Основы стохастической финансовой математики : В 2 т. Т. 2 : Теория

А. Н. Ширяев

Основы
стохастической финансовой
математики

Том 2
Теория

Электронное издание

МЦНМО 2016

УДК 519.2
ББК 22.171
Ш64

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ
№ 14-21-00162 «Оптимальные статистические
процедуры в классических и квантовых информационных системах».

Ширяев А. Н.
Основы стохастической финансовой математики : В 2 т.
Т. 2 : Теория
Электронное издание
М. : МЦНМО, 2016.
464 с.
ISBN 978-5-4439-2392-2

Подготовлено на основе книги: Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики : В 2 т. Т. 2 : Теория. М. : МЦНМО, 2016. 464 с.
ISBN 978-5-4439-0394-1; 978-5-4439-0396-5 (том 2)

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2392-2
ffi Ширяев А. Н., 2004, 2016.
ffi МЦНМО, 2016.

Оглавление

Предисловие ко второму тому. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Глава V. Теория арбитража в стохастических финансовых моделях.
Дискретное время
450

1. Портфель ценных бумаг на (B, S)-рынке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

§ 1a. Стратегии, удовлетворяющие балансовым условиям, 451. –– § 1b. Понятие о «хеджировании». Верхние и нижние цены. Полные и неполные рынки,
462. –– § 1c. Верхние и нижние цены в одношаговой модели, 468. –– § 1d. Пример полного рынка –– CRR-модель, 476.

2. Рынок без арбитражных возможностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

§ 2a. Концепции «арбитраж» и «отсутствие арбитража», 478. –– § 2b. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. I. Формулировка
первой фундаментальной теоремы, 481. –– § 2c. Мартингальный критерий
отсутствия арбитражных возможностей. II. Доказательство достаточности,
485. –– § 2d. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. III. Доказательство необходимости (с использованием условного преобразования Эшера), 485. –– § 2e. Расширенный вариант первой фундаментальной теоремы, 492.

3. Конструкция мартингальных мер с помощью абсолютно непрерывной замены меры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

§ 3a. Основные определения. Процесс плотности, 502. –– § 3b. Дискретный
вариант теоремы Гирсанова. I. Условно-гауссовский случай, 508. –– § 3c. Мартингальность цен в случае условно-гауссовского и логарифмически условно-гауссовского распределений, 514. –– § 3d. Дискретный вариант теоремы
Гирсанова. II. Общий случай, 519. –– § 3e. Целочисленные случайные меры
и их компенсаторы. Преобразование компенсаторов при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические интегралы, 526. –– § 3f. Предсказуемые
критерии отсутствия арбитражных возможностей на (B, S)-рынке, 534.

4. Полные и совершенные безарбитражные рынки . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

§ 4a. Мартингальный критерий полноты рынка. I. Формулировка второй
фундаментальной теоремы. Доказательство необходимости, 547. –– § 4b. О
представимости локальных мартингалов. I («S-представимость»), 549. ––
§ 4c. О представимости локальных мартингалов. II (µ-представимость,
(µ − ν)-представимость), 551. –– § 4d. S-представимость в биномиальной
CRR-модели, 554. –– § 4e. Мартингальный критерий полноты рынка. II.
Доказательство достаточности в случае d = 1, 557. –– § 4f. Расширенный
вариант второй фундаментальной теоремы, 563.

443

Оглавление

Глава VI. Теория расчетов в стохастических финансовых моделях.
Дискретное время
568

1. Расчеты, связанные с хеджированием европейского типа на безарбитражных рынках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569

§ 1a. Риск и методы его редуцирования, 569. –– § 1b. Основная формула для
цены хеджирования. I. Полные рынки, 572. –– § 1c. Основная формула для
цены хеджирования. II. Неполные рынки, 578. –– § 1d. О расчетах цены хеджирования при среднеквадратичном критерии, 584. –– § 1e. Форвардные и фьючерсные контракты, 586.

2. Расчеты, связанные с хеджированием американского типа на безарбитражных рынках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

§ 2a. Задачи об оптимальной остановке. Супермартингальная характеризация, 591. –– § 2b. Полные и неполные рынки. I. Супермартингальная характеризация цен хеджирования, 602. –– § 2c. Полные и неполные рынки. II.
Основные формулы для цены хеджирования, 604. –– § 2d. Опциональное
разложение, 611.

