Основы теории представлений


НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

О. К. ШЕЙНМАН

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

О. К. Шейнман

Основы теории представлений













Москва Издательство МЦНМО 2004

УДК 512.547.2+512.815
ББК 22.1
     Ш39




      Шейнман О. К.
Ш39 Основы теории представлений. — М: МЦНМО, 2004. — 64 с.
          ISBN 5-94057-169-7
          Книга представляет собой семестровый вводный курс теории представлений конечных и важнейших компактных групп. Предназначается для студентов математических и физических специальностей, начиная со второго курса.

ББК 22.1








Олег Карлович Шейнман
Основы теории представлений

Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 27.09.2004 г.
Формат 60 х 90 Уб- Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 4.
Тираж 1000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. 241-05-00.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Полиграфические ресурсы».








ISBN 5-94057-169-7

© Шейнман О. К., 2004

   Предисловие автора

   Настоящие лекции представляют собой записки семестрового вводного курса теории представлений, читанного мною в Независимом московском университете в 2002—2004 годах. Они предназначены для студентов начиная со второго курса.
   При подготовке этих лекций я придерживался двух правил:
   1) представлять общие принципы на простых конкретных примерах;
   2) демонстрировать теорию представлений в действии.
   Например, в соответствии с первым правилом, я формулирую теорему о существовании инвариантной меры на компактной группе, но вместо доказательства вычисляю ее на группе вращений, которая реально используется ниже. Или демонстрирую унитарный трюк Вейля на примере SU(2) и SL(2,C).
   В соответствии со вторым правилом, в лекции о представлениях симметрической группы я привожу выражение рациональных решений уравнения Кадомцева—Петвиашвили через полиномы Шура. Я показываю, что уже простейшие рассмотрения в теории представлений приводят к фундаментальным выводам о строении атома. Кульминацией курса является решение уравнения Шредингера для электрона в центральном поле и вытекающее из него объяснение строения первых периодов таблицы Менделеева.
   При подготовке своих лекций я широко пользовался замечательной книгой Э. Б. Винберга «Линейные представления групп». По сравнению с ней я еще более жестко подошел к отбору доказываемых фактов. В то же время я несколько приблизил изложение к классическим книгам И. М. Гельфанда, Р. А. Минлоса и 3. Я. Шапиро «Унитарные представления группы вращений и группы Лоренца» и Б. Л. Ван-дер-Вардена «Метод теории групп в квантовой механике». Имеются заимствования из «Фейнмановских лекций по физике».
   Я благодарен С. Локтеву за разрешение включить в записки разработанный им цикл задач (см. приложение). Я также благодарю В. Шувалова, сделавшего макет и внесшего многочисленные предложения редакционного характера, а также других сотрудников издательства МЦНМО, внесших ряд улучшений в текст.

О. К. Шейнман. Май 2004 г
3

   Лекция 1. Общие свойства представлений

   1. Основные определения
   Пусть G — группа, V — конечномерное комплексное линейное пространство, GL(TZ)—группа обратимых операторов в V. Представлением — в — называется гомоморфизм — — — GL(V). Оператор, отвечающий элементу g G G, называется его оператором представления и обозначается Т(д) или Тд.
   Пусть Vq — подпространство, инвариантное относительно всех операторов представления Т. Тогда ограничения операторов Тд на Vq образуют представление G в Vo, которое называется подпредставлением Т. Представление, образованное фактороператорами в пространстве V/Vo, называется факторпредставлением. Представление, не имеющее нетривиальных (т. е. отличных от нулевого и от него самого) подпредставлений, называется неприводимым-, в противном случае — приводимым.
   Представление называется разложимым, если V раскладывается в прямую сумму (нетривиальных) инвариантных подпространств, и вполне приводимым, если каждое инвариантное подпространство имеет инвариантное дополнение.
   Представление называется унитарным относительно заданной невырожденной эрмитовой формы в V, если эта форма инвариантна относительно всех операторов представления (иными словами, все Тд унитарны). Представление называется унитаризуемым, если невырожденная инвариантная эрмитова форма существует.
   Теорема 1.1. Унитарные представления вполне приводимы.
   Доказательство. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству относительно инвариантной эрмитовой формы само инвариантно.                                                 □
   Теорема 1.2. Представления конечных групп унитаризуемы и, как следствие, вполне приводимы.
   Доказательство. Пусть Е — какая-либо невырожденная эрмитова форма в V. Тогда
(x,y) = |G|-¹ ^E(Tgx,Tgy)               (1)
<?eG
является инвариантной невырожденной эрмитовой формой.      □

