Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы

Покупка
Артикул: 686700.01.99
Книга написана по материалам лекций, прочитанных в Независимом москов- ском университете и на факультете математики Высшей школы экономики, и состо- ит из записок лекций и упражнений, предлагавшихся студентам. В курс включены результаты общей топологии, широко применяемые в анализе и геометрии. Для удобства читателя приводятся необходимые понятия и результаты теории катего- рий и теории множеств. Книга заканчивается начальными главами гомотопической топологии (накрытия, фундаментальная группа). Теоретический материал курса из- ложен как в лекциях, так и в упражнениях, которые можно изучать независимо от лекций.
Вербицкий, М. С. Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы: Курс лекций / Вербицкий М.С. - Москва :МЦНМО, 2018. - 352 с.: ISBN 978-5-4439-3036-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/970285 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
М. С. Вербицкий

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

НАЧАЛЬНЫЙ КУРС 
ТОПОЛОГИИ
Задачи и теоремы

ISBN 978-5-4439-1036-9

9 785443 910369 >

М. С. Вербицкий | Начальный курс топологии. Задачи и теоремы

Книга написана по материалам лекций, прочитанных 
в Независимом московском университете и на факультете 
математики Высшей школы экономики, и состоит 
из записок лекций и упражнений, предлагавшихся 
студентам. В курс включены результаты общей топологии, 
широко применяемые в анализе и геометрии, а также 
необходимые понятия и результаты теории категорий 
и теории множеств.

Автор – профессор факультета математики 
Национального исследовательского университета 
«Высшая школа экономики». 

М. С. Вербицкий

Начальный курс
топологии в листочках:
задачи и теоремы

Электронное издание

Издательство МЦНМО 
Москва, 2018

УДК 515.12
ББК 22.152
В31

Вербицкий М. С.
Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2018
352 с.
ISBN 978-5-4439-3036-7

Книга написана по материалам лекций, прочитанных в Независимом московском университете и на факультете математики Высшей школы экономики, и состоит из записок лекций и упражнений, предлагавшихся студентам. В курс включены
результаты общей топологии, широко применяемые в анализе и геометрии. Для
удобства читателя приводятся необходимые понятия и результаты теории категорий и теории множеств. Книга заканчивается начальными главами гомотопической
топологии (накрытия, фундаментальная группа). Теоретический материал курса изложен как в лекциях, так и в упражнениях, которые можно изучать независимо от
лекций.

Портреты математиков на с. 54, 156, 160, 167, 172, 193, 221, 274, 331
выполнены Юрием Сопельняком.

Подготовлено на основе книги: Вербицкий М. С. Начальный курс
топологии в листочках: задачи и теоремы. –– М.: МЦНМО, 2017. ––
352 с. ISBN 978-5-4439-1036-9

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3036-7
ffi М. С. Вербицкий, 2016.
ffi МЦНМО, 2017.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
11
Краткое описание
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Матклассы: обучение по листочкам . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Как читать эту книгу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

ЧАСТЬ I. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Глава 1. Основания математики
21
1.1. О математической строгости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

1.2. О формальном методе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

1.3. Теория множеств и ее аксиоматизация . . . . . . . . . . .
25

1.4. Терминология и библиография . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава 2. Основные понятия теории множеств
29
2.1. Обозначения теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . .
29

2.2. Соответствия и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2.3. Отношения эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2.4. Аксиоматическая теория множеств . . . . . . . . . . . . .
33

2.5. Терминология и библиография . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Глава 3. Кардиналы и теорема Кантора
39
3.1. Теорема Кантора––Бернштейна––Шрёдера . . . . . . . . .
39

3.2. Мощность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.3. Счетные множества
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

3.4. Диагональный метод Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

3.5. Континуум-гипотеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

3.6. Замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Глава 4. Аксиома выбора и ее приложения
47
4.1. Сечение отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

4.2. Аксиоматическая теория множеств . . . . . . . . . . . . .
47

4.3. Аксиома выбора и ее конкуренты . . . . . . . . . . . . . .
49

4.4. Вполне упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . .
52

4.5. Лемма Цорна и теорема Цермело
. . . . . . . . . . . . . .
55

3

Оглавление

ЧАСТЬ II. ТОПОЛОГИЯ В ЗАДАЧАХ

Листок 1. Метрические пространства и норма
61
1.1. Метрические пространства, выпуклые множества, норма 61
1.2. Полные метрические пространства
. . . . . . . . . . . . .
65

