Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней в тестах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
высшего профессионального образования 
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А.В. Ильяшенко, А.Я. Астахова

ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ И НАПРЯЖЕНИЯ 
ПРИ ПРЯМОМ ИЗГИБЕ СТЕРЖНЕЙ 
В ТЕСТАХ 

Учебное пособие 

Москва 2017

2-е издание (электронное)

УДК 5.39.3 
ББК 30.121 
 И49 

Р е ц е н з е н т ы : 
кандидат технических наук, профессор А. Н. Леонтьев, 
кафедра сопротивления материалов ФГБОУ ВПО «МГСУ»; 
доктор физико-математических наук, профессор С. В. Кузнецов, 
научный сотрудник Института проблем механики РАН 

Ильяшенко, Алла Викторовна.

И49 
Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней 
в тестах [Электронный ресурс] : учебное пособие / А. В. Ильяшенко,
А. Я. Астахова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. 
строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 
84 с.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".

ISBN 978-5-7264-1713-4 

Содержатся тесты и решения к ним по теме «Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней», изучаемой в дисциплинах «Сопротивление материалов» и «Техническая механика». Во введении изложен теоретический материал по темам: «Ключевые правила и формулы», «Определение поперечной силы и изгибающего момента в поперечных сечениях стержней», «Характерные особенности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М, 
«Напряжения в поперечных сечениях балки», «Расчеты на прочность». Рассмотрены разнообразные типы задач, даны подробные комментарии к решениям. Все тестовые примеры сформулированы в соответствии с общими требованиями для тестовых заданий базового уровня. 
Для студентов, обучающимся по направлениям 08.03.01, 08.04.01 «Строительство», 07.03.01, 07.04.01 «Архитектура», 15.03.03, 15.04.03 «Прикладная 
механика», 01.03.04 «Прикладная математика» (бакалавры, специалисты), для
выполнения расчетно-графических работ и эффективной самостоятельной подготовки к контрольным работам и аудиторному тестированию. 
УДК 5.39.3 
ББК 30.121 

ISBN 978-5-7264-1713-4

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней в тестах : учебное пособие / А. В. Ильяшенко, А. Я. Астахова ; М-во образования и науки 
Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство МИСИ—
МГСУ, 2014. — 82 с. — ISBN 978-5-7264-0847-7.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

©  Национальный исследовательский

Московский государственный 
строительный университет, 2014

Предисловие 
 
Учебное пособие позволяет студентам проверить и расширить свои 
знания и навыки в освоении теоретического и практического материала по 
теме «Внутренние усилия и напряжения при прямом изгибе стержней».  
С помощью представленных тестов можно подготовиться к контрольным работам и прохождению тестирования по соответствующим расчетнографическим работам: «Внутренние усилия при изгибе стержней» и 
«Определение напряжений в балках при изгибе. Расчет на прочность». 
Задания сгруппированы по четырем разделам. Так как каждый тест 
снабжен комментируемым ответом, то это позволяет учащемуся контролировать уровень своей подготовки в режиме «самотестирования». 
К каждому тесту (заданию) предлагаются пять вариантов ответа. Причем все ответы помечены или символом «○» (кружок) или символом «□» 
(квадрат). 
Символом «○» обозначены ответы, из которых только один является 
правильным, а символом «□» — ответы, из которых правильными являются 
несколько из пяти предложенных (но не более четырех). Таким образом, 
тестируемому дается некоторая подсказка, в целом упрощающая задание. 
В следующем за ответами комментарии содержится решение поставленной в тесте задачи и краткие сведения по соответствующему теоретическому материалу. В конце каждого теста предлагается правильный ответ. 
При прохождении реального аудиторного тестирования на кафедре 
сопротивления материалов действуют такие же принципы. Студент должен 
ответить на пять вопросов, включающих три задачи и два теоретических 
задания. Время тестирования — 15 минут. Для получения удовлетворительной оценки необходимо правильно ответить на три вопроса из пяти 
предложенных. 
 
