Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Функции Грина. Задачи и решения.

Покупка
Артикул: 682521.01.99
Тема этого учебника квантовая физика систем, состоящих из большого числа частиц. Книга в форме сборника задач позволяет рассмотреть основные теоретические методы этого раздела физи- ки и одновременно охватить большой круг конкретных физических явлений. Задачи первой части книги подобраны так, чтобы на приме- ре известного читателю материала по нерелятивистской квантовой механике проиллюстрировать метод функций Грина. Задачи сопро- вождаются подробными решениями и комментариями, поясняющи- ми мотивировку и связь с разнообразными вопросами современной теории конденсированного состояния. В начале каждой главы крат- ко излагается основной материал по феймановской диаграммной технике. Вторая часть построена по той же схеме, что и первая. В нее включены задачи по нескольким актуальным разделам фи- зики конденсированного состояния. Это теория ферми-жидкости, неупорядоченные системы, сверхпроводимость и одномерные силь- но коррелированные системы. Помимо этого, во второй части рас- сматриваются вопросы, связанные с измерением функций отклика и гриновских функций. Книга предназначена для студентов старших курсов, специа- лизирующихся в области теоретической физики, физики твердого тела и низких температур, а также для аспирантов-физиков и на- учных работников.
Левитов, Л. С. Функции Грина. Задачи и решения. - :, 2016. - 400 с.: ISBN 978-5-4439-2480-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958761 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Л. С. Левитов, А. В. Шитов

ФУНКЦИИ ГРИНА

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Электронное издание

Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших
учебных заведений Российской Федерации по образованию
в области прикладных математики и физики
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по направлению «Прикладная математика и физика»,
а также по другим математическим и естественнонаучным
направлениям и специальностям в области техники и технологий

Издательство МЦНМО
Москва, 2016

УДК 530.145
ББК 22.31
Л36

Левитов Л. С., Шитов А. В.
Функции Грина. Задачи и решения
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2016
400 с.
ISBN 978-5-4439-2480-9

Тема этого учебника — квантовая физика систем, состоящих из
большого числа частиц. Книга в форме сборника задач позволяет
рассмотреть основные теоретические методы этого раздела физики и одновременно охватить большой круг конкретных физических
явлений.
Задачи первой части книги подобраны так, чтобы на примере известного читателю материала по нерелятивистской квантовой
механике проиллюстрировать метод функций Грина. Задачи сопровождаются подробными решениями и комментариями, поясняющими мотивировку и связь с разнообразными вопросами современной
теории конденсированного состояния. В начале каждой главы кратко излагается основной материал по феймановской диаграммной
технике. Вторая часть построена по той же схеме, что и первая.
В нее включены задачи по нескольким актуальным разделам физики конденсированного состояния. Это — теория ферми-жидкости,
неупорядоченные системы, сверхпроводимость и одномерные сильно коррелированные системы. Помимо этого, во второй части рассматриваются вопросы, связанные с измерением функций отклика
и гриновских функций.
Книга предназначена для студентов старших курсов, специализирующихся в области теоретической физики, физики твердого
тела и низких температур, а также для аспирантов-физиков и научных работников.

Подготовлено на основе книги: Л. С. Левитов, А. В. Шитов. Функции Грина. Задачи и решения. — Новое изд. — М.: МЦНМО, 2016. —
ISBN 978-5-4439-0264-7.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241–08–04.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2480-9
c⃝ Левитов Л. С., Шитов А. В., 2016.
c⃝ МЦНМО, 2016.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

I.
Теория возмущений
Г л а в а
1.
Квазичастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1. Вторичное квантование. Канонические преобразования . . . . . .
9
1.2. Задачи 1– 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3. Решения задач 1–4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4. От спиновых операторов — к фермиевским . . . . . . . . . . . . . . .
22
Г л а в а
2.
Функция Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.1. Представление взаимодействия. Хронологическое упорядочение
25
2.2. Задачи 5–10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.3. Решения задач 5–10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Г л а в а
3.
Квантовая механика одной частицы . . . . . . . . . . .
42
3.1. Функции Грина в задаче рассеяния. Теория возмущений . . . . .
42
3.2. Задачи 11–15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
3.3. Решения задач 11–15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Г л а в а
4.
Взаимодействующие частицы . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.1. Правила построения диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.2. Полюсы функции Грина — спектр квазичастиц . . . . . . . . . . . .
61
4.3. Задачи 16–21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.4. Решения задач 16–21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Г л а в а
5.
Идеальный ферми-газ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.1. Электроны на ферми-поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
5.2. Задачи 22–27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
5.3. Решения задач 22–27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Г л а в а
6.
Электроны и фононы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
6.1. Гамильтониан фононов. Диаграммная техника . . . . . . . . . . . .
108
6.2. Задачи 28–33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
6.3. Решения задач 28–33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
6.4. Эффект Пайерлса. Теория среднего поля . . . . . . . . . . . . . . . .
128
Г л а в а
7.
Диаграммная техника при конечных температурах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
7.1. Мацубаровское время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
7.2. Дискретные частоты. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
7.3. Задачи 34–42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
7.4. Решения задач 34–42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

