Сопротивление материалов : в 3 ч. Ч. 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФГБОУ ВПО  «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ 
УНИВЕРСИТЕТ» 

СОПРОТИВЛЕНИЕ  МАТЕРИАЛОВ 

Учебное пособие 

Ч а с т ь  1 

М о с к в а  2017

2-е издание (электронное)

УДК 539.3
ББК  30.121 

С 64

Р е ц е н з е н т ы:

профессор, доктор технических наук С. Н. Кривошапко, 
заведующий кафедрой «Прочность материалов и конструкций» 
Российского университета дружбы народов;  
член-корреспондент РААСН, профессор, доктор технических наук 
Н. Н. Шапошников (Московский государственный университет 
путей сообщения) 

А в т о р ы:
Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков, 
А. Н. Леонтьев

С 64
Сопротивление материалов. В 3 ч. [Электронный ресурс] : учебное пособие : Ч. 1  /

Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков [и др.] ;  М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Моск. гос.  строит. ун-т.  — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл 
pdf : 66 c.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". 

ISBN 978-5-7264-1760-8 (Ч. 1)

Первая часть учебного пособия по курсу «Сопротивление материалов с основами 
строительной механики и теории упругости, пластичности и ползучести» посвящена 
следующим темам: геометрические характеристики поперечных сечений стержней, 
определение усилий, напряжений и деформаций в стержнях, работающих на растяжение 
и сжатие, внутренние усилия при изгибе стержней, определение напряжений в балках при 
изгибе и расчёты на прочность. Приведены основные формулы этих разделов, подробно 
рассмотрены примеры решения задач.  
Пособие поможет студентам при выполнении расчетно-графических работ и при 
подготовке к различным видам контроля знаний (защита расчетно-графических работ, 
компьютерное тестирование, зачеты и экзамены). 
Для студентов, обучающимся по направлениям  08.03.01, 08.04.01 «Строительство», 
и студентов, обучающихся по программе специалитета по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений».

УДК 539.3

ISBN 978-5-7264-1759-2

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Сопротивление  материалов. 
В 3 ч. : учебное пособие : Ч. 1 / Н. М. Атаров, Г. С. Варданян, А. А. Горшков [и др.] ; под ред. 
Н. М. Атарова ; М-во образования  и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : 
Издательство МИСИ—МГСУ, 2012. —  64 с. — ISBN 978-5-7264-0626-8.

ББК 30.121

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими 
средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения 
убытков или выплаты компенсации.

ISBN  978-5-7264-1760-8 (Ч. 1) 
ISBN 978-5-7264-1759-2

©   ФГБОУ ВПО  «МГСУ», 2012 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Пособие состоит из 3-х частей и 13 глав по темам расчетно-графических 
работ. Каждая глава содержит краткое изложение теории, где приведены основные формулы и уравнения и примеры решения задач, аналогичных задачам 
в расчетно-графических работах. 
В первой части пособия приведены главы, соответствующие учебному материалу 1-го семестра изучения сопротивления материалов – геометрические 
характеристики поперечных сечений стержней, центральное растяжение и сжатие прямых стержней, внутренние усилия в балках и плоских стержневых системах при изгибе, напряжения в балках при изгибе и расчеты на прочность. 
В конце каждой части пособия приведен сортамент стальных прокатных 
стержней – уголков, двутавров и швеллеров. 
Пособие написано авторским коллективом кафедры сопротивления материалов МГСУ. Большую помощь при написании и подготовке к изданию учебного пособия оказали авторам коллеги по кафедре – профессор О.В. Мкртычев, 
доценты А.Я. Астахова, А.В. Ильяшенко и А.Г. Паушкин. 
В пособии использована система единиц СИ, а также традиционные для 
курса сопротивления материалов обозначения: сила – P, площадь поперечного 
сечения стержня – F. Соотношения между основными механическими величинами в единицах СИ и в технической системе приведены в следующей таблице: 

Наименование

величины

Е д и н и ц а
Соотношение

единиц
Наименование
Обозначение

Сила, нагрузка, вес
Ньютон
Н
1Н  0,1 кгс
1кН  0,1тс

Линейная нагрузка
Ньютон на метр
Н/м
1Н/м  0,1кгс/м
1кН/м  0,1тс/м

Момент силы, момент 

пары сил
Ньютон-метр
Нм
1Нм  0,1кгсм
1кНм  0,1тсм

Напряжение, давление
Паскаль
Па
1Па  0,1кгс/м2

1МПа  10кгс/см2

При определении напряжений в качестве вспомогательной единицы измерения используется также кН/см2  (1 кН/см2 = 10 МПа).

