Гиперболичность по Кобаяси: некоторые алгебро-геометрические аспекты


НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е.Ю. АМЕРИК

Г иперболичность по Кобаяси: некоторые алгебро-геометрические аспекты

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Е. Ю. Америк

Гиперболичность по Кобаяси: некоторые алгебро-геометрические аспекты










Москва Издательство МЦНМО 2010

УДК 512.763+512.732
ББК 22.147
     А61




            Америк Е. Ю.


А61 Гиперболичность по Кобаяси: некоторые алгебро-геометрические аспекты.—М.: МЦНМО, 2010. — 48 с.
         ISBN 978-5-94057-572-6
         Брошюра представляет собой записки цикла лекций для старшекурсников и аспирантов, прочитанных автором в Независимом московском университете осенвю 2006 года. Обсуждается понятие гиперболичности по Кобаяси в алгебро-геометрическом контексте; в частности, много внимания уделяется вопросам (не)существования рационалвных, эллиптических и целых кривых на алгебраических многообразиях (на эту тему представлены резулвтаты Вуазен, Богомолова, Макквиллена, Демайи и др.).

ББК 22.147

ISBN 978-5-94057-572-6

© Америк Е.Ю., 2010

                Предисловие





   Эта книга—записки лекций, прочитанных мною в Независимом московском университете осенью 2006 года. Понятие гиперболичности по Кобаяси—вариант понятия «отрицательной кривизны», естественно возникающий в комплексном анализе. Известно, что для компактных многообразий гиперболичность по Кобаяси эквивалентна отсутствию целых кривых (т. е. голоморфных образов C; доказательство будет изложено в разделе 4). Мы увидим, как доказывать гиперболичность в некоторых простых и не очень простых случаях.
   Вначале мы изучим чисто алгебраическую ситуацию: как доказать отсутствие на проективном многообразии рациональных и эллиптических кривых, или, скажем, то, что такие кривые содержатся в собственном подмногообразии? Мы поступим так в том числе и потому, что некоторые основные идеи, использующиеся при изучении гиперболичности, — это трансцендентные аналоги соответствующих алгебраических методов.
   Эти записки довольно сильно пересекаются с текстом [Deb]; надеюсь, они все-таки столь же сильно от него отличаются. Среди других источников упомянем прежде всего [D] и [L].
   Предполагается, что читатель знаком с основами алгебраической геометрии, например, по книгам Хартсхорна или Гриффитса и Харриса.
   По предложению рецензента добавлено краткое дополнение о стабильности по Богомолову (она не упоминается в стандартных учебниках, но несколько раз используется в этих записках).

3

                1. Подмногообразия общих гиперповерхностей в проективном пространстве




   Гиперповерхности степени d в P” параметризуются проективным пространством P^ =P(№(Pⁿ, OP»(d))); иногда нам будет удобнее параметризовать не сами гиперповерхности, а задающие их многочлены, и тогда пространством параметров будет Sd = Jd⁰(P”, OP» (d)). Под «общей гиперповерхностью» мы будем понимать такую гиперповерхность, что соответствующая ей точка P^ лежит в дополнении к счетному объединению некоторых (очевидных из ситуации) собственных подмногообразий. Таким образом, выражение «для общей гиперповерхности верно А» означает, что те гиперповерхности, для которых А может оказаться неверным, параметризуются счетным объединением собственных замкнутых подмножеств в P^.
   Первый результат об отсутствии рациональных (и эллиптических) кривых на общей гиперповерхности принадлежит Клеменсу (1986) [01]:
   Теорема 1.1. На общей гиперповерхности Ха степени P в P”, п > 3, нет рациональных кривых, если d^ 2— — 1.
   Тогда же Клеменс предложил такую гипотезу:
   При п > 4 это верно и если d^2 — — 2.
   (Эта гипотеза была впоследствии доказана Клэр Вуазен, к чему мы еще вернемся.)
   Заметим, что при — — 2п — 3 рациональные кривые на Ха, конечно, есть — например, прямые. В самом деле, рассмотрим многообразие инцидентности С С Grass(l,n) х P^ такого вида: F = {(l,X) 11 С X} (здесь Grass(l,n)—многообразие прямых в P”). Слой Т) над I G G Grass(l,n) естественно отождествляется с проективизацией пространства сечений пучка 1(d), а значит, имеет коразмерность //■’(P¹, OPi (d)) = d+l в силу точной последовательности