Авторы выражают особую благодарность профессору кафедры «сопротивления материалов МГСУ А.Н. Леонтьеву за ценные советы и замечания. 
 
 

В в е д е н и е
КЛЮЧЕВЫЕ ПРАВИЛА И ФОРМУЛЫ 

Плоский прямой изгиб — это напряженно-деформированное состояние, 
возникающее в стержне при условии, что вся внешняя нагрузка лежит в 
одной из главных плоскостей инерции — Оxy или Oxz. Ох — продольная ось 
стержня, zy — главные центральные оси инерции сечения. 
Во всех примерах далее силовой плоскостью будет плоскость Оxy. Тогда 
внутренними усилиями, возникающими в поперечном сечении стержня, будут: поперечная сила Qy и изгибающий момент Mz. В дальнейшем в тестах 
для простоты часто будем отбрасывать индексы и писать кратко: Q и M.  

x

n

n

О

Qy

Мz

x
B
R
A
R

A
R

• Правило знаков для поперечной силы Qy
Qy > 0, если она стремится вращать отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки (независимо от того, с какой стороны балки ведeтся расчeт: 
«слева направо» или «справа налево»).  

Q y   >   0

Численно поперечная сила равна сумме проекций на нормаль к оси 
балки всех нагрузок (включая реакции), расположенных с одной стороны 
от рассматриваемого сечения.  

• Правило знаков для изгибающего момента Mz 

Mz > 0, если он растягивает нижние волокна балки (изгибает стержень 
выпуклостью вниз). 

 
Численно изгибающий момент равен сумме моментов всех нагрузок 
(включая реакции), приложенных к одной из частей балки, относительно 
центра тяжести рассматриваемого сечения. 
Эпюра моментов строится со стороны растянутого волокна балки. 
 
• Дифференциальные зависимости, связывающие между собой внут
ренние усилия Qy, Mz и распределенную нагрузку q 

( )
y
dQ
q x
dx  
; 
 
( )
z
y
dM
Q
x
dx

; 
 

2

2
( )
z
d M
q x
dx
 
. 

• Характерные особенности эпюр поперечных сил Qy и изгибающих 

моментов Mz 

1. Если на участке балки распределенная нагрузка q = const, то поперечная сила Qy в пределах этого участка изменяется по линейному закону, а 
изгибающий момент Mz — по закону квадратной параболы. 
2. Если на участке балки распределенная нагрузка q изменяется по линейному закону, то поперечная сила Qy в пределах этого участка изменяется по закону квадратной параболы, а изгибающий момент Mz — по закону 
кубической параболы. 
3. Если на участке балки распределенная нагрузка q = 0, то в пределах 
этого участка поперечная сила Qy = const, а изгибающий момент Mz изменяется по линейному закону. 
4. Если эпюра Qy пересекает осевую линию балки, то изгибающий момент Mz в этом сечении имеет экстремум. 

5. В сечениях балки, где эпюра Qy имеет экстремум, на эпюре Mz возникает точка перегиба. 
6. В сечении балки, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Qy 
возникает скачок, численно равный величине этой силы. На эпюре Mz 
в этом сечении появляется излом, направленный в сторону действия силы. 
7. В сечении балки, где приложен сосредоточенный момент, на эпюре 
Mz возникает скачок, численно равный величине этого момента. 
 
• Формулы для напряжений 

В поперечных сечениях балки при плоском прямом изгибе действуют 
нормальные x и касательные  = yx = xy напряжения, определяемые по 
формулам 

;
z
х
z

M
y
J


 

отс ( )

( )
    
y
z

z

Q S
у

J b у
 
, 

где Mz, Qy — соответственно изгибающий момент и поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; Jz — осевой момент инерции всего сечения 
относительно главной центральной оси z; у — координата точки К, в кото
рой ищется напряжение, 
отс( )
z
S
у  — статический момент отсечeнной части 
сечения (на уровне точки К) относительно оси z; b(y) — ширина сечения на 
уровне указанной точки К. 
 

