Принципы комплексного анализа.

Это новый учебник по комплексному 
анализу, предназначенный для студентов 
математических факультетов университетов.

Главное его отличие от уже существующих 
учебников в том, что это книга с новым 
взглядом на вещи, с ориентацией 
на комплексную геометрию. 
Учебник начинается с напоминания 
элементарных определений, а завершается 
введением в теорию компактных римановых 
поверхностей.

Автор – доцент факультета математики
НИУ ВШЭ.
С. М. Львовский

Принципы 
комплексного 
анализа
ISBN 978-5-4439-1137-3

9 785443 911373 >

С. М. Львовский 
Принципы комплексного анализа

С. М. Львовский

Принципы комплексного
анализа

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
Л

Львовский С. М.
Принципы комплексного анализа
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Эта книга представляет собой курс теории функций комплексного переменного, основанный на авторском опыте преподавания этого
предмета на факультете математики Высшей школы экономики (НИУ
ВШЭ) и в программе «Math in Moscow» (НИУ ВШЭ и Независимый
московский университет). Наряду с традиционным материалом, курс
содержит большую теорему Пикара и введение в теорию римановых
поверхностей.
Для студентов математических специальностей.

Подготовлено на основе книги: С. М. Львовский. Принципы комплексного анализа. — М.: МЦНМО, . — ISBN ----.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. () ––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Львовский С. М., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1. Абсолютная и равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . .

1.2. Открытость, замкнутость, компактность, связность . . . . .

1.3. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5. Сведения из анализа функций многих переменных . . . . .

1.6. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1. Обратные функции, корни, логарифмы . . . . . . . . . . . . .

2.2. Уравнения Коши—Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Практикум по конформным отображениям . . . . .

3.1. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2. Более сложные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2. Индекс кривой относительно точки . . . . . . . . . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Теорема Коши и ее следствия . . . . . . . . . . . . . . .

5.1. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2. Формула Коши и аналитичность голоморфных функций . .

5.3. Бесконечная и почленная дифференцируемость . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Гомотопии и аналитическое продолжение . . . . . .

6.1. Гомотопии путей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Оглавление

6.3. Снова теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4. Снова индексы кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Ряды Лорана и особые точки . . . . . . . . . . . . . . . 
7.1. Кратность нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7.2. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7.3. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7.4. Точка ∞ как изолированная особенность . . . . . . . . . . . .

Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2. Принцип аргумента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
8.3. Вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Локальные свойства голоморфных функций
. . . . 
9.1. Принцип сохранения области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9.2. Ветвление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
9.3. Принцип максимума модуля и его следствия . . . . . . . . . 
9.4. Теорема Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Конформные отображения. Часть  . . . . . . . . . . 
10.1. Голоморфные функции на подмножествах сферы Римана

10.2. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.3. Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник . 
10.4. Принцип соответствия границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
10.5. Квазиконформные отображения
. . . . . . . . . . . . . . . . 
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Бесконечные суммы и произведения . . . . . . . . . 
11.1. Представление котангенса в виде бесконечной суммы . . 
11.2. Эллиптические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
11.3. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
11.4. Теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса . . . . . . . . .

11.5. Произведения Бляшке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Конформные отображения. Часть  . . . . . . . . . . 
12.1. Теорема Римана: план доказательства . . . . . . . . . . . . . 
12.2. Теорема Римана об отображении: обоснования . . . . . . . 

Оглавление


12.3. Формула Кристоффеля—Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . 
12.4. Гиперболическая метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Кое-что о римановых поверхностях . . . . . . . . . . 
13.1. Определения, простейшие примеры, общие факты
. . . . 
13.2. Риманова поверхность алгебраической функции . . . . . . 
13.3. Род; формула Римана—Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . 
13.4. Дифференциальные формы и вычеты . . . . . . . . . . . . . 
13.5. О теореме существования Римана . . . . . . . . . . . . . . . 
13.6. О поле мероморфных функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
13.7. О теореме Римана—Роха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
13.8. О теореме Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Предисловие

