Топологические методы в гидродинамике

Топологические методы
в гидродинамике

В. И. Арнольд, Б. А. Хесин

Топологические методы
в гидродинамике

Перевод с английского
Дополненное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2007

УДК 517.958:531.32
ББК 22.253.3
А84

А84
Арнольд В. И., Хесин Б. А.
Топологические методы в гидродинамике / Перевод с
англ. — М.: МЦНМО, 2007. — 392 c.: ил.

ISBN 978-5-94057-312-8

Данная книга — это первая монография, в которой топологические, теоретико-групповые и геометрические задачи идеальной гидродинамики и магнитогидродинамики рассматриваются с единой точки
зрения. Необходимый подготовительный материал из гидродинамики
и чистой математики излагается с большим количеством примеров и
рисунков.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и специалистов
по чистой или прикладной математике, работающих в таких областях,
как гидродинамика, группы Ли, динамические системы и дифференциальная геометрия.

ББК 22.253.3

Translation from the English language edition:
Topological Methods in Hydrodynamics by Vladimir I.Arnold, Boris A. Khesin.
Copyright c⃝ 1998 Springer-Verlag New York, Inc.
Springer is a part of Springer Science+Business Media.
All Rights Reserved.

Научное издание

Арнольд Владимир Игоревич, Хесин Борис Аронович

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ

Подписано в печать 18.06.2007 г. Формат 70 х 100 1/16.
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 24,5.
Тираж 1000 экз. Заказ № 2003

Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (495)–241–74–83

Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Типография ”Новости“»
105005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, 46

ISBN 0-387-94947-Х (англ.)
ISBN 978-5-94057-312-8
c⃝ МЦНМО, перев. на русск. яз., 2007.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
9

Глава I. Групповая и гамильтонова структуры динамики жидкости
13
§ 1.
Группы симметрий твердого тела и идеальной жидкости . . . .
13
§ 2.
Группы Ли, алгебры Ли и присоединенное представление . . .
15
§ 3.
Коприсоединенное представление группы Ли . . . . . . . . . . .
22

3.1. Определение коприсоединенного представления (22). 3.2. Сопряженное пространство к пространству плоских бездивергентных векторных полей (23). 3.3. Алгебра Ли бездивергентных векторных полей на многообразии произвольной размерности и ее сопряженное пространство (25).

§ 4.
Левоинвариантные метрики и твердое тело для произвольной
группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 5.
Приложения к гидродинамике
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
§ 6.
Гамильтонова структура уравнений Эйлера . . . . . . . . . . . .
36
§ 7.
Идеальная гидродинамика на римановых многообразиях . . . .
42

7.1. Гидродинамическое уравнение Эйлера на многообразиях (42). 7.2. Сопряженные пространства алгебр Ли бездивергентных полей (43). 7.3. Оператор инерции n-мерной жидкости (48).

§ 8.
Доказательства теорем об алгебре Ли бездивергентных векторных полей и сопряженном к ней пространстве . . . . . . . . . .
50
§ 9.
Законы сохранения в многомерной гидродинамике
. . . . . . .
54
§ 10. Групповая структура идеальной магнитной гидродинамики . .
61

10.1. Уравнения магнитной гидродинамики и уравнения Кирхгофа (61).
10.2. Магнитное расширение группы Ли (62). 10.3. Гамильтонова формулировка уравнений Кирхгофа и магнитной гидродинамики (65).

§ 11. Конечномерная аппроксимация уравнения Эйлера
. . . . . . .
67

11.1. Аппроксимации вихревыми системами на плоскости (68). 11.2. Неинтегрируемость систем не менее четырех точечных вихрей (70). 11.3. Гамильтоновы аппроксимации вихрей в трехмерном пространстве (71).
11.4. Конечномерные аппроксимации групп диффеоморфизмов (71).

§ 12. Уравнение Навье–Стокса с групповой точки зрения . . . . . . .
74

Глава II. Топология стационарных течений жидкости
80
§ 1.
Классификация трехмерных стационарных течений . . . . . . .
80

1.1. Стационарные решения уравнения Эйлера и функции Бернулли (80).
1.2. Структурные теоремы (84).

