Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

А. Б. Скопенков

Алгебраическая топология
с геометрической точки зрения

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 515.14
ББК 22.152
С44

Скопенков А. Б.
Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2016
269 с.
ISBN 978-5-4439-2477-9

В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты математики, важные для приложений: маломерные многообразия и векторные поля на них, непрерывные отображения и их деформации.
Показано, как при решении геометрических проблем естественно возникают основные идеи, понятия и методы алгебраической топологии:
группы гомологий, препятствия и инварианты, характеристические
классы.
Основные идеи представлены на простейших частных случаях,
свободных от технических деталей, со сведением к необходимому минимуму алгебраического языка. За счет этого книга доступна для начинающих, хотя содержит красивые сложные результаты. Для ее изучения желательно минимальное знакомство с графами, векторными
полями и поверхностями, хотя все необходимые определения приводятся в начале. Часть материала преподнесена в виде задач, к большинству из которых приведены указания.
Книга предназначена для студентов, аспирантов, работников науки и образования, изучающих и применяющих алгебраическую топологию.

Подготовлено на основе книги:
Скопенков А. Б. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения. — М: МЦНМО, 2015 — ISBN 978-5-4439-0293-7.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241–08–04.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2477-9
c⃝ Скопенков А. Б., 2016.
c⃝ МЦНМО, 2016.

Посвящается памяти Юрия Петровича Соловьёва

Содержание

§ 1. Введение
1.1. Зачем эта книга
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Содержание и используемый материал . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3. Для специалистов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4. Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Обозначения и соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6. Словарик по теории графов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.7. Примеры поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

§ 2. Наглядные задачи о поверхностях
2.1. Наглядные задачи о графах на поверхностях . . . . . . . . . .
21
2.2. Применения неравенства Эйлера
. . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3. Наглядные задачи о разрезаниях . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность) . . . . . .
27
2.5. Топологическая эквивалентность дисков с ленточками . . . . .
31
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
33

§ 3. Векторные поля на плоскости
3.1. Интересные примеры и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений .
43
3.3. Число оборотов вектора и его применения . . . . . . . . . . . .
45
3.4. Гомотопическая классификация векторных полей
. . . . . . .
48
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
50

§ 4. Векторные поля на двумерных поверхностях
4.1. Касательные векторные поля для сферы . . . . . . . . . . . . .
55
4.2. Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы . . . . .
56
4.3. Векторные поля и гомотопии для тора . . . . . . . . . . . . . .
58
4.4. Векторные поля и гомотопии для других поверхностей
. . . .
59
4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия . . . . . . . . . . .
61
4.6. Касательные векторные поля общего положения . . . . . . . .
64
4.7. Построение касательных векторных полей по триангуляции
.
67
4.8. Нормальные векторные поля для двумерных поверхностей . .
71
4.9. Построение гомологического инварианта векторных полей
. .
73
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
76

Содержание
5

§ 5. Двумерные многообразия
5.1. Гомеоморфность графов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.2. Двумерные симплициальные комплексы и их гомеоморфность
81
5.3. Локально евклидовы двумерные комплексы . . . . . . . . . . .
84
5.4. Ориентируемость локально евклидовых 2-комплексов . . . . .
86
5.5. Эйлерова характеристика 2-комплексов
. . . . . . . . . . . . .
87
5.6. Классификация двумерных многообразий . . . . . . . . . . . .
89
5.7. Препятствие Уитни к вложимости
. . . . . . . . . . . . . . . .
91
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
93

§ 6. Гомологии двумерных многообразий
6.1. Критерий ориентируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.2. Ориентируемость: циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.3. Ориентируемость: гомологичность циклов . . . . . . . . . . . .
97
6.4. Ориентируемость: гомологии и первый класс Штифеля—Уитни 99
6.5. Форма пересечений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 104

§ 7. Инволюции
7.1. Примеры инволюций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2. Классификация инволюций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3. Другое доказательство теоремы классификации инволюций
. 112

§ 8. Векторные поля на многомерных поверхностях
8.1. Векторные поля на подмножествах евклидова пространства
. 115
8.2. Поверхности и векторные поля на них . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3. Отображения трехмерной сферы в двумерную
. . . . . . . . . 121
8.4. Классификация касательных векторных полей . . . . . . . . . 124
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 125