ГЛАВА  1 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ 
СТЕРЖНЕЙ 

1.1. Основные определения и формулы 

Основными геометрическими характеристиками поперечных сечений 
стержней (рис.1.1), используемыми при расчете стержней на прочность и жесткость, являются следующие.  
Площадь сечения  F. 
Статические моменты площади сечения относительно осей  Оx  и  Oy 




F
x
ydF
S
 ,  



F
y
xdF
S
. 
 (1.1) 

Осевые моменты инерции 




F
x
dF
y
J
2
 ,  


F
y
dF
x
J
2
.        (1.2) 

Центробежный момент инерции 




F
xy
xydF
J
. 
 (1.3) 

Полярный момент инерции  





F
y
x
p
J
J
dF
r
J
2
.  
      (1.4) 

Статические моменты имеют размерность длины в третьей степени (см3), а 
моменты инерции – единицы длины в четвертой степени (см4). Статические 
моменты и центробежный момент инерции могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. Осевые моменты инерции всегда являются положительными величинами. 
Координаты центра тяжести сечения определяются по формулам 

F

S
x
y
С 
 , 
F
S
y
x

С
.   
(1.5) 

Оси, проходящие через центр тяжести 
сечения, называются центральными осями. 
Статический момент сечения относительно любой центральной оси равен нулю. 
Частным случаем центральных осей являются оси симметрии сечения. 
При определении моментов инерции 
сечений используются зависимости между 
моментами инерции при параллельном переносе осей координат (рис.1.2): 

, 
 
 , 
    
, 
1
1
1
1
2
2
abF
J
J
F
a
J
J
F
b
J
J
xy
y
x
y
y
x
x






        (1.6) 
где  а  и  b – координаты центра тяжести  О  в системе координат  О1х1y1. 

y1

О1
x1

y1

O
x

y

x
dF

x1
a

y
b

О

x

x

dF
C

xC

yC

y

y

Рис.1.2   

Рис.1.1   

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный 
момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Осевые 
моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения 
Jmax = J1  и  Jmin = J2 . Они называются главными моментами инерции. 
Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями сечения. 
Величины главных моментов инерции  J1 и J2  и углы наклона главных 
осей  1  и  2  к оси  Ох  определяются по формулам 

. 
 
, 

;  
2
2

2
2
1
1

2
2

2,1

J
J

J

J
J

J

J
J
J
J
J
J

y

xy

y

xy

xy
y
x
y
x






















tg
tg

(1.7) 

Ось симметрии сечения и любая ось, ей перпендикулярная, составляют пару главных осей. Для сечений, имеющих более двух осей симметрии, а также 
при равенстве главных моментов инерции  J1 = J2  все центральные оси являются главными. 
Ниже приведены справочные данные о геометрических характеристиках 
простых сечений. 

Рис.1.3        
Рис.1.4     

Прямоугольник (рис.1.3) 

12

3
bh
J x 
,
12

3
hb
J y 
,
3

3

1
bh
J x 
,   
3

3

1
hb
J y 
. 
(1.8) 

Равнобедренный треугольник (рис.1.4) 

36

3
bh
J x 
,
48

3
hb
J y 
 . 
(1.9) 

y

x

b/2
b/2

O

h/3
2h/3 

y

x

y1

h

O

O1
b
x1

Рис.1.5                                                                Рис.1.6      

Круг (рис.1.5) 

32
2

4
4
D
R
J p




 ,      
64
4

4
4
D
R
J
J
y
x





 .                           (1.10) 

Полукруг (рис.1.6) 

8

4

1
R
J
J
y
x



 ,   
4
11
,0
R
J x 
 ,   
R
R
y
424
,0
3
4

0



 . 
      (1.11) 

 
Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавра, 
швеллера, уголка) приведены в сортаменте. 
 
