Многомерная геометрия

В. А. Исковских

МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Редакторы-составители:
Вик. С. Куликов, Ю. Г. Прохоров, И. А. Чельцов

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва ∙ 2016

УДК 512.7
ББК 22.147
И86

Исковских В. А.
Многомерная геометрия.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2016.
616 с.
ISBN 978-5-4439-2499-1

Книга является продолжением издания собрания математических
трудов выдающегося русского математика, специалиста в области бирациональной алгебраической геометрии Василия Алексеевича Исковских.
В нее включены работы по трехмерной бирациональной геометрии и классификации многообразий Фано, а также его совместная с И. Р. Шафаревичем обзорная статья по алгебраическим поверхностям.
Первый том собрания трудов вышел в 2012 году под названием «Алгебраические поверхности: геометрия и арифметика».
Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.

Подготовлено на основе книги: Исковских В. А. Многомерная геометрия. —
М.: МЦНМО, 2016. — 616 с. ISBN 978-5-4439-0655-3.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2499-1
c○ В. А. Исковских, 2016
c○ МЦНМО, 2016

Оглавление

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота . . . . . . . . .
4

Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий . .
31

Бирациональные автоморфизмы трехмерных алгебраических
многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Трехмерные алгебраические многообразия (краткий обзор) . . . . . . . . . . 192

Конгруэнции коник в P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Algebraic Threefolds with Special Regard to the Problem of Rationality . . . 223

On the rationality problem for conic bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Двойная проекция из прямой на трехмерных многообразиях Фано
первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

К проблеме рациональности для расслоений на коники . . . . . . . . . . . . . 280

О проблеме рациональности для трехмерных алгебраических
многообразий, расслоенных на поверхности дель Пеццо . . . . . . . . . . . . 289

О критерии рациональности для расслоений на коники . . . . . . . . . . . . . 300

О проблеме рациональности для трехмерных алгебраических
многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

Бирациональные автоморфизмы многомерных алгебраических
многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

On the Noether — Fano Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Приложения

Алгебраические поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

Василий Алексеевич Исковских (к шестидесятилетию со дня рождения) . 608

Список печатных работ В. А. Исковских . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612

Трехмерные квартики и контрпримеры
к проблеме Люрота

(совместно с Ю. И. Маниным)

Введение

1. В этой работе доказана следующая
О с н о в н а я т е о р е м а. Пусть 𝜒: 𝑉 → 𝑉 ′ — бирациональное отображение двух гладких гиперповерхностей четвертой степени (квартик) в P4 над
любым полем 𝑘. Тогда 𝜒 — изоморфизм.

С л е д с т в и е. а) Бирациональная классификация трехмерных гладких
квартик совпадает с проективной классификацией.
б) Группа бирациональных отображений в себя любой трехмерной гладкой
квартики 𝑉 конечна. Следовательно, 𝑉 нерациональна (т. е. бирационально
неэквивалентна P3).
С другой стороны, Б. Сегре [12] указал примеры унирациональных гладких
квартик (по крайней мере, в случае, когда Char 𝑘 ̸= 2, 3); его конструкция
воспроизведена в § 9 этой работы. Тем самым мы получаем примеры унирациональных, но не рациональных многообразий в размерности три. Это
решает проблему Люрота в отрицательном смысле, как и ожидалось. Отметим,
что отсутствие нетривиальных бирациональных отображений в себя означает
чрезвычайную «жесткость» наших унирациональных многообразий. Все ли
гладкие квартики унирациональны — неизвестно.
2. Формулировка теоремы и ряд фундаментальных идей в ее доказательстве принадлежат Фано [3, 4]. Так как работы Фано многократно цитировались
и подвергались критике (см. [11]), уместно вкратце описать подход Фано к этой
и смежным проблемам. Он состоит из трех этапов.
а) Ч и с л о в ы е и н в а р и а н т ы о т о б р а ж е н и я 𝜒. Пусть гиперплоские
сечения многообразия 𝑉 ′ переходят при отображении 𝜒−1 в поверхности степени 4𝑛 внутри 𝑉. Линейная система этих поверхностей, вообще говоря, неполна;
у нее имеется система базисных точек и кривых, возможно, «бесконечно близ
Матем. сборник. — 1971. — Т. 86(128), №1(9). — С. 140–166.

