды для соизмеримых решеток . . . . . . . . . .
87
§ 5.6.
Классические тэта-ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

Глава 6. Зеркальная симметрия торов
97
§ 6.1.
Категорный подход к зеркальной симметрии . . . . . .
98
§ 6.2.
Торическое лагранжево расслоение и его зеркально
двойственное . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 6.3.
Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
§ 6.4.
Подкрученный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
§ 6.5.
Зеркальная двойственность между симплектическими
и комплексными торами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
§ 6.6.
Коэффициенты Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108

Глава 7. Когомологии линейного расслоения на комплексном торе: использование зеркальной симметрии
110
§ 7.1.
Лагранжевы подторы и голоморфные линейные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
§ 7.2.
Вычисление когомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
§ 7.3.
Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116

Часть II. Алгебраическая теория

Глава 8. Абелевы многообразия и теорема о кубе
119
§ 8.1.
Групповые схемы и абелевы многообразия
. . . . . . .
120
§ 8.2.
Лемма о жесткости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

Оглавление
7

§ 8.3.
Теорема о кубе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
§ 8.4.
Линейные расслоения на абелевых многообразиях . . .
122
§ 8.5.
Обильность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
§ 8.6.
Комплексные торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127

Глава 9. Двойственное абелево многообразие
129
§ 9.1.
Фактор по действию конечной группы . . . . . . . . . .
130
§ 9.2.
Фактор по действию конечной групповой схемы . . . .
131
§ 9.3.
Построение двойственного абелева многообразия
. . .
132
§ 9.4.
Случай эллиптической кривой
. . . . . . . . . . . . . .
137
§ 9.5.
Фактор по абелеву подмногообразию . . . . . . . . . . .
138
§ 9.6.
Сравнение с трансцендентным описанием . . . . . . . .
140
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141

Глава 10. Расширения, бирасширения и двойственность
143
§ 10.1. Двойственность Картье
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
§ 10.2. Центральные расширения . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
§ 10.3. Бирасширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
§ 10.4. Дважды двойственный объект и спаривание Вейля . .
148
§ 10.5. Спуск и бирасширения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150
§ 10.6. Трансцендентное вычисление спаривания Вейля . . . .
151
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152

Глава 11. Преобразование Фурье—Мукаи
155
§ 11.1. Функторы между производными категориями когерентных пучков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§ 11.2. Доказательство теоремы 9.4 . . . . . . . . . . . . . . . .
157
§ 11.3. Определение и некоторые свойства преобразования Фурье—Мукаи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
§ 11.4. Преобразование Фурье—Мукаи и линейные расслоения
163
§ 11.5. Действие SL2(Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
165
§ 11.6. Индекс невырожденных линейных расслоений . . . . .
166
§ 11.7. Преобразование Фурье на группах Чжоу и на группах
когомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169

Глава 12. Группа Мамфорда и тэта-соотношение Римана
четвертой степени
171
§ 12.1. Алгебраическая теория групп Гейзенберга
. . . . . . .
172
§ 12.2. Группа Мамфорда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
§ 12.3. Спуск и векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . .
178

Оглавление

§ 12.4. Риманово тэта-соотношение четвертой степени . . . . .
179
§ 12.5. Трансцендентное вычисление . . . . . . . . . . . . . . .
181
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183

Глава 13. Еще о линейных расслоениях
187
§ 13.1. Квадратичная форма, определенная симметричным линейным расслоением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
§ 13.2. Кратности симметричного дивизора в точках порядка 2 190
§ 13.3. Случай главной поляризации . . . . . . . . . . . . . . .
191
§ 13.4. Трансцендентная картина . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
§ 13.5. Линейные расслоения и симметричные гомоморфизмы
193
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194

Глава 14. Векторные расслоения на эллиптических кривых
196
§ 14.1. Стабильные и полустабильные расслоения
. . . . . . .
196
§ 14.2. Категории полустабильных расслоений
. . . . . . . . .
198
§ 14.3. Стабильные расслоения на эллиптических кривых и рациональные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201

Глава 15. Эквивалентности между производными категориями когерентных пучков на абелевых многообразиях 204
§ 15.1. Построение эквивалентностей . . . . . . . . . . . . . . .
205
§ 15.2. Группоид Гейзенберга и его представления . . . . . . .
211
§ 15.3. Эквивалентности как сплетающие функторы . . . . . .
215
§ 15.4. Аналогия с индексом Маслова
. . . . . . . . . . . . . .
221
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227

Часть III. Якобианы

Глава 16. Конструкция якобиана
231
§ 16.1. Симметрические степени кривой . . . . . . . . . . . . .
231
§ 16.2. Конструкция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
§ 16.3. Расслоение Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
239
§ 16.4. Аналитическая конструкция . . . . . . . . . . . . . . . .
240
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241