3. Схема серий «больших» безарбитражных рынков и асимптотический
арбитраж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619

§ 3a. Модель «больших» финансовых рынков, 619. –– § 3b. Критерии отсутствия асимптотического арбитража, 621. –– § 3c. Асимптотический арбитраж
и контигуальность, 625. –– § 3d. Некоторые аспекты аппроксимации и сходимости в схеме серий безарбитражных рынков, 641.

4. Опционы европейского типа на биномиальном (B, S)-рынке. . . . . . . . 653

§ 4a. О проблематике расчетов опционных контрактов, 653. –– § 4b. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих стратегий. I. Случай общих платежных функций, 656. –– § 4c. Расчет рациональной стоимости и хеджирующих
стратегий. II. Случай марковских платежных функций, 660. –– § 4d. Стандартные опционы покупателя и продавца, 663. –– § 4e. Стратегии, основанные на
опционах (комбинации, спрэды, сочетания), 669.

5. Опционы американского типа на биномиальном (B, S)-рынке . . . . . . 673

§ 5a. О проблематике расчетов опционов американского типа, 673. –– § 5b.
Расчеты для стандартного опциона покупателя, 676. –– § 5c. Расчеты для стандартного опциона продавца, 686. –– § 5d. Опционы с последействием. Расчеты
в «русском опционе», 690.

Глава VII. Теория арбитража в стохастических финансовых моделях. Непрерывное время
698

1. Портфель ценных бумаг в семимартингальных моделях . . . . . . . . . . . 699

§ 1a. Допустимые стратегии. I. Самофинансируемость. Векторный стохастический интеграл, 699. –– § 1b. Дисконтирующие процессы, 709. –– § 1c. Допустимые стратегии. II. Некоторые специальные классы, 712.

444

Оглавление

2. Семимартингальные модели без арбитражных возможностей. Полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716

§ 2a. Концепция отсутствия арбитража и ее разновидности, 716. –– § 2b. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей. I. Достаточные условия, 719. –– § 2c. Мартингальные критерии отсутствия арбитражных возможностей. II. Необходимые и достаточные условия (сводка некоторых результатов), 722. –– § 2d. Полнота в семимартингальных моделях, 725.

3. Семимартингалы и мартингальные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728

§ 3a. Каноническое представление семимартингалов. Случайные меры. Триплеты предсказуемых характеристик, 728. –– § 3b. Конструкция мартингальных мер в диффузионных моделях. Теорема Гирсанова, 737. –– § 3c. Конструкция мартингальных мер в случае процессов Леви. Преобразование Эшера,
747. –– § 3d. Предсказуемые критерии мартингальности цен. I, 755. –– § 3e.
Предсказуемые критерии мартингальности цен. II, 759. –– § 3f. О представимости локальных мартингалов ((Hc, µ−ν)-представимость), 762. –– § 3g. Теорема Гирсанова для семимартингалов. Структура плотностей вероятностных
мер, 765.

4. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования в диффузионных
моделях акций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769

§ 4a. Арбитраж и условия его отсутствия. Полнота, 769. –– § 4b. Цена хеджирования на полных рынках, 774. –– § 4c. Фундаментальное уравнение в частных
производных для цены хеджирования, 776.

5. Арбитраж, полнота и расчеты цены хеджирования в диффузионных
моделях облигаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782

§ 5a. Модели без арбитражных возможностей, 782. –– § 5b. Полнота, 792. ––
§ 5c. Фундаментальное уравнение в частных производных временн´ой структуры цен облигаций, 794.

Глава VIII. Теория расчетов в стохастических финансовых моделях.
Непрерывное время
800

1. Опционы европейского типа на диффузионных (B, S)-рынках акций. . 801

§ 1a. Формула Башелье, 801. –– § 1b. Формула Блэка и Шоулса. I. Мартингальный вывод, 804. –– § 1c. Формула Блэка и Шоулса. II. Вывод, основанный на
решении фундаментального уравнения, 811. –– § 1d. Формула Блэка и Шоулса.
III. Модель с дивидендами, 813.