§ 9. Параллелизуемость трехмерных поверхностей
9.1. Исторические замечания и формулировки результатов . . . . . 129
9.2. Погружения и лемма о тривиальности . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3. Характеристические классы для 3-многообразий . . . . . . . . 134
9.4. Простое доказательство теоремы Штифеля . . . . . . . . . . . 139
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 140

§ 10. Трехмерные многообразия
10.1. Трехмерные комплексы и их гомеоморфность . . . . . . . . . 144
10.2. Трехмерные многообразия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3. Край, ориентируемость, эйлерова характеристика . . . . . . . 149
10.4. Гомологии трехмерных многообразий . . . . . . . . . . . . . . 150

Содержание

10.5. Фундаментальная группа и накрытия (набросок) . . . . . . . 153
10.6. Конструкции трехмерных многообразий (набросок) . . . . . . 158
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 159

§ 11. Наборы векторных полей
11.1. О существовании наборов касательных полей
. . . . . . . . . 162
11.2. Характеристические классы для 4-многообразий
. . . . . . . 163
11.3. Определение групп гомологий и формы пересечений . . . . . 166
11.4. Характеристические классы для n-многообразий
. . . . . . . 169
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 171

§ 12. Непогружаемость и невложимость
12.1. Основные результаты о непогружаемости и невложимости . . 175
12.2. Доказательства непогружаемости
. . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.3. Нормальные классы Уитни как препятствия (набросок) . . . 181
12.4. Степени двойки и классы Штифеля—Уитни (набросок)
. . . 182
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 185

§ 13. Расслоения и их применения
13.1. Простейшие расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2. Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.3. Классификация расслоений (набросок) . . . . . . . . . . . . . 196
13.4. Приложение: классификация сечений . . . . . . . . . . . . . . 199
13.5. Приложение: применение к гамильтоновым системам . . . . . 202
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 203

§ 14. Общие свойства гомологий
14.1. Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
14.2. Гомологии пары, вырезание и точная последовательность . . 207
14.3. Другие точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.4. Двойственность Александера и ее применения . . . . . . . . . 211
14.5. Двойственность Александера—Понтрягина . . . . . . . . . . . 214
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 216

§ 15. Гомотопическая классификация и ее применения
15.1. Введение. Групповая структура
. . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.2. Точная последовательность расслоения . . . . . . . . . . . . . 224
15.3. Классификация погружений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15.4. Набросок доказательства теоремы Кервера . . . . . . . . . . . 229
15.5. Гомотопические группы сфер (набросок) . . . . . . . . . . . . 232
15.6. Реализация циклов подмногообразиями (набросок) . . . . . . 233
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 235

Содержание
7

§ 16. Препятствия к кобордантности
16.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
16.2. Эйлерова характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.3. Сигнатура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.4. Числа Штифеля—Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.5. Числа Понтрягина и формула Хирцебруха . . . . . . . . . . . 243
16.6. Пример сферы Милнора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.7. Набросок доказательства теоремы Кервера—Милнора
. . . . 247
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 249

§ 17. Заузливания и гомотопии
17.1. Определение изотопии и инвариант дополнения . . . . . . . . 253
17.2. Теоремы Уайтхеда и Гуревича . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.3. Приложение: приклеивающий инвариант . . . . . . . . . . . . 258
17.4. Приложение: другие категории и коразмерность 1 . . . . . . . 260
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 262

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

§ 1. Введение

Nothing was changed, but now it made sense.

