Теория Галуа

Э. АРТИН

ТЕОРИЯ ГАЛУА

Перевод с английского А.В.Самохина

Москва
Издательство МЦНМО
2004

УДК 512
ББК 22.14
А86

Издание осуществлено при поддержке РФФИ
(издательский проект № 02-01-14082).

Серия КЛАССИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ: МАТЕМАТИКА

Артин Э.
А86
Теория Галуа / Пер. с англ. А. В. Самохина.— М.: МЦНМО,
2004.— 66 с.— (Классические монографии: математика).

ISBN 5-94057-062-3

В книге изложены основы теории Галуа. Она написана ясным языком, материал тщательно подобран, ее автор — известный математик. Впервые она была
опубликована в 1944 г. и затем неоднократно переиздавалась. Отдельная глава
посвящена вопросу о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и построению правильных многогранников с помощью циркуля и линейки.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.

ББК 22.14

ISBN 5-94057-062-3
c⃝ МЦНМО, перев. на русск. яз., 2004.

Предисловие к русскому изданию

Эмиль Артин (1898—1962) родился в Вене. В возрасте 18 лет он поступил в Венский университет, но проучившись там меньше года, попал
в армию. После войны закончил Лейпцигский университет под руководством Герглотца и защитил диссертацию о квадратичных функциональных полях. Наиболее творческие годы он провел, преподавая в Гамбургском университете. Нацизм заставил его, как и множество других
замечательных математиков, эмигрировать в 1937 году в Америку, где
он создал еще б ´ольшую научную школу, чем в Германии, особенно за
годы преподавания в Принстоне. В 1958 году он вернулся в Гамбург.
Артин не был математиком-мономаном. Кроме математики он интересовался механикой, теорией относительности, химией, биологией,
астрономией (он показывал ученикам телескоп, сделанный своими руками), хорошо знал и любил музыку (играл на флейте, фортепиано и
клавесине).
Его вклад в алгебру, теорию чисел и топологию огромен. Он решил
семнадцатую проблему Гильберта, открыл расширения Артина—Шрайера, закон взаимности Артина в теории полей классов, создал теорию кос,
ввел артиновы кольца и разрешимые группы, предложил функциональный аналог гипотезы Римана (теперь теорема Хассе—Вейля), гипотезу
Артина о примитивных корнях, гипотезу Артина о голоморфности L-рядов и многое другое.
Артин писал: «Математика — это искусство» и относил это в полной
мере к книгам по математике. Он автор по меньшей мере шести классических книг: «Теория Галуа», «Кольца с условиями минимальности»
(с Несбитом и Траллом), «Геометрическая алгебра» (имеется русский
перевод), «Алгебраические числа и алгебраические функции», «Гаммафункция» и «Теория полей классов» (с Тейтом). Мне представляется,
что самые замечательные из них — первая и последняя. Первая — перед
вами.

М. А. Цфасман

3

1.1. Тела

Телом1) называется множество, в котором заданы две операции —
умножение и сложение, аналогичные умножению и сложению в множестве действительных чисел (которое является частным случаем тела).
В любом теле F существуют однозначно определенные элементы — так
называемые 0 и 1, которые взаимодействуют с другими элементами тела
относительно операций умножения и сложения так же, как их аналоги
в системе действительных чисел. Эта аналогия с действительными числами неполна в двух отношениях: 1) умножение не всегда предполагается
коммутативным, 2) тело может иметь конечное число элементов.
Точнее говоря, тело — это множество, которое является аддитивной
абелевой группой относительно вышеупомянутой операции сложения, а
ненулевые элементы этого множества образуют группу по умножению.
Наконец, эти две групповые операции связаны между собой законом
дистрибутивности. Кроме того, произведение нуля с любым элементом
тела полагается равным нулю.
Если умножение в теле коммутативно, то тело называется полем.