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота
5

ких»; каждой базисной точке или кривой 𝐵𝑖−1 можно приписать некоторую
кратность 𝜈𝑖.
Числа (𝑛; 𝜈𝑖), а также система особенностей — базисных точек и кривых
𝐵𝑖−1 — составляют основной инвариант отображения 𝜒. Он определен не вполне
однозначно, что связано с неоднозначностью выбора «разрешения особенностей» отображения 𝜒: корректные определения даны в § 2 и § 3 нашей работы.
б) Н е р а в е н с т в а Ф а н о. Простая, но важная лемма Фано утверждает,
что при 𝑛 ⩾ 2 по крайней мере одна из кратностей 𝜈𝑖 велика: 𝜈𝑖 > 2𝑛 (если
𝐵𝑖−1 — точка) либо 𝜈𝑖 > 𝑛 (если 𝐵𝑖−1 — кривая).
Это — частный случай гораздо более общих неравенств, справедливых для
многообразий любой размерности, у которых антиканонический класс обилен
(в том числе, например, для P𝑚). В таком виде лемма Фано сформулирована
и доказана в § 2 работы.
в) П р и в е д е н и е к п р о т и в о р е ч и ю. Нетрудно убедиться, что если
𝑛 = 1, то 𝜒 — (проективный) изоморфизм (предложение 4.2). Фано стремится
доказать, что случай 𝑛 ⩾ 2 невозможен. Существенные пробелы в его работе
начинаются с этого места. Идея доказательства, конечно, состоит в том, чтобы
проверить несовместимость особенностей большой кратности 𝜈𝑖 на поверхностях малой степени 4𝑛 с подвижностью (или только положительностью) этой
системы поверхностей. При этом приходится разбирать отдельно ряд случаев,
в зависимости от положения особенности 𝐵𝑖−1 максимальной кратности 𝜈𝑖.
Почти во всех этих случаях аргументы Фано не выдерживают критики.
Одно из неверных рассуждений Фано таково. Если на поверхности степени
4𝑛 появляется особая точка кратности, большей 2𝑛, то арифметический род
этой поверхности становится отрицательным, что противоречит его бирациональной инвариантности, потому что род гиперплоских сечений 𝑉 ′ равен
единице. Ошибка здесь в следующем: если оформить аргументы Фано корректно, то окажется, что учет дальнейших особенностей — кривых — может дать
положительный вклад в арифметический род, вопреки интуиции, основанной
на изучении двумерного случая. По аналогичной причине нельзя использовать
(трехкратный) индекс самопересечения вместо рода.
В этой работе предложен другой способ приведения к противоречию, который неформально описан в § 4, п. 4.3, и применен к простейшим ситуациям
в § 5. Его проведение встречает наибольшие трудности в случае, когда кривая
максимальной кратности «бесконечно близка» к точке на 𝑉. Неравенства Фано
здесь, вообще говоря, оказываются недостаточными из-за возможных инцидентностей между базисными многообразиями 𝐵𝑖. К счастью, однако, чем
больше таких инцидентностей существует, тем значительнее можно усилить
неравенства Фано, что в конечном счете снова позволяет достигнуть противоречия. Эта наиболее тонкая часть доказательства, практически отсутствующая
у Фано, содержится в § 6, 7 и 8 этой работы.
3. Значительная часть промежуточных результатов этой работы относится
к более широкому классу объектов, чем квартики: это — трехмерные гладкие
многообразия с обильным антиканоническим пучком. Фано исследовал эти