U. K. Le Guin. The Beginning Place1

1.1. Зачем эта книга

Лучшие результаты любой математической теории — важные и интересные теоремы, в формулировках которых нет понятий из этой теории, но при доказательствах которых без нее не обойтись. К сожалению, в большинстве учебников такие результаты недостаточно доступны. Формулировки красивых результатов и важных проблем, ради
которых была придумана теория, приводятся только после продолжительного изучения этой теории (или не приводятся совсем). Это способствует появлению представления о математике как о науке, изучающей
немотивированные понятия и теории. Такое представление принижает
ценность математики.
Таких блистательных результатов в алгебраической топологии много. Для удобства читателя в этой книге они выделены жирным шрифтом и, как правило, собраны в начале параграфов (вместе с краткой историей вопроса). Алгебраическая топология является фундаментальной частью математики и имеет применения за ее пределами. Как и в любой фундаментальной теории, ее основные мотивировки
и идеи можно доступно изложить человеку, не имеющему глубоких специальных познаний. Такому изложению посвящена эта книга (вместе
с [ST34, BE82, Pr15, An03, PS97, E84, FT07, Sk09, Sk, Sk′] и другими
книгами). Ее особенность — возможность познакомиться с этими мотивировками и идеями на «олимпиадных» примерах, т. е. на простейших
частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением
к необходимому минимуму алгебраического языка. Благодаря этому
я надеюсь сделать алгебраическую топологию более доступной и интересной — в первую очередь студентам и работающим в других областях
математикам.
В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты математики, полезные для приложений: маломерные многообразия и векторные
поля на них, непрерывные отображения и их деформации. Приводятся

1Ничего не изменилось, но теперь все было понятно. (У. К. Ле Гуин. Изначальное
место. Пер. автора.)

1.1. Зачем эта книга
9

естественные построения для решения интересных топологических проблем и изящные доказательства красивых теорем с ясными и доступными формулировками. Показано, как при этом возникают полезные алгебраические понятия (группы гомологий, характеристические классы
и т. д.)1. Именно на таких естественных построениях и доказательствах
можно по-настоящему прочувствовать более общий теоретический материал (а при наличии некоторой математической культуры — и воссоздать его). Изучение, начинающееся с длительного освоения немотивированных общих понятий и теорий, делает малодоступными замечательные методы алгебраической топологии2. Часто изучившие курс
могут воспроизвести сложную теорию, но не могут применить ее в простейшей ситуации, если не указано, что этой теорией нужно воспользоваться.
Новые вводимые понятия мотивированы тем, что интересно человеку, не считающему их интересными «сами по себе», и человеку, не интересующемуся специально топологией (но уже имеющему некоторое математическое образование). Например, доказательством красивой теоремы, решением важной задачи, осмыслением естественной идеи. Определения новых понятий естественно появляются (и будут четко сформулированы) в этой ситуации, и потому их не обязательно знать заранее.
В то же время для тех, кто уже изучал алгебраическую топологию, ее
применение к конкретным задачам обычно оказывается нетривиальным
и интересным.
Изложение построено «от частного к общему», «от простого к сложному», см. п. 1.2. Путь познания в какой-то мере повторяет путь развития. Такое изложение продолжает традицию, восходящую к древно
1Важнейшие геометрические проблемы, ради которых была создана алгебраическая топология, в свою очередь были мотивированы предыдущим развитием математики (причем не только геометрии, но и анализа и алгебры). Мотивировать
эти геометрические проблемы не входит в цели настоящей книги. Я либо привожу ссылки, либо апеллирую к непосредственной геометрической любознательности
читателя.
2Приведу лишь один пример из многих. Еще в XIX веке был придуман очень
простой, наглядный и полезный инвариант многообразий — форма пересечений,
т. е. умножение в гомологиях поверхностей (п. 6.5, [Hi95]). Замечательным открытием Колмогорова и Александера 1930-х годов явилось обобщение этого инварианта
на произвольные полиэдры (умножение в когомологиях). Умножение Колмогорова—Александера менее наглядно и определяется более громоздко, чем форма пересечений, но зато имеет более продвинутые применения. Определение формы пересечений через умножение Колмогорова—Александера делает малодоступными ее
замечательные применения. Поэтому форму пересечений иногда просто переоткрывают [Mo89].

