Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Элементарная и близкая к ней логические эквивалентности классических и универсальных алгебр

Покупка
Артикул: 682523.01.99
В монографии рассматриваются вопросы классификации классических и универсальных алгебр в тех или иных естественных языках математической логики. С подробными доказательствами излагаются классические результаты: элементарная эквивалентность булевых алгебр и абелевых групп, теорема Кейслера—Шелаха об изоморфизме, теорема Мальцева об элементарной эквивалентности линейных групп над полями. Также в книге приведены некоторые результаты авторов в этом направлении: элементарная эквивалентность линейных групп над кольцами и телами, элементарная эквивалентность решеток свободных алгебр, элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и групп автоморфизмов абелевых p-групп. В книге показаны разные способы доказательства классификации моделей по элементарным свойствам: с помощью насыщенных моделей, с помощью взаимной интерпретации моделей-параметров и производных моделей (в том числе и языка второго порядка), с помощью теоремы об изоморфизме.
Бунина, Е.И. Элементарная и близкая к ней логические эквивалентности классических и универсальных алгебр: Монография / Е.И. Бунина, А.В. Михалев, А.Г. Пинус - Москва :МЦНМО, 2015. - 360 с.: ISBN 978-5-4439-2401-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958765 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ISBN 978-5-4439-0263-0

9 785443 902630 >

Е. И. Бунина, А. В. Михалев, А. Г. Пинус

Е. И. Бунина, 
А. В. Михалев, А. Г.  Пинус

Элементарная 
и близкие к ней 
логические 
эквивалентности 
классических 
и универсальных 
алгебр

Элементарная и близкие к ней логические эквивалентности 
классических и универсальных алгебр

Е. И. Бунина, А. В. Михалев, А. Г. Пинус

Элементарная и близкие к ней
логические эквивалентности
классических и универсальных алгебр

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК ., ., .
ББК .
Б

Бунина Е. И., Михалев А. В., Пинус А. Г.
Элементарная и близкие к ней логические
эквивалентности классических и универсальных алгебр
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

В монографии рассматриваются вопросы классификации классических и универсальных алгебр в тех или иных естественных языках
математической логики. С подробными доказательствами излагаются классические результаты: элементарная эквивалентность булевых
алгебр и абелевых групп, теорема Кейслера — Шелаха об изоморфизме, теорема Мальцева об элементарной эквивалентности линейных
групп над полями.
Также в книге приведены некоторые результаты авторов в этом
направлении: элементарная эквивалентность линейных групп над
кольцами и телами, элементарная эквивалентность решеток свободных алгебр, элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов и
групп автоморфизмов абелевых p-групп. В книге показаны разные
способы доказательства классификации моделей по элементарным
свойствам: с помощью насыщенных моделей, с помощью взаимной
интерпретации моделей-параметров и производных моделей (в том
числе и языка второго порядка), с помощью теоремы об изоморфизме.

Подготовлено на основе книги:
Бунина Е. И., Михалев А. В., Пинус А. Г. Элементарная и близкие к ней
логические эквивалентности классических и универсальных алгебр. —
М.: МЦНМО, . —  с. — ISBN ----

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Бунина Е. И., Михалев А. В., Пинус А. Г., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Эквивалентность алгебраических систем в языке первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Основы теории моделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Прямые, подпрямые и фильтрованные произведения . . . . . . . . .

.. Регулярные ультрастепени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Насыщенные системы и теорема об изоморфизме . . . . . . . . . . .


Глава . Элементарная классификация булевых алгебр . . . . . . . .

.. Булевы алгебры. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Идеал Ершова — Тарского и элементарные характеристики булевой алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Примеры булевых алгебр с различными характеристиками . . . .

.. Элементарное определение элементарных характеристик . . . . .

.. Доказательство критерия эквивалентности булевых алгебр . . . .


Глава . Элементарная эквивалентность абелевых групп . . . . . . .

.. Необходимые сведения об абелевых группах . . . . . . . . . . . . . .

.. Алгебраически компактные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Строение -насыщенных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Доказательство основной теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Теорема Мальцева и ее обобщения . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Элементарная эквивалентность групп PSL2() . . . . . . . . . . . . .