O^I (d) ^ OPn (d) ^ Oi (d) ^ 0;

так что из соображений размерности получаем, что общая гиперповерхность Ха С P” содержит прямые тогда и только тогда, когда d + 1 < dim(Grass( 1, n)) = 2n — 2.
   Естественно предположить, что при — — 2п — 3 рациональных кривых на общей Ха имеется лишь счетное число, т. е. имеется лишь конечное число рациональных кривых заданной степени; но это трудная задача— знаменитая гипотеза Клеменса. Видимо, из-за нее теорему Кле

4

менса и формулируют как утверждение об отсутствии рациональных кривых; на самом же деле Клеменс доказал более общее утверждение:
   Теорема 1.1А. Для кривой С на общей гиперповерхности Ха имеем
                Н°(С, К₆ 0 a* Oᵥₙ (2п - - - 1)) О, где ст: — — С — нормализация.
   Почему в такой формулировке результат Клеменса интереснее? Например, отсюда видно, что при d > 2п на общей Ха нет не только рациональных, но и эллиптических кривых; и вообще, deg(dQ2 > > (2- - - — 1) deg(C). То есть при d > 2п для любой кривой С G Ха

2р(С) — 2 >еdeg(C),

где е — некоторая положительная константа, не зависящая от С. Это свойство Ха называется алгебраической гиперболичностью. Мы увидим, что алгебраическая гиперболичность — следствие гиперболичности по Кобаяси.
   Гипотеза Кобаяси утверждает, что общая Ха С P” гиперболична при d ;:г 2 — — 1. Несмотря на то что результат Клеменса о рациональных кривых был улучшен Эйном [Е], Сю (Xu) [X] и Вуазен [V], алгебраическая гиперболичность общей гиперповерхности степени 2п — 1, кажется, пока не доказана даже для п = 3.
   Л. Эйн [Е] обобщил теорему Клеменса следующим образом.
   Теорема 1.2. Пусть X —общее полное пересечение типа (Д,..dk) в P”, d = 52 dj, с С С X —подмногообразие. Пусть то —наименьшее число, удовлетворяющее H°(Z,Kg® ст*ОДД) ф 0 (здесь ст: — — Z— разрешение особенностей Z). Тогда rn₀ С 2n—k—d+1— dim(Z).
   Таким образом, в случае гиперповерхности имеем то С 2— — — — — dim(Z).
   Для дивизоров имеется также некоторое усиление «граничного случая» этого результата, принадлежащее Сю [X]:
   В условиях теоремы 1.2, если d = п + 2, a Z — дивизор на X, то Pg(Z) ^п — 1.
   В частности, на общей квинтике в P³ нет эллиптических кривых.
   Общий принцип доказательства похожих утверждений был предложен Вуазен [V]. Для простоты обозначений мы будем рассматривать только случай, когда X — гиперповерхность, хотя аналогичное доказательство теоремы 1.1 А проходит и для полных пересечений.

5

   Прежде чем обратиться к доказательствам, обсудим, что означают слова «подмногообразие общей гиперповерхности»: грубо говоря, «общая гиперповерхность X содержит Z» значит, что Z деформируется вместе с X. Точнее — всевозможные подмногообразия ZbP" параметризуются схемой Гильберта, которая состоит из счетного числа неприводимых компонент. Для фиксированного Zq рассмотрим соответствующую компоненту Hilb(Zo) и подмногообразие IС Hilb(Zo) х Р^: { = {(t,u) | Zₜ С Хщ}; здесь мы предполагаем для простоты, что Zₒ соответствует достаточно общей точке Hilb(Zo). Zq «лежит на общей гиперповерхности», если и только если I доминирует Р^Ч (Именно так и возникает дополнение к счетному числу собственных замкнутых подмножеств в определении «общности»: мы должны выкинуть образы всевозможных I, не доминирующих Р^.)
   Обозначим как X С РЛГл х Р” универсальную гиперповерхность степени d; как подмногообразие РЛГл х Р”, наша X, естественно, имеет бистепень (l,d). Если Z лежит на общей гиперповерхности, то, выбирая мультисечение относительной схемы Гильберта над открытым подмножеством Р^ и отбрасывая его ветвление, получим этальный (не сюръективный) морфизм т: U ^ Р^, так ой, что Хц := X xP^ U содержит «универсальное подмногообразие» Zu (слой Zu над точкой t G Р^ — это Zₜ, деформация Z, содержащаяся в гиперповерхности Xₜ). Для простоты обозначений мы не будем различать X и Хи — это действительно несущественно для наших приложений; иными словами, мы будем вести себя так, как если бы наше «универсальное подмногообразие» было определено уже над открытым подмножеством в Р^Ч
   Покажем, следуя Вуазен, что теорема 1.1 А следует из такого утверждения (здесь Тх, Тх обозначают касательные расслоения):
   Предложение 1.3. Рассмотрим универсальную гиперповерхность