Глава 17. Детерминантные расслоения и главная поляризация якобиана
242
§ 17.1. Детерминанты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243

Оглавление
9

§ 17.2. Отображение кривой в абелево многообразие . . . . . .
246
§ 17.3. Главная поляризация якобиана и тэта-дивизоры . . . .
247
§ 17.4. Некоторые канонические изоморфизмы и тождества
для тэта-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
§ 17.5. Многообразие Альбанезе . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
§ 17.6. Тэта-характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255

Глава 18. Тождество тройной секущей Фэя
257
§ 18.1. Ядро Коши—Сегҷ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
§ 18.2. Тождество для ядер
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
258
§ 18.3. Запись выражения в терминах тэта-функций . . . . . .
259
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262

Глава 19. Еще о симметрических степенях кривой
264
§ 19.1. Некоторые естественные дивизоры на Symd C
. . . . .
264
§ 19.2. Морфизмы в якобиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
§ 19.3. Симметрические степени векторных расслоений . . . .
267
§ 19.4. Группы Пикара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
§ 19.5. Классы Чженя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
270
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271

Глава 20. Многообразия особых дивизоров
274
§ 20.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
§ 20.2. Касательные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
§ 20.3. Оценки размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
§ 20.4. Касательные конусы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

Глава 21. Теорема Торелли
281
§ 21.1. Восстановление кривой по тэта-дивизору . . . . . . . .
281
§ 21.2. Вычисление Z(J) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
§ 21.3. Доказательство теоремы 21.1 . . . . . . . . . . . . . . .
284
§ 21.4. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287

Глава 22. Символ Делиня, детерминантные расслоения
и странная двойственность
288
§ 22.1. Виртуальные векторные расслоения . . . . . . . . . . .
288
§ 22.2. Символ Делиня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
§ 22.3. Детерминантные расслоения
. . . . . . . . . . . . . . .
292
§ 22.4. Обобщенные тэта-дивизоры и гипотеза странной двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293

Оглавление

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
Приложение В. Некоторые результаты из алгебраической геометрии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297

Литература
300

Библиографические замечания
307

Предметный указатель
311

Памяти Андрея Николаевича Тюрина

Предисловие

В 1981 г. С.Мукаи открыл нетривиальный алгебро-геометрический
аналог преобразования Фурье. Конструкция Мукаи определена в контексте абелевых многообразий и называется преобразованием Фурье—
Мукаи (см. [7]). Главная цель этой книги — введение в алгебраическую теорию абелевых многообразий, в рамках которой преобразование
Мукаи занимает надлежащее место. По нашему мнению, использование этого преобразования позволяет по-новому взглянуть на теорию
абелевых многообразий. С одной стороны, оно позволяет дать более
прозрачные доказательства известных теорем, с другой — аналогия с
преобразованием Фурье открывает новые направления исследований
в теории абелевых многообразий. Стандартное преобразование Фурье
применяется в доказательстве функциональных уравнений для тэтафункций, так что оно важно в аналитической теории комплексных
абелевых многообразий. В книгах [6] и [9] это наблюдение развито в глубокую теорию, описывающую связь между тэта-функциями и представлениями группы Гейзенберга. В первой части этой книги мы даем
введение в эту теорию и описываем ее связь с геометрией комплексных
абелевых многообразий. Алгебраическая теория абелевых многообразий и преобразований Фурье—Мукаи рассматривается во второй части.
Третья часть посвящена якобианам алгебраических кривых. Нитью,
связующей три части книги, является теория тэта-функций: тэта-функции вводятся в первой части и используются во второй и третьей частях
для иллюстрации абстрактных алгебраических теорем. Зависимость
второй части от первой состоит еще и в том, что теория групп Гейзенберга—важная составляющая алгебраической теории абелевых многообразий — является алгебраическим аналогом конструкций из первой части.
Еще одной причиной, по которой эта книга была написана, является
всплеск интереса к преобразованию Фурье—Мукаи и его обобщениям. Всплеск, вызванный недавно обнаруженной связью преобразования
с теорий струн и, в частности, с зеркальной симметрией. Гомологическая зеркальная гипотеза Концевича предсказывает, что для зеркальной пары многообразий Калаби—Яу существует эквивалентность между производной категорией когерентных пучков на одном многообразии
и некоторой категорией, определенной симплектической структурой на
другом многообразии. Из этого следует, что если многообразия Калаби—Яу есть зеркальный образ, то производная категория когерентных

