Задачи по функциональному анализу

П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак

Задачи 
по функциональному 
анализу

П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак
Задачи по функциональному анализу

ISBN 978-5-4439-1092-5

9 785443 910925 >

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М. В. ЛОМОНОСОВА
Механико-математический факультет

П. А. Бородин, А. М. Савчук, И. А. Шейпак

Задачи
по функциональному анализу

Электронное издание

Мocква
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
Б

Бородин П. А., Савчук А. М., Шейпак И. А.
Задачи по функциональному анализу
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Задачник содержит более  задач по всем основным разделам функционального анализа, входящим в учебную программу механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Почти все задачи, в которых требуется что-то найти, снабжены ответами, а некоторые из остальных задач — указаниями и комментариями.
Для студентов и аспирантов математических специальностей
университетов.

Подготовлено на основе книги: П. А. Бородин, А. М. Савчук,
И. А. Шейпак. Задачи по функциональному анализу. — Новое
изд. — М.: МЦНМО, . — ISBN ----.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. () ––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----

© Бородин П. А., Савчук А. М.,
Шейпак И. А., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Список пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Метрические пространства . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Основные понятия и свойства . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Последовательности в метрических пространствах.
Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Всюду плотные множества. Теорема Бэра . . . . . . . .

§ .. Отображения метрических пространств . . . . . . . . .

§ .. Теорема о неподвижной точке . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Нормированные пространства
. . . . . . . . . . . . .

§ .. Основные понятия и свойства. Примеры нормированных пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Множества и последовательности в нормированных
пространствах. Подпространства . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Банаховы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Конструкции банаховых пространств. Прямые суммы подпространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Сепарабельность нормированных пространств
. . . .


Глава . Гильбертовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Основные понятия и свойства. Примеры евклидовых
и гильбертовых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Множества в гильбертовых пространствах . . . . . . .

§ .. Ортонормированные системы и базисы в гильбертовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Компактные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Свойства компактных множеств . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Компактные множества в конкретных нормированных пространствах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Линейные непрерывные функционалы
. . . . . . .

§ .. Основные свойства. Вычисление норм . . . . . . . . . .

§ .. Теорема Хана—Банаха
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Сопряжённые пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Второе сопряжённое пространство. Рефлексивность .



Оглавление

Глава . Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Определения и основные примеры операторов . . . . . 
§ .. Различные свойства операторов . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Операторы в гильбертовых пространствах . . . . . . .

§ .. Пространство операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Дифференцирование в банаховых пространствах . . .


Глава . Теорема Банаха—Штейнгауза. Слабая сходимость
векторов, функционалов и операторов
. . . . . . . . . . .

§ .. Теорема Банаха—Штейнгауза . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Слабая сходимость: основные свойства. Критерии
слабой сходимости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. ∗-слабая сходимость в сопряжённом пространстве . . 
§ .. Различные виды сходимости в пространстве операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Сопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Сопряжённые операторы в банаховом пространстве . 
§ .. Сопряжённые операторы в гильбертовом пространстве. Унитарные и нормальные операторы . . . . . . . . 

Глава . Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры . . 
§ .. Свойства обратимых операторов . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Полные и минимальные системы векторов
. . . . . . 
§ .. Базисы Шаудера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Базисы в гильбертовых пространствах . . . . . . . . . 

Глава . Компактные операторы и теория Фредгольма . .

§ .. Общие свойства компактных операторов . . . . . . . . 
§ .. Компактные операторы в конкретных пространствах 
§ .. Компактные операторы в гильбертовых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Теория Фредгольма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Основы спектральной теории ограниченных операторов в банаховых пространствах . . . . . . . . . . . . .

§ .. Спектр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Спектр компактного оператора . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Теорема Гильберта—Шмидта
. . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Основные типы операторов на примерах . . . . . . . . 

Оглавление


Глава . Функциональное исчисление и спектральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Функциональное исчисление ограниченного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Функциональное исчисление, построенное по самосопряжённому оператору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Спектральная теорема в терминах интеграла Лебега—Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Спектральная теорема в терминах оператора умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Топологические, линейные топологические и полинормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Линейные топологические пространства . . . . . . . . 
§ .. Локально выпуклые пространства как полинормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Слабая топология в нормированном пространстве . 
§ .. ∗-слабая топология в сопряжённом пространстве . . 