Листок 2. Топология метрических пространств
71
2.1. Липшицевы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

2.2. Расстояние между подмножествами метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

2.3. Расстояние Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

2.4. Локально компактные метрические пространства
. . .
76

Листок 3. Теоретико-множественная топология
81
3.1. Топология и сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Листок 4. Произведение пространств
89
4.1. База топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

4.2. Тихоновский куб и гильбертов куб
. . . . . . . . . . . . .
91

4.3. Нормальные топологические пространства . . . . . . . .
92

4.4. Лемма Урысона и метризация топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Листок 5. Компактность
95
5.1. Компакты и произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

5.2. Теорема Тихонова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

5.3. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Листок 6. Поточечная и равномерная сходимость
103
6.1. Кривая Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Листок 7. Связность
109
7.1. Вполне несвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Листок 8. Фундаментальная группа и пространство петель 113
8.1. Линейная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Геодезическая связность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3. Пространство петель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4. Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4

Оглавление

8.5. Односвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.6. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Листок 9. Накрытия Галуа
125
9.1. Накрытия Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2. Накрытия линейно связных пространств . . . . . . . . . . 130
9.3. Существование универсального накрытия . . . . . . . . . 132

Листок 10. Фундаментальная группа и гомотопии
137
10.1. Гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.2. Пространства путей на локально стягиваемых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.3. Свободная группа и букет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

ЧАСТЬ III. ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ

Лекция 1. Метрика, пополнение, p-адические числа
145
1.1. Метрические пространства и пополнение . . . . . . . . . 145
1.2. Нормирование на группах и кольцах . . . . . . . . . . . . 149
1.3. Целые p-адические числа: неархимедова геометрия . . 151
1.4. Арифметика p-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.5. Библиография, замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекция 2. Нормирования в векторных пространствах
159
2.1. Примеры нормированных пространств . . . . . . . . . . . 159
2.2. Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3. Выпуклые множества и норма
. . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.4. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Лекция 3. Компакты в метрических пространствах
169
3.1. Теорема Гейне––Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2. Историческое отступление: работы Хаусдорфа . . . . . . 173
3.3. Расстояние Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.4. Компактность и ϵ-сети
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.5. Историческое отступление: расстояние Громова––Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5

Оглавление

Лекция 4. Внутренняя метрика
181
4.1. Пространство с внутренней метрикой . . . . . . . . . . . . 181
4.2. Локально компактные метрические пространства
. . . 183

4.3. Геодезические в метрическом пространстве . . . . . . . . 185
4.4. История, терминология, литература . . . . . . . . . . . . . 187

Лекция 5. Основы общей топологии
191
5.1. Топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2. Аксиомы Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3. Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Лекция 6. Произведение пространств
197
6.1. Свойства произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2. Отображения в M × M′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.3. Произведение метрических пространств . . . . . . . . . . 199
6.4. Полуметрики и полунормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.5. Тихоновская топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6. Пространства Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.7. Тихоновский куб и гильбертов куб . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Лекция 7. Теорема о метризации
211
7.1. Нормальные топологические пространства . . . . . . . . 211
7.2. Функции Урысона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.3. «Создатель советской топологии» . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4. Нормальные пространства и нуль-множества . . . . . . . 216
7.5. Теорема Урысона о метризации . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.6. Теоремы о метризуемости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Лекция 8. Компакты
221
8.1. Компакты и слабо секвенциально компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.2. Компакты и нормальные пространства . . . . . . . . . . . 224

Лекция 9. Произведение компактов
227
9.1. Открытые, замкнутые и собственные отображения . . . 227
9.2. Конечные произведения компактов . . . . . . . . . . . . . 228
9.3. Максимальные идеалы в кольцах . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.4. Лемма Цорна: история, замечания . . . . . . . . . . . . . . 232

6

Оглавление

9.5. Кольцо подмножеств и ультрафильтры . . . . . . . . . . . 233
9.6. Теорема Александера о предбазе . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.7. Теорема Тихонова о компактности . . . . . . . . . . . . . . 239