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота

многообразия, в частности их бирациональные свойства, в многолетней серии
работ (см. [5] и библиографию в книге Рота [11]), и мы будем называть их
многообразиями Фано. Среди анонсированных им результатов имеются следующие.
Степень 𝑑 многообразий Фано (по определению, это куб антиканонического
класса) принимает некоторые четные значения от 2 до 64 (верхняя граница
увеличивается до 72, если допускать особенности «общего положения»). Двойные накрытия с поверхностью ветвления шестой степени имеют степень 2;
квартики в P4 — степень 4; пересечения квадрики и кубики в P5 — степень 6;
кубики в P3 — степень 24 (!); P3 — степень 64. За исключением 𝑑 = 24, все
многообразия степеней 𝑑 ⩾ 16 рациональны; то же верно для 𝑑 = 12.
(К сожалению, современных изложений этих результатов Фано нет. Особенно интересно было бы выяснить, переносится ли теорема об ограниченности
степени антиканонического класса на многообразия размерности, большей или
равной 4, на которых этот класс обилен. Метод Фано в трехмерном случае
связан с большим перебором; он был восстановлен независимо Д. Мамфордом
и В. А. Исковских, но не опубликован.)
К изучению бирациональных свойств многообразий Фано степеней 𝑑 ⩽ 10
и 𝑑 = 14 Фано пытается применить свои идеи, относящиеся к случаю 𝑑 = 4, которые были описаны выше. Существенное отличие многообразий степеней 𝑑 ⩾ 6
состоит в том, что нетривиальные бирациональные отображения между ними
заведомо существуют, так что шаг в) — «приведение к противоречию» из п. 2 —
следует заменить другим рассуждением. Предположительно, это рассуждение
должно иметь следующий характер. Заранее строится некоторый стандартный
набор простых бирациональных отображений 𝑉 в себя (например, на кубике —
симметрии относительно точек и т. п.). После этого показывается, что для
любого нетривиального бирационального отображения 𝜒: 𝑉 → 𝑉 ′ существует
такое стандартное отображение 𝜙: 𝑉 → 𝑉, что композиция 𝜒 ∘ 𝜙: 𝑉 → 𝑉 ′ имеет
меньшую «степень», чем 𝜒, или в каком-нибудь другом смысле «проще» 𝜒.
Последовательность упрощений должна обрываться на изоморфизме. Такая
схема доказательства привела бы к теоремам о совпадении бирациональной
классификации с проективной и описанию образующих группы бирациональных отображений в себя. Хорошей двумерной моделью этой гипотетической
теории может служить исследование поверхностей дель Пеццо в работе [10]
(см. также [8]). Разумеется, самый ранний результат такого типа — теорема
Нётера о двумерной группе Кремоны; к идеям Нётера восходит и метод Фано.
Для реального осуществления этой программы нужно иметь, с одной стороны, разработанную технику изучения особенностей бирациональных отображений, а с другой стороны — достаточно обширный инвентарь стандартных
отображений; в идеале по одному для каждой особенности максимальной кратности, существование которой не удается исключить заранее соображениями
типа тех, которые изложены в этой статье. Работы Фано содержат очень интересный экспериментальный материал по обоим этим вопросам, но его техники
заведомо не хватает уже в самых простых случаях.

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота
7

Авторы надеются вернуться к многообразиям Фано старших степеней. Метод этой работы (с упрощениями) годится также и для 𝑑 = 2; мы ограничились
здесь квартиками из-за того, что только среди них известны унирациональные
многообразия.
4. В заключение приведем несколько отрывочных замечаний о трехмерной
бирациональной геометрии.
а) Методы этой работы, по существу, основаны на представлении бирациональных отображений в индуктивных пределах колец Чжоу относительно
бирациональных морфизмов многообразий из данного бирационального класса.
Клеменс и Гриффитс с успехом применили другое представление — на пределах трехмерных якобианов Вейля — к исследованию бирациональных свойств
трехмерной кубики (письменное сообщение).
Эти представления в известной мере дополнительны; возможно, что их
комбинация позволит продвинуться и в решении других давно стоящих задач,
например, в прояснении структуры трехмерной группы Кремоны.
б) Вопрос о систематической классификации унирациональных многообразий совершенно открыт. Какое место в системе моделей занимают многообразия Фано, в том числе особые?
в) Кручение в трехмерных целочисленных когомологиях трехмерного гладкого проективного многообразия 𝑉 над C является бирациональным инвариантом. (Это — группа Брауэра — Гротендика многообразия 𝑉.) Может ли оно
быть нетривиальным для унирациональных многообразий 1? Любой из логически возможных ответов интересен. Напомним, что Серр доказал тривиальность фундаментальной группы и, значит, кручения Севери унирациональных
многообразий.