Глава . Пространства пробных (основных) функций . . .


Глава . Обобщенные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Операции над обобщёнными функциями
. . . . . . . 

Глава . Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Преобразование Фурье обычных функций . . . . . . . 
§ .. Преобразование Фурье обобщённых функций . . . . . 

Глава . Свёртка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Свёртка функций в L1() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Оператор свёртки в L2() . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Свёртка обобщённых функций
. . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Обобщённые функции нескольких переменных .

§ .. Дополнительные операции над обобщёнными функциями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Фундаментальные решения
. . . . . . . . . . . . . . . . 

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Предисловие

Эта книга возникла в результате работы авторов на механико-математическом факультете Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Первые два ее издания выходили в издательстве «Попечительский совет механико-математического факультета» в  и  г.
Курс функционального анализа изучается на механико-математическом факультете в  и  семестрах (одна лекция и один семинар в неделю, в каждом семестре зачет и экзамен). За последние
 лет ядро этого курса вполне сложилось, так что программы разных лекторов отличаются лишь последовательностью тем из этого
ядра и набором тех специальных тем, которые определяются их личными предпочтениями. Имеется много учебников по функциональному анализу, в том числе написанных лекторами мехмата, и все
вместе эти учебники полностью покрывают потребности студентов
в теоретическом освоении предмета.
В то же время задачников по функциональному анализу сравнительно мало, и ни один из них не подходит для ведения семинарских
занятий по мехматскому курсу. Каждый преподаватель использует
на семинарах и зачетах свой собственный, отработанный годами,
список задач, лишь малую порцию которого студент может единовременно увидеть на доске в виде домашнего задания или на своем листке во время контрольной или зачета. В результате средний
студент мехмата видит и решает сравнительно мало задач, слишком зависит от своей семинарской тетради и получает представление о функциональном анализе как об очень сложной и очень теоретической науке, представленной такими разными мастер-классами преподавателей с кафедры теории функций и функционального
анализа.
Настоящий сборник задач (идея его написания принадлежит
И. А. Шейпаку) имеет своей целью восполнить этот пробел. В нём
представлены все основные темы мехматского курса функционального анализа в их наиболее традиционной последовательности, а
также некоторые специальные темы. Каждая глава содержит сводку
основных определений и теорем, необходимых для решения задач
этой главы, а также примеры решений типовых «ремесленных» задач. Почти все задачи, в которых требуется что-то найти, снабжены

Предисловие


ответами, а некоторые из остальных задач — указаниями и комментариями. Задачи, отмеченные кружочком, считаются базовыми для
данной главы. Задачи, отмеченные звездочкой, являются сложными
и, как правило, сопровождаются указаниями к решению.
Нам не удалось избежать неравномерного распределения задач
по главам: какие-то темы представлены лишь необходимым минимумом задач, а каким-то — в силу личных вкусов авторов — отведено номеров во много раз больше, чем может вместить реальный
учебный процесс. Из более чем  задач сборника лишь несколько
десятков придуманы нами, а остальные появились в результате собирания и обработки задач из различных источников, прежде всего — из упоминавшихся личных списков преподавателей кафедры
теории функций и функционального анализа механико-математического факультета.
Мы глубоко благодарны всему коллективу преподавателей кафедры, ныне покойному руководителю кафедры академику РАН
П. Л. Ульянову и нынешнему руководителю академику РАН Б. С. Кашину за ценные советы и постоянное стимулирующее воздействие.
Особенно мы благодарны В. В. Рыжикову, принимавшему участие
в начальной стадии составления задачника, а также В. И. Богачеву,
А. Н. Бахвалову, М. И. Дьяченко, А. Г. Костюченко, О. Г. Смолянову,
В. М. Федорову, А. Я. Хелемскому и А. А. Шкаликову. Мы также благодарим студентов механико-математического факультета, способствовавших поиску ошибок и опечаток в рукописи.
Кроме того, каждый из нас благодарен своей жене за терпение и
полезные замечания.
Работа первого автора поддержана грантом РФФИ (проект
№ --), второго и третьего авторов — грантом РФФИ
(проект № --).

