Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Задачи по линейной алгебре и геометрии

Покупка
Артикул: 686414.01.99
Данное пособие содержит подробные решения типовых задач курса линейной алгебры и геометрии, читаемого на мехмате МГУ им. М. В. Ломоносова. Для студентов естественнонаучных специальностей, в первую очередь физико-математических.
Гайфуллин, А. А. Задачи по линейной алгебре и геометрии: Учебное пособие / Гайфуллин А.А. - Москва :МЦНМО, 2014. - 150 с.: ISBN 978-5-4439-2200-3. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/969847 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ЗАДАЧИ 
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
И ГЕОМЕТРИИ

А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов

А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов  ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Читающийся первокурсникам курс линейной алгебры и геометрии является, без сомнения, одним 
из самых важных курсов математических факультетов.
В самом деле, трудно найти такую область естественных наук, в которой не использовались бы 
понятия и методы линейной алгебры и геометрии.
Некоторым пробелом в имеющейся учебно-методической литературе по данному курсу до сих 
пор являлось отсутствие качественного пособия, 
где бы подробно разбирались решения стандартных задач.
Восполнить этот пробел и призвано данное издание.

ISBN 978-5-4439-0168-8

9 785443 901688 >

А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов

Задачи
по линейной алгебре
и геометрии

Электронное издание

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлениям 01.03.01 «Математика»,
01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,
специальности 01.05.01 «Фундаментальные математика и механика»

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 512.64
ББК 22.143
Г14

Гайфуллин А. А., Пенской А. В., Смирнов С. В.
Задачи по линейной алгебре и геометрии.
М.: МЦНМО, 2014.
150 с.
ISBN 978-5-4439-2200-3

Данное пособие содержит подробные решения типовых задач
курса линейной алгебры и геометрии, читаемого на мехмате МГУ
им. М. В. Ломоносова.
Для студентов естественнонаучных специальностей, в первую
очередь физико-математических.

Подготовлено на основе книги:
А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Задачи по линейной
алгебре и геометрии. — М.: МЦНМО, 2014.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.
http://www.mccme.ru

ffi А. А. Гайфуллин,
А. В. Пенской,
С. В. Смирнов, 2014
ISBN 978-5-4439-2200-3
ffi МЦНМО, 2014

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 1. Линейные пространства

1.1. Определение линейного пространства . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Базис, размерность, координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Сумма и пересечение подпространств . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Линейные функции и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7. Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Глава 2. Линейные операторы

2.1. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Ядро и образ линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Собственные значения и собственные векторы . . . . . . . 44
2.4. Жорданова форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Глава 3. Билинейные и квадратичные функции

3.1. Элементарные свойства билинейных
и квадратичных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Приведение квадратичной формы к нормальному
виду невырожденными преобразованиями . . . . . . . . . . 65
3.3. Кососимметрические билинейные и эрмитовы
полуторалинейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Глава 4. Евклидовы и эрмитовы пространства

4.1. Элементарные свойства скалярного произведения . . . . 75
4.2. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3. Матрица Грама и n-мерный объём . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4. Ортогональные проекции, расстояния и углы . . . . . . . . 88

Оглавление

4.5. Геометрия аффинных евклидовых пространств . . . . . . . 93
4.6. Симплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
4.7. Метод наименьших квадратов
и интерполяция функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Глава 5. Линейные операторы в евклидовых
и эрмитовых пространствах

5.1. Сопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
5.2. Самосопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.3. Ортогональные и унитарные операторы . . . . . . . . . . . .115
5.4. Кососимметрические операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.5. Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

Глава 6. Квадратичные формы в евклидовом
пространстве

6.1. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду ортогональными преобразованиями . . . . . . . . . . .132
6.2. Приведение пары квадратичных форм
к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Глава 7. Тензоры

7.1. Основные свойства тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
7.2. Операции над тензорами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