X СНО(РП,OP»(d)) х Р”,

ede d > 2, п > 3. Предположим, кроме того, что H°(Xₜ,Txₜ(l)) = 0. Тогда для гладкой Xₜ расслоение TX(l)|xₜ порождается глобальными сечениями.
   Здесь и далее TX(1)—это ТХг pJJ^ (1), г дер: X^ Р” —проекция.
   Заметим, что последнее условие №(А^, TXₜ (1)) = 0 заведомо выполнено в интересующем нас случае, когда Xt — общего типа, т. е. d > п + 1. Это следует из того, что H°(Xt,TXₜ zKXₜ) = H°(Xt,П”;²) = о по теореме Лефшеца о гиперплоском сечении: в самом деле, X — гиперповерхность общего типа в проективном пространстве, поэтому KXₜ=OXₜ(k), где fc > 1.

6

   Вывод те^хы 1.2 из предложения 1.3. Пусть Z с X — универсальное подмногообразие, а z: Z — Z — какое-нибудь разрешение особенностей. Предположим, что для некоторого числа а расслоение Xxm⁽Z- к (а) порождено глобальными сечениями. Поскольку отображение ограничения

<ⁱm⁽Z к («) — '''    |ᵢₜ (а) = K^ₜ (а)

сюръективно в общей точке, то К % (а) должно иметь сечения.
   Пусть I x codim(Z,X); из предложения 1.3 следует, что AlTX\xₜ(l) глобально порождено. Поскольку Кхk = Kxₜ = Oxₜ — — — — 1), имеем

XlTX\xSl) = Ad ⁱm⁽Z⁾Ox kG — d + n + 1),

то есть в качестве — можно взять Z — d + n+ l = 2n — — — dim(Z), что и требовалось доказать.                                       □

   Предложение 1.3 доказывается достаточно элементарно; доказательство состоит в подсчете разности размерностей №(TX(l)|xₜ) и J7⁰(TX(l)|xₜ ® 1Х), где х — точка Xₜ, а 1Х —ее пучок идеалов (для глобальной порожденности необходимо и достаточно, чтобы эта разность была равна rk(TX) = dim(S'd) + — — 1 для любой точки х). Вместо того чтобы приводить здесь это доказательство (проходящее и для полных пересечений), мы изложим несколько более естественный аргумент, который хорошо работает для гиперповерхностей.
   Рассмотрим так называемую «вертикальную компоненту» TXv<’rl расслоения XX: это просто касательное расслоение вдоль слоев проекции x : X — P”, так что

О — TXvert\Xₜ — TX\Xₜ — ТРп k — 0.

Заметим, что можно предполагать, что наше «универсальное подмногообразие» Z с X инвариантно по отношению к естественному действию GL(n + 1,C) на P” х Sd: g{x,F) = 0)X,F о p⁻¹); точнее, этого можно добиться заменой базы. Из этого сразу следует, что ZZ сюръективно отображается на TP”, то есть «вертикальная коразмерность» Z в X — а именно codim(TZvert,TXvert) — равна codim(Z,X).
   Отсюда легко выводится, что вместо предложения 1.3 нам достаточно такого:

   Предложение 1.3А. TXvert(l)k порождается глобальными сечениями.


7

   Действительно, пусть I = codim(Z, X); сечения AlTXvert(l)\xₜ можно вычислять на «вертикальных компонентах» касательных плоскостей к Z в точках Zf, поскольку коразмерность этих компонент правильна. Из глобальной порожденное™ AlTXvert(l)\xₜ следует, что для любой гладкой точки z Е Zf, найдется сечение s G Н° (AlTXvert (Z)\xₜ), ненулевое на ZzZvert. Применяя, как и выше, двойственность, а потом ограничение на Z, получим ненулевое сечение должным образом подкрученного К■

   Доказательство предложения 1.3А. Из X с P” х Sd имеем

— -XX х ■ TVⁿ\xₜ®(Sd®Oxₜ)—OXₜ(d) — 0,

поскольку Oxₜ (Д) — это ограничение на Xf нормального расслоения X вР" х Sd. Отсюда и из

() — Т Xvert\Xₜ—TX\Xₜ — Р\Xₜ—0

имеем, что TXvert\xₜ = Л-Pd„ \xₜ, г де Мр„ —ядро отображения вычисления глобальных сечений Op» (d):

О — Mdₙ —— Sd O Op-n —— Op-n (— —— 0.

