Математический анализ в задачах и упражнениях: В 3-х т. Том 1: Дифференциальное и интегральное исчисление.

ISBN 978-5-4439-1120-5

9 785443 911205 >

И. А. Виноградова
С. Н. Олехник
В. А. Садовничий

Математический 
анализ в задачах
и упражнениях

Математический анализ
в задачах и упражнениях

 Дифференциальное 
и интегральное 
исчисление

И. А. Виноградова
С. Н. Олехник
В. А. Садовничий

1

1

И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий

Математический анализ
в задачах и упражнениях

Том 

Дифференциальное и интегральное
исчисление

Электронное издание

Москва
Издательство Московского университета
Издательство МЦНМО


УДК .(.)
ББК .я
В

Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А.
Математический анализ в задачах и упражнениях.
Том : Дифференциальное и интегральное исчисление.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, .
 с.
ISBN ---3-3

Сборник задач соответствует программе курса математического анализа
для студентов механико-математических и математических факультетов университетов, педагогических и технических вузов. Он может использоваться на
семинарских занятиях по математическому анализу и для самостоятельной работы студентов. Пособие содержит широкий круг упражнений по основным темам
курса, представлена большая подборка теоретических задач. Изложение каждой
темы предваряется определениями и формулировками основных теорем, а также
примерами решения задач от типовых упражнений до заданий повышенного
уровня сложности.
В томе  рассматриваются дифференциальное и интегральное исчисление
функций одной переменной, а также дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных.
В книге обобщён и методически переработан опыт преподавания математического анализа на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова за последние десятилетия.
Для студентов и преподавателей университетов, педагогических и технических вузов, а также лиц, изучающих математический анализ самостоятельно.

Подготовлено на основе книги:
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А.
Математический анализ в задачах и упражнениях: В -х т. Том : Дифференциальное и интегральное исчисление. –– Новое изд. –– М.: Изд-во Московского университета; МЦНМО, . ––  с. –– ISBN ----

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. () ––.
http://www.mccme.ru

ISBN ---3-3

© Коллектив авторов, .
© МЦНМО, .

Предисловие

Отечественную школу преподавания математики всегда отличало сочетание чёткости рассуждений с глубиной содержания и в то же время с простотой, доступностью, конкретностью изложения материала, которые предпочитаются формальным конструкциям. Математическое образование и математическая культура составляют стержень научного знания, и значение математики как основы фундаментальных исследований постоянно возрастает.
Для решения этих задач требуются учебники, отражающие современное состояние и мировоззренческие принципы данной области науки.
Издавая новые книги по математике, особенно для использования в учебном процессе, важно помнить слова Н.И.Лобачевского из предисловия к его
«Алгебре»: «Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много». Эти слова навеяны
известным изречением Екклесиаста и несут в себе мудрость, данную от века.
Предлагаемое вниманию читателей учебное пособие «Задачи и упражнения по математическому анализу» является руководством для проведения
семинарских занятий по основному курсу математического анализа для
вузов, оно также удобно для самостоятельной работы студентов. В книге
обобщён и методически переработан опыт преподавания предмета на механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова за последние
десятилетия.
Пособие содержит широкий круг упражнений по основным темам курса,
представлена большая подборка теоретических задач. Изложение каждой темы
предваряется полной системой определений и формулировок основных теорем, а также примерами решения задач от типовых упражнений до заданий
повышенного уровня сложности. Все упражнения снабжены ответами, к наиболее трудным упражнениям и теоретическим задачам приводятся указания.
Настоящее пособие выходит в трёх томах:
том  «Дифференциальное и интегральное исчисление»,
том  «Ряды и несобственные интегралы»,
том  «Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы».
Новое издание представляет собой переработку и дополнение книг «Задачи и упражнения по математическому анализу» и «Математический анализ
в задачах и упражнениях», выходивших с  г. по  г. Целью этой переработки явилось, во-первых, большее соответствие изменившимся за прошедшее время курсам математического анализа на механико-математическом факультете МГУ и, во-вторых, внесение поправок и уточнений, необходимость которых выяснилась в ходе работы с указанными пособиями.
При подготовке нового издания главное внимание уделено методической
части и теоретическим задачам. Основной упор ставится на пояснение постановки определённого класса задач, прояснение связи с соответствующим
разделом теоретического курса, описание общих методов решений. Теорети