   2. Эквивалентность, морфизмы (сплетающие операторы)
   Морфизмом (сплетающим —ератором) представлений — : G — GL(Vi) иТ:С — GL(V₂) называется такой оператор С: Тф — У₂,

4

что CTi(p) = Т₂[д)С для любого д G G. Если С является изоморфизмом линейных пространств, то, по определению, он является и изоморфизмом представлений. Аналогично, термины эндоморфизм, автоморфизм переносятся из категории линейных пространств в категорию представлений. Если изоморфизм существует, представления называются эквивалентными (обозначение: Ту = Т₂). Множество (классов эквивалентности) неприводимых представлений группы G обозначим G.
   Теорема 1.3. Каждый морфизм неприводимых представлений — либо изоморфизм, либо нулевой оператор.
   Доказательство. Ядро и образ морфизма инвариантны. Следовательно, каждое из них либо является нулевым подпространством, либо совпадает с соответствующим представлением.                   □
   Лемма Шура (Schur). Каждый эндоморфизм неприводимого представления над C скалярен.
   Доказательство. Пусть СТ(д) = Т(д)С, и А — характеристическое значение С. Тогда (С — ХТ)Т(д) — Т(д)(С — XT), т.е.С — XI—морфизм. Но det(C* — XT) = 0, поэтому — — XI = 0 (теорема 1.3).        □
   Лемма Шура—основной критерий неприводимости в теории представлений. Напротив, основной метод разложения представлений — построение диагонального (но не скалярного) сплетающего оператора.
   Следствие. Пусть Ту и Т₂ — эквивалентные неприводимые представления. 'Тогда любой изоморфизм Т) и Т₂ имеет вид Act, ade ст: Т) ^ ^Т₂ — фиксированный жоморфизм, A G C.
   Доказательство. Пусть т: Т) ^ Т₂ — изоморфизм, тогда тст⁻¹ — автоморфизм ТА, т.е. тст⁻¹ = XI.                              □
   Задача 1.1. Каждое неприводимое представление абелевой группы одномерно.
   3. Основные операции: ф, ®
   Пусть Ту — представление G в U, Т₂ — представление G в И⁷ и П = [7фП⁷. Представление Т в V, определенное формулой Т(д)(х®у) = = Ту{д)х ®ТДд)у, называется прямой суммой представлений Ту и Т₂ и обозначается Ту ТТ₂. Прямую сумму п экземпляров представления т обозначим пт.
   Пусть Ту — представление G в U, Т₂ — представление Н в И⁷ и V = U ® И⁷. Представление Т группы G х Н в V, определенное формулой Т(д х h)(x ® у) = Ту(д)х ® T₂(h)y (a; G 17, у G W, д G G, Gg Н), называется тензорным произведением представлений Ту и Т₂ и обозначается Ту /Т>. Термин тензорное произведение применяется к еще одной аналогичной операции, в которой и U, и И⁷ — пред

5

ставления одной и той же группы G. При этом, по определению, (Ti фТ₂){д){х ф у) = ТДд)х фТДд)у.


   4. Спектр представления

   Лемма 1.1. Пусть Т: G GL(V) — представление и V = Vi ф ... ... ф Фт —разложение в сумму неприводимых инвариантных подпространств. Тогда Т вполне приводимо и, более того, для каждого инвариантного подпространства С С V найдутся такие i-y... ,iₚ, что ф ф ф ф Vₕ ф ... ф С)р.
   Доказательство. Номера ii,...,iₚ выбираем из условия, что U, Ф^ ..., Viₚ — максимальная независимая подсистема (в крайнем случае набор и,..., iₚ окажется пустым). Тогда для любого i = 1,..., т

                 П П (U ф ф • • • ф )    = <
'----------V---------' W               инвариантное подпространство в Vi

Случай {0} исключен, т. к. тогда Ф{ линейно независимо с остальными. Следовательно, ф С ф ф ф^ ф ... С)р и ф = ф ф Фу ф ... ф С)р. □
   Лемма 1.2. Если Т разложено на неприводимые: Т = ф7), то любое его подпредставление (факторпредставление) эквивалентно сумме некоторой части представлений Ту
   Доказательство. По лемме 1.1 V/U = фу ф ... ф Фу, и утверждение для фактора доказано. Для подпредставления: всякое подпредставление изоморфно факторпредставлению по дополнительному подпространству, а оно в данном случае имеется — по лемме 1.1.     □
   Теорема единственности. Разложение на неприводимые единственно с точностью до эквивалентности: если Т = Т) ф ... ф Тт и Т = = 51 ф ... ф Sₙ, mo гп = п и после соответствующей перенумерации Д = Si, i = т.
   Доказательство. С точностью до изоморфизма можно считать, что представления 7) и Sj действуют в одном и том же пространстве Ф, и, соответственно, мы имеем два разложения Ф в прямую сумму неприводимых подпространств: ф = Ф± ф ... ф Фт и ф = СД ф ... ф Uₙ, так что Ту = Д и Тц. = Sj.
   Проведем доказательство индукцией по гп. Применим лемму 1.1 к подпространству ф = U±. Это дает ф = ф ф Фу ф ... ф Фу, где Фу,..., =iₖ — некоторая часть представлений Тф,..., Фт. Тогда Ту = = Ту/г^®...®^ • Из данного по уеловию разложения ф = ТД ф ... ф Фт имеем Tvyv^®...®!^ₖ =1^ ф.. .фУл, где {д,.. .д} = {1,.. .,т}-{Д,.. .,ifₑ}. С ле доват ельно,

= = Тц = Ту®...®у = =Т^гф ...ф Tⱼₜ.

6

Так как Si неприводимо, то I = 1. Введем новую нумерацию подпространств Ф, так чтобы Ф^ приобрело номер 1. После этого Ф± = U и {£i,..., ij.} = {2,..., т}. Мы имеем, следовательно, два разложения: Ф = U Ф Н Ф • • • Ф Vₘ и Ф = U Ф U2 Ф • • • Ф Uₙ, из которых вытекает, что
Ф2 Ф • • • Ф Тт = Ту!и = S2 Ф • • • Ф Sₙ.
По предположению индукции гп = п и, после надлежащей перенумерации, Т₂ = S₂,..., Тт = Sₘ.                                    □
   Следствие. Если Т = ф ттт = ф птт, то гпт = пт для любого -                  теG       тЕG
т gG.
   Набор {тт | т G G} называется спектром представления Т. Из теоремы единственности следует, что два представления эквивалентны тогда, и только тогда, когда они имеют одинаковый спектр.


   5. Неприводимость тензорного произведения
   Теорема 1.4. Тензорное произведение двух неприводимых представлений групп G и Н неприводимо (как представление G х Н).
   Доказательство. Пусть Т: G ^ GL(V), S: Н ^ GL(U).
   1)    Рассмотрим случай, когда Н = {е} и S = I—тождественное представление. Тогда любое неприводимое подпространство W С ф U (относительно ф ф I) имеет вид ф ф Ug (uq G U).
   Действительно, пусть Ui ... ит — базис в ф. Всякий элемент V ф U единственным образом представляется в виде ф ф и± + ... + ф ф ит-, в частности, для любого w G W имеем w = ф (w) ф и± +... + (w) ф ит. Очевидно, <Ji — морфизмы:


(Тф I)(g)w = T(p)cti(w) ф Ui + ... у - -                   ^

<ri(T®/(j)w)
Из последнего соотношения видно, что ф(Т ф 7)(p)w = T(p)ct,(w) для всех i = 1,..., т. Следовательно, ф— морфизм (Т ф -^)|щ и Т — двух неприводимых представлений. По следствию из леммы Шура существуют такой фиксированный изоморфизм ст: (Т ф /)|щ ^ Т и такие A, G C, i = 1,..., m, что ф = А,ст. Таким образом,


ф ф ct(w) ф AjUjj = ct(w) ф Uq.
'----V----'
«О
Поскольку ст: И⁷ ^ V — изоморфизм, имеем ст(И⁷) = V. Окончательно И⁷ = ф ф Ug.