.. Переход к группе PSLn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Поля характеристики, отличной от двух . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Окончание доказательства для char̸=2 . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Случай характеристики два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Доказательство теоремы Мальцева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Обобщение теоремы Мальцева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Иные эквивалентности алгебраических систем . . . . . . . 
.. Бесконечные языки Lα,ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Языки с обобщенными кванторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Языки логики второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. Геометрическая эквивалентность алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Рациональная, условно рациональная и неявная эквивалентность
алгебр, (категорная) Морита-эквивалентность алгебр . . . . . . . . . . . 


Оглавление

Глава . Элементарная эквивалентность производных структур свободных алгебр и логика второго порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Элементарная эквивалентность производных структур множеств . 
.. Элементарная эквивалентность решеток подалгебр свободных
алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Элементарная эквивалентность решеток конгруэнций свободных
алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Элементарная эквивалентность полугрупп преобразований свободных алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Элементарная эквивалентность полугрупп эндоморфизмов свободных алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Резюме, открытые проблемы и некоторые иные результаты об
элементарной эквивалентности производных структур . . . . . . . . . . 

Глава . Элементарная эквивалентность бесконечномерных линейных групп над телами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Формулировки основных результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Основные понятия и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Отношение cov
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Определимость инволюций первого рода в логике первого порядка 
.. Построение отношения «находиться между» (char ̸=2) . . . . . . . 
.. Построение отношения «находиться между» при char =2 . . . . . 
.. Построение отношения включения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Полулинейные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. PGL(V) определимо в PΓL(V)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Преодоление проективности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Теории, интерпретируемые в Th() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Построение базиса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Теоремы о взаимной интерпретируемости . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Элементарная эквивалентность категорий модулей над кольцами и следствия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Элементарная эквивалентность колец эндоморфизмов
и групп автоморфизмов абелевых p-групп . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Основные сведения, которые понадобятся нам в дальнейшем . . . 
.. Подготовительная работа в группе автоморфизмов . . . . . . . . . . 
.. Подготовительная работа в кольце эндоморфизмов . . . . . . . . . . 
.. Разделение задачи на случаи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Ограниченные p-группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Прямые суммы делимых и ограниченных p-групп . . . . . . . . . . . 
.. Группы с неограниченной базисной подгруппой . . . . . . . . . . . . 
.. Заключение: критерий элементарной эквивалентности . . . . . . . 

Оглавление


Глава . Обзор близких результатов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Элементарная и универсальная эквивалентность групп . . . . . . . 
.. Элементарная эквивалентность полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
.. Алгебры и классы с категоричной теорией . . . . . . . . . . . . . . . 

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Введение

Проблемы классификации изначально относятся к одной из основных задач научного познания, восходя еще к «Органону» Аристотеля. При этом подобные проблемы носят двойственный характер,
связанный, с одной стороны, со структурой, свойствами классифицируемых объектов, с другой — с языком, на котором проводится та
или иная классификация этих объектов. Тем самым довольно часто,
эти проблемы возникают на пересечении, скрещивании двух типов
исследований: один — исследование строения классифицируемых
объектов, другой — исследование самого языка классификации. Подобный характер имеет и проблематика, затрагиваемая в данной
монографии: классификация классических и универсальных алгебр
в тех или иных естественных языках математической логики.
Исторически первым детально исследованным языком математической логики является так называемый язык логики первого порядка, или, иначе, элементарный язык. Классификация алгебраических систем в этом языке получила название элементарной классификации. Существует достаточно изученная теория этой
классификации, основанная на глубоко разработанной теории моделей языка первого порядка. Классическими результатами по элементарной классификации являются: элементарная классификация
В. Шмелевой абелевых групп и элементарная классификация булевых алгебр А. Тарского, обобщенная впоследствии Ю. Л. Ершовым
на класс дистрибутивных решеток с относительными дополнениями. Эти результаты заключаются в указании алгебраических инвариантов алгебр классифицируемого класса, совпадение которых
для пары алгебр из этого класса равносильно совпадению элементарных теорий этих алгебр или, иначе, совпадению свойств этих
алгебр, выразимых на языке логики первого порядка. При этом
существенно используется детально проработанная теория моделей
этого языка.
Усиление логического языка влечет, двойственным образом, ослабление (обеднение) соответствующей теории моделей. В силу чего
отсутствуют глубоко разработанные теории моделей таких традиционных расширений языка первого порядка, как языки с бесконечно длинными формулами, с обобщенными кванторами, языки
логики второго порядка и их фрагменты. Это обстоятельство, свя
Введение


занное с большой силой соответствующих расширенных языков и,
тем самым, с большей выразимостью различных свойств классифицируемых алгебр в этих языках, влечет отсутствие широких законченных результатов, связанных с классификацией естественных
классов алгебр в подобных расширенных логических языках.
Иным, по сравнению с логическим подходом к проблеме классификации алгебраических систем, является ставший традиционным подход к классификации алгебр того или иного класса на основе свойств их производных структур, таких как: решетки подалгебр, конгруэнций, групп автоморфизмов, полугрупп эндоморфизмов, внутренних изоморфизмов, внутренних гомоморфизмов, решеток алгебраических подмножеств и т. д.
Достаточно неожиданным оказался тот факт, что элементарная
классификация производных структур алгебр того или иного класса
часто равносильна классификации самих алгебр в логике второго
порядка или ее фрагментов.
Подобной проблематике и посвящена данная монография. Несколько слов о ее структуре.
Глава  посвящена краткому напоминанию основ теории моделей логики первого порядка, которая существенно используется
в изложении дальнейшего материала, посвященного классификации как классических, так и универсальных алгебр в различных
логических языках. Изложение этих основ ограничивается приведением определений основных понятий и утверждений этой теории,
детальному изложению которой посвящена масса прекрасных специализированных учебников и монографий.
Главы  и  посвящены изложению классических результатов
А. Тарского и В. Шмелевой по элементарной классификации булевых алгебр и абелевых групп. В главе  излагается, также классический, результат А. И. Мальцева по элементарной эквивалентности
различных линейных групп над полями и его обобщения, полученные К. И. Бейдаром и А. В. Михалевым.
Глава  посвящена изложению основ теории моделей различных языков, расширяющих элементарный язык, а также некоторым иным эквивалентностям алгебраических систем, так или иначе
связанным с логическими языками: геометрической эквивалентностью алгебр, рациональной и иным «клоновым» эквивалентностям.
В главе  излагаются результаты, связанные с элементарной эквивалентностью производных структур свободных алгебр различ

Введение

ных многообразий. Глава  посвящена изложению подобных результатов для линейных пространств над телами. В главе  рассмотрены вопросы элементарной эквивалентности колец эндоморфизмов
и групп автоморфизмов абелевых групп.
В главе  приведен краткий обзор близких к указанным выше
результатов.
В ряде случаев параграфы заканчиваются упражнениями, в которые частично вынесены доказательства простых утверждений из
текста, доказательство которых способствовало бы закреплению используемой в тексте техники. В ряде случаев формулируются открытые проблемы, связанные с излагаемыми результатами. Не претендуя на исчерпывающее изложение проблематики классификации
классических и универсальных алгебр в различных логических языках, авторы надеются на то, что данная монография будет полезной как исследователям по алгебре и математической логике, так
и аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся
в этих областях.
Авторы выражают благодарность Ю. Л. Ершову, поддержавшему
идею создания данной монографии и высказавшему ряд весьма полезных критических замечаний о ней, которые авторы постарались
учесть в окончательном варианте текста, и В. Толстых, детально
ознакомившемуся с материалом главы , посвященной изложению
его результатов.

Глава 

Эквивалентность алгебраических систем
в языке первого порядка

Основными понятиями любого формального логического языка являются понятия формулы (предложения) рассматриваемого
языка, модели этого языка (алгебраической системы) и отношения
выполнимости ⊨между моделями и предложениями этого языка.
Язык логики первого порядка (узкого исчисления предикатов)
изучается в традиционных университетских курсах математической
логики, и его основы прекрасно изложены в целом ряде учебников
и монографий, например в [, ]. В первых параграфах этой главы мы лишь напомним (для их фиксации во избежание разночтений) основные понятия теории моделей (универсальной алгебры),
обозначения из этой теории и кратко резюмируем ряд основных
утверждений этой теории, необходимых нам в дальнейшем.