2. Опционы американского типа на диффузионных (B, S)-рынках акций. Случай бесконечного временн´ого горизонта . . . . . . . . . . . . . . . . 816

§ 2a. Стандартный опцион покупателя, 816. –– § 2b. Стандартный опцион
продавца, 828. –– § 2c. Комбинации опционов покупателя и продавца, 830. ––
§ 2d. Русский опцион, 832.

445

Оглавление

3. Опционы американского типа на диффузионных (B, S)-рынках акций. Случай конечного временн´ого горизонта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841

§ 3a. Об особенностях расчетов на конечных временн´ых интервалах, 841. ––
§ 3b. Задачи об оптимальной остановке и задача Стефана, 845. –– § 3c. Задача
Стефана для стандартных опционов покупателя и продавца, 848. –– § 3d. О
связи стоимостей опционов европейского и американского типа, 851.

4. Опционы европейского типа и американского типа на диффузионном (B, )-рынке облигаций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855

§ 4a. О проблематике расчетов опционов на рынке облигаций, 855. –– § 4b.
О расчетах опционов европейского типа в однофакторных гауссовских
моделях, 858. –– § 4c. О расчетах опционов американского типа в однофакторных гауссовских моделях, 861.

Литература
866

Предметный указатель
892

Указатель обозначений
900

446

Предисловие ко второму тому

Материал первого тома, состоящий из четырех глав:
Глава I. Основные понятия, структуры, инструменты, цели и задачи финансовой теории и финансовой инженерии,
Глава II. Стохастические модели. Дискретное время,
Глава III. Стохастические модели. Непрерывное время,
Глава IV. Статистический анализ финансовых данных,
–– относился к «фактам» и «моделям» финансовой статистики, экономики,
математики, инженерии и т. п.
В первой главе излагались разнообразные факты о финансовых рынках
и их функционировании. Были изложены также основные положения ряда
классических и неоклассических финансовых теорий, результаты которых
помогают пониманию структуры «рационально» устроенных стохастических
финансовых рынков и пониманию того, каким должно быть «рациональное»
поведение инвесторов, трейдеров и т. п. на таких рынках. В целом эта глава,
носящая описательный характер, призвана служить введением в финансовую математику и финансовую инженерию.
В четвертой главе приведены результаты статистического анализа распределений вероятностей временн´ых рядов, описывающих эволюцию финансовых цен, индексов, обменных курсов и т. п. Выявленные свойства («отклонение от гауссовости», «вытянутость» и «тяжелые хвосты» у плотностей
распределений вероятностей величин «возврата», «долгая память» и «высокочастотный» характер в поведении цен и т.п.) помогают построению адекватных моделей динамики финансовых показателей, что особенно важно, если
иметь в виду задачи предсказания будущего движения этих показателей.
Вторая и третья главы содержат большой материал относительно разнообразных моделей распределений вероятностей, моделей случайных последовательностей и случайных процессов, многие из которых с успехом используются и в финансовой теории, и в финансовой инженерии.
Материал настоящего, второго тома, посвященного «Теории», также состоит из четырех глав:
Глава V. Теория арбитража в стохастических финансовых моделях. Дискретное время,