II.
Методы теории многих тел
Г л а в а
8.
Теория ферми-жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
8.1. Квазичастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
8.2. Кинетическое уравнение. Коллективные моды . . . . . . . . . . . .
180
8.3. Приближение случайных фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
8.4. Задачи 43–49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
8.5. Решения задач 43–49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194

Оглавление

8.6. Энергия взаимодействия в металле. Вигнеровский кристалл . .
213
8.7. Микроскопическое обоснование теории ферми-жидкости . . . . .
215
Г л а в а
9.
Электроны в случайном потенциале . . . . . . . . . . .
220
9.1. Усреднение функций Грина по беспорядку . . . . . . . . . . . . . . .
220
9.2. Усреднение функций отклика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
9.3. Задачи 50–54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
9.4. Слабая локализация и мезоскопика. Задачи 55–57 . . . . . . . . . .
233
9.5. Решения задач 50–57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
9.6. Диаграммы без самопересечений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
9.7. Энергетический спектр неупорядоченной системы . . . . . . . . . .
270
Г л а в а
10.
Сверхпроводимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
10.1. Микроскопическая теория сверхпроводимости . . . . . . . . . . . . .
274
10.2. Функции Грина в сверхпроводнике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
10.3. Задачи 58–63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
10.4. Сверхпроводимость в присутствии беспорядка. Задачи 64–67. .
294
10.5. Решения задач 58–67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297
Г л а в а
11.
Измерение функций Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
11.1. Туннелирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
11.2. Неупругое рассеяние. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
11.3. Задачи 68–74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
11.4. Решения задач 68–74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
Г л а в а
12.
Бозонизация и латтинжеровская жидкость . . . . .
366
12.1. Гидродинамика одномерного ферми-газа . . . . . . . . . . . . . . . .
367
12.2. Коммутаторы операторов плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
368
12.3. Модель Томонаги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
12.4. От бозонов к фермионам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373
12.5. Задачи 75–82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377
12.6. Решения задач 75–82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
399

ПРЕДИСЛОВИЕ К НОВОМУ ИЗДАНИЮ

У сборников задач по физике, по удачному замечанию С. П. Капицы, много общего с волшебными сказками. Сказки помогают детям познать мир взрослых, задачи же служат аналогичной цели при
знакомстве студента с физикой. Так же как и сказки, задачи дают
студенту первое представление о мире физическом, о методах его
описания и путях познания. Элементарные задачи описывают условный мир точечных масс, невесомых нитей, идеальных газов и других
совершенных тел, подобный сказочному миру, населенному прекрасными принцессами, свирепыми драконами и добрыми волшебниками.
В таком мире силы добра и зла четко очерчены и нравственные
проблемы отличаются ясностью и однозначностью ответа. В задачах мы зачастую можем рассматривать условия малореальные, даже
фантастические; так же как сказки, такие задачи развивают наше
воображение. Более жизненные задачи постепенно приближают нас
к сложной картине реального научного процесса, где многие вопросы
требуют значительного труда даже для их формулировки, и, наконец,
более глубокое исследование часто приводит к расширению наших
представлений и дает возможность по-новому осмыслить проблему,
поставленную вначале. Так и со сборниками задач: часто более углубленное рассмотрение потребует либо новых расчетов, либо может
послужить поводом к более серьезным размышлениям.
Мы привели эти слова Капицы не только потому, что они задают
правильный настрой и дают представление о мотивации, из которой
обычно возникают задачи. В случае данного сборника сравнение со
сказками также неплохо описывает общую структуру и последовательность появления различных тем и сюжетов. Так, в задачах глав
1–7 много традиционных «фольклорных сюжетов», авторы которых
часто точно не известны. В задачах этих глав мы допускали высокую
степень идеализации материала, считая простоту более важной, чем
реалистичность. В задачах последующих глав приоритеты постепенно
меняются, реалистичность возрастает, а простота в некоторых случаях, увы, отходит на второй план. Многие задачи этих глав непосредственно связаны с вполне конкретной научной литературой и снабжены соответствующими ссылками. Тематика сборника обсуждается
более подробно в предисловии к первому изданию (см. ниже).
Нам хотелось бы поблагодарить А. Шеня, без помощи которого
это издание было бы невозможно. Мы признательны также В. Б.
Гешкенбейну, Ю. Г. Махлину, М. Ю. Рейзеру и А. Шнирману за ценные советы и указание на некоторые дефекты в первом издании
(Физматлит, 2003). Разумеется, вся ответственность за (неизбежные)
ошибки, имеющиеся в настоящей книге, лежит на авторах. Мы будем
признательны всем, кто пожелает указать на ошибки, опечатки, или
просто обсудить какой-либо связанный с книгой вопрос. Связать
Предисловие