§ 1. Бирациональные морфизмы и кольца Чжоу

1.1. На протяжении всей работы 𝑘 означает фиксированное алгебраически
замкнутое поле; все рассматриваемые многообразия и их отображения определены над 𝑘.
Пусть 𝑉 — гладкое проективное многообразие. Символом

𝐴(𝑉 ) =

dim 𝑉
⨁︁

𝑖=0
𝐴𝑖(𝑉 )

обозначается кольцо классов циклов по модулю численной эквивалентности,
градуированное по коразмерности. Если 𝑉 неприводимо, отображение

𝐴dim 𝑉 (𝑉 ) → Z: 𝑧 ⇝ (𝑧) = deg 𝑧

позволяет отождествить 𝐴dim 𝑉 (𝑉 ) с Z. Обозначение (𝑧) выбрано по аналогии
с «индексом пересечения».

1 П р и м е ч а н и е п р и к о р р е к т у р е . М. Артин и Д. Мамфорд построили примеры
унирациональных многообразий с ненулевым кручением.

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота

Класс 𝑧 ∈ 𝐴𝑖(𝑉 ) называется положительным, если в нем есть положительные циклы или нуль; их множество тогда обозначается |𝑧|, по аналогии
с обозначением для линейной системы дивизоров. Элемент 𝑧 ∈ 𝐴1(𝑉 ) называется подвижным, если он положителен и пересечение носителей всех дивизоров из |𝑧| имеет коразмерность, большую или равную 2. Класс дивизоров, принадлежащих линейной системе, заведомо подвижен, если проективная
размерность этой системы больше или равна 2 и она не имеет неподвижных
компонент.
Эти понятия и близкие к ним используются ниже многократно для доказательства неотрицательности различных индексов пересечения. Пример: пусть
𝑧 ∈ 𝐴1(𝑉 ) подвижен, 𝑦 ∈ 𝐴dim 𝑉 −1(𝑉 ) — класс неприводимой кривой. Тогда
(𝑧𝑦) ⩾ 0, если только 𝑦 не принадлежит пересечению носителей всех дивизоров
из |𝑧|, т. е. не является базисной кривой |𝑧|, если |𝑧| — линейная система.
1.2. Пусть 𝜙: 𝑉2 → 𝑉1 — морфизм гладких проективных многообразий. Он
определяет два отображения: 𝜙* : 𝐴(𝑉1) → 𝐴(𝑉2) (гомоморфизм градуированных колец с единицей) и 𝜙* : 𝐴(𝑉2) → 𝐴(𝑉1) (гомоморфизм градуированных
групп степени dim 𝑉1 − dim 𝑉2). Они связаны следующей «формулой проекции»:

𝜙*(𝑎2𝜙*(𝑎1)) = 𝜙*(𝑎2)𝑎1;
𝑎𝑖 ∈ 𝐴(𝑉𝑖).