1.2. Векторные пространства

Аддитивная абелева группа V, элементы которой обозначаются через A, B, . . . , называется (левым) векторным пространством над
телом F, элементы которого обозначаются a, b, . . . , если для каждой
пары a ∈ F и A ∈ V определен элемент a · A, принадлежащий группе V,
и выполняются следующие условия:
1) a · (A
+ B)
= a · A
+ a · B,
3) a · (b · A)
= (a · b) · A,
2) (a
+ b) · A
= a · A
+ b · A,
4) 1 · A
= A.
Читатель без труда проверит, что если V — векторное пространство
над F, то 0 · A
= 0 и a · 0
= 0. Например, первое соотношение следует из

1)В иностранной литературе кольцо, в котором всякий ненулевой элемент обратим, часто
называется полем. Если же умножение в таком кольце коммутативно, то оно называется
коммутативным полем. В русской же литературе поля принято называть телами, а коммутативные поля — полями. — Прим. ред.

4

уравнений
a · A
= (a
+ 0) · A
= a · A
+ 0 · A.

Иногда произведения элементов тела F с элементами пространства V
записываются в виде A · a. В этом случае мы называем V правым векторным пространством над F, чтобы подчеркнуть разницу с предыдущим случаем, когда элементы тела F действуют слева. В дальнейшем если левые и правые векторные пространства не встречаются одновременно, то мы будем просто использовать термин «векторное пространство».

1.3. Однородные линейные уравнения

Если в теле F заданы m · n элементов aij, i
= 1, 2, . . . , m, j
= 1, 2, . . .
. . . , n, то часто бывает необходимо знать условия, гарантирующие существование таких элементов тела F, что выполнены следующие равенства:

a11x1

+ a12x2

+ . . .
+ a1nxn

= 0,
... ... .. ... ... .. ... ... .. ... ... ...
am1x1

+ am2x2

+ . . .
+ amnxn

= 0.
(3.1)

Читатель, возможно, помнит, что такие уравнения называются линейными однородными, а множество элементов x1, x2, . . . , xn тела F, для
которых эти равенства верны, называется решением системы уравнений.
Если не все элементы x1, x2, . . . , xn равны нулю, то решение называется
нетривиальным; иначе оно называется тривиальным.
Теорема 1. Система линейных однородных уравнений всегда
имеет нетривиальное решение, если число неизвестных превосходит число уравнений.
Доказательство этой теоремы проводится методом, знакомым большинству школьников старших классов, а именно, методом последовательного исключения неизвестных.
Если имеется пустое множество уравнений для n неизвестных, то на
эти неизвестные нет никаких ограничений и мы полагаем их равными 1.
Далее будем действовать по полной индукции.
Предположим, что любая система из k уравнений с более чем k неизвестными имеет нетривиальное решение при k
< m. Допустим, что для
системы уравнений (3.1) выполняется неравенство n
> m, и обозначим
выражение ai1x1

+ . . .
+ ainxn через Li, i
= 1, 2, . . . , m. Мы ищем такие
элементы x1, . . . , xn, не все равные нулю, что L1

= L2

= . . .
= Lm

= 0. Если aij

= 0 для всех i и j, то любой набор x1, . . . , xn будет решением.
Если же не все aij равны нулю, то можно считать, что a11 ̸= 0, переупорядочив переменные и уравнения подходящим образом. Существование нетривиального решения исходной системы уравнений равносильно

5

существованию нетривиального решения следующей системы:

L1

= 0,
L2 − a21a−1
11 L1

= 0,
....................
Lm − am1a−1
11 L1

= 0.

Действительно если x1, . . . , xn — решение последней системы уравнений, то, поскольку L1

= 0, второй член каждого из оставшихся уравнений равен нулю, и тем самым L2

= L3

= . . .
= Lm

= 0. Обратно, если
выполнено (3.1), то, очевидно, новая система имеет решение. Читатель
может заметить, что новая система была подобрана таким образом, что
переменная x1 исключается из последних m − 1 уравнений. Кроме того, если существует нетривиальное решение последних m − 1 уравнений, рассматриваемых как система от переменных x2, . . . , xn, то, полагая
x1

= −a−1
11 (a12x2

+ a13x3

+ . . .
+ a1nxn), мы получим решение исходной системы. Однако система из последних m − 1 уравнений имеет решение по
индуктивному предположению, откуда и следует утверждение теоремы.
Замечание. Если бы мы записали линейные однородные уравнения в форме xjaij

= 0, j
= 1, 2, . . . , n, то теорема по-прежнему
осталась бы верной и ее доказательство проходило бы без изменений.