ОГЛАВЛЕНИЕ

§ 2.
Вариационные принципы для стационарных решений и приложения к двумерным течениям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

2.1. Минимизация энергии (87). 2.2. Задача Дирихле и стационарные течения (89). 2.3. Связь двух вариационных принципов (92). 2.4. Полугрупповой вариационный принцип для двумерных стационарных течений (93).
§ 3.
Устойчивость стационарных точек на алгебрах Ли
. . . . . . .
96
§ 4.
Устойчивость двумерных течений жидкости . . . . . . . . . . .
100

4.1. Критерии устойчивости для стационарных течений (101). 4.2. Блуждающие решения уравнения Эйлера (109).
§ 5.
Линейное и экспоненциальное растяжение частиц и быстро осциллирующие возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

5.1. Линеаризованное и укороченное уравнения Эйлера (111). 5.2. Переменные действие-угол (112). 5.3. Спектр укороченного уравнения (113).
5.4. Теорема Сквайра для сдвиговых течений (114). 5.5. Стационарные течения с экспоненциальным растяжением частиц (116). 5.6. Исследование
линеаризованного уравнения Эйлера (117). 5.7. Устойчивы ли пространственные стационарные течения? (118).
§ 6.
Свойства стационарных течений на многообразиях большей
размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
122

6.1. Обобщенные течения Бельтрами (122). 6.2. Структура четырехмерных стационарных течений (124). 6.3. Топология функции вихря (125).
6.4. Отсутствие гладких стационарных течений и точность ограничений (130).

Глава III. Топологические свойства магнитных и вихревых полей
132
§ 1.
Минимальная энергия и спиральность вмороженного поля . . .
132

1.1. Вариационная задача для магнитной энергии (132).
1.2. Экстремальные поля и их топология (133). 1.3. Оценка энергии через спиральность (134). 1.4. Спиральность полей на многообразиях (137).
§ 2.
Топологические препятствия к релаксации энергии . . . . . . .
142

2.1. Модельный пример: две зацепленных трубки тока (142). 2.2. Нижняя
граница энергии для нетривиального зацепления (144).
§ 3.
Задача минимизации Сахарова–Зельдовича . . . . . . . . . . . .
147
§ 4.
Асимптотический коэффициент зацепления
. . . . . . . . . . .
153

4.1. Асимптотический коэффициент зацепления пары траекторий (153).
4.2. Отступление о формуле Гаусса (156). 4.3. Другое определение асимптотического коэффициента зацепления (158). 4.4. Формы зацепления на
многообразиях (160).
§ 5.
Асимптотическое число пересечений . . . . . . . . . . . . . . . .
165

5.1.
Оценки
энергии
снизу
для
типичных
векторных
полей
(165).
5.2. Асимптотическое число пересечений для узлов и зацеплений (168).
5.3. Конформный модуль тора (172).
§ 6.
Энергия узла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173

6.1. Энергия заряженного контура (173).
6.2. Обобщения энергии узла (175).
§ 7.
Обобщенные спиральности и коэффициенты зацепления . . . .
178

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

7.1. Относительная спиральность (178). 7.2. Эргодический смысл интегралов спиральности в старших размерностях (181). 7.3. Интегралы зацепления высших порядков (187). 7.4. Инвариант Калугареану и коэффициент
самозацепления (191). 7.5. Голоморфный коэффициент зацепления (192).

§ 8.
Асимптотическая голономия и приложения . . . . . . . . . . . .
198

8.1. Инварианты Джонса–Виттена для векторных полей (198). 8.2. Интерпретация характеристических классов типа Годбийона–Вея (204).

Глава IV. Дифференциальная геометрия групп диффеоморфизмов
207

§ 1.
Плоскость Лобачевского и предварительные сведения по дифференциальной геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208

1.1. Плоскость Лобачевского как группа аффинных преобразований (208).
1.2. Кривизна и параллельный перенос (209). 1.3. Поведение геодезических на римановых многообразиях (212). 1.4. Соотношение между ковариантной производной и производной Ли (214).

§ 2.
Секционные кривизны группы Ли, снабженной односторонне
инвариантной метрикой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
§ 3.
Риманова геометрия группы сохраняющих площадь диффеоморфизмов двумерного тора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220

3.1. Тензор кривизны группы диффеоморфизмов тора (220). 3.2. Вычисления кривизн (223).

§ 4.
Группы диффеоморфизмов и недостоверные прогнозы . . . . .
225

4.1. Кривизна различных групп диффеоморфизмов (225). 4.2. Недостоверность долгосрочных предсказаний погоды (229).