§ 1. Введение

сти [P]. В современном преподавании математики она представлена, например, журналом «Квант» и книгами «квантовских» авторов. Более
подробно см. [Z09, стр. 9—14]. Интересно, что приводимое изложение
мне приходилось сначала переоткрывать и лишь потом убеждаться, что
первооткрыватели рассуждали так же, ср. [Hi95].
Надеюсь, принятый стиль изложения не только сделает материал
более доступным, но позволит сильным студентам (для которых доступно даже абстрактное изложение) приобрести математический вкус. Он
необходим, чтобы разумно выбирать проблемы для исследования, а также ясно излагать собственные открытия, не скрывая ошибок (или известности полученного результата) за чрезмерным формализмом. К сожалению, такое (непреднамеренное) сокрытие ошибок часто происходит с математиками, воспитанными на чрезмерно формальных курсах.
Такое происходило и с автором этих строк; к счастью, почти все мои
ошибки исправлялись перед публикациями.
Чтение этой книги и решение задач потребуют от читателя усилий.
Однако эти усилия будут сполна оправданы тем, что вслед за великими математиками XX века в процессе изучения геометрических проблем
читатель откроет некоторые основные понятия алгебраической топологии. Надеюсь, это поможет ему совершить собственные настолько же
полезные открытия (не обязательно в математике)!
Основная идея. Алгебраическая топология основана на следующей простой идее, часто встречающейся при решении школьных (в частности, олимпиадных) задач. Невозможность некоторой конструкции
можно доказывать путем построения алгебраического препятствия
(называемого также инвариантом). Примером служит четность. Точно так же неэквивалентность конструкций часто доказывается путем
построения алгебраического инварианта, их различающего (этот инвариант является препятствием к эквивалентности). Многие непохожие
друг на друга задачи топологии естественно приводят к похожим препятствиям. В этой книге препятствия-инварианты, являющиеся целыми числами или вычетами по модулю 2, есть почти в каждом параграфе.
А группы гомологий появляются только в п. 4.9 и § 6.
Таким образом, значительная часть алгебраической топологии — это
изучение геометрических задач при помощи дискретных, комбинаторных (в частности, алгебраических) методов. Алгебраическую топологию раньше называли комбинаторной.
Применения теории препятствий разбиваются на два шага. Первый
и обычно более простой шаг — получение необходимого условия на языке теории препятствий. Он приводится в этой книге. Второй и более

1.2. Содержание и используемый материал
11

сложный шаг — вычисление появляющихся препятствий. Он приводится лишь в виде наброска, цикла задач или просто ссылки (поскольку,
по моему мнению, второй шаг лучше описан в литературе, чем первый).
Замечу, что в простейших ситуациях очевидно, что полученное необходимое алгебраическое условие является достаточным. А вот для более
сложных геометрических проблем, которые здесь не приводятся (например, о классификации многообразий или вложений), труднее всего
именно доказать достаточность полученного необходимого условия.

1.2. Содержание и используемый материал

Книга предназначена в первую очередь для читателей, не владеющих алгебраической топологией (хотя, возможно, часть ее будет интересна и специалистам). Все необходимые алгебраические объекты
(со страшными названиями «группы гомологий», «характеристические
классы» и т. д.) естественно возникают и строго определяются в процессе исследования геометрических проблем. Для удобства читателя
в п. 1.6, 1.7 приведены определения графов и простейших поверхностей.
В книге сначала показаны те идеи, которые видны на двумерных
многообразиях («поверхностях») (§ 2—7). Затем — идеи, которые видны
на трехмерных многообразиях (§ 8—10; § 8 интересен даже для частного случая трехмерных многообразий). Только потом рассматриваются
многомерные многообразия. При этом двумерные и трехмерные многообразия все-таки интересны мне не сами по себе, а как простые объекты для демонстрации идей, приносящих наиболее значительные плоды
для многомерного случая. Характеристические классы по-настоящему
незаменимы только для многообразий размерности выше трех.
Для многообразий методы алгебраической топологии наиболее наглядны. Это позволяет быстро добраться до по-настоящему интересных
и сложных результатов. В этой книге собраны некоторые результаты
и методы, касающиеся именно многообразий, а не полиэдров («многомерных графов»). Впрочем, для более глубокого изучения многообразий полиэдры все-таки понадобятся.
Ниже приведена схема существенной зависимости параграфов. Явные ссылки приведены и в тексте. Такие ссылки не отражены в схеме,
если в одном параграфе используется результат из другого, но необходима только формулировка результата, а не более глубокое его понимание.
Пунктир в схеме означает, что один параграф нужен для мотивировки
другого, но формально не используется в нем. Номера пунктов у стрелки означают, что используются только эти пункты (п. 15.5 используется