Эта книга — учебник, предназначенный для студентов, изучающих теорию функций комплексного переменного с самого начала.
В ней отражен многолетний авторский опыт преподавания комплексного анализа на факультете математики Высшей школы экономики (НИУ ВШЭ) и в программе «Math in Moscow» (совместный
проект НИУ ВШЭ и НМУ).
Основное (и, по существу, единственное) требование к читателю — хорошее владение «обычным» анализом: если читатель уверенно себя чувствует с равномерной сходимостью и с такими понятиями, как открытость, замкнутость и компактность применительно к подмножествам плоскости, то все остальное приложится.
В первой главе, в числе прочего, перечислены без доказательства
те факты из анализа, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. В качестве руководства по математическому анализу, которым можно пользоваться для справок и для заполнения пробелов
в подготовке, я рекомендую неоднократно переиздававшийся двухтомник В. А. Зорича [, ].
Заключительная глава , посвященная римановым поверхностям, требует несколько большего объема предварительных знаний, чем основная часть книги. Я исходил из того, что параллельно
с комплексным анализом обычно изучают и такие предметы, как
математический анализ для многих вещественных переменных, в
том числе анализ на многообразиях, а также начала топологии (по
крайней мере, так делается на факультете математики НИУ ВШЭ).
Что конкретно требуется дополнительно знать для понимания этой
главы, сказано в ее начале.
Каждая глава заканчивается набором упражнений, как теоретического, так и вычислительного характера. Даже если их достаточно
для того, чтобы помочь читателю освоить материал, преподавателю
для построения курса, со всеми контрольными, зачетами и прочим,
их заведомо не хватит: задачника по теории функций комплексного переменного эта книга не заменит. Таких задачников на русском
языке много, и можно пользоваться практически любым: во всех

Предисловие


имеется достаточное количество упражнений на отработку вычислительных навыков, специфичных для комплексного анализа.
Я стремился излагать материал строго, но все же не допуская того, чтобы обсуждение оснований затмило основной предмет книги.
Насколько мне удалось соблюсти необходимый баланс — судить читателю. Я также всячески избегал введения абстрактных понятий в
тех случаях, когда материал книги не давал возможности продемонстрировать, как эти понятия реально «работают». Поэтому, скажем,
в книге есть определение квазиконформного отображения, но нет
определения пучка.
Способ изложения «гомотопической» версии теоремы Коши я
позаимствовал из одного из не переведенных на русский язык учебников С. Ленга []. Обоснование разложения котангенса в бесконечную сумму взято из другого зарубежного учебника []. Доказательство теоремы Вейерштрасса о голоморфной функции с предписанными нулями взято из учебника Б. В. Шабата []. В изложении
теорем Блоха и Ландау я в основном следую учебнику И. И. Привалова []; надеюсь, впрочем, что дорога к большой теореме Пикара
у меня получилась короче, чем у Привалова.
Своим названием эта книга обязана тому несколько странному
обстоятельству, что целый ряд важных теорем комплексного анализа принято называть принципами (читатель может в этом убедиться, заглянув в предметный указатель).
Я благодарен А. В. Забродину и В. А. Побережному, с которыми
мы несколько лет вели семинары по комплексному анализу на матфаке ВШЭ: и содержание, и — в неменьшей степени — стиль этих
семинаров подвигнули меня на то, чтобы взамен прежнего пособия
по комплексному анализу написать совершенно новую книгу.
Я благодарен Алексею Пенскому, взявшему на себя труд по ознакомлению с рукописью и ее рецензированию, Владимиру Медведеву, внимательно прочитавшему первую версию текста и нашедшему множество ошибок и неточностей, Татьяне Коробковой за
вдумчивое и содержательное редактирование и Виктору Шувалову
за верстку. За все оставшиеся в тексте недостатки отвечаю только я.
Наконец, моя огромная благодарность — Вике, Яше и Марку, которые мне все время мешали, все время помогали и без которых
этой книги бы не было и в помине.