Предисловие

пучков на нем имеет много автоэквивалентностей. Такие автоэквивалентности часто могут быть построены, и преобразование Фурье—Мукаи является здесь типичным примером. С другой стороны, гипотетически соответствие между когерентными пучками на многообразии
Калаби—Яу и лагранжевыми подмногообразиями на его зеркальном
образе (предсказанное гомологической зеркальной гипотезой) задается
вещественным аналогом в виде преобразования Фурье—Мукаи. В конце
первой части мы приводим простейший пример такого преобразования
для случая комплексных и симплектических торов.
Мы хотели бы отметить, что структура книги подчинена важной
идее категорификации (см. [1]). Грубо говоря, категорификация — это
процесс поиска категорных аналогов для теоретико-множественных понятий, т. е. процесс замены множеств — категориями, функций — функторами и т. д. Нетривиальность этой (совершенно не единственной) процедуры состоит в том, что аксиомы, формулируемые как равенства,
должны заменяться изоморфизмами, так что дополнительно нужно
формулировать условия совместимости этих изоморфизмов. Многие понятия теории абелевых многообразий оказываются категорификациями. Например, категория линейных расслоений на абелевом многообразии и их изоморфизмов, может рассматриваться как категорификация
множества квадратичных функций на абелевой группе, производная категория когерентных пучков на абелевом многообразии является категорификацией пространства функций на абелевой группе и т. д. Разумеется, преобразование Фурье—Мукаи является категорификацией обычного преобразования Фурье. Читатель заметит, что большинство структур, рассматриваемых в части II—это категорификации структур из части I. Стоит отметить, что идеи категорификации работают и в других
разделах математики. Самый яркий пример—недавняя работа Хованова [5] по категорификации полиномов Джонса в теории узлов.
Возможно, следует отметить, что эта книга написана не с целью
превзойти уже существующие изложения теории абелевых многообразий и тэта-функций. Ее цель, скорее, состоит в том, чтобы обогатить
классическую теорию новыми идеями и взглянуть на нее с новой точки
зрения. Например, мы не пытались изложить в части II весь материал
из книги Мамфорда [8], которая остается непревзойденным пособием.
Наш выбор тем частично определялся их связью с тэта-функциями —
объединяющей темой всей книги — и частично идеей категорификации.
На изложение материала в части I сильно повлияли фундаментальные
работы Лиона и Вернь [6] и Мамфорда с соавторами [9]. Наше изложение, однако, является значительно более сжатым — мы даем необходимый минимум материала для определения тэта-рядов и доказательства
функциональных уравнений для них. Наше изложение теории якобиа

Предисловие
15

нов в части III далеко не полное, потому что главной задачей здесь было
подчеркнуть роль преобразования Фурье—Мукаи. Тем не менее, мы
надеемся, что основные результаты теории нашли место в этой книге.
В основу книги положен курс лекций, прочитанный автором в Гарвардском университете осенью 1998 г. и в Бостонском университете весной 2001 г. Курс был ориентирован на студентов старших курсов и аспирантов, интересующихся алгебраической геометрией. Для понимания
части I необходимо знание основ комплексной и дифференциальной
геометрии (в объеме главы 0 книги [3]), теории преобразования Фурье
и знакомство с основными понятиями теории представлений. Для понимания части II и части III требования выше. Например, определение
преобразования Фурье—Мукаи использует производные категории когерентных пучков. Чтобы понять определение, читатель должен иметь
навык работы с производными категориями. Книги [2] и [10] являются здесь полезным источником. Мы также предполагаем знакомство
с алгебраической геометрией в объеме первых четырех глав книги Хартсхорна [4]. В тех случаях, когда нам необходимы более сложные факты
из алгебраической геометрии, мы даем ссылки. Некоторые сложные понятия и теоремы собраны в приложении В. Каждая глава заканчивается
упражнениями. Результаты некоторых из них используются в тексте
книги.
Теперь опишем содержание книги подробнее. Главы 1—7, образующие первую часть книги, посвящены трансцендентной теории абелевых
многообразий. В главе 1 мы классифицируем голоморфные линейные
расслоения на комплексных торах. Основное внимание в главах 2—5
уделено тэта-функциям. Мы показываем, что они естественно возникают как сечения голоморфных линейных расслоений на комплексных
торах. Однако наиболее эффективное средство работы с ними — это
не геометрия, а теория представлений. Соответствующая группа — это
группа Гейзенберга, т. е. центральное расширение векторного пространства с помощью U(1), в котором коммутатор задан симплектической
формой. Тэта-функции возникают из сравнения разных моделей единственного неприводимого представления группы Гейзенберга, для которого действие U(1) стандартно. Основной результат здесь — это функциональное уравнение для тэта-функций, доказанное в главе 5. Наше
изучение представлений группы Гейзенберга дает и дополнительный
результат — некоторые формулы для сумм Гаусса, открытые ван дер
Блеем и Тураевым. Их доказательство приведено в приложении Б.
В главах 6 и 7 мы обсуждаем зеркальную симметрию между
симплектическими и комплексными торами. Основная идея здесь
состоит в том, что каждому симплектическому тору с расслоением,
слои которого — это лагранжевы торы, можно естественно сопоста