Предисловие

ческие задачи выделены в отдельные параграфы, но их разбор следует проводить параллельно с решением практических задач соответствующей главы
в целях формирования целостной картины предмета изучения.
Переработка книги вызвала изменения как в разбивке на главы, так
и в нумерации задач по сравнению с предыдущими изданиями. Более того,
поскольку объём представленных задач велик, а диапазон уровня их сложности широк, проведена некоторая классификация. Символом ◦ отмечены
задачи «нулевого» уровня, обычно сводящиеся к непосредственному применению готовой формулы или решаемые практически в уме; зачастую такие
задачи являются вводными при рассмотрении новой темы. Символом ✓
отмечены типичные для данной темы задачи, умение решать которые является необходимым минимумом. Звёздочкой отмечены задачи повышенной
сложности, решение которых уже показывает достаточную свободу владения
изучаемым материалом.
Вся большая и сложная работа по переработке пособия была проведена
группой сотрудников кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ, в которую вошли Ю. В. Андрианова, А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин, А. И. Камзолов, Д. В. Копьёв, О. Н. Косухин, А. К. Кравцева, Т. П. Лукашенко, С. М. Лыткин, Е. В. Мартынова, Ю. В. Межевова, А. В. Мелешкина, С. С. Пухов, Т. В. Родионов, Т. В. Салова, А. П. Солодов, А. А. Флёров,
В. В. Фуфаев, Д. В. Фуфаев, А. И. Штерн. Авторы благодарят всех коллег, затративших силы и время на кропотливый и ответственный труд по подготовке
настоящего издания.

Академик
Российской Академии наук
В. А. Садовничий

Глава 

Построение эскизов графиков функций

§ .. Элементарные преобразования графиков

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция
y = xa, показательная функция y = ax, a > 0, a ̸= 1, логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a ̸= 1, тригонометрические функции y = sin x, y = cos x,
y = tg x, y = ctg x, обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y =
= arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Иногда к основным тригонометрическим

функциям причисляют также функции y = sec x (секанс), sec x =
1

cos x , и y =

=cosec x (косеканс), cosec x =
1

sin x .
Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их композиций и арифметических операций.
Рассмотрим построение эскизов графиков функций путём качественного анализа с наименьшим числом вычислений. Мы выделим некоторые
классы элементарных функций и установим их главные свойства, опираясь
на известные свойства основных элементарных функций и правила преобразования графика при определённых операциях с функцией. Техника
дифференцирования практически применяться не будет; она либо излишняя
(нет необходимости пользоваться производной для определения положения
вершины параболы или максимумов синусоиды), либо слишком громоздка,
например при анализе рациональных дробей. Но некоторые утверждения,
которые строго доказываются с помощью дифференциального исчисления,
будут сформулированы, и соответствующие свойства функций и их графиков будут использоваться. Более конкретно о том, что именно должен
иллюстрировать в поведении функции эскиз её графика, будет сказано
в соответствующих замечаниях и при разборе примеров.
Допустим, что построен график функции y = f (x). В следующей таблице описано, как изменяется этот график при определённом преобразовании
функции f (x) или её аргумента.
Построение графика функции y = Cf (ax + b) + D (a ̸= 0) в общем случае
сводится к ряду преобразований (сдвиг, сжатие, отражение и т. д.) графика
функции f (x).

Представим y в виде y = Cf
a
x + b

a

+ D. Из такого представления y
видно, что для построения графика этой функции достаточно построить гра
фик функции y1 = Cf
a
x + b

a

.

Для построения графика функции y1 достаточно построить график функ
ции y2 = f
a
x + b

a

. В свою очередь для построения графика функции y2


Глава . Построение эскизов графиков функций

Функция
Преобразование, которое следует провести
с графиком y = f(x) на плоскости xOy

f (x)+ a, a̸=0
Сдвиг графика функции y = f (x) вверх по оси Oy на a единиц, если
a>0, и сдвиг вниз на |a| единиц, если a<0

f (x − a), a̸=0
Сдвиг вправо по оси Ox на a единиц, если a>0, сдвиг влево на |a|
единиц, если a<0

kf(x), k >0, k ̸=1
Растяжение вдоль оси Oy относительно оси Ox в k раз, если k > 1,
сжатие вдоль оси Oy в 1/k раз, если 0< k <1

f (kx), k >0, k ̸=1 Сжатие вдоль оси Ox относительно оси Oy в k раз, если k > 1,
и растяжение в 1/k раз, если 0< k <1