(См. детали в семинаре Шевалле [6].)
Гомоморфизмы 𝜙* и 𝜙* определяются сначала на циклах, находящихся
в «достаточно общем положении» к морфизму 𝜙; затем устанавливается, что
в каждом классе есть такие циклы, и результат не зависит от выбора представителя. Мы будем напоминать конкретные конструкции там, где это потребуется.
Следующие свойства гомоморфизмов 𝜙* и 𝜙* будут постоянно использоваться ниже.
а) Пусть 𝜙: 𝑉2 → 𝑉1 — бирациональный морфизм (т. е. морфизм, являющийся бирациональным отображением) гладких проективных многообразий.
Тогда 𝜙* — вложение, а 𝜙* — сечение для него, то есть 𝜙*𝜙* = id. Поэтому

𝐴(𝑉2) = 𝜙*𝐴(𝑉1) ⊕ Ker 𝜙*.

Из формулы проекции видно, что Ker 𝜙* является также 𝜙*(𝐴(𝑉1))-модулем.
(Этот результат для моноидальных преобразований содержится в теореме Гротендика [9]; отсюда его можно вывести для любых бирациональных
морфизмов, над которыми доминирует композиция моноидальных преобразований. Последнее верно для всех таких морфизмов в характеристике 0 (Хиронака [7]) и в конечной характеристике для dim 𝑉 ⩽ 3 (Абьянкар [1]).)
б) Пусть 𝜙: 𝑉2 → 𝑉1 — моноидальное преобразование с гладким неприводимым центром, 𝐸 ⊂ 𝑉2 — прообраз центра, 𝑒 ∈ 𝐴1(𝑉2) — его класс. Тогда

𝐴1(𝑉2) = 𝜙*𝐴1(𝑉1) ⊕ Z𝑒,
𝜙*(𝑒) = 0.

в) Пусть 𝑐1(𝑉 ) ∈ 𝐴1(𝑉 ) означает первый класс Чженя; в условиях б) обозначим через 𝐵 центр 𝜙; тогда

𝑐1(𝑉2) = 𝜙*(𝑐1(𝑉1)) − 𝛿𝑒,
𝛿 = dim 𝑉 − dim 𝐵 − 1.

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота
9

В частности,
𝜙*(𝑐1(𝑉2)) = 𝑐1(𝑉1).

Из теоремы Римана — Роха — Гротендика [2] следует, что последнее равенство
справедливо для всех бирациональных морфизмов 𝜙.
г) Пусть dim 𝑉1 = dim 𝑉2 = 3. В условиях б), в) обозначим через 𝑏 класс 𝐵
в 𝐴(𝑉1). Положим еще

𝑓 =

{︃
класс прямой на 𝐸 при 𝛿 = 2

класс слоя на 𝐸 при 𝛿 = 1

}︃

∈ 𝐴2(𝑉2).

Тогда кольцо 𝐴(𝑉2) устроено следующим образом (см. [9]).
А д д и т и в н а я с т р у к т у р а:

𝐴(𝑉2) = 𝜙*𝐴(𝑉1) ⊕ Z𝑒 ⊕ Z𝑓;
𝜙*(𝑒) = 𝜙*(𝑓) = 0.

М ул ь т и п л и к а т и в н а я с т р у к т у р а:
при 𝛿 = 2 (т. е. 𝐵 — точка, 𝐸 — плоскость):

𝜙*𝐴(𝑉1) аннулирует 𝑒 и 𝑓;

𝑒2 = −𝑓;
(𝑒3) = −(𝑒𝑓) = 1;

при 𝛿 = 1 (т. е. 𝐵 — кривая, 𝐸 — линейчатая поверхность):

𝜙*𝐴1(𝑉1) аннулирует 𝑓;

𝜙*𝐴2(𝑉1) аннулирует 𝑒 и 𝑓;

𝜙*(𝑎)𝑒 = (𝑎𝑏)𝑓
∀ 𝑎 ∈ 𝐴1(𝑉 );

𝑒2 = −𝜙*(𝑏) + 𝛾𝑓;

(𝑒𝑓) = −1,
(𝑒3) = −𝛾,

где
𝛾 = 2 род 𝐵 − 2 + (𝑐1(𝑉1)𝑏).