 
1.2.  Примеры решения задач 
 
Задача 1.1  

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей сечения в виде прямоугольника с круговыми вырезами (рис.1.7). 
Размеры сечений на рисунках  1.7  1.12  даны в сантиметрах. 
Оси симметрии  Ох, Оу  являются 
главными центральными осями всего 
сечения. 
Моменты инерции и площади прямоугольника и круговых вырезов относительно их собственных осей определяются по формулам (1.8) и (1.10) 

 
4
3
1
см
 
40000
12
20
60



x
J
,  

 
, 
см
 
360000
12
60
20
4
3
1



y
J
2
1
см
  
1200
20
60



F
 ; 

 
 
, 
см
 
1017
4
6
4
4
2
2





y
x
J
J
2
2
2
см
 
113
6 



F
 . 

y R=6

12
18
18
12

10
10

O
x

Рис.1.7   

R

O

y
y

x1

R

y0 =_4
3 _R

O

O1

x

R

O

y

x

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей определяются по формулам (1.6). 

      
 
 
4
2
1
см
36949
1017
3
40000
3






x
x
x
J
J
J
; 

      
 
 
4
2
2
2
2
1
см
283725
18
113
2
1017
3
360000
2
3










a
F
J
J
J
y
y
y
 . 

 
Задача 1.2   

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей 
поперечного сечения, показанного на рис.1.8. 
Разобьем сечение на три простые фигуры: 
прямоугольник с размерами  128 см  и два равнобедренных треугольника с размерами  126 см. 
Моменты инерции и площади прямоугольника и 
треугольников относительно их собственных 
центральных осей определяются по формулам    
(1.8) и (1.9). 

   
 
4
3
1
см
512
12
8
12



x
J
 ,  
 
 
см
1152
12
12
8
4
3
1



y
J
, 

                       
2
1
см
96
8
12



F
; 

   
 
4
3
2
см
72
36
6
12



x
J
 ,    
 
4
3
2
см
216
48
12
6



у
J
 , 

                       
2
2
см
36
2
6
12



F
 . 

Площадь всего сечения равна 

                               
2
см
168
36
2
96




F
. 

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей  Ох, 
Оу  определяются по формулам (1.6). 

         
 
 




4
2
2
2
2
1
см
3248
6
36
72
2
512
2








b
F
J
J
J
x
x
x
; 

         
 
 
4
2
1
см
1584
216
2
1152
2






y
y
y
J
J
J
. 
 
Задача 1.3   

Определим моменты инерции относительно главных центральных осей 
поперечного сечения стального стержня, составленного из четырех равнобоких 
уголков  L10010010  и листа сечением  30010 мм  (рис.1.9). 
Выпишем из сортамента площадь и моменты инерции сечения уголка относительно собственных центральных осей  О1х1  и  О1у1: 
                 
 
 
4
1
1
см
179
1
1


y
x
J
J
 ,      F1 = 19,2 см2 . 

Рис.1.8  

x

y

6
6

x1

O

O1

6
8
6

6

x

y

6
6

x1

O

O1

6
8
6

6

Моменты инерции относительно осей  Ох и Оу  и площадь сечения листа 
равны 

                 
 
4
3
2
см
2250
12
30
1



x
J
 ,   
 
4
3
2
см
5,2
12
1
30



y
J
 ,   F2 = 30 см2. 

Площадь всего сечения равна  
        F = 419,2 + 30 = 106,8 см2. 
Моменты инерции сечения относительно 
главных центральных осей  Ох  и  Оу  определяются по формулам (1.6). 

 


 



; 
см
14341
2250

17
,
12
2,
19
179
4
4

4

2
2
2
1
1
1

1










x
x
x
J
b
F
J
J

 


 



. 
см
1570
5,2

33
,3
2,
19
179
4
4

4

2
2
2
1
1
1

1










y
y
y
J
a
F
J
J

 

Задача 1.4   

Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно 
главных центральных осей поперечного сечения с одной осью симметрии 
(рис.1.10). 
Данное сечение можно рассматривать как прямоугольник с размерами  
2418 см и прямоугольный вырез с 
размерами  1212 см. 
Площадь  сечения  равна   
       F = 2418 – 1212 = 288 см2. 
Для определения положения центра 
тяжести сечения, который находится на 
оси симметрии  Оу, примем в качестве 
вспомогательной оси ось  О1х1, проходящую по основанию фигур.  