− f (x)
Симметричное отражение графика относительно оси Ox

| f (x)|
Замена части графика, лежащей в области y < 0 (ниже оси Ox),
на симметрично отражённую относительно оси Ox часть графика,
расположенную в области y > 0 (выше оси Ox); часть графика,
лежащая в полуплоскости y ⩾0, остаётся без изменения

f (−x)
Симметричное отражение графика относительно оси Oy

f (|x|)
Замена части графика, лежащей в области x <0 (слева от оси Oy),
на симметрично отражённую относительно оси Oy часть графика,
расположенную в области x >0 (справа от оси Oy); часть графика,
лежащая в полуплоскости x ⩾0, остаётся без изменения

достаточно построить график функции y3 = f (ax). Итак, для построения гра
фика функции y = Cf
a
x + b

a

+ D необходимо с графиком функции f (x)
произвести следующие преобразования.
1. Сжать или растянуть график функции f (x) вдоль оси Ox относительно
оси Oy, если a > 0; симметрично отразить относительно оси Oy и сжать или
растянуть вдоль оси Ox относительно оси Oy, если a <0.

2. Сдвинуть по оси Ox полученный график функции f (ax) на
b

a

единиц:

влево, если b

a >0, и вправо, если b

a <0.
3. Сжать или растянуть полученный график функции f
a
x + b

a

вдоль
оси Oy относительно оси Ox, если C >0; симметрично отразить относительно
оси Ox и сжать или растянуть вдоль оси Oy относительно оси Ox, если C <0.

4. Если D ̸= 0, то сдвинуть полученный график функции Cf
a
x + b

a

на D единиц вверх, если D >0, и вниз на |D|, если D <0.
Последовательность этих преобразований при построении графика функции y = Cf (ax + b)+ D можно представить символически в виде цепочки

f (x) → f (ax) → f
a
x + b

a

≡ f (ax + b) → Cf (ax + b) → Cf (ax + b)+ D.

На практике удобнее построение графика функции y = Cf (ax + b) + D начинать с написания цепочки

Cf (ax + b)+ D ← Cf (ax + b) ← f (ax + b) ≡ f
a
x + b

a

← f (ax) ← f (x).

§ .. Элементарные преобразования графиков


Отсюда видно, график какой функции в этой цепочке является базовым для
построения графика последующей функции.
График квадратичной функции: y = ax2 + bx + c, a ̸=0.

После тождественного преобразования: y = a
x + b

2a

2
+
c − b2

4a

видно,

что график квадратичной функции представляет собой параболу –– график

функции y1 = ax2, –– сдвинутую по оси Ox на
b

2a

вправо или влево в зави
симости от знака
b
2a и по оси Oy на
c − b2

4a

вверх или вниз в зависимости

от знака этой разности. Характерной для параболы точкой является её вер
шина –– точка с координатами
− b

2a, c − b2

4a

. Парабола симметрична отно
сительно вертикальной оси, проходящей через вершину, –– прямой x = − b

2a,
ветви параболы направлены вверх или вниз в зависимости от знака a (вверх
при a >0, вниз при a <0). Для окончательного выяснения расположения данной параболы на координатной плоскости находим ещё одну точку этой параболы, проще всего точку пересечения с осью Oy, т. е. точку (0, c), если она
не совпадает с вершиной (b̸=0).

x

y

0
1
1
2

−1

− 1

4

y = 3x − 3x2 − 1

Пример .. Построим график функции y =3x −3x2 −1.
Р. Равенство

y = −3(x2 − x)−1 = −3
x − 1

2

2
+ 3

4 −1 = −3
x − 1

2

2
− 1

4

показывает, что вершина искомой параболы находится в точ
ке
1

2, −1

4

, а ось Oy парабола пересекает в точке (0, −1).

Ветви параболы направлены вниз, как и должно быть, если
коэффициент при x2 отрицателен.
□

График дробно-линейной функции: y = ax + b

cx + d , c ̸=0, ad ̸= bc.