§ 5.
Внешняя геометрия группы диффеоморфизмов, сохраняющих
объемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
§ 6.
Сопряженные точки в группе диффеоморфизмов . . . . . . . .
234
§ 7.
Вокруг конечности диаметра группы диффеоморфизмов, сохраняющих объемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

7.1. Связь внутренней и внешней геометрии группы диффеоморфизмов (237). 7.2. Диаметр группы диффеоморфизмов (238). 7.3. Сравнение метрик и пополнение группы D(M) (239). 7.4. Отсутствие кратчайшего пути (240). 7.5. Дискретные течения (245). 7.6. Наброски доказательств (246). 7.7. Обобщенные течения (247). 7.8. Аппроксимация гладких течений жидкости обобщенными (250). 7.9. Существование сопряженных точек на группах диффеоморфизмов (253).

§ 8.
Бесконечный диаметр группы гамильтоновых диффеоморфизмов и симплектическая гидродинамика . . . . . . . . . . . . . .
255

8.1. Правоинвариантные метрики на симплектоморфизмах (256). 8.2. Инвариант Калаби (258). 8.3. Биинвариантные метрики и псевдометрики
на группе гамильтоновых диффеоморфизмов (264). 8.4. Биинвариантная
псевдориманова метрика и функционал действия на группе сохраняющих
объемы диффеоморфизмов трехмерного многообразия (268).

Глава V. Проблема быстрого кинематического динамо
271

§ 1.
Динамо и растяжение частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.1. Быстрое и медленное кинематическое динамо (271). 1.2. Недиссипативные динамо на произвольных многообразиях (274).
§ 2.
Дискретное динамо в размерности два . . . . . . . . . . . . . . .
276

2.1. Динамо из отображения кошки на торе (276). 2.2. Подковы и многократные складки в конструкциях динамо (279). 2.3. Диссипативные динамо на поверхностях (283). 2.4. Асимптотическое число Лефшеца (285).

§ 3.
Главные теоремы антидинамо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286

3.1. Теоремы Коулинга и Зельдовича (286). 3.2. Теоремы антидинамо для
тензорных плотностей (286). 3.3. Отступление об уравнении Фоккера–
Планка (289). 3.4. Доказательство теорем антидинамо (293). 3.5. Дискретные версии теорем антидинамо (296).
§ 4.
Трехмерные модели динамо . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297

4.1. Механизм «веревочного динамо» (297). 4.2. Численное наблюдение
эффекта динамо (298). 4.3. Модель диссипативного динамо на трехмерном
римановом многообразии (299). 4.4. Геодезические потоки и дифференциальные операции на поверхностях постоянной отрицательной кривизны (305). 4.5. Сохранение энергии и особенности уравнения Эйлера (310).
§ 5.
Показатели динамо в терминах топологической энтропии
. . .
310

5.1. Топологическая энтропия динамических систем (310). 5.2. Границы
показателей в недиссипативных моделях динамо (311). 5.3. Верхние границы для диссипативных L1 динамо (312).

Глава VI. Динамические системы гидродинамического происхождения
314

§ 1.
Уравнение Кортевега–де Фриза как уравнение Эйлера . . . . .
314

1.1. Алгебра Вирасоро (314). 1.2. Принцип сдвига аргумента и интегрируемость уравнений движения многомерного твердого тела (318). 1.3. Интегрируемость уравнения КдФ (323). 1.4. Отступление о когомологиях
алгебр Ли и коцикле Гельфанда–Фукса (326).

§ 2.
Уравнения газовой динамики и сжимаемых жидкостей . . . . .
328

2.1. Баротропные жидкости и газовая динамика (329). 2.2. Другие консервативные системы уравнений, связанные с движением жидкости (333).
2.3. Уравнение бесконечной проводимости (335).

§ 3.
Кэлерова геометрия и динамические системы на пространстве
узлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336

3.1. Геометрические структуры на множестве вложенных кривых (337).
3.2. Уравнение нити, нелинейное уравнение Шредингера и уравнение цепочки Гейзенберга (342). 3.3. Группы петель и общее уравнение Ландау–
Лифшица (344).

§ 4.
Уравнение Соболева
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
§ 5.
Эллиптические координаты с гидродинамической точки зрения 351

5.1. Заряды на квадриках в трех измерениях (351). 5.2. Заряды на многомерных квадриках (353).