447

Предисловие ко второму тому

Глава VI. Теория расчетов в стохастических финансовых моделях. Дискретное время,
Глава VII. Теория арбитража в стохастических финансовых моделях.
Непрерывное время,
Глава VIII. Теория расчетов в стохастических финансовых моделях. Непрерывное время.
В основе всего изложения лежит концепция арбитража, которая помогает среди разнообразных моделей финансовых рынков выделить прежде всего
«справедливо» устроенные, на которых отсутствуют арбитражные возможности.
Ключевым везультатом пятой главы является первая фундаментальная
теорема теории расчетов финансовых активов, которая (с некоторыми оговорками) утверждает, что безарбитражный рынок –– это такой рынок, для
которого существует так называемая риск-нейтральная (или мартингальная)
мера, относительно которой цены образуют мартингал.
С полными рынками, характеризуемыми тем, что на них возможно построение такого портфеля ценных бумаг, что его капитал будет (в заранее
определенный момент времени в будущем) воспроизводить требуемое платежное поручение, связана вторая фундаментальная теорема.
В соответствии с этой теоремой на безарбитражном рынке полнота имеет
место тогда и только тогда, когда существует только одна мартингальная
мера.
В расширенном варианте второй фундаментальной теоремы описывается
также и структура цен в полных безарбитражных моделях финансовых рынков.
Теории расчетов в стохастических финансовых моделях с дискретным
временем, основанной на первой и второй фундаментальных теоремах, посвящается шестая глава. Основным здесь является понятие хеджирования
как метода динамического управления портфелем ценных бумаг. Выведенные формулы для цены (стоимости) хеджирования и изложенные методы
отыскания оптимальных хеджирующих стратегий на полных и неполных
рынках применяются к расчетам опционов европейского и американского
типов.
Седьмая и восьмая главы относятся к случаю непрерывного времени. Излагаются результаты теории арбитража в стохастических финансовых моделях, описываемых с привлечением понятий семимартингалов и случайных
мер, и приводятся различные версии аналогов первой и второй фундаментальных теорем. Следует при этом подчеркнуть, что соответствующее изложение (седьмая глава) является более сложным по сравнению со случаем
дискретного времени (пятая глава) и опирается на многие весьма глубокие
результаты стохастического исчисления.
Последняя глава (восьмая) посвящена применению результатов теории
арбитража для расчетов в финансовых моделях с непрерывным временем.
При этом основное внимание уделяется расчетам разного рода опционов.

448

Предисловие ко второму тому

Изложение начинается с формулы Башелье для рациональной стоимости
стандартного опциона (покупателя) европейского типа в линейной модели
Башелье, явившейся прототипом известной формулы Блэка и Шоулса, для
которой дается несколько выводов. Большой материал отводится расчетам
опционов американского типа как в диффузионных моделях акций, так и в
диффузионных моделях облигаций.
В заключение отметим, что оглавление дает достаточно полное представление об излагаемом материале. Отметим также, что нумерация страниц во
втором томе (441––904) продолжает нумерацию страниц первого тома.

Москва
1995––1997
А. Ширяев
МИРАН и МГУ

449

Глава V

Теория арбитража в стохастических
финансовых моделях. Дискретное время

1. Портфель ценных бумаг на (B, S)-рынке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

§ 1a. Стратегии, удовлетворяющие балансовым условиям, 451. –– § 1b. Понятие о «хеджировании». Верхние и нижние цены. Полные и неполные рынки,
462. –– § 1c. Верхние и нижние цены в одношаговой модели, 468. –– § 1d. Пример полного рынка –– CRR-модель, 476.

2. Рынок без арбитражных возможностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

§ 2a. Концепции «арбитраж» и «отсутствие арбитража», 478. –– § 2b. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. I. Формулировка
первой фундаментальной теоремы, 481. –– § 2c. Мартингальный критерий
отсутствия арбитражных возможностей. II. Доказательство достаточности,
485. –– § 2d. Мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей. III. Доказательство необходимости (с использованием условного преобразования Эшера), 485. –– § 2e. Расширенный вариант первой фундаментальной теоремы, 492.

3. Конструкция мартингальных мер с помощью абсолютно непрерывной замены меры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502

§ 3a. Основные определения. Процесс плотности, 502. –– § 3b. Дискретный
вариант теоремы Гирсанова. I. Условно-гауссовский случай, 508. –– § 3c. Мартингальность цен в случае условно-гауссовского и логарифмически условно-гауссовского распределений, 514. –– § 3d. Дискретный вариант теоремы
Гирсанова. II. Общий случай, 519. –– § 3e. Целочисленные случайные меры
и их компенсаторы. Преобразование компенсаторов при абсолютно непрерывной замене меры. Стохастические интегралы, 526. –– § 3f. Предсказуемые
критерии отсутствия арбитражных возможностей на (B, S)-рынке, 534.

4. Полные и совершенные безарбитражные рынки . . . . . . . . . . . . . . . . . 547

§ 4a. Мартингальный критерий полноты рынка. I. Формулировка второй
фундаментальной теоремы. Доказательство необходимости, 547. –– § 4b. О
представимости локальных мартингалов. I («S-представимость»), 549. ––
§ 4c. О представимости локальных мартингалов. II (µ-представимость,
(µ − ν)-представимость), 551. –– § 4d. S-представимость в биномиальной
CRR-модели, 554. –– § 4e. Мартингальный критерий полноты рынка. II.
Доказательство достаточности в случае d = 1, 557. –– § 4f. Расширенный
вариант второй фундаментальной теоремы, 563.