Статический момент сечения относительно этой оси определим как разность статических моментов прямоугольника и квадрата 

               
3
2
2
1
1
см
3024
6
12
12
9
18
24
1









y
F
y
F
Sx
. 

Определим по формуле (1.5) координату центра тяжести 

.
см
5,
10
288
3024
1
0


 F

S
y
x

x

y

300 10мм


L100 100 10



х1

у1
О1

3,33

2,83 12,17

О

12
6

y

О

О1

6
6
6
6

у0=10,5

x

х1

Рис.1.9  

Рис.1.10  

Оси  Ох  и  Оу  являются главными центральными осями сечения. 
По третьей из формул (1.8) определим момент инерции сечения относительно оси  О1х1: 

.
J x
4
3
3
см
39744
3
12
12
3
18
24

1





 

Моменты инерции сечения относительно главных центральных осей определяются по формулам (1.6). 

;
см
7992
5,
10
288
39744
4
2
2
0
1






y
F
J
J
x
x

.
J y
4
3
3
см
19008
12
12
12
12
24
18





 

 
Задача 1.5   

Определим положение центра тяжести и моменты инерции относительно 
главных центральных осей поперечного сечения стальной балки, составленной 
из двух двутавров  I27  и стального листа сечением  40012 мм (рис.1.11). 
Моменты инерции и площади сечений двутавра и листа относительно собственных центральных осей соответственно равны: 

, 
см
5010
4

1 
x
J
,
см
260
4

1 
y
J
 
           F1 = 40,2 см2 ;   

4
3
см
76
,5
12
2,1
40

2



x
J
 , 

4
3
см
6400
12
40
2,1

2



y
J
 , 

           F2 = 401,2 = 48 см2 . 

 
Площадь всего сечения равна  

                       F = 240,2 + 48 = 128,4 см2. 

Для определения положения центра тяжести всего сечения определим статический момент сечения относительно оси  О1х1, проходящей через центры 
тяжести двутавров: 

.
,
,
,
y
F
Sx
3
2
2
см
8
676
2
2
1
5
13
48
1








 

По второй из формул (1.5) получим 

.
см
27
,5
4,
128
8,
676
1
0


 F

S
y
x

Рис.1.11  

х1

х

х2

5,27
8,83

у1
у
у2

О

О1

О2

10
10

1,2
13,5
13,5

І27

400 12мм


Оси  Ох  и  Оу  являются главными центральными осями. Моменты инерции сечения относительно этих осей равны 



4
2
2
см
16000
)
83
,8
48
76
,5
(
27
,5
2,
40
5010
2







x
J
; 



4
2
см
14960
6400
10
2,
40
260
2





y
J
. 

 
Задача 1.6   

Для стержня несимметричного сечения, составленного из двутавра  I50  и 
неравнобокого уголка  L20012516  (рис.1.12,а), определим положение центра 
тяжести сечения, моменты инерции относительно главных центральных осей и 
положение этих осей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Рис.1.12 

Моменты инерции и площади сечений двутавра и уголка относительно их 
собственных центральных осей соответственно равны: 

        
, 
см
1043
   
, 
см
39727
4
4

1
1


y
x
J
J
  , 0
1
1

y
x
J
     F1 = 100 см2 ; 

        
  , 
см
644
    
, 
см
2026
     
, 
см
617
4
4
4

2
2
2
2




y
x
y
x
J
J
J
 F2 = 49,8 см2 . 

Площадь всего сечения равна   

                             F = 100 + 49,8 = 149,8 см2 . 

Для определения положения центра тяжести выберем в качестве вспомогательных осей оси двутавра  О1х1  и  О1у1. По формулам (1.5) получим 

;
см
24
,7
8,
149
79
,
21
8,
49
2
2
0
1





F
x
F
F

S
x
y

.
см
32
,7
8,
149
01
,
22
8,
49
2
2
0
1





F
y
F
F

S
y
x

2
y2
6,71
21,79
7,24 14,55

14,69
7 32

2,99
22,01

1

x1
O1
O

O2

50

x

x2

0
10
3 2·

масштаб

Jxy=15300

O J2=

Jy=19000

Jx=56000
J1=62000

Jxy
2

K

1
C

J ,J
x
y

a)
б)

y
y1

10
3

=13000

1=20
0

2=70
0

2

1