   Значит, достаточно доказать, что Mp„ (1) порождается глобальными сечениями. А это следует, например, из его 0-регулярности в смысле Кастельнуово—Мамфорда (которая, в свою очередь, очевидна из точной последовательности, определяющей Mdₙ). Напомним (см., например, [М]), что пучок Р на Р” т-регулярен по Кастельнуово—Мамфорду, если для всех i Р 0 выполнено условие №(P”,.F(rn — i)) = 0; индукцией по п доказывается, что если F m-регулярен, то F(T) порождается глобальными сечениями при Z > т. Итак, предложение 1.3А, а с ним и теорема Эйна, доказано.                                   □


            Замечания


   Замечание 1. Оценка Эйна для то не оптимальна; хотелось бы, конечно, улучшить ее на 1. В случае, когда Z — дивизор, это очень трудно, если вообще возможно: так, из улучшенного варианта, полагая п = 4 и Р р 5, мы получили бы, что на общей квинтике в Р⁵ не существует дивизора, покрытого рациональными кривыми — а это и есть гипотеза Клеменса о конечности числа рациональных кривых заданной степени на такой квинтике.
   Замечание 2. Клэр Вуазен попыталась уменьшить то на 1 в случае codim(Z) > 2, рассматривая расслоение A²TX(l)\xₜ. Это бы полностью


8

удалось, если бы было верно, что линейная система J7°(A²TX(l)|xₜ), рассматриваемая как пространство сечений некоторого линейного расслоения на относительном грассманиане подпространств коразмерности 2 в слоях TX|xₜ, не имеет базисных точек на множестве GL-инвариантных (т. е. касательных к GL-инвариантным семействам подмногообразий) подпространств коразмерности 2 в TX|xₜ. Действительно, рассуждая, как и раньше, на этот раз мы получили бы сечение подкрученного канонического класса из сечений

                Acodim(Z,X)ᵣx^cₒdᵢₘ^Zⱼ — _

т. е. подкрутка оказалась бы на единицу меньше. К сожалению, утверждение неверно: в X есть довольно много (GL-инвариантных) подмногообразий Z, таких, что ограничение сечений «должным образом» подкрученных дифференциальных форм с X на Z — нулевое.
   Такие подмногообразия легко строятся для небольших d. Вот самый элементарный пример:
   Пример 1. Пусть _ — натуральное число, а _ — 2п — _ — к. Рассмотрим С Xt — подмногообразие, заметаемое прямыми. Подсчет размерностей (как после формулировки теоремы 1.1) показывает, что dim(Pt) = к. Рассмотрим универсальное P С X. Если бы A²PX(l)|xₜ порождалось глобальными сечениями, то же было бы верно и для

дп-1-fcГх(п _ 2 _ fe)|Xₜ = Adⁱm(PQx(l)|xₜ,

то есть у расслоения Кр(1) были бы сечения, а это невозможно, так как Pt заметается прямыми.
   Вот «лучший» пример из [V] (лучший он потому, что эту конструкцию можно обобщить на произвольные d, см. [V]):
   Пример С Рассмотрим Qₜ С Xt — подмножество таких точек х, что для некоторой прямой I имеем Xt П I = dx. Это семейство рационально эквивалентных 0-циклов на X ₜ. Аналогичный подсчет размерностей показывает dim(Qt) = 2п — d — 1. Пусть Q С X — универсальное подмногообразие и — — 2п — 1 — к. Тогда

A”⁻¹⁻fcTX(ₙ — 2 — к) = Adⁱm(QQx.

Теперь сошлемся на одно полезное при работе с алгебраическими циклами утверждение (по-видимому, впервые появившееся в работах Блоха):
   Предложение 1.4. Пусть W — гладкое неприводимое семейство X-циклов на X, a Y С X х W—его график {«универсальный цикл»).


9