Геометрии

ГЕОМЕТРИИ

А. Б. Сосинский

А. Б. Сосинский     ГЕОМЕТРИИ

Эта книга, основаннная на лекциях, читавшихся 
автором на первом курсе Независимого 
московского университета, представляет 
собой введение в евклидову, сферическую, 
проективную и гиперболическую (Лобачевского) 
геометрию, написанное в синтетическом, 
бескоординатном стиле; по ходу дела читатель 
знакомится также с началами теории групп 
и узнает, в связи с чем эта теория возникла. 
Книга снабжена большим количеством 
упражнений, помогающих освоить материал.

ISBN 978-5-4439-1168-7

9 785443 911687 >

А. Б. Сосинский

Геометрии

Перевод с английского
Б. Р. Френкина

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
C

Сосинский А. Б.
Геометрии / Перевод с англ. Б. Р. Френкина.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, .
 с.
ISBN ----

Эта книга, основанная на лекциях, читавшихся автором на первом курсе Независимого московского университета, представляет собой введение в евклидову, сферическую, проективную и гиперболическую (Лобачевского) геометрию, написанное в синтетическом, бескоординатном стиле; по ходу дела читатель знакомится также с началами теории групп и узнает, в связи с чем эта теория возникла. Книга
снабжена большим количеством упражнений, помогающих освоить
материал.
Для студентов младших курсов, школьников старших классов
и всех интересующихся математикой.

Подготовлено на основе книги:
Сосинский А. Б. Геометрии / Перевод с англ. Б. Р. Френкина. –– М.: МЦНМО,
. ––  с. –– ISBN ----

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()--.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Сосинский А. Б., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие к русскому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Глава . О евклидовой геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава . Симметрии простейших фигур и основные определения
. . .
36

Глава . Абстрактные группы; задание групп определяющими соотношениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

Глава . Конечные подгруппы в группе SO(3) и платоновы тела . . . .
66

Глава . Дискретные подгруппы в группе изометрий плоскости. Замощения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

Глава . Группы отражений и геометрии Кокстера . . . . . . . . . . . . .
93

Глава . Сферическая геометрия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Глава . Модель Пуанкаре гиперболической геометрии на круге . . . . 116

Глава . Модель Пуанкаре на полуплоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Глава . Модель Кэли––Клейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Глава . Тригонометрия на гиперболической плоскости и абсолютные
константы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Глава . История неевклидовой геометрии
. . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Глава . Проективная геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Глава . «Проективная геометрия –– это вся геометрия» . . . . . . . . . 180

Глава . Конечные геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Глава . Иерархия геометрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Глава . Морфизмы геометрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Дополнение А. Извлечения из «Начал» Евклида
. . . . . . . . . . . . . . 224

Дополнение Б. Аксиомы планиметрии Гильберта . . . . . . . . . . . . . 237

Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Указатель терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Предисловие к русскому изданию

Разных геометрий много. В этой книге приводятся, как мне кажется, самые интересные и красивые.
Слово «геометрия» я понимаю не как название учебной или научной дисциплины (такой, как «диффиринциальные исчисления»),
а как математический объект (такой, как «дифференциал»). Объединяет различные геометрии то, что каждая из них, как указал Феликс Клейн в своей знаменитой Эрлангенской программе ( г.),
представляет собой множество, на которые действует группа.
У геометрии, как и других важных объектов в математике, кроме индивидуальной жизни, есть и жизнь общественная: они входят
в некоторый социум –– категорию геометрий –– в котором они взаимодействуют посредством морфизмов (так называемых эквивариантных отображений).
Слова группы, морфизмы, категории не должны ввести читателя
в заблуждение: это не формально-алгебраическое или (Боже упаси)
аналитическое (координатное) рассмотрение геометрических тем; достаточно взглянуть на многочисленные чертежи в нашей книге, чтобы понять, что мы постоянно придерживаемся зрительного, наглядного подхода.
Теория категорий не применяется в этой книге, но мы используем ее язык, –– как читатель увидит, это очень естественно в геометрическом контексте. Так, известной фразе Кэли: «проективная
геометрия –– это вся геометрия» можно придать точный математический смысл с помощью термина подгеометрия (означающего «образ геометрии при инъективном эквивариантном отображении»).
В контексте нашей книги можно перефразировать эти слова так:
«геометрии, изучаемые в этой книге (включая три классические ––
гиперболическую, эллиптическую и евклидову), являются подгеометриями проективной геометрии».
В основном тексте книги очень мало сказано об аксиоматическом подходе к геометрии. Это одно из предубеждений автора:
я считаю, что классические системы аксиом, например для евклидовой или гиперболической геометрии, безнадежно устарели и больше не принадлежат современной математике. Их место –– в истории
математики и в философии науки. Поэтому здесь они появляются
лишь в одной главе, которая посвящена захватывающей истории со