ся с авторами проще всего по электронной почте: levitov@mit.edu,
avshytov@gmail.com (см. также http://www.mit.edu/∼levitov/book).

Из предисловия к первому изданию

Метод функций Грина, впервые предложенный Р. Фейнманом в
квантовой электродинамике, уже давно стал универсальным языком
всей теоретической физики. Знание диаграммной техники и умение
использовать функции Грина является неотъемлемой частью образования физика-теоретика, независимо от конкретной области его интересов. При этом студенту, желающему изучить эти методы, обычно
приходится вначале знакомиться с ними в рамках курса квантовой
теории поля, поскольку по историческим причинам в учебной литературе основное внимание уделялось именно этой области.
В теорию конденсированного состояния, изучающую квантовые
свойства твердых тел и других многочастичных систем, диаграммная техника прочно вошла еще в середине 50-х годов. Как нетрудно
проследить, практически все основные достижения в этой области
теоретической физики были так или иначе связаны с развитием диаграммной техники. Применение функций Грина в теории твердого
тела хорошо освещено в обширной литературе, центральное место в
которой занимает хорошо известная монография А. А. Абрикосова,
Л. П. Горькова и И. Е. Дзялошинского, «Методы квантовой теории
поля в статистической физике» [1]. Эта замечательная книга, к сожалению, не может считаться учебником в полном смысле слова,
поскольку в ней отсутствуют задачи, а кроме того предполагается,
что читатель отчасти знаком с методами квантовой теории поля.
В настоящее время, однако, студенты часто изучают методы функций Грина, используя книгу [1] или аналогичные пособия, не после
квантовой теории поля, а одновременно или даже несколько раньше.
Это связано с тем, что современная физика твердого тела достаточно
богата идеями и содержательными результатами, а теория конденсированного состояния имеет много связей с квантовой теорией поля.
Поэтому представляется полезным изложить необходимый для освоения диаграммной техники материал таким образом, чтобы он был
доступен студенту, знакомому лишь с основами квантовой механики.
Предлагаемая читателю книга возникла как попытка устранить
указанный пробел в учебной литературе. Основу книги составили
материалы занятий со студентами МФТИ в 1992–94 гг, в которых в
качестве учебника использовалась книга [1]. По собственному опыту
авторам известно, что читателю «вечнозеленой книги о функциях
Грина» приходится, как всегда при изучении трудного материала,
самому придумывать себе примеры и простые задачи. Исходной идеей
было — систематизировать этот опыт и снабдить читателя [1] достаточно интересными, но не слишком трудными задачами.

Предисловие
7

В процессе написания книги мы, следуя советам коллег, постарались сделать нашу книгу по возможности независимой от других
учебных пособий. Для этого в начале всех глав помещены вступительные разделы, в которых напоминается необходимый теоретический
материал, сравниваются различные подходы, кратко суммируются
основные теоретические положения, и т.п. После этого идут разделы
с задачами 1) и их подробными решениями. Иногда, если необходимо,
приведено несколько различных решений одной и той же задачи.
Помимо этого, чтобы пояснить мотивировку тех или иных задач, а
также указать связь с вопросами теории, представляющими интерес
в настоящее время и недостаточно освещенными в учебниках, мы
включили в книгу разнообразные отступления и «вставные новеллы».
Эти отступления помещены в конце соответствующих глав.
Книга состоит из двух частей, что соответствует разделению материала по двум различным уровням трудности. Часть I имеет вводный характер. Ее основная идея — на примере фактов, известных
читателю из курса квантовой механики, проиллюстрировать основные
положения метода функций Грина и, так сказать, пересказать квантовую механику одной частицы на языке диаграммной техники. Кроме
того, в первой части вводится аппарат функций Грина, отдельно при
нулевой и конечной температуре. При этом от читателя не требуется
предварительного знакомства с физикой твердого тела, поскольку
практически все используемые примеры имеют общефизический характер, а необходимый фактический материал изложен по ходу дела.
В часть II входят основные разделы современной теории твердого
тела, такие как теория ферми-жидкости, теория неупорядоченных систем, включая возникшую за последние 20 лет теорию слабой локализации и квантовых эффектов в проводимости, а также теория сверхпроводимости, и теория одномерных сильно-коррелированных систем.
В часть II включена также глава «Измерение функций Грина», цель
которой — установить связь между развиваемой теорией, опирающейся на функции Грина, и экспериментальными методами физики твердого тела. Кроме того, в этой главе сообщаются некоторые сведения
из физики твердого тела, не всегда знакомые студентам-теоретикам.
В заключение следует сказать, что отбор материала, легшего в
основу части II, в сильной степени определяется вкусами и научными
интересами авторов. При составлении задач мы стремились рассмотреть вопросы теории, представляющие интерес в настоящее время.
При этом, однако, мы постарались избежать превращения книги в
обзор современного состояния науки. Затронутые вопросы были выбраны в основном с точки зрения их общефизического интереса, а
также исходя из того, насколько хорошо они иллюстрируют общий
метод функций Грина.

1) Трудные задачи помечены знаком *. При первом чтении их можно
пропустить.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

EF — энергия Ферми;
p0 — фермиевский импульс;
vF — скорость Ферми;
ξp = vF (|p| − p0) — спектр электронов, линеаризованный вблизи
уровня Ферми;

ν0 =
mp0
2π2ℏ3 — плотность состояний трехмерного бесспинового фермигаза;

ν2D =
m

2πℏ2 — плотность состояний двухмерного бесспинового фермигаза;

ν1D =
m

πℏp0 — плотность состояний одномерного бесспинового фермигаза;

µB =
eℏ
2mc — магнетон Бора;

c — скорость звука;
ωD — дебаевская частота;
kD — дебаевский волновой вектор;
g — константа электрон–фононного взаимодействия;
ξ = g2ν0 — безразмерная константа электрон-фононного взаимодействия.
Постоянная Планка ℏ, если не оговорено особо, полагается равной
единице.

Ч а с т ь I
ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Г л а в а 1
КВАЗИЧАСТИЦЫ

1.1.
Вторичное квантование. Канонические
преобразования

Системы, состоящие из большого числа тождественных частиц,
удобно изучать, пользуясь методом вторичного квантования. Напомним основную идею этого метода, пока не уточняя вид частиц
(или квазичастиц). В задачах физики твердого тела этими частицами
могут быть, скажем, электроны, дырки, фононы и т. д.
Рассмотрим вначале систему бозе-частиц, каждая из которых может находиться в одном из состояний, образующих полную ортонормированную систему функций ⟨ψi(x)|ψj(x)⟩ = δij, i, j = 1, 2, 3, . . .
Многочастичная волновая функция задается в представлении чисел заполнения, указывающем сколько частиц занимают каждое
из состояний |ψi(x)⟩. Такие состояния могут быть записаны как
|n1, n2, . . . , ni, . . . ⟩, где числа заполнения ni принимают произвольные
целые неотрицательные значения, ni = 0, 1, . . . Канонические операторы рождения и уничтожения a+
i и ai вводятся следующим образом:

ai|n1, n2, . . . , ni, . . . ⟩ = √ni |n1, n2, . . . , ni − 1, . . . ⟩;

a+
i |n1, n2, . . . , ni, . . . ⟩ =
√

ni + 1 |n1, n2, . . . , ni + 1, . . . ⟩.
(1.1)

Коммутационные соотношения этих операторов оказываются такими
же, как для системы независимых осцилляторов:

[ai, a+
j ] = aia+
j − a+
j ai = δij,
[ai, aj] = [a+
i , a+
j ] = 0.
(1.2)

Далее, вводятся квантовые поля, описываемые ψ-операторами:

ψ(x) = i
aiψi(x) ;
ψ+(x) = i
a+
i ψ∗
i (x).
(1.3)

Поскольку функции ψi(x) выбраны так, что они образуют полную ортонормированную систему, коммутационные соотношения полей ψ(x)

Квазичастицы
[ Гл. 1

и ψ+(x) оказываются весьма простыми:

[ ψ(x), ψ+(x′)] = δ(x − x′),
[ ψ(x), ψ(x′)] = [ ψ+(x), ψ+(x′)] = 0.
(1.4)