7

   2)    Пусть теперь S неприводимо и W CV^U инвариантно относительно Т ® S.
   Операторы вида Т{д) ® S{e) образуют представление, изоморфное Т ® I. Пусть И⁷/ С W — неприводимое подпространство в W относительно Т®1. Из 1) еле дует, что И⁷/ = V ® и®, Uq^O. Таким образом, И⁷ D V ® Uq. Будем применять к V ® и® операторы вида Т(е) ® S{h). Так как S неприводимо, то

Span{S'(h.)u₀ \hGH} = U, где Span обозначает линейную оболочку. Таким образом, И⁷ D D V &U.                                                       □
   Решения задач к лекции 1
   1.1.   Если G абелева, то Тд является автоморфизмом представления Т для любого g. Если Т неприводимо, то Тд = XgI, Gg G C (лемма Шура); следовательно dimT = 1.


   Лекция 2. Разложение регулярного представления

   1. Действия групп на множествах
   Говорят, что задано действие а группы G на множестве X, если каждому д G G сопоставлено отображение ст(р): X — X. причем <⁷(р1р2)ж = ст(р1)(ст(р2)ж) {левое действие) или ха{д±д2) = (xa(gi))a(g2) {правое действие). (Как а{д)х, так и ха{д) обозначают образ элемента х при отображении сг{д).) В обоих случаях предполагается, что <j{e) = 1. Отображения с{д) часто называются сдвигами (соответственно, левыми или правыми). Как правило, мы будем писать дх вместо а{д)х и хд вместо ха{д).
   Если на X задана структура топологического пространства (гладкого многообразия, аналитического многообразия, пространства с мерой), то сдвиги предполагаются непрерывными (соответственно, гладкими, аналитическими, измеримыми).
   Орбитой элемента g G X называется множество {дх \ д G G}.
   Каждому действию на множестве естественным образом соответствует представление G в пространстве функций на этом множестве:
{Tgf ){x) = —д~гх) для левого действия

и

{Sgf){x) = f{xg) для правого действия.

8

   Примером является регулярное представление группы G:
Reg(pi,p₂)/(p) = -g^ggi)Тут имеет место смешение терминов, так как на самом деле Reg является представлением G х G, а не G. Тем не менее мы будем придерживаться традиционной терминологии.
   Ограничение Reg на подгруппы G х {е} и {е} х G дают соответственно представления
£(р)/(й) =/(Р⁻¹^) и R(g)fW = f(hg).
Первое из них называется левым регулярным, а второе — правым регулярным. Они действительно являются представлениями группы G, причем L соответствует левому, a R — правому действию группы G на самой себе.
   Задача 2.1. dim Reg = |G|.

   2. Двойственное представление
   Для произвольного представления Т группы G положим Т'(д) = = Т(р⁻¹)' (справа ' — сопряженный оператор, определенный канонически).
   Задача 2.2. Т' — представление.

   3. Матричные элементы
   Возьмем представление Т: G ^ GL(TZ)- Если выбрать базис в V, мы получим изоморфизм GL(TZ) ^ GL(n), где п = dim V. Сквозной гомоморфизм G ^ GL(n) мы будем называть матричной формой представления Т, имея в виду под Т(р) уже не сам оператор представления, а его матрицу. Элементы Tij(g) этой матрицы, рассматриваемые как функции на G, называются матричными элементами представления Т.
   Обратно, пусть мы имеем гомоморфизм G ^ GL(n). Выбирая базис в V и используя возникающий при этом изоморфизм GL(n) ^ GT.(i’). получим представление G в V. При выборе другого базиса получится эквивалентное представление. Таким образом, с точки зрения теории представлений нет различия между операторной и матричной формой представления. Как правило, мы будем переходить от одной к другой без особых оговорок.
   Также без оговорок мы будем переходить от пространства End(Tz) эндоморфизмов (операторов) в пространстве V к соответствующему пространству матриц Matr(n х п), если это приводит к эквивалентным представлениям.

9