Литература
356

Предметный указатель
390

ВВЕДЕНИЕ

«...ad alcuno, dico, di quelli, che troppo laconiacamente
vorrebbero vedere, nei piu’ angusti spazii che possibil fusse,
ristretti i filosofici insegnamenti, si’ che sempre si usasse quella
rigida e concisa maniera, spogliata di qualsivoglia vaghezza ed
ornamento, che e’ propria dei puri geometri, li quali ne’ pure
una parola proferiscono che dalla assoluta necessita’ non sia
loro suggerita.
Ma io, all’incontro, non ascrivo a difetto in un trattato,
ancorche’ indirizzato ad un solo scopo, interserire altre varie
notizie, purche’ non siano totalmente separate e senza veruna
coerenza annesse al principale instituto»1.

Galileo Galilei
«Lettera al Principe Leopoldo di Toscana» (1623)

Гидродинамика относится к небольшому числу фундаментальных проблем
математики, успехи в которых могут служить мерилом действительного прогресса математики в целом. Много удивительных достижений в этой области основывается не столько на эксперименте, сколько на глубоких теориях,
стимулировавших, в свою очередь, развитие таких областей математики как
теория функций комплексного переменного, топология, теория устойчивости,
теория бифуркаций, теория вполне интегрируемых динамических систем.
Несмотря на все эти успехи, гидродинамика с ее поразительными эмпирическими законами остается вызовом для математиков. Такие явления как
турбулентность еще не имеют строгой математической теории, и даже вопросы существования решений основных уравнений гидродинамики трехмерной
жидкости остаются открытыми.
Простейшей, но уже очень содержательной математической моделью гидродинамики является динамика идеальной (несжимаемой и невязкой) однородной жидкости. С математической точки зрения теория такой жидкости
есть ни что иное, как изучение геодезических на группе сохраняющих объемы
диффеоморфизмов области течения, где группа снабжена правоинвариантной
римановой метрикой.

1«...некоторые предпочитают видеть научные тексты спресованными слишком лаконично в минимальный объем и используют для этого всегда такую строгую и краткую манеру,
которой однако не хватает красоты и изящества и которая так популярна среди чистых
геометров, не произнесущих и одного слова, если только оно не вызвано абсолютной необходимостью.
Я же, напротив, не считаю недостатком трактата, хотя бы и посвященного одной цели,
вставлять в него всевозможные дополнительные замечания там, где они уместны и соответствуют главной цели». Галилео Галилей [Gal].

Введение

В 1765 году Л. Эйлер [Eul] опубликовал уравнения движения твердого
тела, носящие его имя. Эйлеровские движения твердого тела являются геодезическими на группе вращений трехмерного евклидова пространства. Группа
вращений при этом снабжена левоинвариантной римановой метрикой, и теория Эйлера, в сущности, использует только это одно обстоятельство. Уравнения Эйлера сохраняют силу для произвольной группы. Для других групп
также получаются «уравнения Эйлера» — например, уравнения движения
твердого тела в многомерном пространстве, уравнения Эйлера гидродинамики идеальной жидкости и т. д.
Теоремы Эйлера об устойчивости вращения вокруг большой и вокруг малой осей эллипсоида инерции твердого тела также имеют аналоги в случае
произвольной группы. В случае гидродинамики эти аналоги доставляют нелинейные обобщения теоремы Рэлея об устойчивости двумерных течений без
точек перегиба профиля скоростей.
Описание течений идеальной жидкости при помощи геодезических правоинвариантной римановой метрики позволяет применить к исследованию этих
течений методы римановой геометрии. Для этого нет необходимости строить сколько-нибудь последовательную теорию бесконечномерных римановых
многообразий (что связано со значительными аналитическими трудностями,
например, из-за отсутствия теорем существования решений соответствующих
дифференциальных уравнений).
Стратегия применения геометрических методов к бесконечномерным задачам состоит скорее в том, чтобы, установив какие-либо факты в конечномерной ситуации (для геодезических инвариантных метрик на конечномерных группах Ли), использовать их, чтобы сформулировать соответствующие
факты в бесконечномерном случае групп диффеоморфизмов. Доказательства
этих окончательных результатов часто можно затем сделать строгими, минуя
трудные вопросы обоснования промежуточных результатов (вроде продолжимости решений на нужный отрезок времени). Получаемые на этом пути результаты носят характер априорных утверждений: те или иные тождества или
неравенства имеют место при любом разумном понимании решений всякий
раз, когда нужное решение существует, но само это существование остается
под вопросом.
В частности, мы выведем формулы для римановой кривизны группы, снабженной инвариантной римановой метрикой. Применяя эти формулы к случаю
бесконечномерного многообразия, геодезическими которого являются движения идеальной жидкости, мы находим, что риманова кривизна во многих случаях отрицательна. Отрицательность кривизны влечет неустойчивость движения по геодезическим (как это хорошо известно из геометрии конечномерных римановых многообразий).
Применяя этот результат к (бесконечномерному) случаю групп диффеоморфизмов, мы приходим к выводу, что движение идеальной жидкости
неустойчиво (в том смысле, что небольшое изменение начальных условий
вызывает со временем большое изменение перемещений частиц). Более того,
формулы для кривизны позволяют оценить величину показателя экспо