Если ad = bc, то числитель и знаменатель дроби имеют общий множи
тель
x + d

c

, поэтому функция y всюду, кроме x = −d

c , есть постоянная a

c
и её график имеет вид, изображённый на рис. . Обратите внимание на от
x

y

0
− d

c

a
c

Рис. 

личие этого графика от графика функции y = a

c !
Если ad ̸= bc (т.е. рассматриваемая дробь несократима), то после тождественного преобразования

ax + b
cx + d = a

c +

bc− ad

c2

x + d

c

= a

c +
k

x + d

c

,
k ̸= 0,

видно, что график дробно-линейной функции представляет собой кривую обратной пропорциональ
ности y = k

x (гиперболу), сдвинутую по оси Ox на
d

c

вправо или влево в за
висимости от знака d

c и по оси Oy на
a

c

вверх или вниз в зависимости от

знака a

c . Таким образом, для построения графика дробно-линейной функции


Глава . Построение эскизов графиков функций

достаточно знать её асимптоты и расположение относительно них одной из
ветвей гиперболы, так как вторая ветвь симметрична первой относительно

точки пересечения асимптот. Асимптотами являются прямые x =−d

c и y = a

c ,

x

y

1
2

− 1

3
− 2

5

3
5

y = 3x + 1

5x + 2

а положение одной определяется точкой пересечения гиперболы с осью Ox или Oy.
Пример .. Построим график функции y =

= 3x +1

5x +2.

Р. Асимптоты гиперболы –– прямые

x = −2

5, y = 3

5; точка её пересечения с осью

Oy есть (0, y(0)) =
0, 1

2

. Следовательно, одна

из ветвей рассматриваемой гиперболы лежит
в четвёртой четверти относительно асимптот,
вторая, симметричная с первой, –– во второй. □

Пример .. Построим график функции y =log3(1−2x).
Р. Напишем цепочку преобразований:

log3(1−2x) ≡ log3
−2
x − 1

2

сдвиг
←−−−−−−−
на 1/2 вправо log3(−2x) ← log3(2x) ← log3 x.

Итак, построение графика функции y=log3(1−2x) начинаем с построения графика y1=log3 x, затем сжатия этого графика вдоль оси Ox относительно оси Oy
в два раза, затем симметричного отражения относительно оси Oy и, наконец,
сдвига полученного графика на 1/2 вправо вдоль оси Ox (см. рис. ).
□

x

y

1

1
2

− 1

2
0

y = log3 x

y = log3(−2x)
y = log3(2x)

x

y

1
2
− 1

2
0

y = log3(1 − 2x)

y = log3(−2x)

Рис. 

Подчеркнём ещё раз: величина сдвига вдоль оси Ox определяется той константой, которая прибавляется непосредственно к аргументу x, а не к аргументу ax. Поэтому для нахождения этой константы выражение ax + b снача
ла преобразуется к виду a
x + b

a

.
В связи с этим рекомендуется операцию сдвига вдоль оси Ox проводить
после операций сжатия или растяжения вдоль оси Ox относительно оси Oy.

§ .. Элементарные преобразования графиков


Пример .. Построим график функции y = 1

2 sin
3x + π

4

+1.

Р. Напишем цепочку преобразований: 1

2 sin
3x + π

4

+1←

← 1

2 sin
3x + π

4

← sin
3x + π

4

≡ sin
3
x + π

12

← sin3x ← sin x.

x

y

0

1

−1

−π
π
π
4

π
3
− π

6
− π

2
π
2

y = sin x

y = sin3x
y = sin
3
x + π

12

x

y

0

1

3/2

1/2

−1

π
4
7π
12
11π
12

y = 1

2 sin
3x + π

4

+ 1

y = 1

2 sin
3x + π

4

y = sin
3x + π

4

Этапы построения графика см. выше.
□
Пример .. Построим график функции y =−2tg 3πx −4π

6
.
Р. Напишем цепочку преобразований

−2tg 3πx −4π

6
← tg 3πx −4π

6
≡ tg
π

2

x − 4

3

← tg πx

2 ← tg x.

x

y

0

2
−2
1
−1

y = tg x
y = tg πx

2

x

y

0
2
3

4

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3
− 2

3

y = tg
π

2

x − 4

3

x

y

0

13

3

7

3

1

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3
− 5

3

4

3
− 2

3

10

3

−2
3

y = −2tg 3πx − 4π

6

Этапы построения графика см. выше.
□