1.4. Зависимость и независимость векторов

Векторы A1, . . . , An векторного пространства V над телом F называются линейно зависимыми, если существуют такие элементы этого
тела x1, . . . , xn, не все равные нулю, что x1A1

+ x2A2

+ . . .
+ xnAn

= 0.
В противном случае векторы называются (линейно) независимыми.
Размерностью векторного пространства V над телом F называют
максимальное число линейно независимых векторов в V. Так, размерность пространства V равна n, если в V есть n линейно независимых
векторов, но любое множество из (n
+ 1) векторов линейно зависимо.
Система векторов A1, . . . , Am в V называется системой образующих, если любой вектор A из V может быть линейно выражен че
рез A1, . . . , Am, т. е. A
=

mi =1
aiAi для подходящих ai, i
= 1, . . . , m, ai ∈ F.

Теорема 2. В любой системе образующих максимальное число
линейно независимых векторов равно размерности векторного
пространства.
Пусть A1, . . . , An — система образующих векторного пространства V
размерности n. Обозначим через r максимальное число линейно независимых векторов в системе образующих. Переупорядочивая векторы

6

подходящим образом, мы можем считать, что A1, . . . , Ar линейно независимы. По определению размерности отсюда следует, что r ⩽ n. Для
любого j векторы A1, . . . , Ar, Ar+j линейно зависимы и в равенстве

a1A1

+ a2A2

+ . . .
+ arAr

+ ar+jAr+j

= 0,

выражающем зависимость, коэффициент ar+j ̸= 0, ибо в противном случае мы получили бы противоречие с предположением о линейной независимости векторов A1, . . . , Ar. Поэтому,

Ar+j

= −a−1
r+j[a1A1

+ a2A2

+ . . .
+ arAr].

Следовательно, множество векторов A1, . . . , Ar также является системой образующих, так как в соотношении, представляющем любой вектор
пространства V как линейную комбинацию векторов A1, . . . , An, слагаемые, содержащие Ar+j, j ̸= 0, можно заменить на линейные комбинации
векторов A1, . . . , Ar.
Пусть теперь B1, . . . , Bt — любой набор векторов пространства V,

где t
> r. Тогда существуют такие aij, что Bj

=

ri =1
aijAi, j
= 1, 2, . . . , t,

поскольку Ai — система образующих. Если мы сможем показать, что
B1, . . . , Bt линейно зависимы, то мы получим оценку r ⩾ n и тем самым,
учитывая неравенство r ⩽ n, доказанное выше, получим доказательство
теоремы. Таким образом, мы должны предъявить нетривиальное решение
уравнения
x1B1

+ x2B2

+ . . .
+ xtBt

= 0,

где xi ∈ F. С этой целью найдем значения xi, которые удовлетворяют

системе линейных уравнений

tj=1
xjaij

= 0, i
= 1, 2, . . . , r. Этого будет

достаточно, потому что выражения в левой части уравнений суть коэф
фициенты при Ai в сумме

tj=1
xjBj, где Bj заменены на

ri =1
aijAi и приведены

подобные слагаемые. Но нетривиальное решение системы

tj=1
xjaij

= 0,

i
= 1, 2, . . . , r, всегда существует по теореме 1.
Замечание. Любые n независимых векторов A1, . . . , An в векторном
пространстве размерности n являются системой образующих. Для любого вектора A векторы A, A1, . . . , An зависимы и коэффициент при A
в линейном соотношении не может быть равен нулю. Выражая A через
A1, . . . , An, мы видим, что A1, . . . , An — система образующих.
Подмножество векторного пространства называется подпространством, если оно является подгруппой пространства, рассматриваемого

7

как абелева группа, и, кроме того, инвариантно относительно умножения на элементы тела F. Если A1, . . . , As — векторы пространства V, то
множество векторов вида a1A1

