Геометрические характеристики поперечных сечений стержней в тестах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова 

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 
ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЕЙ  
В ТЕСТАХ 

Учебное пособие 

Москва 2017

2-е издание (электронное)

УДК 5.39.3 
ББК 30.121 
 И49 

Р е ц е н з е н т ы :

профессор Н. М. Атаров, кафедра сопротивления материалов  
ФГБОУ ВПО «МГСУ»; 
кандидат технических наук, профессор Г. А. Емельянова, 
и. о. зав. кафедрой строительной механики и высшей математики МАРХИ 

Ильяшенко, Алла Викторовна. 

Геометрические характеристики поперечных сечений стержней в тестах [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. В. Ильяшенко, А. Я. Астахова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. 
ун-т. — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 71 с.). — 
М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".

ISBN 978-5-7264-1726-4 

Содержатся тесты и решения к ним по теме «Геометрические характеристики 
поперечных сечений стержней», изучаемой в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Техническая механика». Включает введение и четыре раздела по рассматриваемой теме: «Статические моменты. Центр тяжести поперечного сечения», «Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при 
параллельном переносе осей», «Главные оси и главные моменты инерции поперечного сечения», «Моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции поперечных сечений». Представлены разнообразные типы задач, даны подробные комментарии к решениям. Все тестовые задания сформулированы в соответствии с общими требованиями к тестовым заданиям базового уровня. 
Для студентов, обучающимся по направлениям 08.03.01, 08.04.01 «Строительство», 07.03.01, 07.04.01 «Архитектура», 15.03.03, 15.04.03 «Прикладная 
механика», 01.03.04 «Прикладная математика» (бакалавры, специалисты), для 
выполнения расчётно-графических работ и эффективной самостоятельной 
подготовки к контрольным работам и аудиторному тестированию. 
УДК 5.39.3 
ББК 30.121 

ISBN 978-5-7264-1726-4 

И 49 

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Геометрические характеристики поперечных сечений стержней в тестах : учебное 
пособие / А. В. Ильяшенко, А. Я. Астахова ; М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 
2014. — 68 с. — ISBN 978-5-7264-0846-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя 
возмещения убытков или выплаты компенсации.

©  Национальный исследовательский

Московский государственный 
строительный университет, 2014

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Учебное пособие позволяет студентам проверить и расширить свои знания и 
навыки в освоении теоретического и практического материала, подготовиться к 
прохождению тестирования расчетно-графической работы по теме "Геометрические 
характеристики поперечных сечений стержней".  
Задания сгруппированы по  четырем разделам. Так как каждый тест снабжен 
комментируемым ответом, то это позволяет учащемуся контролировать уровень 
своей подготовки в режиме "самотестирования".   
К каждому тесту (заданию) предлагаются пять вариантов ответа. Причем все 
ответы помечены или символом "○" (кружок) или символом "□" (квадрат).  
Символом "○"  обозначены ответы, из которых только один является правильным, а символом  "□"   – ответы, из которых правильными являются несколько из 
пяти предложенных (но не более четырех). Таким образом, тестируемому даётся 
некоторая подсказка, в целом упрощающая задание. 
В следующем за ответами комментарии содержится решение поставленной в 
тесте задачи и краткие сведения по соответствующему теоретическому материалу. 
В конце каждого теста предлагается правильный ответ. 
При прохождении реального аудиторного тестирования на кафедре сопротивления материалов действуют такие же принципы. Студенту следует ответить на пять 
вопросов, включающих три задачи и два теоретических задания. Время тестирования - 15 минут. Для получения удовлетворительной оценки необходимо правильно 
ответить на три вопроса из пяти предложенных.  

Авторы выражают особую благодарность профессору кафедры "Сопротивление материалов" МИСИ - МГСУ Н.М. Атарову  за ценные советы и замечания. 

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, 

ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ФОРМУЛЫ

При выполнении расчетов на прочность, жесткость и устойчивость кон
струкций формулы для напряжений и деформаций содержат различные
величины, характеризующие влияние размеров и формы поперечного сечения стержня на его напряженно-деформированное состояние. Эти величины принято называть геометрическими характеристиками поперечных сечений. Изучение этих функций, освоение различных приемов их вычисления, анализ их свойств на примерах в форме тестов позволит подготовиться 
к определению напряженного и деформированного состояний в стержнях.

Основные элементы стержня (балки, бруса) представлены на рис.1.

Рис. 1

Площадь поперечного сечения определяется по формуле

   ∬
  
 
.

На основании этого соотношения площадь делится на бесконечно ма
лые площади dA, общая площадь поперечного сечения равна сумме всех 
бесконечно малых площадей dA.

В расчетной практике начало выбранной системы координат помещают 

в центр тяжести сечения.

Центральными осями называются оси, проходящие через центр тяже
сти сечения.

Положение центра тяжести сечения известно, если поперечное сечение 

имеет две и более осей симметрии. Центр тяжести расположен на пересечении осей симметрии  поперечного сечения (рис.2).

Рис. 2

В сечении, симметричном относительно одной оси, центр тяжести рас
положен на оси симметрии, при этом определяется одна координата центра 
тяжести. Известно, что в сечении, состоящем из двух элементов, центр тяжести расположен на линии, соединяющей центры тяжести элементов 
(рис. 3).