§ 1. Введение

1.6
2
5
6

6.4
1.7

7
10

10.4
10.4
14

14.2

3
4
4.5

8
8.2
8.1, 8.3
9
9.3 9.3

11
11.4 11.3

12
12.3 13
16

15
15.1 15.5, 16.7

17

только в п. 16.7 параграфа 16). Итак, начинать изучение книги можно
с § 2 или § 3.
Сложность материала (и количество используемых понятий) внутри
каждого параграфа растет. Поэтому вполне разумно переходить к новому параграфу, отложив на потом изучение окончания старого.
При изучении примеров, мотивирующих общее понятие групп гомологий, возникают все новые и новые частные случаи (п. 4.6, 4.7, 4.9,
5.7, 6.1—6.4, 7.3, 8.2, 8.4, 9.3, 11.2). Полезно продумать несколько таких
примеров перед знакомством с абстрактным изложением этого понятия
в п. 11.3. Формально п. 11.3 не зависит от многих предыдущих параграфов. Но в нем нет ответа на вопрос «зачем», важного для начала
изучения любой теории.
Задачи. Больш´ая часть материала сформулирована в виде задач.
Красивые наглядные задачи, для решения которых не нужно никаких
знаний, приведены уже в самом начале. Номера задач обозначаются
жирным шрифтом. Если задача выделена словом «теорема» («следствие» и т. д.), то ее утверждение важное.
Обучение путем решения задач не только характерно для серьезного изучения математики, но и продолжает древнюю культурную традицию. Например, послушники дзэнских монастырей обучаются, размышляя над загадками, данными им наставниками [S].
Следует подчеркнуть, что многие задачи не используются в остальном тексте. В задачах сформулированы интересные и полезные факты
или изложены идеи доказательства теорем. Читателю полезно ознакомиться с самими фактами и понимать идеи доказательств, даже если
детали останутся недоступными. Приводимые формулировки задач могут быть путеводителем по другим учебникам по алгебраической топологии, позволяя намечать интересные конечные цели и отбрасывать

1.3. Для специалистов
13

материал, не являющийся для этих целей необходимым. Полезнее всего
обсуждать со специалистом как решения задач, так и возникающие при
решении трудности.
Для решения каждой задачи без звездочки достаточно знакомства
с настоящим текстом и не требуется никаких дополнительных понятий и теорий. Если используемые в задаче термины не определены в
этом тексте и вам незнакомы, то соответствующую задачу следует просто игнорировать. Как правило, формулировка утверждения приводится перед его доказательством. (Часто происходит обратное, см. начало
п. 1.1.) В таких случаях для доказательства утверждения могут потребоваться следующие задачи. (На занятии задача-подсказка дается только тогда, когда студент подумал над самой задачей.) К важнейшим задачам приводятся указания и решения. Они расположены в конце каждого параграфа. Однако к ним стоит обращаться после прорешивания
каждой задачи.
В указаниях к некоторым задачам встречаются ссылки на web-страницу книги ([A] по состоянию на 20 февраля 2015 г.). Если, паче чаяния,
ее адрес изменится, ее можно будет найти с помощью поисковых систем
(возможно, через домашнюю страницу автора).
Общее замечание к формулировкам задач: если условие задачи является формулировкой утверждения, то подразумевается, что это утверждение требуется доказать.

1.3. Для специалистов

В § 9 приводится набросок простого доказательства теоремы Штифеля о параллелизуемости ориентируемых трехмерных многообразий.
Оно получено из обычно приводимого в книгах отбрасыванием обозначений и терминов, не нужных для него, но нужных для чего-то другого.
Оно проще и доказательства из [Ki89], см. п. 9.2. В § 11—13 приводится набросок простого доказательства теорем об алгебрах с делением
и о невложимости проективных пространств. В п. 16.2, 16.3, 16.6 приведены красивые важные задачи по основам теории гомологий, которые
могут быть использованы на семинарах по этой теме.
По возможности приводятся ссылки на книги и обзоры, а не на оригинальные статьи.
Стандартная терминология теории препятствий не используется
там, где (по мнению автора) она неудобна для начинающего. Приведем здесь сравнение обычной терминологии и принятой в книге. Расстановки элементов группы G на i-симплексах триангуляции T — то