С. Львовский

Глава 

Предварительные сведения

В этой вводной главе собран материал, необходимый для дальнейшего, но к собственно комплексному анализу все же не относящийся. Чтобы проверить, в какой степени вы владеете необходимыми предварительными сведениями, можно заглянуть в упражнения
в конце главы.
Если z = x + iy — комплексное число (x, y ∈ , i2 = −1), то x называется действительной частью (синоним: вещественная часть)
числа z, а y — его мнимой частью. Обозначения: x = Re z, y = Im z.
Комплексное число z изображается на плоскости в виде точки
с координатами (Re z,Imz); соответственно, мы будем отождествлять множество всех комплексных чисел (обозначаемое ) с координатной плоскостью; плоскость, точки которой рассматриваются
как комплексные числа, называют комплексной плоскостью.
Если z — комплексное число, то его модулем называется расстояние от z (точнее, от соответствующей точки на комплексной плоскости — далее мы таких уточнений делать не будем) до нуля (т. е. начала координат): |z| =
x2 + y2, где x = Rez, y = Im z. Из неравенства треугольника вытекает, что |z + w| ⩽ |z| + |w|. Расстояние между комплексными числами z и w равно |z − w|.
Ось Ox на комплексной плоскости называется действительной
осью, а ось Oy — мнимой осью. Если z ∈ , z ̸= 0, то аргументом
комплексного числа z называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим 0 и z
(так что, например, π/4 является аргументом числа 1 + i). Аргумент комплексного числа z обозначается arg z.
Аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления целого кратного 2π: например, утверждения arg(1 + i) = π/4 и arg(1 + i) = −7π/4 верны в равной мере. Если
|z| = r ̸= 0 и arg z = ϕ, то

z = r(cosϕ + i sinϕ).
(.)

Глава . Предварительные сведения


Запись (.) называется тригонометрической формой комплексного
числа z. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Если z = x + iy, где x, y ∈ , то число x − iy, называемое сопряженным к z, обозначается ¯z. Точки z и ¯z симметричны относительно
действительной оси, и z¯z = |z|2.
Пределы функций комплексного переменного и пределы последовательностей комплексных чисел определяются так же, как в вещественном случае. Например, lim
z→a f (z) = b означает, что для вся
кого ǫ > 0 существует такое δ > 0, что из 0 < |z − a| < δ вытекает
| f (z) − b| < ǫ. В комплексном случае также верны теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного, а также критерий
Коши сходимости («последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна»).
Запись lim
z→a f (z) = ∞ означает lim
z→a| f (z)| = +∞ (и аналогично с

пределами последовательностей); lim
|z|→∞ f (z) = b означает «для любо
го ǫ > 0 существует такое M > 0, что из неравенства |z| > M вытекает | f (z) − b| < ǫ».
Производные и интегралы от функций комплексного переменного — дело тонкое (этому предмету посвящена вся книга), а вот
с комплекснозначными функциями действительного переменного
никаких неожиданностей не происходит. Именно, если f — функция с комплексными значениями, определенная на интервале (действительной) числовой оси, и если f (x) = u(x) + iv(x) (u и v вещественны), то ее производная есть

f ′(a) = lim
h→0

f (a + h) − f (a)

h
= u′(a) + iv′(a);

для производных таких функций выполняются все элементарные
свойства производных от функций с действительными значениями (производная суммы, произведения и разности, производная
сложной функции, где «внутренняя» функция принимает действительные значения), с теми же доказательствами. Интеграл от такой
функции f определяется по формуле

ba
f (x) dx =

ba
u(x) dx + i

ba
v(x) dx;

можно также определить его с помощью интегральных сумм Римана (или как интеграл Лебега, коль на то пошло). Как и в случае


Глава . Предварительные сведения

функций с действительными значениями, выполнено неравенство
ba
f (x) dx

⩽

ba
| f (x)| dx;
(.)

для доказательства достаточно применить к суммам Римана неравенство «модуль суммы не превосходит суммы модулей» и перейти
к пределу.

.. Абсолютная и равномерная сходимость

Пусть X — произвольное множество (вы ничего не потеряете,
если будете считать X подмножеством комплексной плоскости) и
{ fn}n∈— счетное семейство ограниченных функций на X со значениями в .
Определение .. Будем говорить, что ряд

∞n=1
fn сходится абсо
лютно и равномерно на X, если сходится числовой ряд

∞n=1
sup
x∈X
| fn(x)|.