Рис. 3

Статические моменты

Рис. 4

Статические моменты сечения относительно осей Оx и Оy определяют
ся по следующим формулам (рис. 4)

    ∬
             ∬
    
 
 
 
(1)

Если известны координаты центра тяжести сечения, то статический мо
мент сечения относительно оси равен произведению площади сечения на 
координату центра тяжести:

                    .
(2)

Координаты центра тяжести сечения определяются с помощью ста
тических моментов относительно произвольно выбранных осей ∑   , ∑   , 
при разделении сечения на простые элементы, положение центров тяжести 
которых известно, по формулам:

    

∑   

        

∑   

  ,
(3)

где A – общая площадь сечения.

Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

∑            ∑          . Это свойство используется для поверки правильности определения координат центра тяжести сечения.

Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и 

равными нулю. Последнее утверждение действительно относительно осей 
симметрии.

Моменты инерции сечения

Относительно двух взаимно перпендикулярных осей определяются три 

момента инерции сечения – два осевых и один центробежный по следующим формулам: 

    ∬
  

 
            ∬
  

 
               ∬
  
 
   
(4)

Поскольку произведение элементарной площади dA на квадрат рассто
яния до оси является положительной величиной, то осевые моменты инерции       принимают только положительные значения.

Центробежный момент инерции    может быть положительным или

отрицательным. Центробежный момент инерции    равен нулю в следующих случаях:

– достаточно, чтобы одна из осей являлась осью симметрии, 
– относительно главных осей.

Моменты инерции простых фигур (рис. 5)

ПРЯМОУГОЛЬНИК
ТРЕУГОЛЬНИК

Рис. 5
Рис. 6

    

   

         

   

    
(5)

Моменты инерции произвольного треугольника относительно трех 

осей, параллельных основанию, определяются по формулам (рис. 6, а):

    

    

   ;
     

   

            

   

 ,
(6)

где Ox – центральная ось.

Моменты инерции равнобедренного треугольника (рис. 6, б):

    

    

           

    

  .
(7)

КРУГ, ПОЛУКРУГ

Рис. 7

Осевые моменты инерции  характеризуют расположение точек сечения 

относительно осей. В круглом сечении точки сечения расположены одинаково относительно осей Оx и Оy, поэтому осевые моменты инерции круга
равны между собой (рис.7, а):

        

   

 .
(8)

Моменты инерции полукруга определяются по формулам (рис. 7, б):

.
(9)

Полярный момент инерции

В полярной системе координат момент инерции элементарной площади 

dA относительно полюса О равен произведению dA на квадрат расстояния r
от полюса О до dA (рис.8).

Рис. 8

Используя соотношение           , получим, что полярный 

момент инерции равен сумме осевых моментов инерции:

    ∬
       ∬ (      )
 
 
          .
(10)

Соотношение (10) выражает связь между моментом инерции в поляр
ной системе координат и осевыми моментами инерции в декартовой системе координат. 

Моменты инерции относительно параллельных осей

Рис. 9

Если известны моменты инерции относительно центральных осей Оx, 

Оy сечения, то моменты инерции относительно осей        (рис.9), параллельных центральным, определяются по следующим формулам:

(11)

                .

К осевому моменту инерции относительно центральной оси добавляется 

произведение площади сечения A, умноженной на квадрат расстояния между параллельными осями. Центробежный момент инерции относительно 
центральных осей суммируется с произведением площади сечения A на 
расстояния  a и b между осями.

Моменты инерции при повороте осей

О

Рис. 10

Моменты инерции относительно осей         , повернутых к осям Оx , 

Оy под углом α, (рис. 10) можно выразить на основании общих соотношений (4):

     ∬
  

 

 
            ∬
  

 

 
                ∬
    
 
  .       (12)

Полагая, что значения моментов инерции сечения относительно осей 

Оx, Оy известны, и используя соотношения, связывающие координаты x, y
c координатами      :

                               ,

получим выражения для моментов инерции относительно наклонных 

осей:

                               ;
(13)

                             ;
(14)

     

      

 
                .                             (15)

Из сложения формул (13) и (14) следует, что сумма осевых моментов 

инерции сечения является величиной постоянной:

                       .                 
(16)

Главные оси и главные моменты инерции сечения

Главными осями называются оси относительно, которых центробеж
ный момент инерции равен нулю, при этом осевые моменты инерции сечения принимают максимальное и минимальное значения.

Положение главных осей находится, при выполнении условия экстре
мума осевого момента инерции    по переменной α:

    
                                                ,

  (

      

 
                )    
(то есть      ) .         (17)

Из соотношения (17), получим выражение для определения угла накло
на главной оси к горизонтали:

       

    
      .

Значения главных моментов инерции определяются по формуле

      

     

 
  √(

     

 )

 

    
 .
(18)

Индекс 1 относят к значению максимального момента инерции, 2 – к 

значению минимального момента инерции. При этом углы наклона осей 1и 
2 к оси Оx можно определить из соотношений:

      

   

                 

   

      .
(19)

Положительный угол α откладывается от оси Оx против хода часовой

стрелки, отрицательный – по ходу часовой стрелки. В результате расчета 
должно получиться |  |  |  |     .

Моменты сопротивления сечения определяются для крайних точек 

сечения, поскольку используются для выражения значений наибольших 
напряжений при изгибе, возникающих в крайних волокнах балки. Моменты 
сопротивления сечения (рис.11) рассчитываются по формулам:

              

     

  

      

      

  

 

  

  

  
  
;    

    

  
  
(20)

Рис. 11

Радиусы инерции сечения определяются из соотношений: