Задачи и теоремы линейной алгебры

Задачи 
и теоремы 
линейной 
алгебры

В. В. Прасолов

ISBN 978-5-4439-0220-3

9 785443 902203 >

В книге с полными доказательствами изложены теоремы линейной алгебры, полученные за последние годы и не вошедшие 
в учебную литературу, но вполне доступные 
студентам младших курсов. Приведены также нестандартные изящные доказательства 
известных теорем. Написанная четко, простым и ясным языком, книга блестяще подтверждает мысль об изменчивом облике 
линейной алгебры – этого традиционного 
раздела математики, постоянно обогащаемого в процессе решения конкретных задач. 
Новое издание существенно переработано 
и расширено по сравнению с предыдущим.

В. В. Прасолов  
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

В. В. Прасолов

Задачи и теоремы
линейной алгебры

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 512.64
ББК 22.143
П70

Прасолов В. В.
Задачи и теоремы линейной алгебры
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2016
575 с.
ISBN 978-5-4439-2475-5

Изложены с полными доказательствами теоремы линейной алгебры, полученные за последние годы и не вошедшие в учебную литературу, но вполне доступные студентам младших курсов. Приведены
также нестандартные изящные доказательства известных теорем. Написанная четко, простым и ясным языком, книга блестяще подтверждает мысль об изменчивом облике линейной алгебры –– этого старого раздела математики, постоянно обогащаемого в процессе решения
конкретных задач. Новое издание существенно переработано и расширено по сравнению с предыдущим.
Для научных работников –– математиков и физиков. Может быть
использована аспирантами и студентами соответствующих специальностей.

Подготовлено на основе книги: В. В. Прасолов. Задачи и теоремы
линейной алгебры. –– Новое изд., перераб. –– М.: МЦНМО, 2016. ––
ISBN 978-5-4439-0220-3.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241–08–04.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2475-5
c⃝ В. В. Прасолов, 2016.
c⃝ МЦНМО, 2016.

Оглавление

Предисловия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Основные обозначения и соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Глава 1. Определители

Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

§ 1.
Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.1. Определение (21)•1.2. Некоторые свойства определителя (24)•1.3. Определитель произведения матриц (25) • 1.4. Правило Крамера (26) • 1.5. Определитель Вандермонда (26) • 1.6. Интерполяционный многочлен Лагранжа (27) •
1.7. Определитель, сводящийся к определителю Вандермонда (28) • 1.8. Определитель Коши (29) • 1.9. Матрица Фробениуса (31) • 1.10. Циркулянт (31) •
1.11. Матрица Якоби (34)•1.12. Определитель Смита (35)•1.13. Определитель
преобразованной матрицы (36)•1.14. Степени степенного ряда (37)•1.15. Биномиальные определители (38).

§ 2.
Миноры и алгебраические дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1. Определение минора (44) • 2.2. Ранг матрицы (44) • 2.3. Формула Бине–
Коши (45) • 2.4. Алгебраическое дополнение минора (46) • 2.5. Присоединённая матрица (47) • 2.6. Миноры присоединённой матрицы. Тождество Якоби (49) • 2.7. Тождество Льюиса Кэрролла (51) • 2.8. Ассоциированная матрица (52) • 2.9. Обобщённое тождество Сильвестра (52) • 2.10. Миноры матрицы
Якоби (54) • 2.11. Миноры матрицы Грина (54) • 2.12. Вполне положительные
матрицы (55) • 2.13. Теорема Митчелла (56) • 2.14. Теорема Чеботарёва (58).

§ 3.
Дополнение по Шуру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1. Определитель блочной матрицы (61) • 3.2. Обращение блочной матрицы (63) • 3.3. Теорема Хейнсворт (64) • 3.4. Пфаффиан (65).

§ 4.
Симметрические функции. Суммы степеней. Числа Бернулли 66

4.1. Примеры симметрических многочленов (67) • 4.2. Основная теорема о
симметрических многочленах (69) • 4.3. Сумма степеней (71) • 4.4. Теорема
Фаульгабера–Якоби (72) • 4.5. Числа Бернулли (74) • 4.6. Функции Шура (76)

Оглавление

• 4.7. Формула Джамбелли (79) • 4.8. Скалярное произведениев пространстве
симметрических многочленов (80) • 4.9. Комбинаторное определение функций
Шура (82).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Глава 2. Линейные пространства

Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

§ 5.
Двойственное пространство. Ортогональное дополнение . . 109

5.1. Линейно независимые векторы (109) • 5.2. Двойственное пространство (111)•5.3. Двойственный оператор (112)•5.4. Отождествление V и V * при
наличии метрики (112) • 5.5. Системы линейных уравнений (113) • 5.6. Разрезание прямоугольника на квадраты (114) • 5.7. Количество треугольников среди частей, на которые прямые разрезают плоскость (116)•5.8. Аннулятор (117)
• 5.9. Скалярное произведение в пространстве матриц (118) • 5.10. Аффинное
пространство (119).

§ 6.
Ядро и образ оператора. Факторпространство. . . . . . . . . . . 123

6.1. Ядро и образ оператора (123) • 6.2. Альтернатива Фредгольма (124) •
6.3. Теорема Кронекера–Капелли (125) • 6.4. Факторпространство (127) •
6.5. Точные последовательности (127).

§ 7.
Базисы. Линейная независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.1. Характеристический многочлен оператора (129) • 7.2. Ориентация (130) •
7.3. Решётки (131) • 7.4. Свободные абелевы группы (132) • 7.5. Теорема об
обмене векторов базисов (133)•7.6. Разбиение Rn на многогранные углы (134)
• 7.7. Линейная зависимость степеней оператора (136).

§ 8.
Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1. Неравенства для ранга матрицы (139)•8.2. Другое определение ранга (139)
• 8.3. Подпространства матриц ограниченного ранга (140).

§ 9.
Подпространства. Ортогонализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.1. Размерность пересечения двух пространств (144) • 9.2. Ортогонализация
Грама–Шмидта (144) • 9.3. Ортогональные проекции (146) • 9.4. Симметрия
относительно подпространства (147) • 9.5. Угол между вектором и подпространством (149)•9.6. Проекции ортонормированных базисов (150)•9.7. Равные проекции ортогональных векторов (152) • 9.8. Определители, составленные из скалярных произведений (154) • 9.9. Системы подпространств (155) •
9.10. Теорема Шерка (156).

§ 10. Ортогональные многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

10.1. Общие свойства (160) • 10.2. Многочлены Лежандра (161) • 10.3. Многочлены Эрмита (163) • 10.4. Многочлены Чебышёва (165).

Оглавление
5

§ 11. Комплексификация и овеществление. Эрмитовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

11.1. Комплексификация (166) • 11.2. Овеществление (167) • 11.3. Эрмитовы пространства (168) • 11.4. Унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы операторы (169) • 11.5. Нормальные операторы (170) • 11.6. Комплексные структуры (171) • 11.7. Комплексно сопряжённое пространство (173) • 11.8. Метрика
Фубини–Штуди (174) • 11.9. Кэлеров угол (175).

§ 12. Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

12.1. Тождество параллелограмма (179) • 12.2. Эквивалентные нормы (180) •
12.3. Метрическое определение середины отрезка (182) •12.4. Изометрические
отображения (184) • 12.5. Неравенства для норм (185) • 12.6. Двойственная
норма (186).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Глава 3. Канонические формы матриц и линейных операторов

§ 13. След и собственные значения оператора. . . . . . . . . . . . . . . 205

13.1. След (205) • 13.2. Собственные векторы и собственные значения (205) •
13.3. Диагонализируемые операторы (206) •13.4. Спектр матрицы Якоби (208)
• 13.5. Собственные значения полинома от матрицы (209) • 13.6. Собственные
значения матриц AB и BA (211) • 13.7. Собственные значения и суммы элементов столбцов (211) • 13.8. Матрица Каца (213) • 13.9. Теорема Годдарда–
Шнайдера (213).

§ 14. Жорданова нормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

14.1. Подобные матрицы (216)•14.2. Существование и единственность жордановой формы (217) • 14.3. Возведение матрицы в степень (220) • 14.4. Жорданова форма над R (220) • 14.5. Аддитивная и мультипликативная запись жордановой формы (221) • 14.6. Классификация Кронекера пар линейных операторов (223).

§ 15. Минимальный многочлен и характеристический многочлен 229

15.1. Минимальный многочлен (229) • 15.2. Теорема Гамильтона–Кэли (231)
• 15.3. Критерий совпадения характеристического и минимального многочленов (231) • 15.4. Обобщения теоремы Гамильтона–Кэли (232).

§ 16. Каноническая форма Фробениуса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

16.1. Циклические клетки (235) • 16.2. Характеристический многочлен циклической клетки (236).

§ 17. Приведение диагонали к удобному виду . . . . . . . . . . . . . . . 237

17.1. Все диагональные элементы, кроме одного, равны нулю (237) • 17.2. Все
диагональные элементы равны (239) • 17.3. Все диагональные элементы ненулевые (240).

Оглавление

§ 18. Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

18.1. Существование полярного разложения (242)•18.2. Разложение UDW (243).

§ 19. Разложения матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

19.1. Разложение Шура (244) • 19.2. Разложение Ланцоша (245) • 19.3. Произведение двух симметрических матриц (245).

§ 20. Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц 247

20.1. Нормальная форма Смита (247) • 20.2. Элементарные делители матриц (249) • 20.3. Целочисленные решения систем линейных уравнений (249) •
20.4. Классификация абелевых групп (251).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Глава 4. Матрицы специального вида

§ 21. Симметрические и эрмитовы матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . 261

21.1. Квадратичные и эрмитовы формы (261) • 21.2. Сигнатура квадратичной
формы (263) • 21.3. Приведение к диагональному виду (265) • 21.4. Квадратный корень из неотрицательно определённой матрицы (266) • 21.5. Теорема
Куранта–Фишера (266) • 21.6. Собственные значения произведения двух эрмитовых матриц (267).

§ 22. Одновременное приведение пары эрмитовых форм к диагональному виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

22.1. Случай положительно определённой матрицы (270) • 22.2. Случай знакоопределённой матрицы (271) • 22.3. Ещё один случай (272).

§ 23. Кососимметрические матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

23.1. Простейшие свойства (274) • 23.2. Канонический вид кососимметрической формы (274) • 23.3. Канонический вид кососимметрического оператора (275).

§ 24. Ортогональные матрицы и преобразование Кэли . . . . . . . . 277

24.1. Преобразование Кэли (277) • 24.2. Обобщённое преобразование Кэли (278).

§ 25. Нормальные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

25.1. Ядро и образ нормального оператора (280) • 25.2. Собственные векторы нормального оператора (281) • 25.3. Полиномиальное выражение A* через
A (281).

Оглавление
7

§ 26. Нильпотентные матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

26.1. Характеристический и минимальный многочлены (282) • 26.2. Критерии
нильпотентности (283) •26.3. Диаграмма Юнга нильпотентной матрицы (284).

§ 27. Проекторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

27.1. Канонический вид матрицы проектора (285) • 27.2. Эрмитовы проекторы (285) • 27.3. Матрица проектора на подпространство (286) • 27.4. Определитель суммы проекторов (287).

§ 28. Инволюции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

28.1. Канонический вид матрицы инволюции (290) • 28.2. Произведение двух
инволюций (290).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Глава 5. Полилинейная алгебра

§ 29. Полилинейные отображения. Тензорные произведения . . . 303

29.1. Определения (303) • 29.2. Билинейные формы (304) • 29.3. Изоморфизм
V * ⊗ W → Hom(V , W ) (305) • 29.4. Валентность тензора (306) • 29.5. Тензорное произведение отображений (307) • 29.6. Матричные уравнения (308) •
29.7. Подпространство, соответствующее полилинейной функции (310).

§ 30. Симметрические и кососимметрические тензоры . . . . . . . . 311

30.1. Симметризация и альтернирование (311) • 30.2. Алгебра Грассмана (313)
• 30.3. Кососимметрические функции (314) • 30.4. Свойства внешнего произведения (315) • 30.5. Тензорная степень оператора (316) • 30.6. Отображение
Ходжа (318) • 30.7. Векторное произведение (320).

§ 31. Пфаффиан . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

31.1. Определитель кососимметрической матрицы (323)•31.2. Пфаффиан матриц специального вида (324).

§ 32. Разложимые тензоры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

32.1. Разложимый тензор определяет подпространство (326) • 32.2. Соотношения Плюккера (328) • 32.3. Альтернатива соотношениям Плюккера (331) •
32.4. Свойства отображения d = i(v) (332).

§ 33. Тензорный ранг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

33.1. Тензорный ранг в V ⊗ W
(334) • 33.2. Алгоритм Штрассена (335) •
33.3. Тензорный ранг в V1 ⊗ V2 ⊗ V3 (336).

§ 34. Линейные отображения пространств матриц. . . . . . . . . . . . 337

34.1. Отображения, сохраняющие ранг 1 (338) • 34.2. Отображения, сохраняющие определитель (339) • 34.3. Отображения, сохраняющие собственные значения (340) • 34.4. Отображения, сохраняющие невырожденность (341).

Оглавление

§ 35. Образ полилинейного отображения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

35.1. Два примера (342)•35.2. Образ отображения в двумерное подпространство (343).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

Глава 6. Матричные неравенства

§ 36. Неравенства для симметрических и эрмитовых матриц. . . . 353

36.1. Простейшие неравенства (353) • 36.2. Неравенство Адамара (354) •
36.3. Определитель линейной комбинации (355) • 36.4. Отношение миноров (357).

§ 37. Неравенства для собственных значений . . . . . . . . . . . . . . . 359

37.1. Неравенство Шура (359) • 37.2. Сумма двух эрмитовых матриц (360) •
37.3. Произведение двух эрмитовых проекторов (360)•37.4. Сингулярные значения (361) • 37.5. Круги Гершгорина (362).

§ 38. Неравенства для норм матриц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

38.1. Операторная норма (368) • 38.2. Евклидова норма (368) • 38.3. Наилучшее приближение эрмитовой или унитарной матрицей (369)•38.4. Наилучшее
приближение невырожденной матрицы вырожденной матрицей (370).

§ 39. Дополнение по Шуру и произведение Адамара . . . . . . . . . . 371

39.1. Дополнение по Шуру положительно определённой матрицы (371) •
39.2. Произведение Адамара (373).

§ 40. Неотрицательные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

40.1. Неразложимые матрицы (374) • 40.2. Экстремальные векторы (375) •
40.3. Канонический вид неразложимой матрицы (376) • 40.4. Примитивные
матрицы (378) • 40.5. Теорема Стилтьеса–де Рама (380).

§ 41. Дважды стохастические матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

41.1. Простейшие свойства (382) • 41.2. Теорема Биркгофа (382) • 41.3. Неравенство Г. Вейля (385) • 41.4. Теорема Гофмана–Виландта (385).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

Глава 7. Коммутаторы

§ 42. Коммутирующие операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

42.1. Матрицы, перестановочные с данной (397) •42.2. Семейства коммутирующих операторов (399) • 42.3. Перестановочность с матрицей A влечёт перестановочность с матрицей B (401) • 42.4. Теорема Шура (402).

Оглавление
9

§ 43. Свойства коммутаторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

43.1. Определение и простейшие свойства (404) • 43.2. Представление матриц в виде коммутаторов (405) • 43.3. Равенство ads
A X = 0 влечёт равенство
ads
X B = 0 (406) • 43.4. Одновременная триангулируемость (407) • 43.5. Триангулируемость операторов с рангом коммутатора, равным 1 (409).

§ 44. Теория реплик. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

44.1. Определение и основные свойства (411) • 44.2. Полупростая и нильпотентная составляющая (412) • 44.3. Комплексификация (413) • 44.4. Критерий
нильпотентности (414).

§ 45. Элементы теории алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

45.1. Нильпотентные алгебры Ли (417) • 45.2. Разрешимые алгебры Ли (418) •
45.3. Представления алгебры Ли sl(2, C) (420) • 45.4. Критерий Картана (422).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

Глава 8. Матрицы в алгебре и анализе

§ 46. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда. . . . . . . . 431

46.1. Удвоение алгебры (431) • 46.2. Кватернионы (432) • 46.3. Кватернионы и простейшие алгебры Ли (433) • 46.4. Кватернионы и движения (434) •
46.5. Изоморфизм H ⊗ H и M4(R) (436) • 46.6. Числа Кэли (437) • 46.7. Векторное произведение чисел Кэли (439) • 46.8. Антикоммутирующие комплексные структуры (440) • 46.9. Доказательство теоремы о комплексных структурах (443).

§ 47. Матричные алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

47.1. Представления матричных алгебр (446) • 47.2. Теорема Бернсайда (447).

§ 48. Конечные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

48.1. Линейные пространства над конечными полями (448) • 48.2. Комбинаторика подпространств (448) • 48.3. Минимальный многочлен вектора (449) •
48.4. Квадратичные формы над конечными полями (450)•48.5. Квадратичные
формы над полями характеристики 2 (452)•48.6. Инвариант Арфа квадратичной формы (455).

§ 49. Результант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

49.1. Матрица Сильвестра (457) • 49.2. Выражение результанта через корни (458) • 49.3. Матрица Безу (459) • 49.4. Понижение порядка матрицы для
вычисления результанта (461) • 49.5. Дискриминант (462).

§ 50. Теорема Витта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

50.1. Пространства Артина (464) • 50.2. Доказательство теоремы Витта (466).

Оглавление

§ 51. Обобщённая обратная матрица. Матричные уравнения . . . 467

51.1. Обобщённая обратная матрица (467) • 51.2. Решение несовместных систем уравнений (469) • 51.3. Матричные уравнения (470).

§ 52. Ганкелевы и тёплицевы матрицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

52.1. Корни многочленов (473) • 52.2. Ганкелевы матрицы и рациональные
функции (475).

§ 53. Функции от матриц. Дифференцирование матриц . . . . . . . 477

53.1. Экспонента (477) •53.2. Дифференцирование матриц (478) •53.3. Системы дифференциальных уравнений (479) • 53.4. Вронскиан (480).

§ 54. Пары Лакса и интегрируемые системы . . . . . . . . . . . . . . . . 483

54.1. Уравнение Лакса (483) • 54.2. Цепочка Тоды (484) • 54.3. Уравнения движения твёрдого тела (485) • 54.4. Уравнения Вольтерра (486).

§ 55. Матрицы с предписанными собственными значениями . . . 487

55.1. Фиксированная диагональ (487) • 55.2. Фиксированные внедиагональные
элементы (489) • 55.3. Предписанная диагональ (491).

§ 56. Числовой образ оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492

56.1. Теорема Тёплица–Хаусдорфа (492) • 56.2. Числовой образ нормального оператора (494) • 56.3. Числовой образ и нормальные расширения (494) •
56.4. Приложение к коммутаторам (495) • 56.5. Числовой образ вещественных
квадратичных форм (496) • 56.6. Отображение, заданное двумя эрмитовыми
матрицами (498).

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Глава 9. Некоммутативная линейная алгебра

§ 57. Матрицы с некоммутирующими элементами. . . . . . . . . . . . 515

57.1. Векторные пространства над телами (515) •57.2. Элементарные преобразования матриц (520) • 57.3. Нормальная форма Брюа (522) • 57.4. Коммутант
группы GL(n, K) (524).

§ 58. Определители и собственные значения . . . . . . . . . . . . . . . . 526

58.1. Определитель Дьёдонне (526)•58.2. Тождество Капелли (531)•58.3. Собственные значения (535).

§ 59. Кватернионные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537

59.1. Кватернионная структура (537) • 59.2. Гиперэрмитовы матрицы (538) •
59.3. Унитарные матрицы (541) • 59.4. Правые собственные значения (542) •
59.5. Разложение Шура (543) •59.6. Определитель Штуди (545) •59.7. Определитель Дьёдонне (546) • 59.8. Определитель Мура (548) • 59.9. Топология пространства GL(n, H) (549) • 59.10. Левые собственные значения (551).

Оглавление
11

Решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

Предисловие ко второму изданию

Это издание существенно переработано и расширено по сравнению с предыдущим, написанным более 20 лет назад. Добавлена даже
целая новая глава, посвящённая некоммутативной линейной алгебре.
Добавлены также параграфы, посвящённые ортогональным многочленам, нормированным пространствам, описанию образа полилинейного отображения, теории реплик и элементам теории алгебр Ли,
ганкелевым и тёплицевым матрицам, числовому образу оператора.
Гораздо более подробно, чем в первом издании, изложена линейная
алгебра над конечными полями.
Ещё до выхода первого русского издания (Физматлит, 1996) появился перевод этой книги на английский язык («Problems and Theorems in Linear Algebra», AMS, 1994). Недавно были изданы переводы
на венгерский (Typotex, 2005) и французский (Cassini, 2007) языки.