Предисловие к русскому изданию


здания неевклидовой геометрии, а подробный разбор аксиоматики
Евклида и Гильберта перенесен в дополнения А и Б.
Множественное число в заглавии книги (Геометрии) означает,
что, на мой взгляд, нет такого учебного предмета, как «геометрия»,
но, как уже было сказано, существуют конкретные математические
объекты, которые называются геометриями. В единственном числе слово «геометрия» нужно понимать как способ математического
мышления, в действительности изначальный: в Древней Греции слово
«геометрия» служило синонимом слова «математика». Можно и нужно
мыслить геометрически, работая не только с окружностями и треугольниками, но и с коммутативными диаграммами, морфизмами
и группами. Знаменитая фраза над входом в платоновскую Академию:

Не знающий геометрии да не войдет в Академию

должна быть помещена и на воротах, ведущих в мир математики.

∗ ∗ ∗
В предисловии я не буду систематически излагать содержание
курса, а отошлю читателя к оглавлению. У хорошо подготовленного
читателя оно может вызвать такой вопрос: почему его любимые геометрии не всегда представлены в книге среди «интересных и красивых» геометрий, обещанных выше? Позвольте высказаться по поводу
некоторых тем и объяснить, почему они здесь не рассматриваются.
Прежде всего, мы не рассматриваем ни аффинную, ни евклидову геометрию, ни геометрию векторного пространств, считая, что
они известны читателю. Однако книга начинается с главы под номером нуль, в которой приводятся основные сведения из евклидовой
планиметрии и кое-что из стереометрии. Это связано с тем, что
в этой книге описания других геометрий предполагает знания элементарной евклидовой геометрии, а американские студенты (для
которых предназначен оригинал этой книги), как правило плохо
знакомы с элементарной геометрией. Я понимаю, что русскоязычный читатель в этом отношении гораздо лучше подготовлен, но все
же решил оставить на месте эту главу. В любом случае предполагается, что читатель начнет книгу с главы , а будет обращаться
к главе , как к справочнику в случае необходимости.
В этой книге отсутствует алгебраическая геометрия, поскольку
автор считает, что эта прекрасная область математики принадлежит алгебре, а не геометрии. В самом деле, математики, занимающиеся алгебраической геометрией, –– типичные алгебраисты, и это


Предисловие к русскому изданию

верно в отношении не только великой французской школы (вслед
за Гротендиком использующей его схемы), но и более классической
российской школы.
Нет здесь и дифференциальной геометрии: классический случай
малых размерностей обычно излагается в книгах по дифференциальному и интегральному исчислению (куда он на самом деле и относится), а современные исследования в более высоких размерностях являются частью анализа (под названием «анализ на многообразиях») и топологии (под названием «дифференциальная топология»).
Другие отсутствующие темы включают выпуклую геометрию
(это часть анализа, а конкретнее –– теории оптимизации, где она
называется «выпуклый анализ»); симплектическую геометрию (это
часть классической механики и теории динамических систем); контактную геометрию (это часть теории дифференциальных уравнений) и т. д.
Разумеется, контактная геометрия (например) формально является геометрией в смысле Клейна. И в действительности идеология
групп преобразований исходит от Софуса Ли в не меньшей (если
не большей) степени, чем от Феликса Клейна. Но контекст прекрасной контактной геометрии Ли –– это, несомненно, дифференциальные уравнения.