§ .. Основы теории моделей

Под сигнатурой σ мы будем понимать последовательность

〈 fi (i < α), Pj (j < β), cl (l < γ)〉

символов трех типов. Здесь α, β, γ — некоторые ординалы, и при
этом каждому из символов fi, Pj будут сопоставлены некоторые натуральные числа si и qj соответственно, называемые их местностью или арностью. Символы fi будем называть функциональными,
Pj — предикатными, а cl — константными. Как правило, в дальнейшем мы будем иметь дело лишь с конечными сигнатурами
(точнее, с сигнатурами с конечными функциональной и предикатной частями). Под алгебраической системой A = 〈A; σ〉 сигнатуры σ мы будем понимать некоторое фиксированное (как правило, непустое) множество A (основное или базовое множество
системы A) с фиксированным на нем набором si-местных функций fi A (i < α), qj-местных отношений Pj A (j < β) и константами
cl A (выделенными, фиксированными элементами множества A).
В дальнейшем, в случае исключающего двусмысленности контек

Глава . Эквивалентность алгебраических систем в языке первого порядка

ста, индекс A в обозначениях fi A, Pj A, cl A будет опускаться. Алгебраическая система A = 〈A, σ〉 называется универсальной алгеброй, если ее сигнатура функциональна (β = 0), и моделью, если ее
сигнатура предикатна (α = 0). Традиционным образом по любой
алгебраической системе A = 〈A, σ〉 строится соответствующая ей
модель AMod =〈A, σMod〉 (моделизация системы A) путем перехода от
сигнатуры σ = 〈 fi (i < α), Pj (j < β), cl (l < γ)〉 к предикатной сигнатуре σMod = 〈P′
i (i < α), Pj (j < β), cl (l < γ)〉, где местность предикатов P′
i на единицу больше местности соответствующих функций fi,
а сами предикаты P′
i интерпретируются в модели AMod графиками
функций fi:

P′
i A = gr fi A = {〈a1, …, asi, d〉 | a1, …, asi, d ∈ A и d = fi A(a1, …, asi)}.

Пример .. Например, группа G с двухместным функциональным символом · (умножением) и константой e (единицей) является
универсальной алгеброй. Однако если рассматривать умножение не
как двухместную функцию, а как трехместное отношение (тройка
элементов x, y, z содержится в данном отношении тогда и только
тогда, когда x · y = z), то группа превратится в модель.
Функции fi A: Asi → A будем называть сигнатурными функциями, а отношения Pj A ⊆ Aq j — сигнатурными предикатами алгебраической системы A.
Понятия формулы языка первого порядка Φ(x1, …, xn) со свободными переменными x1, …, xn (терма t(x1, …, xn) от переменных x1, …, xn) сигнатуры σ определяются традиционным образом,
и столь же традиционно для любой σ-системы A = 〈A, σ〉 и ее элементов a1, …, an, d ∈ A определяются понятия истинности формулы Φ (значения терма t) на элементах ¯¯a =〈a1, …, an〉 в системе A:

A ⊨ Φ(¯¯a)
(tA(¯¯a) = d).

Формулу без свободных переменных будем называть предложением. Через σ обозначим совокупность всех формул языка первого
порядка сигнатуры σ, а через σ — совокупность всех термов этой
сигнатуры.
Подмножество B основного множества A алгебраической системы A=〈A, σ〉 называется подсистемой системы A, если оно замкнуто относительно сигнатурных функций:

для ¯¯a ∈ Bsi имеет место включение fi A(¯¯a) ∈ B;
B включает в себя все константы cl A системы A.