+ . . .
+ asAs, очевидно, образует подпространство в V. Из определения размерности также видно, что размерность любого подпространства не превосходит размерности объемлющего пространства.
Набор из s элементов тела F вида (a1, . . . , as) будем называть вектор-строкой. Все вектор-строки длины s образуют векторное пространство, если положить
1) (a1, a2, . . . , as)
= (b1, b2, . . . , bs), если и только если ai

= bi, i
=

= 1, . . . , s,
2) (a1, a2, . . . , as)
+ (b1, b2, . . . , bs)
= (a1

+ b1, a2

+ b2, . . . , as

+ bs),
3) b(a1, a2, . . . , as)
= (ba1, ba2, . . . , bas) для b из F.

Наборы из s элементов тела F, записываемые вертикально:
a1
...

as

,

называются вектор-столбцами.
Теорема 3. Вектор-строки (столбцы) длины n, элементы которых принадлежат телу F, образуют векторное пространство
размерности n над F. Это пространство обозначается через Fn.
Заметим, что n векторов

e1

= (1, 0, 0, . . . , 0),

e2

= (0, 1, 0, . . . , 0),
... ..................

en

= (0, 0, 0, . . . , 1)

независимы и порождают Fn. Оба свойства следуют из соотношения
(a1, a2, . . . , an)
= ai

ei.
Мы будем называть прямоугольную таблицу





a11
a12
. . . a1n
a21
a22
. . . a2n

...
...
...

am1 am2 . . . amn






из элементов тела F матрицей. Правым строчным рангом матрицы
называется максимальное число линейно независимых вектор-строк среди строк (ai1, . . . , ain) матрицы, если умножение на элементы поля задано
справа. Аналогичным образом определяются левый строчный, правый и
левый столбцовый ранги.
Теорема 4. В любой матрице правый столбцовый ранг равен
левому строчному рангу и левый столбцовый ранг равен правому

8

строчному рангу. Если тело является полем, то все четыре ранга
равны одному и тому же числу и это число называется рангом
матрицы.
Обозначим столбцы матрицы через C1, . . . , Cn и строки через R1, . . .

. . . , Rm. Нулевой вектор-столбец 0 равен
0
...

0


, и любая линейная зави
симость вида C1x1

+ C2x2

+ . . .
+ Cnxn

= 0 эквивалентна существованию
решения системы уравнений

a11x1

+ a12x2

+ . . .
+ a1nxn

= 0,
... ... .. ... ... .. ... ... .. ... ... ...
am1x1

+ am2x2

+ . . .
+ amnxn

= 0.
(3.1)

Любая перестановка строк матрицы приводит к той же самой системе уравнений и, тем самым, не изменяет столбцового ранга матрицы.
Строчный ранг при этом также не изменяется, потому что у новой матрицы вектор-строки будут теми же. Обозначим правый столбцовый ранг
через c и левый строчный ранг матрицы через r. Учитывая предыдущие
замечания, мы можем считать, что первые r строк линейно независимы.
Векторное пространство, порожденное вектор-строками матрицы, имеет
размерность r по теореме 1 и порождено первыми r строками. Следовательно, любая строка с номером, большим r, линейно выражается через
первые r строк. В итоге любое решение первых r уравнений системы (3.1)
будет решением всей системы, поскольку последние n − r уравнений получаются как линейные комбинации первых r уравнений. Обратно, любое
решение системы (3.1) также будет решением первых r уравнений. Это
означает, что у матрицы





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n

...
...
...

ar1
ar2 . . . arn




 ,

состоящей из первых r строк исходной матрицы, правый столбцовый
ранг такой же, как у исходной матрицы. Кроме того, у нее такой же левый строчный ранг, так как эти r строк выбирались независимыми. Но
столбцовый ранг усеченной матрицы не может быть больше r по теореме 3. Тем самым, c ⩽ r. Аналогично, обозначая через c′ левый столбцовый
ранг и через r′ правый строчный ранг, имеем c′ ⩽ r′. Если транспонировать исходную матрицу, т. е. заменить строки на столбцы, а столбцы на
строки, то левый строчный ранг транспонированной матрицы будет равен левому столбцовому рангу исходной. Если применить предыдущие

9