Лекция 10. Равномерная сходимость
243
10.1. Банаховы пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.2. Примеры пространств Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3. Равномерная метрика на пространстве отображений . 247
10.4. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Лекция 11. Пространство непрерывных отображений
251
11.1. Топология равномерной сходимости на C(X, Y) . . . . . 251
11.2. Tопология, заданная окрестностями графика . . . . . . 252
11.3. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Лекция 12. Связные пространства
257
12.1. Свойства связных подмножеств . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.2. Компоненты связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.3. Линейная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Лекция 13. Вполне несвязные пространства
263
13.1. Примеры вполне несвязных пространств . . . . . . . . . 263
13.2. Пространства Стоуна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Лекция 14. Теорема Стоуна и теория категорий
269
14.1. Категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.2. Теория категорий: история, замечания . . . . . . . . . . 271
14.3. Булевы кольца и булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . 275
14.4. Спектр Зарисcкого для булева кольца . . . . . . . . . . . 276
14.5. Булевы алгебры: история, замечания
. . . . . . . . . . . 280

Лекция 15. Фундаментальная группа
281
15.1. Гомотопные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
15.2. Категория пространств с отмеченной точкой и пространства петель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

15.3. Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.4. Стягиваемые пространства, ретракты, гомотопическая эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

15.5. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7

Оглавление

Лекция 16. Накрытия Галуа
293
16.1. Факторпространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

16.2. Категория накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
16.3. Односвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
16.4. Поднятие накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
16.5. Накрытия и пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
16.6. Произведение накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
16.7. Накрытия Галуа и группа Галуа . . . . . . . . . . . . . . . 305
16.8. Теория Галуа для накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
16.9. Универсальное накрытие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
16.10. Этальная фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . 310
16.11. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Лекция 17. Теорема Зейферта––ван Кампена
315
17.1. Фундаментальная группа и универсальное накрытие . 315
17.2. Категория накрытий и фундаментальная группа . . . . 318
17.3. Как восстановить фундаментальную группу по категории накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

17.4. Свободная группа и свободное произведение групп . . 321
17.5. Представимые функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
17.6. Лемма Ионеды: история, замечания . . . . . . . . . . . . 324
17.7. Произведение и копроизведение в категории . . . . . . 325
17.8. История свободной группы и копроизведений
. . . . . 326

17.9. Теорема Зейферта––ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . 328
17.10. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Лекция 18. Подгруппы в свободных группах
333
18.1. Фундаментальная группа букета окружностей . . . . . . 333
18.2. Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
18.3. Унициклические графы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

18.4. Фундаментальная группа графа . . . . . . . . . . . . . . . 338

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Листок 0. Вещественные числа
343
0.1. Фундаментальные последовательности . . . . . . . . . . . 343
0.2. Дедекиндовы сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

8

Оглавление

0.3. Супремум и инфимум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
0.4. Корни многочленов нечетной степени . . . . . . . . . . . 348
0.5. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
0.6. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9

ВВЕДЕНИЕ

КЭта книга рассчитана на студента младших курсов, знакомого с
основами математического мышления (хорошего школьного учебника математики достаточно).
Можно читать ее по частям или целиком; например, решать
задачи, пропуская текст лекций. «Геометрическая» часть задач и
лекций (первый том) не очень связана с алгебраической (второй
том, готовится к печати), а лекции (часть III) дополняют листки с
задачами (часть II). Задачи разбиты на две группы (простые задачи
без звездочки и сложные –– со звездочкой), можно решать либо все
простые задачи, либо все сложные, либо и те и другие.
Настоящая книга является первой частью записок курса, программа которого в немалой степени основана на программе матшколы и содержит материал, который в общих чертах известен
хорошему матшкольнику. Предполагается, что полный курс будет
состоять из двух частей, алгебры и геометрии. В этом томе читатель
найдет задачи и лекции по геометрии и топологии. В приложении
приводятся необходимые определения и задачи по основам анализа
(определение поля вещественных чисел).

Геометрия (1-й том)

0. Метрические пространства. Последовательности Коши, пределы, пополнение метрических пространств. Теорема Хопфа––Ринова. Геодезические в полных метрических пространствах. Векторные пространства с нормой.

1. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, отделимость, счетная база).

2. Лемма Урысона и теорема о метризации нормального топологического пространства со счетной базой.

3. Теорема Тихонова о компактности, равномерная сходимость,
теорема Арцела––Асколи. Конструкция кривой Пеано.

4. Фундаментальная группа, свободные группы, гомотопическая
эквивалентность, накрытия Галуа, конструкция универсального
накрытия.

11

Введение

Алгебра (2-й том)

0. Группы, кольца, поля. Действительные и комплексные числа.
Теорема Евклида––Гаусса об однозначности разложения на простые множители. Решение простейших диофантовых уравнений.

1. Конечномерные векторные пространства. Базис, размерность.
Билинейные, полилинейные формы, двойственные пространства. Определение тензорного произведения векторных пространств. Симплектические и квадратичные формы.

2. Грассманова алгебра и определители.
3. Линейные операторы. Полупростота, нильпотентность. Теорема
Кэли––Гамильтона. Жорданова нормальная форма.

4. Алгебраические расширения полей. Артиновы коммутативные
алгебры. Расширения Галуа.

5. Представления конечных групп.
6. Основная теорема теории Галуа.

Последние 3––4 листка по геометрии и по алгебре повторяют
друг друга, местами дословно. Дело в том, что группа Галуа устроена аналогично фундаментальной группе, а накрытие топологического пространства –– конечному расширению полей. Пользуясь
этой аналогией, Гротендик построил фундаментальную группу,
пользуясь только алгебраическими методами (этот раздел математики называется этальной геометрией).
В. И. Арнольд прочел основанный на этой аналогии курс теории
Галуа в физико-математической школе-интернате 18; впоследствии
его лекции были записаны В. Б. Алексеевым («Теорема Абеля в задачах и решениях»).
В силу того что методы топологии и алгебры в этих разделах
столь схожи, теорию Галуа, фундаментальную группу и накрытия
можно (и нужно) изучать по одному плану. Взаимовлияние алгебраических и геометрических идей –– это магистральное направление
всей математики (а в последнее время –– и теоретической физики),
а математик, который владеет только одним из этих аппаратов, не
лучше инвалида.
Материал этой книги должен быть в общих чертах известен
хорошему матшкольнику и продвинутому первокурснику-математику.

12

Матклассы: обучение по листочкам

Кроме этого, первокурсник должен знать основы анализа; их
можно почерпнуть в учебнике В. А. Зорича «Математический анализ» и в учебнике Лорана Шварца «Анализ».
В этой книге анализа нет, потому что (в отличие от алгебры и
геометрии) его преподавание на первом курсе университета ведется весьма интенсивно и начала анализа непрерывных и гладких
функций на прямой худо-бедно усваивает каждый студент. К тому
же изложить математический анализ в задачах не так просто.
Соавтором и редактором листочков с задачами был Дмитрий
Каледин, которому я безмерно благодарен. Спасибо Марине Прохоровой за редакторскую работу над задачами и А. Х. Шеню за ряд
ценных замечаний. Немало исправлений было получено от Виктора
Прасолова и Ивана Ремизова, которым я донельзя благодарен, а также от других людей, тоже чрезвычайно достойных и замечательных.
Отдельная благодарность студентам, без которых это сочинение не
было бы даже начато.
Структура книги отражает программу, составленную А. Х. Шенем, В. А. Гинзбургом и другими преподавателями маткласса 57
школы, где учился автор. Другим источником идей и вдохновения
были учебники «Теорема Абеля в задачах и решениях» В.Б.Алексеева и «Теоремы и задачи функционального анализа» А. А. Кириллова
и А. Д. Гвишиани.

М: В 1970-е гг. в московских матшколах кристаллизовалась необычная форма обучения математике. Ее возникновение обыкновенно
связывают с именем Н. Н. Константинова, который работал в 57,
91 и 179 школах. По этой системе выучились сотни матклассов, и
каждый преподаватель вносил нечто свое в программу и в подход
к обучению. Самым известным на настоящий момент практиком
матшкольного обучения по листочкам является Б. М. Давидович,
завуч московской школы 57; автора этой книги учили А. Х. Шень,
В. А. Гинзбург, Б. П. Гейдман и А. Ю. Вайнтроб, и он благодарен им
сверх всякой меры.
Здесь был бы уместен исторический очерк матшкольного образования, но пока придется ограничиться этим куцым сообщением.
Автор заранее приносит извинения всем, кого он не упомянул.

13

Введение

Николай Николаевич Константинов

Система эта в канонической форме устроена так. Обучение математике в матклассе разбито на два параллельных предмета. Обычная математика (алгебра и геометрия) преподается в рамках школьной программы, при этом форма обучения не отличается от привычной чиновникам РОНО и проверяющим комиссиям. Параллельно с этим профессиональные математики, аспиранты и студенты,
не числящиеся формально учителями, ведут уроки «специальной
математики», или же «матанализа». Часы делятся примерно поровну, но само обучение «специальной математике» мало соотносится со школьной программой, и занятия устроены принципиально
иначе.
На уроках «специальной математики» никто не стоит у доски с
указкой и мелом; всё (или почти всё) общение школьника с преподавателями ведется за партой и тет-а-тет либо в походах. Школьникам выдается листок с задачами, обыкновенно –– по одному или два
в неделю; через какое-то время после выдачи листочка студенты
должны «сдать задачи», т.е. рассказать их решения преподавателям
на уроке. При такой системе на класс из 30 человек требуется гдето 5––10 преподавателей.