∗ ∗ ∗

Это книга основана на лекциях, прочитанных на русском языке
в рамках семестровых курсов первого года в Независимом московском университете в  и  годах. Я подготовил их записи на
«простом английском» и разместил на сайте НМУ. Эти записи опубликованы в виде -страничной брошюры в Московском центре непрерывного математического образования в  г. и использовались
при изучении геометрии в НМУ по программе «Math in Moscow».
Краткость семестрового курса (13 лекций) заставила меня при
рассмотрении классических геометрий –– таких, как гиперболическая и проективная, –– ограничиться двумерным случаем, с сожалением исключив трехмерный. Однако в курсе остается много возможностей для развития пространственного воображения, а в общем случае все равно удобнее использовать линейно-алгебраический (координатный) подход, а не наглядно-синтетический, характерный для нашего курса. Читателю, желающему продвинуться

Предисловие к русскому изданию


дальше, весьма рекомендую книгу Марселя Берже []. Должен добавить, что при всем отличии моего подхода я по существу обязан
этой замечательной книге изложением некоторых разделов курса.
Для тех, кто хочет больше узнать об аксиоматическом подходе
к классическим геометриям, по моему мнению, нет книги лучше,
чем «Высшая геометрия» Н. В. Ефимова [].
Важной, если не самой важной, составляющей этого курса являются задачи, которые появляются в конце каждой главы. Именно
решение этих задач научит читателя –– гораздо больше, чем изучение теории, –– мыслить и работать как геометр. Источники задач
разнообразны. Многие были «украдены» из книг, написанных моим другом и любимым соавтором Виктором Прасоловым. Во многих случаях я просто не знаю первоначальное происхождение этих
задач. Для использования на семинарских занятиях они были собраны вместе Ириной Парамоновой, которая добавила несколько
задач, как и другие руководители семинарских занятий (Владимир
Иванов и Олег Карпенков). Я благодарен всем людям, перечисленным выше, а также Михаилу Панову, Антону Понкрашову и Виктору Шувалову, создавшим компьютерные версии большинства иллюстраций; Марии Быковой, исправившей много ошибок в первоначальных записях; Виктору Прасолову, который нашел еще целый
ряд ошибок в первом черновике книги; анонимным рецензентам,
чья конструктивная критика оказала большую помощь. Наконец,
я признателен Сергею Гельфанду, без чьей поддержки английский
оригинал этой книги никогда не был бы написан, Юрию Торхову,
без которого не было бы русского издания, и Борису Френкину, за
аккуратный перевод оригинала.

Глава 

О евклидовой геометрии

Первая глава этой книги –– это глава  (см. ниже с. ); глава
с нулевым номером, которую вы читаете, содержит стандартный
материал по евклидовой геометрии, который необходимо знать для
понимания этой книги. Автор чувствует, что большинство читателей пропустят эту главу, даже если не получили в школе должную
подготовку по евклидовой геометрии, и перейдут прямо к гл. .
Некоторые конкретные факты из евклидовой геометрии кратко
приводятся в основном тексте, если они требуются в дальнейшем
изложении. Если же оказывается, что они незнакомы или подзабылись, то читатель может освежить их в памяти, обратившись к гл. 
как к справочнику.
Мы излагаем евклидову планиметрию аксиоматически. Аксиоматика выбрана на основе клейновского подхода к геометрии, так
что ключевую роль играют преобразования; при этом функция расстояния задана изначально, как сделано в школьных учебниках геометрии А. Н. Колмогорова. Наш подход предполагает знание вещественных чисел и их основных свойств, некоторое знакомство с языком наивной теории множеств (серьезное знакомство с самой теорией множеств не предполагается) и некоторый навык в логических
рассуждениях, применяемых в математике (таких, например, как
доказательство от противного, доказательство посредством перебора случаев и т. д.).

§ .. Аксиомы евклидовой планиметрии

В рассматриваемой геометрии есть неопределяемые понятия
трех видов: точки, прямые линии и (евклидова) плоскость. Точки
обозначаются всевозможными заглавными латинскими буквами
(A, B, C, …, P, Q, …, иногда с добавлением нижних или верхних
индексов), прямые обозначаются строчным курсивом (l, m, n, …,
также иногда с добавлением нижних или верхних индексов), а плоскость обозначается через 2. Кроме того, задана функция расстояния d, которая каждой паре точек ставит в соответствие неотрица

§ .. Аксиомы евклидовой планиметрии


тельное вещественное число:

d: (A, B) → d(AB) ∈ +.