450

1. Портфель ценных бумаг на (B, S)-рынке

§ 1a. Стратегии, удовлетворяющие балансовым условиям

1. Мы предполагаем, что интересующий нас рынок ценных бумаг функционирует в условиях «неопределенностей», для вероятностно-статистического
описания которых вводится фильтрованное вероятностное пространство

(Ω, , (n)n⩾0, P).

Поток σ-алгебр = (n)n⩾0 интерпретируется как «поток информаций» n,
доступных (всем участникам рынка) к моменту времени n (включительно),
n⩾0.
Рассматриваемый нами (B, S)-рынок (по определению) состоит из d + 1
актива:
банковского счета («безрисковый» актив) B

и
акций («рисковые» активы) S = (S1, ‌, Sd).

Предполагается, что динамика банковского счета описывается положительной стохастической последовательностью

B = (Bn)n⩾0,

где при каждом n⩾1 величины Bn являются n−1-измеримыми.
Динамика i-го рискового актива Si описывается также положительной стохастической последовательностью

Si = (Si
n)n⩾0,

где при каждом n⩾0 величины Si
n являются n-измеримыми.
Из этих определений ясна принципиальная разница между банковским
счетом и акциями.
n−1-измеримость величины Bn означает, что значение банковского счета
в момент времени n полностью становится известным (по получении всей
информации) уже в момент времени n − 1. В этом смысле значение Bn является предсказуемым.

451

Глава V. Теория арбитража. Дискретное время

Совсем иная ситуация с ценами акций: n-измеримость величин Si
n означает, что их значения становятся известными только по получении всей
«информации n» в момент времени n.
Эти отличия объясняют, почему банковский счет называют «безрисковым» активом, а акции –– «рисковыми» активами.
Полагая

rn = ∆Bn

Bn−1 ,
ρi
n = ∆Si
n

Si
n−1
,
(1)

можем записать, что
∆Bn = rnBn−1,
(2)

∆Si
n = ρi
nSi
n−1,
(3)

где (процентные ставки) rn являются n−1-измеримыми, а ρi
n –– n-измеримыми.
Таким образом, для n⩾1 имеем

Bn = B0
1⩽k⩽n
(1+ rk)
(4)

и
Si
n = Si
0
1⩽k⩽n
(1+ρi
k).
(5)

Согласно терминологии, принятой в § 1a гл. II, представления (4) и (5)
называют представлениями типа «простых процентов» («simple return»).

2. Представим себе инвестора, который, оперируя на (B, S)-рынке, имеет
возможность
a) размещать средства на банковский счет и брать с него в долг;
b) покупать и продавать акции.
При этом будем предполагать, что отсутствуют операционные издержки,
связанные с переводом средств с одного актива на другой, и активы являются
безгранично делимыми в том смысле, что можно купить или продать любую
часть акции и положить на банковский счет или взять с него любую сумму.
Дадим ряд определений, относящихся к финансовому состоянию и действиям инвестора на таком (B, S)-рынке.

Определение 1. Стохастическая (предсказуемая) последовательность

π = (β, γ),

где β = (βn(ω))n⩾0, γ = (γ1
n(ω), ‌, γd
n(ω))n⩾0, и величины βn(ω) и γi
n(ω) являются n−1-измеримыми (−1 =0) при всех n⩾0 и i =1, ‌, d, называется
портфелем ценных бумаг инвестора на (B, S)-рынке.

Отметим здесь несколько важных моментов.
Величины βn(ω) и γi
n(ω) могут принимать не только положительные и нулевые значения, но и отрицательные, что согласуется с п. a) и b) и означает