§ .. Основы теории моделей


По любой подсистеме B σ-системы A = 〈A, σ〉 естественным образом строится ее σ-подсистема B=〈B, σ〉, где σ-функции fi B являются B-ограничениями σ-функций fi A, предикаты Pj B — B-ограничениями предикатов Pj A, а значения констант cl B совпадают с cl A.
В случаях, когда A — модель, мы будем говорить о подмоделях модели A, когда A — универсальная алгебра, — о подалгебрах алгебры A.
Если сигнатура σ содержит константные символы, то любая подсистема σ-системы по определению непуста. Если же σ не содержит
константных символов, то пустое подмножество σ-системы также будем считать ее подсистемой. Тем самым совокупность Sub A
всех подсистем любой алгебраической системы A образует решетку
подмножеств основного множества системы A относительно теоретико-множественного включения. Как хорошо известно, решетки
Sub A являются алгебраическими (полными, каждый элемент которых является супремумом некоторой совокупности компактных
элементов). Верно и обратное (теорема Биркгофа — Фринка, см.,
например, [, ]): любая алгебраическая решетка изоморфна
решетке подсистем подходящей алгебраической системы (универсальной алгебры). Отметим лишь, что в случае предикатной сигнатуры σ совокупность подмоделей Sub A модели A=〈A, σ〉 совпадает
с совокупностью P(A) всех подмножеств множества A.
Для любой совокупности алгебраических систем через Sобозначим совокупность всех подсистем систем из .
Напомним, что две σ-системы A=〈A, σ〉 и B=〈B, σ〉 называются изоморфными, если существует биекция (изоморфизм) ϕ множества A на множество B такая, что

для любых i < α, j < β, l < γ, ¯¯a ∈ Asi, ¯¯b ∈ Aq j

имеют место равенства:

ϕ( fi A(¯¯a)) = fi B(ϕ(¯¯a)),

где ϕ(¯¯a) = 〈ϕ(a1), …, ϕ(asi)〉,
если ¯¯a = 〈a1, …, asi〉;

Pj A(¯¯b) = Pj B(ϕ(¯¯b)) и ϕ(cl A) = cl B.

(.)

Изоморфизм системы A самой на себя называется автоморфизмом
системы A. Совокупность всех автоморфизмов системы образует
группу относительно операции суперпозиции, и мы будем впредь
обозначать эту группу через Aut A.
Пример .. Например, если в качестве алгебраической системы мы рассмотрим множество M пустой сигнатуры (нет ни отно

Глава . Эквивалентность алгебраических систем в языке первого порядка

шений, ни констант, ни функций), то группой Aut M будет группа
подстановок этого множества.
Для любой совокупности алгебраических систем через Iобозначим совокупность всех систем, изоморфных какой-либо системе из .
Для любого изоморфизма ϕ σ-системы A = 〈A, σ〉 на σ-систему B = 〈B, σ〉, любой σ-формулы Φ(x1, …, xn) и любых элементов
a1, …, an из A

A ⊨ Φ(a1, …, an) ⇔ B ⊨ Φ(ϕ(a1), …, ϕ(an)).

Под гомоморфизмом σ-системы A = 〈A, σ〉 в σ-систему B = 〈B, σ〉
будем понимать любое отображение ϕ множества A в множество B,
удовлетворяющее условию (.).
Гомоморфизм системы A в себя будем называть эндоморфизмом
системы A. Полугруппу всех эндоморфизмов (относительно операции суперпозиции) системы A будем обозначать через EndA.
Через Hom(A, B) обозначим совокупность всех гомоморфизмов
алгебраической системы A в систему B. Очевидно, что для любого
гомоморфизма ϕ системы A в систему B, любого терма t(x1, …, xn)
и любых элементов a1, …, an из A имеет место равенство

ϕ(tA(a1, …, an)) = tB(ϕ(a1), …, ϕ(an)).

Ядро любого гомоморфизма ϕ системы A будем обозначать как
kerϕ, имея в виду, что, как и для любого отображения ψ: A → B,

kerψ = {〈a, b〉 ∈ A2 | ψ(a) = ψ(b)}.

Как известно, kerϕ является конгруэнцией на системе A, т. е. такой
эквивалентностью θ на множестве A, что для любого i <α и любых
〈a1, …, asi〉, 〈a′
1, …, a′
si〉 кортежей элементов из A отношения

θ(a1, a′
1), …, θ(asi, a′
si)

влекут отношение

θ( fi A(a1, …, asi), fi A(a′
1, …, a′
si)).

Совокупность всех конгруэнций на системе A обозначим через ConA.
Известно, что ConA является алгебраической решеткой относительно теоретико-множественного включения и, обратно (теорема
Гретцера — Шмидта, см. []): любая алгебраическая решетка изоморфна решетке конгруэнций некоторой алгебраической системы
(универсальной алгебры). Далее через ∆ будем обозначать отно