(Формула (𝑒𝑓) = −1 при тех же определениях 𝑒 и 𝑓 справедлива и для
dim 𝑉 ̸= 3; мы используем это замечание в следующем параграфе, где лемма
Фано доказана в большей общности, чем это строго необходимо для дальнейшего.)

§ 2. Лемма Фано

2.1. Пусть 𝑉, 𝑉 ′ — гладкие проективные многообразия, 𝜒: 𝑉 → 𝑉 ′ — некоторое бирациональное отображение между ними. Здесь и в дальнейшем разрешением (особенностей) 𝜒 будет называться коммутативная диаграмма со следующими свойствами:
а) 𝜓 — бирациональный морфизм;
б) 𝜙𝑖+1,𝑖 : 𝑉𝑖+1 → 𝑉𝑖 — моноидальное преобразование с неприводимым гладким центром 𝐵𝑖 ⊂ 𝑉𝑖.

Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота

𝑉𝑁
𝜙𝑁,𝑁−1
𝜓

...

𝑉𝑖+1

𝜙𝑖+1,𝑖
𝑉𝑖

...

𝜙1,0
𝑉0 = 𝑉
𝜒
𝑉 ′.

Разрешение 𝜒 не определено однозначно; в следующем параграфе будет выделен более узкий класс разрешений со свойствами, нужными дальше; но для
формулировки и доказательства леммы Фано этого достаточно.
Положим далее:

𝐸𝑖 = прообраз 𝐵𝑖−1 в 𝑉𝑖 относительно 𝜙𝑖,𝑖−1;

𝑒𝑖 = класс 𝐸𝑖 ⊂ 𝐴1(𝑉𝑖);

𝑏𝑖 = класс 𝐵𝑖 ⊂ 𝐴𝛿𝑖+1(𝑉𝑖), где 𝛿𝑖 = dim 𝑉 − dim 𝐵𝑖 − 1;

𝑓𝑖 = {класс прямой в слое 𝐸𝑖} ⊂ 𝐴dim 𝑉 −1(𝑉𝑖).

Наконец, пусть для 𝑁 ⩾ 𝑖 ⩾ 𝑗 ⩾ 0

𝜙𝑖,𝑗 = 𝜙𝑗+1,𝑗 ∘ . . . ∘ 𝜙𝑖,𝑖−1 : 𝑉𝑖 → 𝑉𝑗;
𝜙𝑖,𝑖 = id .

Мы будем считать, что 𝐴(𝑉𝑗) ⊂ 𝐴(𝑉𝑖) относительно 𝜙*
𝑖𝑗 и 𝐴(𝑉 ′) ⊂ 𝐴(𝑉𝑁) относительно 𝜓* (см. 1.2 а)). Формально это означает, что в вычислениях в кольцах
Чжоу 𝐴(𝑉𝑖) и 𝐴(𝑉 ′) мы имеем право опускать символы отображений 𝜙*
𝑖𝑗 и 𝜓*,
оставляя лишь 𝜙𝑖𝑗* и 𝜓*. Особенно часто это соглашение употребляется при
вычислении индексов пересечений с помощью формулы проекции.
2.2. Л е м м а Ф а н о. В обозначениях п. 2.1 предположим, что выполнены
следующие условия:
а) группа 𝐴1(𝑉 ) циклична, 𝑐1(𝑉 )>0; пусть 𝑤 = [𝐴1(𝑉 ): Z𝑐1(𝑉 )] ⩾ 1;
б) задан класс обильного дивизора 𝑙′ ∈𝐴1(𝑉 ′), для которого при всех 𝑚⩾𝑚0
класс 𝑤𝑙′ − 𝑚𝑐1(𝑉 ′) неположителен.
Определим числа 𝑛, 𝜈𝑖 ∈ Z формулой в 𝐴1(𝑉𝑁):

𝑙′ = 𝑛

𝑤𝑐1(𝑉 ) −

𝑁
∑︁

𝑖=1
𝜈𝑖𝑒𝑖