В дальнейшем для расстояния d(A, B) между двумя точками будем
использовать и более традиционное обозначение |AB|.
Перечисленные объекты удовлетворяют следующим восьми аксиомам.
I. Плоскость 2 есть множество всех точек.
II. Семейство всех прямых состоит из некоторых непустых
подмножеств плоскости 2.
III. Для любых двух различных точек A и B существует одна
и только одна прямая l = AB ∈, содержащая эти две точки.
IV. Для любой прямой l ∈ существует хотя бы одна точка P ∈2, не принадлежащая этой прямой.
Чтобы сформулировать следующую аксиому, нужно ввести определение. Две прямые l1 и l2 называются параллельными, если они
совпадают или не имеют общих точек; если прямые l1 и l2 параллельны, пишем l1 ∥ l2.
V. Для любой точки P ∈ 2 и любой прямой l ∈ существует
одна и только одна прямая l′ ∈ , параллельная прямой l и содержащая точку P.
VI. Функция расстояния d обладает следующими свойствами:
(i) d(A, B)=0 в точности тогда, когда A = B;
(ii) d(A, B)= d(B, A) для всех A, B ∈2;
(iii) d(A, B)+ d(B, C)⩾ d(A, C) для всех A, B, C ∈2; точки A, B, C
лежат на одной прямой в точности тогда, когда предыдущее неравенство обращается в равенство;
(iv) на прямой l ∈ для любой точки P и любого положительного числа ρ существуют ровно две точки A и B, для которых
d(A, P)= d(P, B)=ρ.
Для формулировки последних аксиом потребуются еще некоторые определения.
Это, во-первых, определение изометрии, играющее ключевую
роль в подходе Клейна к исследованию евклидовой и других геометрий (см. § . в гл. ). Изометрия –– это биекция β (взаимно однозначное отображение на себя) плоскости 2 с условием сохранения
расстояний:

d(β(P), β(Q)) = d(P, Q)
для всех A, B ∈ 2.


Глава . О евклидовой геометрии

Следуя традиционной терминологии, мы часто будем называть подмножества плоскости 2 (геометрическими) фигурами. Две фигуры
1, 2 ⊂ 2 называются конгруэнтными или равными, если существует изометрия ϕ плоскости, переводящая одну фигуру в другую:
ϕ(1)=2.
Теперь определим отношение «между»: если для трех различных
точек A, B, C выполнено равенство d(A, B)+ d(B, C)= d(A, C), то мы
говорим, что точка B лежит между точками A и C на прямой l = AC.
(Заметим, что по аксиоме III мы имеем l = AC = CA = AB = BA = BC =
= CB.) Множество всех точек, лежащих между двумя различными
точками A и B, обозначается (A, B) и называется интервалом с концами A и B. Добавив концы к интервалу (A, B), получаем отрезок
с концами A и B, который обозначается [A, B]. Две различные точки O и A задают луч с началом O, проходящий через A; он обозначается [O, A〉 и является объединением отрезка [O, A] и всех точек B,
для которых A лежит между O и B.
Замечание. В некоторых изложениях евклидовой геометрии
(например у Гильберта, см. дополнение Б) отношение «между»
считается неопределяемым. В наиболее элементарных учебниках
планиметрии об этом отношении как таковом не говорится ничего,
изложение существенно опирается на чертежи и точка считается
лежащей между двумя другими, если она выглядит так на соответствующем чертеже.
Объединение двух лучей [O, A〉 и [O, B〉 с общим началом O называется углом и обозначается ∠AOB или ∠BOA; точка O называется вершиной угла. Две пересекающиеся прямые AA′ ∩ BB′ = O, где
O лежит между A и A′, а также между B и B′, задают четыре угла:
∠AOB, ∠A′OB′, ∠AOB′, ∠A′OB; первые два, а также последние два
называются вертикальными (один относительно другого). Два угла
с общей стороной, расположенной между двумя другими их сторонами, называются соседними. Удалив общую сторону двух соседних
углов, получаем угол, который называется (геометрической) суммой
двух данных углов.
Две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре конгруэнтных угла, называются перпендикулярными, а эти четыре угла
называются прямыми углами. Если две стороны данного угла AOB
лежат на одной прямой и не имеют общих точек, кроме вершины
угла, то угол AOB называется развернутым.
Теперь мы готовы сформулировать предпоследнюю аксиому.