Авторы

Список пространств

Метрические пространства

Обозначение
Описание и метрика

discr(X)
дискретное метрическое пространство на множестве X

ρ(x, y) =

1,
если x ̸= y,
0,
если x = y

натуральные числа, ρ(m, n) = |m − n|

B0
бэровское нуль-пространство векторов x = (n1, n2,…), где
nk ∈ ,
ρ(x, y) = 1/k, где k — первый из номеров, для которых координата nk последовательности x отлична от k-й координаты последовательности y (ρ(x, x) := 0)

R
подмножества отрезка [0,1], состоящие из конечного числа
полуинтервалов,

ρ(X, Y) = µ(X△Y), где µ
nk=1
[ak, bk)
=

nk=1
(bk − ak)

L[0,1]
факторклассы подмножеств отрезка [0,1], измеримых по
Лебегу (два множества X и Y принадлежат одному факторклассу, если µ∗(X△Y) = 0),
ρ([X],[Y]) = µ∗(X△Y), где X ∈ [X], Y ∈ [Y], а µ∗(A) =

= inf
∞k=1
(bk − ak): B =

∞k=1
[ak, bk), B ⊃ A
— внешняя мера

множества A

p и ¯¯p
рациональные числа с p-адической метрикой ρp (здесь p —
произвольное простое число) и пополнение этого пространства по метрике ρp. Пополнение реализуется как ряды вида

x =

∞n=1
bn pn−N, bn ∈ {0,…, p − 1},

ρp(x, y) = |x − y|p для x, y ∈ p; здесь |·|p — p-адический

модуль числа:
pk m

n

p = p−k, где m и n не делятся на p, k ∈ ;

|0|p := 0;
ρp(x, y) = lim
n→∞ |Sn(x) − Sn(y)|p для x, y ∈ ¯¯p, где Sn — частичные суммы рядов для чисел x и y

Список пространств


Нормированные пространства

Обозначение
Описание и норма

lp(n)
n-мерное пространство векторов x = {xk}n
1 с нормой ∥·∥p,

∥x∥p =
nk=1
|xk|p
1/p
, 1 ⩽ p < ∞

l∞(n)
n-мерное пространство векторов x = {xk}n
1 с нормой ∥·∥∞,
∥x∥∞ = max
1⩽k⩽n |xk|

c00
пространство финитных последовательностей,
∥x∥ = max
k⩾1 |xk|

c0
пространство последовательностей x = {xk}∞
k=1, сходящихся
к нулю: lim
k→∞ xk = 0,

∥x∥ = max
k⩾1 |xk|

c
пространство последовательностей x = {xk}∞
k=1, имеющих
предел,
∥x∥ = sup
k⩾1
|xk|

lp
пространство последовательностей x = {xk}∞
k=1 с условием
∞k=1
|xk|p < ∞, где 1 ⩽ p < ∞,

∥x∥ =
∞k=1
|xk|p
1/p

l∞
пространство ограниченных последовательностей x={xk}∞
k=1,
∥x∥ = sup
k⩾1
|xk|

lp()
пространство двусторонних последовательностей

x = {xk}∞
k=−∞ с условием

∞k=−∞
|xk|p < ∞, где 1 ⩽ p < ∞,

∥x∥ =
k∈|xk|p
1/p

Pn[a, b]
пространство многочленов на отрезке [a, b] со степенью не
выше n,
∥x∥ = max
t∈[a,b] |x(t)|


Список пространств

P[a, b]
пространство всех многочленов на отрезке [a, b],
∥x∥ = max
t∈[a,b] |x(t)|

C[a, b]
пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций,
∥x∥ = max
t∈[a,b] |x(t)|

Cper[a, b]
подпространство пространства C[a, b], состоящее из функций, значения которых в точках a и b совпадают,
∥x∥ = max
t∈[a,b] |x(t)|

C()
пространство непрерывных на окружности := {z ∈ :
|z| = 1} функций (изометрически изоморфно пространству
Cper[0,2π]),
∥x∥ = max
|z|=1 |x(z)|