14

Матклассы: обучение по листочкам

Задачи разбиты на задачи «без звездочки» (сдача этих задач
обязательна для всех) и более сложные задачи, отмеченные одной
или двумя звездочками. Задачи с одной звездочкой должны быть доступны самым продвинутым школьникам в классе. Задачи с двумя
звездочками весьма сложны –– уровня студенческих научных олимпиад либо сложных (а часто и нерешенных) научных проблем. Для
индивидуального обучения эта система весьма удобна –– школьник
может выбирать себе задачи по плечу, решая либо сравнительно
простые задачи, доступные начинающим, либо задачи со звездочкой, требующие хорошего понимания материала.
Преподаватели подбираются из числа энтузиастов подобного
обучения, профессиональных математиков и студентов; в основном
это выпускники матклассов. Они разъясняют школьникам непонятные места. Также школьникам не возбраняется находить решение
задач в книжках либо (когда совсем припрет) спрашивать у товарищей. Принято считать, что эта часть обучения не менее важная,
чем собственно решение задач. Действительно, свободное обращение с литературой и способность рассказать либо выслушать нечто
математическое не менее важна, чем решение задач.
Объем информации, усваиваемый школьником при такой системе, вполне сравним с полученным из обычной школьной системы
обучения, несмотря на отсутствие «уроков» в обычном смысле. Теоретический материал размещается по возможности в тексте задач,
таким образом, любой школьник, успешно сдавший задачи, будет
обязан усвоить и освоить теорию.
На протяжении 1980-х гг. программа матклассов установилась
окончательно. В общих чертах идеализированная программа матшколы устроена примерно так.
Обучение ведется 3 или 4 года. В первый год школьники учатся
обращению с множествами (элементарной теории множеств, классам эквивалентности, отображениям, наложениям, вложениям и
биекции, равномощности, счетным и континуальным множествам).
Излагаются начала аксиоматического подхода. Определяются понятия элементарной алгебры: группы, кольца и поля. Вводится алгоритм Евклида, его используют для доказательства однозначности
разложения на множители в кольце целых чисел.
На второй год школьники изучают основы анализа (пределы,
ряды, непрерывность и дифференцируемость функций на прямой),

15

Введение

свойства логарифма и экспоненты. Излагается аксиоматическое
определение вещественных чисел (обыкновенно через последовательности Коши). Проходят комплексные числа и их геометрическую интерпретацию. Выводят из свойств комплексных чисел
тождества для тригонометрических функций, как обычные (формула косинусов и синусов), так и необычные (формула для sin(nx)
и т. д.). Также изучают начала линейной алгебры (конечномерные
пространства, базис, размерность).
На третий год школьники изучают основы теории метрических
пространств (компактность, пополнение) и топологии (аксиоматическое определение топологического пространства, топологические свойства метрических пространств, аксиомы отделимости).
В курсе алгебры школьники усваивают определение p-адических
чисел, классификацию конечных полей и элементы теории Галуа.

КВ этой книге есть две независимые части, основанные на одной
и той же программе: цикл лекций и цикл задач. Они в немалой
степени повторяют друг друга. По сути это два разных курса, излагающих один и тот же материал.
Листочки составлены таким образом, чтобы решение всех задач
со звездочкой из одного листка было несколько менее трудоемко,
чем решение всех задач без звездочки из этого же листка. Студенту
имеет смысл прочесть все задачи и усвоить их формулировку, затем
решить все задачи со звездочкой, если задачи без звездочки для них
не трудны и их решение кажется бессмысленной затратой труда.
Задачи с восклицательным знаком надо решать всем.
Таким образом, каждый листочек представляет собой сразу два
курса –– один для продвинутых студентов, которые в общих чертах
знают программу, другой –– для начинающих.
Формально говоря, для понимания листочков достаточно школьной программы и знания основных определений теории множеств
(вложение, наложение, ограничение отображения, классы эквивалентности). Многие школьные учебники (например, учебник Колмогорова) уже содержат все нужные определения.
Для решения некоторых задач со звездочкой (особенно в конце курса геометрии) и хорошего понимания остального материала

16