Введение
11

ненциального расхождения движений с близкими начальными условиями,
а следовательно, и время, после которого движение масс жидкости становится
принципиально непредсказуемым.
Например, в простейшей идеализированной модели атмосферы (рассматриваемой как двумерная идеальная жидкость на поверхности тора) отклонения возрастают за два месяца в 105 раз. Ясно, что уже одно это обстоятельство
делает динамический прогноз погоды на такое время практически невозможным (независимо от того, насколько мощные компьютеры и сколь густая сеть
данных для этого используется).
Мы попытались сделать главы книги независимыми друг от друга, насколько это возможно. Ссылки внутри одной и той же главы не содержат ее
номер. Для первого знакомства с предметом мы адресуем читателя к следующим параграфам в соответствующих главах: § 1–5 и § 12 гл. I, § 1 и § 3–4
гл. II, § 1–2 и § 4 гл. III, § 1 гл. IV, § 1–2 гл. V, § 1 и § 4 гл. VI.
Некоторые утверждения в этой книге могут оказаться новыми даже для
специалистов. Отметим классификацию локальных законов сохранения в идеальной гидродинамике (теорема 9.9, гл. I), решение М. Фридмана проблемы
Сахарова–Зельдовича о минимизации энергии незаузленного магнитного поля (теорема 3.1, гл. III), обсуждение конструкции инвариантов многообразий,
основанных на оценках энергии узлов (замечание 2.6, гл. III), обсуждение
комплексной версии инвариантов Васильева для зацеплений (гл. III, п. 7.5),
замечание Б. Зельдовича о медианах треугольника Лобачевского (задача 1.4,
гл. IV), соотношение ковариантной производной векторного поля и оператора
инерции в гидродинамике (гл. IV, п. 1.4), отступление об уравнении Фоккера–
Планка (гл. V, п. 3.3) и конструкцию динамо при помощи геодезического
потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны (гл. V, п. 4.4).
В русское издание мы также постарались включить ссылки на самые недавние
исследования и решения ряда вопросов, поставленных в английском издании
этой книги [AKh2]. К их числу относятся описание соотношения между эйлеровой и лагранжевой устойчивостью [Pre], доказательство фредгольмовости
экспоненциального отображения на группе диффеоморфизмов в двумерном
случае [EbM, EbMP], универсальность уравнения Монжа–Ампера в задачах
гидродинамики и оптимального переноса массы [KhM2], решение «проблемы
коротких путей» в определении асимптотического инварианта Хопфа [Vog],
а также броуновская интерпретация многомерного аналога этого инварианта [Riv, Kh3]. Заметно расширен параграф, написанный А. Шнирельманом,
где, в частности, добавлено описание слабых решений двумерного уравнения Эйлера в терминах обобщенных континуальных кос [Shn9]. Многие попрежнему открытые вопросы гидродинамики собраны в книге [Arn26].

∗
∗
∗

Мы глубоко признательны всем тем, кто помогал нам на разных этапах работы: Ф. Аикарди, М. А. Бергеру, Ж.-Л. Брылински, А. Вайнштейну,
О. Я. Виро, М. М. Вишику, В. А. Владимирову, В. Л. Гинзбургу, М. Л. Громову, А. Д. Джилберту, Л. А. Дикому, В. М. Закалюкину, И. С. Захаревичу,