Cn[a, b]
пространство n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций,

∥x∥1 =

nk=0
∥x(k)∥C[a,b], ∥x∥2 = max
0⩽k⩽n ∥x(k)∥C[a,b]

Cp[a, b]
пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций с нормой ∥·∥Cp, 1 ⩽ p < ∞,

∥x∥Cp =
ba
|x(t)|p dt
1/p

n
Cp[a, b]
пространство n раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] функций с нормой ∥·∥Cn
p , 1 ⩽ p < ∞, n ∈ ,

∥x∥Cn
p =
nk=0
∥x(k)∥p
Cp[a,b]

1/p

BC()
пространство непрерывных ограниченных на функций,
∥x∥ = sup
t∈|x(t)|

C0()
пространство непрерывных на функций, для которых
lim
|t|→∞ x(t) = 0,

∥x∥ = max
t∈|x(t)|

Lp(M,Σ,µ)
пространство классов эквивалентных функций, суммируемых в p-й степени, 1 ⩽ p < ∞,

∥x∥ =
M
|x(t)|p dµ
1/p

Список пространств


L∞(M,Σ,µ)
пространство классов эквивалентных существенно ограниченных функций,
∥x∥ = esssup
t∈M
|x(t)| :=
inf
µ(A)=0 sup
M\A
|x(t)|

Lp[a, b]
Lp[a, b] := Lp([a, b],µ), где µ — мера Лебега; пополнение
пространства Cp[a, b] при p ̸= ∞,

∥x∥ =
ba
|x(t)|p dt
1/p
при 1 ⩽ p < ∞,

∥x∥ = inf
µ(A)=0 sup
[a,b]\A
|x(t)| при p = ∞

n
Wp [a, b]
пополнение пространства
n
Cp[a, b], 1 ⩽ p < ∞, n ∈ ,

∥x∥Wn
p =
nk=0
∥x(k)∥
p
Lp

1/p

n
◦Wp [a, b]
{x ∈
n
Wp [a, b]: x(j)(a) = x(j)(b) = 0, 0 ⩽ j < n}, 1 ⩽ p < ∞,
n ∈ ,
∥x∥ ◦Wn
p = ∥x∥Wn
p

BV[a, b]
пространство функций ограниченной вариации,
∥x∥ = Varb
a x + sup
t∈[a,b]
|x(t)|

BV0[a, b]
пространство функций ограниченной вариации, для которых x(t − 0) = x(t) на (a, b) и x(a) = 0,
∥x∥ = Varb
a x

AC(D)
пространство функций, голоморфных в ограниченной области D ⊂ и непрерывных в замыкании этой области ¯¯D,
∥x∥AC = sup
ξ∈¯¯D
|x(ξ)|


Список пространств

Евклидовы пространства

Обозначение
Описание и скалярное произведение

l2(n)
n, (x, y) =

nk=1
xk ¯yk

l2
последовательности x = {xk}∞
k=1 с условием

∞k=1
|xk|2 < ∞,

(x, y) =

∞k=1
xk ¯yk

l2()
двусторонние последовательности с условием

∞k=−∞
|xk|2 < ∞

(x, y) =
k∈xk ¯yk

C2[a, b]
непрерывные на [a, b] функции, (x, y) =

ba
x(t)y(t)dt

Cn
2[a, b]
n раз непрерывно дифференцируемые на [a, b] функции с
нормой ∥·∥Cn
2 ,

(x, y) =

nk=0

ba
x(k)(t)y(k)(t) dt

L2(M,Σ,µ)
пространство классов эквивалентных функций, суммируемых во второй степени,

(x, y) =
M
x(t)y(t)dµ

W n
2 [a, b]
пополнение пространства Cn
2[a, b],

(x, y)W n
2 =

nk=0

ba
x(k)(t)y(k)(t)dµ

◦W n
2 [a, b]
{x ∈ W n
2 [a, b]: x(j)(a) = x(j)(b) = 0, 0 ⩽ j < n},
(x, y) ◦W n
2 = (x, y)W n
2

AL2(|z| < 1)
функции, голоморфные в круге |z| < 1 и такие, что
| f (z)|2 dx dy < ∞ (пространство Бергмана),

( f , g) =
f(z)g(z) dx dy