Предложение . (мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть
∞n=1
fn — ряд из ограниченных функций на множестве X. Если суще
ствует такое натуральное N, что sup
x∈X
| fn(x)| ⩽ an для всех n ⩾ N, и

если при этом ряд
∞n=1
an сходится, то ряд
∞n=1
fn сходится абсолютно

и равномерно.
См. [, гл. XVI, § ].
Предложение .. Если ряд из ограниченных функций
fn сходится на X абсолютно и равномерно, то он сходится на X равномерно. Более того, ряд, полученный из ряда
fn любой перестановкой
слагаемых, также сходится на X абсолютно и равномерно, причем
к той же функции.
Для случая рядов с постоянными членами см. [, гл. V, § , утв. ];
дополнения к доказательству, необходимые для случая функциональных рядов, внесите самостоятельно.
Пусть на множестве X задано семейство ограниченных функций
{ fm,n}m,n∈, занумерованное двумя натуральными индексами. Тогда
формальная сумма
m,n∈fm,n называется двойным рядом. Говорят,

что двойной ряд сходится абсолютно и равномерно, если он так
сходится при какой-нибудь (а тем самым, ввиду предложения ., и
при любой) нумерации слагаемых.

.. Открытость, замкнутость, компактность, связность


Предложение .. Пусть { fm,n}m,n∈— семейство ограниченных
функций на множестве X. Тогда следующие два утверждения равносильны.
() Двойной ряд
m,n
fm,n сходится абсолютно и равномерно.

() Для каждого m ∈ ряд

∞n=1
fm,n абсолютно и равномерно схо
дится, и если обозначить сумму этого ряда через fm, то ряд
∞m=1
fm
также абсолютно и равномерно сходится.
Более того, если выполняются равносильные утверждения ()
и (), то сумма двойного ряда
m,n∈fm,n совпадает с суммой ряда
∞m=1
fm.

Читателю предлагается либо доказать эти утверждения самостоятельно, либо найти доказательства в литературе, либо, наконец,
модифицировать должным образом доказательства соответствующих фактов для рядов с постоянными членами (это в учебниках
встречается чаще).

.. Открытость, замкнутость,
компактность, связность

В этом разделе речь пойдет о подмножествах евклидова пространства n для произвольного n, но в применениях у нас главным образом будут встречаться случаи n = 2 (комплексная плоскость , отождествляемая с 2) и n = 1 (вещественная прямая).
Если v ∈ n, то через |v| обозначается евклидова норма (корень из
суммы квадратов координат). Расстояние между точками v1, v2 ∈ n

равно |v1 − v2|. Если n = 2 и мы отождествляем обычным образом 2

с , то |v| — модуль комплексного числа.
Напомним, что ǫ-окрестностью точки a ∈ n называется множество

{z ∈ n: |z − a| < ǫ}

(подразумевается, что ǫ — положительное действительное число).
Определение .. Подмножество U ⊂ n называется открытым, если вместе с каждой точкой a ∈ U оно содержит и ее ǫокрестность для некоторого ǫ.
Определение .. Подмножество F ⊂ n называется замкнутым, если его дополнение n \ F открыто.


Глава . Предварительные сведения

Предложение .. () Объединение любого семейства открытых
множеств открыто. Пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто.
() Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто. Объединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.

Предложение .. Подмножество F ⊂ n замкнуто тогда и
только тогда, когда оно обладает следующим свойством: если
{ak} — последовательность точек множества F и если lim
k→∞ak = a,
то и a ∈ F.
(Предел последовательности в n определяется так же, как в :
ak → a, если lim
k→∞|ak − a| = 0.)

Определение .. Замыканием подмножества X ⊂ n называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих X.
Предложение .. Замыкание подмножества X ⊂ n совпадает
с множеством пределов сходящихся последовательностей {ak}, у которых все ak лежат в X.

Замыкание множества X обозначается ¯¯X.
Определение .. Внутренностью подмножества X ⊂ n называется множество таких точек a ∈ X, что некоторая ǫ-окрестность
точки a содержится в X. Внутренность множества X обозначается
Int(X).
Внутренность множества X совпадает с объединением всех открытых множеств, содержащихся в X, а также с дополнением к замыканию множества n \ X.
Определение .. Подмножество K ⊂ n называется компактным, или просто компактом, если оно замкнуто и ограничено.
Предложение .. Следующие три условия эквивалентны:
() подмножество K ⊂ n компактно;
() у всякой последовательности точек am ∈ K существует подпоследовательность {amk}, для которой предел lim
k→∞amk существует
и лежит в K;
() для всякого семейства открытых множеств {Uα}α∈I, обладающего тем свойством, что K ⊂
α
Uα, существует такой конечный
набор α1,…,αl ∈ I, что

K ⊂ Uα1 ∪ … ∪ Uαl.

Семейство множеств {Uα}, удовлетворяющее условию () предложения, называют открытым покрытием множества K, а само