Предисловие к первому изданию

Книг по линейной алгебре написано очень много, и среди них
есть поистине замечательные (см., например, список рекомендуемой
литературы). Может сложиться мнение, будто других книг больше
не нужно. Или несколько более осторожное мнение, будто в этих
книгах сказано всё, что нужно, и сказано именно так, как нужно, а
потому любая новая книга будет лишь повторением старых. Мнение
очевидно неверное, но тем не менее почти общепринятое. Новые
результаты в линейной алгебре появляются постоянно, и постоянно появляются новые, более простые и изящные доказательства известных теорем. Кроме того, есть не так уж мало интересных старых
результатов, в учебную литературу не вошедших.
В этой книге я постарался собрать наиболее интересные задачи
и теоремы линейной алгебры, доступные студентам младших курсов. Вычислительная линейная алгебра осталась при этом несколько
в стороне. Значительную часть книги составляют результаты, известные лишь по журнальным публикациям. Мне кажется, что они будут
интересны многим читателям.
Книга предполагает знакомство читателя с основными понятиями
линейной алгебры: линейное пространство, базис, линейное отображение, определитель матрицы. Но все содержательные теоремы
обычного курса линейной алгебры в книге приведены с полными

Предисловия
13

доказательствами. При этом особое внимание обращено на нестандартные изящные доказательства этих известных теорем.
Изложение ведется почти исключительно над полями действительных и комплексных чисел. Лишь изредка отмечены особенности случая полей конечной характеристики.
В линейной алгебре часто приходится осуществлять переходы от
линейного оператора к матрице и обратно. Это делается без особых
оговорок, но не должно приводить к недоразумениям.
Я благодарен рецензентам книги Д. В. Беклемишеву и А. И. Кострикину за ценные замечания и Д. Б. Фуксу за полезные обсуждения рукописи.

Основные обозначения и соглашения






a11
...
a1n
...
...
...
am1
...
amn





матрица размера m × n.

aij
элемент i-й строки и j-го столбца матрицы A.

∥aij∥
матрица A.

∥aij∥n
1
квадратная матрица ∥aij∥ порядка n; для
матрицы порядка n + 1 бывает удобно также обозначение ∥aij∥n
0.

det(A), |A|
определитель матрицы A.

|aij|n
1
определитель матрицы ∥aij∥n
1.

AB
произведение матрицы A размера p × n на
матрицу B размера n × q; является матри
цей ∥cik∥ размера p × q, где cik =
n
∑
j=1 aijbjk ––

произведение i-й строки первой матрицы
на k-й столбец второй матрицы.

diag(m1, ..., mn)
диагональная матрица, т. е. матрица порядка n с элементами aii = mi и aij = 0 при i ̸= j.

I = diag(1, ..., 1)
единичная матрица; если необходимо указать порядок n единичной матрицы, то она
обозначается In.

AT
транспонированная матрица; AT = ∥a′
ij∥,
где a′
ij = aji для A = ∥aij∥.

A
= ∥a′
ij∥, где a′
ij = aji для A = ∥aij∥.

Основные обозначения и соглашения

A*
= (A)T.

v =
1
...
n
k1
...
kn

перестановка (подстановка); v(i) = ki;
для краткости иногда обозначается
(k1, ..., kn).

(−1)v
=

1,
если перестановка v чётная;
−1,
если перестановка v нечётная.

⟨e1, ..., en⟩
линейное пространство, порождённое векторами e1, ..., en.

Если в пространствах V n и W m заданы базисы e1, ..., en и f1, ..., fm,
то матрице A соответствует линейное отображение A: V n → W m, переводящее вектор





x1
...
xn






в вектор





y1
...
ym




 =






a11
...
a1n
...
...
...
am1
...
amn











x1
...
xn




.

Так как yi =
n
∑
j=1 aijxj, то A
n
∑
j=1 xjej
=
m
∑
i=1

n
∑
j=1 aijxjfi; в частности,

Aej = ∑
i
aijfi.

rk A
ранг матрицы A.

tr A
след матрицы A.

dij
=

0
при i ̸= j,
1
при i = j.

Hom(V , W )
линейное пространство, состоящее из линейных отображений пространства V
в
пространство W (сложение двух линейных
отображений и умножение линейного отображения на число определяются естественным образом).

(x1, ..., xi, ..., xn)
= (x1, ..., xi−1, xi+1, ..., xn).

Основные обозначения и соглашения
17

sign x
=








1,
если x > 0;
0,
если x = 0;
−1,
если x < 0.

sm
функция Шура.

(a1, ..., ak |b1, ..., bk)
обозначение Фробениуса для разбиений
(см. с. 76).

SqB
симметрическая степень оператора B (см.
с. 317).
VqB
внешняя степень оператора B (см. с. 317).

A ։ B
оператор B является репликой оператора A
(см. с. 411).