452

1. Портфель ценных бумаг на (B, S)-рынке

взятие в долг с банковского счета и возможность продажи («short selling»)
акции.
Предположение о n−1-измеримости означает, что значения βn(ω) и
γi
n(ω), определяющие финансовое состояние инвестора в момент времени n
(«какая сумма на банковском счете, сколько акций имеет инвестор»), зависят от доступной информации не в момент времени n, а в момент времени
n − 1 (состояние портфеля «на завтра» полностью определяется тем, что
имеется «сегодня»).
Момент n=0 играет особую роль (как, впрочем, и во всей теории случайных процессов, базирующейся на понятии фильтрованного вероятностного
пространства). Эта «особая» роль сказывается в том, что предсказуемость
в момент n = 0 (если следовать формальной записи, это должна была бы
быть «−1-измеримость») считается совпадающей с 0-измеримостью. (Сделанное в вышеприведенном определении соглашение «−1 = 0» удобно с
точки зрения единообразия изложения для всех моментов времени n⩾0.)
Желая подчеркнуть эволюцию портфеля ценных бумаг во времени, вместо
термина «портфель» часто говорят о «стратегии» (инвестора). Этой терминологии мы также будем придерживаться.
Всюду выше мы предполагали, что n ⩾ 0. Разумеется, все определения
сохраняются, если время ограничивается некоторым «временн´ым горизонтом N». В этом случае вместо предположения n ⩾0 надо считать, что 0⩽ n ⩽
⩽ N.

Определение 2. Капиталом портфеля ценных бумаг π называется стохастическая последовательность

X π = (X π
n )n⩾0,

где

X π
n = βnBn +

d
i=1
γi
nSi
n.
(6)

Чтобы упростить дальнейшее изложение, мы будем часто придерживаться
«бескоординатной» записи, обозначая для векторов γn = (γ1
n, ‌, γd
n) и Sn =
=(S1
n, ‌, Sd
n) скалярное произведение

(γn, Sn) ≡

d
i=1
γi
nSi
n

через γnSn. (Если d =1, то естественно вместо γ1
n и S1
n писать просто γn и Sn.)
Итак, пусть
X π
n = βnBn +γnSn.
(7)

Воспользуемся тем, что для любых двух последовательностей a=(an)n⩾0 и
b=(bn)n⩾0 выполняется равенство

∆(anbn) = an∆bn + bn−1∆an.
(8)

453

Глава V. Теория арбитража. Дискретное время

Применяя эту формулу («дискретного дифференцирования») к правой части
равенства (7), находим, что

∆X π
n = [βn∆Bn +γn∆Sn]+[Bn−1∆βn + Sn−1∆γn].
(9)

Эта формула показывает, что изменение капитала (∆X π
n ≡ X π
n − X π
n−1) складывается, вообще говоря, из двух величин –– изменений на банковском счете
и в ценах акций (т. е. βn∆Bn +γn∆Sn) и изменений в составе самого портфеля (т. е. Bn−1∆βn + Sn−1∆γn). Но естественно, конечно, считать, что реальное
изменение капитала происходит лишь за счет реальных изменений величин
∆Bn и ∆Sn, а не за счет изменений ∆βn и ∆γn. (Имея в виду эту вторую возможность, образно можно сказать, что от простого «перекладывания денег
из одного кармана в другой» реального увеличения капитала не получить.)
Таким образом, мы приходим к заключению, что реальный «доход», реальная «прибыль» от обладания портфелем ценных бумаг π описывается
последовательностью Gπ =(Gπ
n )n⩾0, выходящей из нуля, Gπ
0 =0, и

Gπ
n =

n
k=1
(βk∆Bk +γk∆Sk).
(10)

Тем самым, «реальный» капитал в момент времени n есть

X π
n = X π
0 + Gπ
n ,
(11)

что делает естественным следующее

Определение 3. Портфель ценных бумаг π называется самофинансируемым, если соответствующий капитал X π = (X π
n )n⩾0 может быть представлен
в виде

X π
n = X π
0 +

n
k=1
(βk∆Bk +γk∆Sk),
n ⩾ 1.
(12)

Из приведенной выше формулы ясно, что самофинансирование здесь равносильно следующему требованию «допустимости» портфеля π:

Bn−1∆βn + Sn−1∆γn = 0,
n ⩾ 1.
(13)

Наглядный смысл этого условия вполне понятен: изменение капитала
(Bn−1∆βn) за счет изменения состава банковского счета может осуществляться лишь за счет изменения (Sn−1∆γn) в составе «пакета» акций, и
наоборот.
Класс самофинансируемых стратегий π в дальнейшем будем обозначать
SF (от «self-financing» –– самофинансирование).
Отметим также, что из проведенного выше анализа следует, что

(6)+(13) ⇔ (6)+(12).

454