Введение

Я. Б. Зельдовичу, А. В. Зоричу, В. А. Зоричу, Ю. С. Ильяшенко, К. Кингу,
В. В. Козлову, А. Н. Колмогорову, Е. И. Коркиной, О. А. Ладыженской, П. Лауренсу, Ж. Лере, А. М. Лукацкому, М. Ю. Любичу, Д. Мак-Дафф, С. В. Манакову, Дж. Е. Марсдену, А. С. Мищенко, Ю. Мозеру, Р. Монтгомери, Дж. Моро,
Х. К. Моффату, Н. А. Некрасову, Ю. А. Неретину, С. П. Новикову, В. Ю. Овсиенко, В. И. Оселедцу, Л. В. Полтеровичу, М. Поляку, Т. С. Ратью, С. Резникову, К. Роже, А. А. Рослому, А. А. Рузмайкину, А. Д. Сахарову, Д. Серру,
Я. Г. Синаю, С. Л. Соболеву, Д. Д. Соколову, С. Л. Табачникову, А. Н. Тодорову, Л. Д. Фаддееву, В. В. Фоку, М. Х. Фридману, У. Фришу, К. М. Ханину, М. Хенону, Х. Хоферу, В. Ю. Цейтлину, Е. Цендеру, Ю. В. Чеканову,
С. Чилдрессу, Б. З. Шапиро, Л. Шварцу, А. И. Шнирельману, М. А. Шубину, Д. Г. Эбину, Я. М. Элиашбергу, М.-Р. Эрману, В. И. Юдовичу, Л.-С. Янг
и многим другим.
Параграф 7 гл. IV был написан А. И. Шнирельманом. Начальный вариант
§ 5 гл. VI написан Б. З. Шапиро, а замечание 4.11 гл. II — Дж. Е. Марсденом.
Мы особенно обязаны О. С. Козловскому и Г. Мисиолеку за многочисленные обсуждения различных тем этой книги и за их многочисленные полезные
замечания. О. С. Козловский также сообщил нам свои недавние неопубликованные результаты для нескольких параграфов в гл. V (в частности, для
п. 1.2, п. 2.3, п. 3.5).
Мы благодарны А. Мекишу за помощь с рисунками и Д. Крамеру за тщательную правку английской рукописи. Подготовка книги была частично поддержана РФФИ и NSERC.
Борис Хесин сомневается, что этот проект был бы когда-нибудь закончен
без неутомимой моральной поддержки его жены Маши в течение всей работы
над книгой, казавшейся бесконечной. Он также признателен за гостеприимство Институту Макса Планка в Бонне и Институтам высших исследований
в Бюр-сюр-Иветте и в Принстоне.
Русское издание книги было бы невозможным без помощи Т. В. Белокриницкой, В. М. Закалюкина, О. С. Козловского, А. М. Лукацкого, П. Е. Пушкаря, а также Ю. Н. Торхова и С. А. Ботовой. Им всем мы чрезвычайно
признательны.

Г Л А В А I

ГРУППОВАЯ И ГАМИЛЬТОНОВА СТРУКТУРЫ
ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ

Группа, с которой мы чаще всего будем иметь дело в гидродинамике —
это бесконечномерная группа диффеоморфизмов области течения, сохраняющих элемент объема. Можно также связать интересные системы с другими
группами, в частности, конечномерными. Например, обычная теория твердого тела с неподвижной точкой соответствует группе вращений SO(3), в то
время как геометрия Лобачевского имеет дело с группой сдвигов и растяжений векторного пространства. Наши конструкции равным образом применимы и к калибровочным группам, используемым в физике. Последние занимают промежуточное положение между группой вращений твердого тела
и группами диффеоморфизмов. Эти группы уже бесконечномерны, но еще
слишком просты, чтобы служить моделью для гидродинамики.
В этой главе мы изучим геодезические односторонне инвариантных метрик
на группах Ли. Принцип наименьшего действия утверждает, что движение таких физических систем, как твердые тела и идеальные жидкости, описывается
геодезическими этих метрик, заданных кинетической энергией.

§ 1. Группы симметрий твердого тела и идеальной жидкости

О п р е д е л е н и е 1.1. Множество G гладких преобразований многообразия M в себя называется группой, если:
1) вместе с любыми двумя преобразованиями g, h ∈ G композиция g ◦ h
принадлежит G (символ g ◦ h означает, что первым применяется h, а затем g);
2) вместе с любым g ∈ G обратное преобразование g−1 также принадлежит G.
Из 1) и 2) следует, что каждая группа содержит тождественное преобразование (единицу) e.
Группа называется группой Ли, если G имеет гладкую структуру и операции 1) и 2) являются гладкими.
П р и м е р 1.2. Все вращения твердого тела вокруг начала координат образуют группу Ли SO(3).
П р и м е р 1.3. Диффеоморфизмы некоторой области M, сохраняющие
элемент объема, образуют группу Ли. Мы обозначим эту группу SDiff(M).
Группа SDiff(M) может рассматриваться как конфигурационное пространство идеальной несжимаемой жидкости, заполняющей область M. Действительно, течение жидкости определяет в каждый момент времени t отоб