Таким образом, систему произвольно большого числа тождественных
частиц можно представить как некое единое поле, нормальным модам
которого соответствуют независимые осцилляторы, причем индивидуальные частицы описываются как возбуждения этих осцилляторов.
В случае ферми-статистики представление чисел заполнения, а
также операторы рождения и уничтожения, их коммутационные соотношения и ψ-операторы вводятся сходным образом. Остановимся
на отличиях бозевского и фермиевского вторичного квантования. Вопервых, в силу принципа Паули, числа заполнения ni принимают
всего два значения: ni = 0, 1. Поэтому канонические операторы ai
и a+
i действуют так:

ai|n1, n2, . . . , ni, . . . ⟩ =
|n1, n2, . . . , 0, . . . ⟩
при ni = 1,
0
при ni = 0;
(1.5)

a+
i |n1, n2, . . . , ni, . . . ⟩ =
0
при ni = 1,
|n1, n2, . . . , 1, . . . ⟩
при ni = 0.

Во-вторых, антисимметрия многочастичного состояния по отношению
к перестановке частиц приводит к антикоммутативности ai и a+
j :

[a+
i , aj]+ = a+
i aj + aja+
i = δij,
[ai, aj]+ = [a+
i , a+
j ]+ = 0.
(1.6)

При этом алгебра операторов полей (1.3) оказывается такой:

[ ψ(x), ψ+(x′)]+ = δ(x − x′),

[ ψ(x), ψ(x′)]+ = [ ψ+(x), ψ+(x′)]+ = 0.
(1.7)

Удобство представления вторичного квантования заключается в
том, что связь между одно- и многочастичной задачами на языке
ψ-операторов оказывается весьма простой. Например, нетрудно проверить, что гамильтониан системы невзаимодействующих бозе- или
ферми-частиц, имеющих массу m и движущихся в потенциале U(r),
записывается так:

H =
− ℏ2

2m
ψ+(r)∇2 ψ(r) + ψ+(r) ψ(r)U(r)
d3r.
(1.8)

А если частицы взаимодействуют по закону V (r1 − r2), то гамильтониан нужно просто дополнить членом

Hint = 1

2

ψ+(r1) ψ+(r2)V (r1 − r2) ψ(r2) ψ(r1) d3r1d3r2.
(1.9)

Вторично-квантованный оператор плотности ρ(r) = ψ+(r) ψ(r) является многочастичным эквивалентом одночастичного выражения

1.1 ]
Канонические преобразования
11

|ψ(r)|2 для плотности вероятности. Интеграл от ρ(r), взятый по всему
пространству, есть оператор полного числа частиц в системе:

N =
ψ+(r) ψ(r) d3r.
(1.10)

Подчеркнем, что выражения (1.8)–(1.10) имеют один и тот же вид и
для фермионов, и для бозонов.
Остановимся теперь на важном понятии канонического преобразования и на том, как эти преобразования выглядят в представлении
вторичного квантования. Напомним, что в классической механике
канонические преобразования фазового пространства (p, q) → (p′, q′)
вводятся с помощью скобок Пуассона {. . . }, причем роль этих преобразований заключается в том, что они сохраняют гамильтонову
форму уравнений движения: ˙p = {p, H}, ˙q = {q, H}.
В квантовой механике роль скобок Пуассона переходит к коммутаторам. (Например, в представлении Гейзенберга уравнения движения
имеют вид iℏ∂t A = [ A, H ].) Поэтому каноническими называют преобразования физических величин, сохраняющие коммутационные соотношения операторов. Как и в классической механике, канонические
преобразования важны, поскольку они сохраняют форму уравнений
движения.
Подобрав каноническое преобразование, часто возможно перейти
от взаимодействующих частиц к невзаимодействующим квазичастицам. Наиболее часто рассматривают линейные преобразования канонических операторов (бозонов или фермионов)

ai = j

Uijaj + Vija+
j
,
a+
i = j

V ∗
ijaj + U ∗
ija+
j
,
(1.11)

называемые преобразованиями Боголюбова. Одним из важных применений таких преобразований является отыскание спектра и собственных состояний гамильтонианов, квадратичных по ai и a+
i . Нетрудно
проверить, что произвольный гамильтониан такого вида может быть
приведен к диагональной форме с помощью соответствующим образом подобранного преобразования (1.11):

H = ij

h(1)
ij a+
i aj + h(2)
ij aiaj
+ h.c. = i
εia+
i ai + ⟨0| H|0⟩.
(1.12)

Энергии εi дают спектр квазичастиц, а константа ⟨0| H|0⟩ представляет собой так называемую энергию нулевых колебаний.
Преобразования (1.11) являются каноническими, если они сохраняют коммутационные соотношения:

[ai, aj]± = 0,
[ai, a+
j ]± = δij.
(1.13)