b(y)    

z

y

x

О

yx

x

z

y

Аотс

К

Наибольшие 
(наименьшие) 
нормальные 
напряжения 
возникают 
в наиболее удаленных от нейтральной оси z волокнах: 

ниж
ниж
ниж ;
z
z
х
z
z

M
M
h
J
W



 

верх
верх
верх
z
z
х
z
z

M
M
h
J
W



, 

где 
ниж
z
W
 и 
верх
z
W
 − моменты сопротивления сечения для нижних и верхних волокон.  
 

z

y

x

О



К
к





верх

ниж

h
верх
h
ниж


+

Mz > 0
(
)

 
 
Наибольшие (наименьшие) нормальные напряжения в симметричном 
относительно нейтральной оси z сечении возникают в крайних волокнах 
балки и определяются по формуле  

нб
z

z

M
W


 , 

где 
ниж
верх
=
=
 = 

2

z

z
z
z

J
W
W
W
h . 

 

• Правило знаков для нормальных напряжений x 

Знак плюс на эпюре нормальных напряжений x ставится со стороны 
растянутых волокон, знак минус − со стороны сжатых. 
 
• Правило знаков для касательных напряжений  

Касательное напряжение  имеет такой же знак, как и знак поперечной силы в рассматриваемом сечении: если Qy > 0, то  > 0; если Qy < 0, то 

 < 0. 
Наибольшие касательные напряжения в симметричном относительно 
центральной оси z сечении возникают в точках на уровне нейтральной оси. 
Значения нб для прямоугольного, круглого и двутаврового сечений позво
ляет определить формула Д.И. Журавского: 
 
 

отс
    
y
z

z

Q S
у

J b y
 
 при у = 0:  

 

 
а) 

б) 

 
с) 

Главные напряжения 1,2 в балке при поперечном изгибе определяются 
по формуле 

2
2
1,2
2
2

х
x
xy







 




. 

Углы наклона 1,2 главных напряжений к оси балки x вычисляются так: 

1,2
1,2
tg


 
. 

• Условия прочности при плоском прямом изгибе по методу предель
ных состояний 

 
⌂ Для балок из пластичного материала (Rрас = Rсж = R) с несимметричным относительно нейтральной оси поперечным сечением должно выполняться условие прочности по нормальным напряжениям: 

нб
нб
нм
с
M
R
W


 
, 

где наименьший момент сопротивления 
нм
нб

zJ
W
y

, yнб — расстояние от 

нейтральной оси z до наиболее удаленного от нее волокна; Mнб — наибольший по абсолютной величине расчетный изгибающий момент. Сечение, в 
котором действует Mнб, называется опасным. 
⌂ Для балок из пластичного материала с симметричным относительно 
нейтральной оси сечением условие прочности по нормальным напряжениям упрощается: 

нб
нб
с
z

M
R
W


 
, 

где 
нм
нб
z
W
W
W


. 

 
⌂ Для балок из хрупкого материала (Rрас  Rcж;) при расчете на прочность 
необходимо удовлетворить двум условиям − на растяжение и на сжатие: 

рас
нб
рас
сR

 
 и 
сж
нб
сж.
сR

 
  

⌂ Условия прочности по касательным напряжениям записывают с помощью расчетного сопротивления материала при сдвиге Rs: 

нб
c
s
R

 
. 

Для деревянных балок Rs = Rcк — расчетное сопротивление древесины 
скалыванию вдоль волокон. 
 

• Разрушающая нагрузка при изгибе балки … 

За пределом упругости характер распределения напряжений зависит от 
диаграммы растяжения и сжатия материала. Используем идеализированную диаграмму Прандтля, в которой площадка текучести распространяется 
безгранично. Тогда в предельном состоянии, когда напряжения во всех волокнах балки достигнут предела текучести, в опасном (наиболее напряженном) сечении появится так называемый пластический шарнир. Изгибающий момент в этом сечении станет разрушающим: