Повесть о двух фракталах

Летняя школа «Современная математика»

А. А. Кириллов

Повесть о двух фракталах

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
К

Проведение летних школ «Современная математика»
и издание ее материалов поддержано Московской городской
Думой и Департаментом образования г. Москвы, а также
фондом «Династия», фирмой «НИКС» и корпорацией Boeing.

К
Кириллов А. А.
Повесть о двух фракталах. –– -е изд., исправленное. ––
М.: МЦНМО, . ––  с.
ISBN ----

Эта брошюра, написанная по материалам лекций, прочитанных автором для школьников и студентов на летней школе «Современная математика», представляет собой введение в теорию фракталов –– новый, актуальный раздел математики. Начинаясь с основных определений, книга
доходит до свежих результатов и нерешенных проблем.
Для студентов младших курсов и школьников старших классов.

ББК .

ISBN ----
© А. А. Кириллов, .
© МЦНМО, .

Посвящается Бену (Коле) и Лизе

В В Е Д Е Н И Е

Эта книга посвящена обсуждению фрактальных множеств, или
просто фракталов. Такие множества известны уже больше ста лет и
появлялись в разных областях науки. Но только недавно (около  лет
тому назад) они стали предметом математического исследования.
Пионером теории фракталов был Б. Мандельброт. Его книга [Man]
впервые появилась в  году, а второе, расширенное издание вышло в  году. После этого серьезные работы, обзоры, популярные
статьи и книги о фракталах стали появляться десятками, если не
сотнями. С  года в издательстве World Scientific выходит специальный периодический журнал «Фракталы». Так зачем писать еще
одну книгу о фракталах?
Во-первых, несмотря на обширную литературу, многие люди,
включая студентов, аспирантов и значительную часть работающих
математиков, имеют довольно смутное представление о фракталах.
Во-вторых, во многих популярных книгах читатель увидит массу
цветных картинок и любопытных примеров, но не найдет ни точных
определений, ни строго доказанных результатов. С другой стороны,
работы профессиональных математиков, как правило, слишком трудны для начинающих. Они обычно посвящены довольно специальным
вопросам и часто предполагают заранее известными все связи и мотивировки.
Последняя и, может быть, самая важная причина состоит в том,
что самостоятельное изучение геометрии, анализа и арифметики
фракталов, на мой взгляд, является одним из лучших способов для
молодого математика активно и прочно овладеть основными математическими знаниями.
Мне кажется также, что это –– прекрасная возможность проверить
свою способность к творческой работе в математике . Я имею в виду
не только решение точно сформулированных задач, но и распознание скрытых закономерностей и постановку новых плодотворных вопросов.
Мой личный интерес к фракталам возник, когда я читал специальный курс о фракталах в  году по просьбе нескольких студентов
разных специальностей. Я повторял этот курс в ,  и  г.


По определению Ю. И. Манина, творить в математике –– это вычислять, волнуясь.


Введение

В  и в  году я имел возможность изложить часть этого материала в лекциях для участников летней математической школы в
Дубне под Москвой, организованной для старшеклассников и младшекурсников. Я был приятно удивлен активностью аудитории и тем,
как быстро слушатели воспринимали новую для них информацию.
В этой книге я намеренно ограничиваюсь только двумя примерами фрактальных множеств: коврами Серпинского и Аполлония. Мы
рассматриваем и точно формулируем серию задач, возникающих при
изучении этих фракталов. Большинство из них можно ставить и решать независимо от остальных, но только вся их совокупность дает
реальное представление о мире фракталов.
Некоторые из этих задач являются просто упражнениями на понимание терминов и логики изложения, другие представляют сравнительно недавние результаты, а несколько наиболее интересных являются нерешенными проблемами неизвестной степени трудности.
Решение (и даже понимание формулировки) этих задач требует некоторых предварительных знаний. В частности, мы предполагаем известными:

• элементы анализа: функции одной вещественной переменной,
дифференциальное и интегральное исчисление, числовые ряды
и ряды функций;
• элементы линейной алгебры: вещественные и комплексные линейные пространства, размерность, линейные операторы, квадратичные формы, собственные значения и собственные векторы, координаты и скалярное произведение;
• элементы геометрии: прямые линии, плоскости, окружности,
круги и сферы в 3, основные тригонометрические формулы,
начала сферической и гиперболической геометрии;
• элементы арифметики: простые числа, взаимно простые числа,
НОД (наибольший общий делитель), рациональные числа, понятие об алгебраических числах;
• элементы теории групп: подгруппы, нормальные подгруппы,
однородные пространства, классы смежности, матричные группы.

Все это обычно входит в программу первых двух или трех лет университета. Разнообразие этих сведений и их взаимосвязь я рассматриваю как большое преимущество теории фракталов и как характерную черту современной математики.
Несколько слов о стиле изложения. Я старался избежать двух главных опасностей: сделать книгу скучной, объясняя слишком подробно

Введение


простые детали, и сделать ее непонятной, используя наиболее эффективную современную технику, которая порой слишком абстрактна.
Читателю судить, насколько это мне удалось.
Я также старался довести до читателей неформальное понимание
математических методов, которое отличает (почти любого) профессионала от начинающего любителя. Иногда одна фраза объясняет
больше, чем длинная статья или толстая книга. В моей практике
это случалось, когда я пытался понять, что такое индуцирование в
теории представлений, спектральная последовательность в алгебраической топологии, язык схем в алгебраической геометрии. Поэтому
я иногда использую «высоконаучные» термины и понятия, объясняя
всякий раз, что они значат, если «отбросить незабудки» .
Дополнительная информация включена в текст в виде кратких
вставок, именуемых «схолиями» . Конец каждой схолии отмечен
знаком ♦.
Иногда я также привожу дополнительную информацию в замечаниях. Конец замечания отмечается знаком ♥.
Конец доказательства или его отсутствие отмечено знаком
.

Автор благодарен Институту Эрвина Шрёдингера (ESI) в Вене, где
эта работа была начата, Институту Макса Планка (MPI) в Бонне и Институту высших научных исследований (IHES) во Франции, где она
была завершена.
Я также благодарен моим студентам и аспирантам, настоящим и
бывшим, за многочисленные замечания и TEXническую помощь.

Department of Mathematics, The University of Pennsylvania, Philadelphia, PA
–, USA

Институт проблем передачи информации РАН, Б. Каретный, д. , Москва
, ГСП–, Россия.

E-mail address: kirillov@math.upenn.edu


См. Козьма Прутков «Незабудки и запятки» (басня), а также «Избранные анекдоты
и притчи семинара И. М. Гельфанда» (планируемая статья).
 Что такое схолия, читатель может узнать, прочитав книгу С. Боброва «Волшебный
двурог» (см. ссылку на с. ) или спросив у своих знакомых.

Часть I

•

КО ВЕ Р С Е Р П И НС КО ГО