Посвящается светлой памяти
Евгения Григорьевича Скляренко

Предисловие

Читающийся первокурсникам в весеннем семестре курс линейной алгебры и геометрии является, без сомнения, одним из самых
важных курсов в программе механико-математического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова. В самом деле, трудно найти такую область
математики или других естественных наук, в которой не использовались бы понятия и методы из линейной алгебры и геометрии.
Некоторым пробелом в имеющейся учебно-методической литературе по данному курсу до сих пор являлось отсутствие качественного
пособия, где бы подробно разбирались решения стандартных задач.
Восполнить этот пробел и призвано данное издание.
Особую актуальность выпуск данного пособия приобрёл в последние годы, когда всё больше приходящих на мехмат МГУ выпускников
учреждений среднего образования имеет недостаточные навыки усвоения материала лекций и семинаров: всё реже наблюдается умение
качественно конспектировать лекции или делать записи разбираемых
на семинарах задач. Как результат, к сессии первокурсники всё чаще
приходят без читаемых конспектов и внятных записей семинарских
занятий, что приводит к катастрофическим последствиям на зачётах
и экзаменах.
Авторы надеются, что данное пособие, содержащее решения основных типовых задач курса линейной алгебры и геометрии, поможет
до какой-то степени изменить ситуацию к лучшему. В то же время
читающим его первокурсникам, безусловно, не стоит ждать чуда, так
как, с одной стороны, все задачи к типовым не сводятся, а с другой
стороны, представленный материал довольно обширен и за последнюю ночь перед зачётом усвоить материал пособия невозможно.
При написании данного пособия авторы, в первую очередь, ориентировались на программу курса «Линейная алгебра и геометрия»
механико-математического факультета МГУ и на сборник задач [7]
под редакцией Ю. М. Смирнова, который обычно используется на семинарских занятиях по этому курсу. Но поскольку представленные
в пособии задачи в основном являются типовыми, оно будет полез
Предисловие
7

ным не только для студентов мехмата МГУ, но и для всех студентов
физико-математических и инженерных специальностей или для тех,
кто обучается по специальности «Прикладная математика».
Авторы глубоко признательны коллегам по кафедре высшей геометрии и топологии мехмата МГУ под руководством академика РАН
С. П. Новикова. При составлении этого пособия был использован многолетний опыт наших коллег. Особой благодарности заслуживает доцент Е. А. Морозова, которая была инициатором и вдохновителем
работ над данным изданием.
Многие годы лекции по линейной алгебре и геометрии на мехмате МГУ читал безвременно ушедший из жизни профессор Е. Г. Скляренко, который очень много сделал для становления и развития данного курса. Его светлой памяти посвящается данное пособие.

Москва,
январь 2013 г.

ГЛАВА 1

Линейные пространства

1.1. Определение линейного пространства

Задача 1. В каких из следующих случаев указанные операции на
множестве X определены и задают структуру линейного пространства
над полем :

1) = , X — полуплоскость {(x, y) ∈ 2 | x ⩾ 0}, операции сложения
и умножения на числа стандартные (то есть покоординатные);
2) = , X — множество векторов в трёхмерном пространстве, выходящих из начала координат, концы которых лежат на заданной
плоскости; операции стандартные;
3) = , X — множество векторов на плоскости 2, все координаты
которых по модулю не превосходят единицы; операции стандартные;
4) = , X = ; операции стандартные;
5) = , X = (0, +∞), операции сложения ^+ и умножения на числа ^·
заданы формулами
u ^+ v = uv,
λ^· u = uλ;
(1.1)

6) = , X — множество ненулевых комплексных чисел; операции
стандартные;
7) произвольное, X — множество многочленов от одной переменной над степени n, где n∈— некоторое фиксированное число;
операции стандартные;
8) произвольное, X — множество многочленов от одной переменной над степени не выше некоторого фиксированного n ∈ ;
операции стандартные;
9) произвольное, X — множество всех многочленов от одной переменной над ; операции стандартные;
10) произвольное, X — множество всех матриц размера n × m с элементами из ; операции стандартные;

1.1. Определение линейного пространства
9

11) = , X — множество всех непрерывных функций на некотором
заданном отрезке; операции стандартные;
12) = , X = {a + b
2 | a, b ∈ }, операции стандартные?

Решение. 1) Полуплоскость X не является линейным пространством относительно стандартных операций, поскольку не является
даже абелевой группой по сложению: если ненулевой вектор v, не лежащий на оси ординат, содержится в X, то обратный к нему вектор −v
не содержится в X.
2) Если плоскость X не проходит через начало координат, то она
не содержит начала координат, которое является тривиальным элементом относительно покоординатно определённого сложения, и потому
не является линейным пространством. Пусть теперь плоскость X проходит через начало координат; тогда она задаётся уравнением вида

Ax + By + Cz = 0,
(1.2)

где коэффициенты A, B и C одновременно не обращаются в нуль. Если
точка P = (x0, y0, z0) удовлетворяет уравнению (1.2), то и обратная
ей относительно сложения точка (−x0, −y0, −z0) тоже удовлетворяет
уравнению (1.2). В силу линейности сумма любых двух решений этого
уравнения тоже является его решением. Ассоциативность и коммутативность сложения вытекают из ассоциативности и коммутативности
сложения действительных чисел. Поэтому X является абелевой группой относительно покоординатного сложения. Свойства ассоциативности и унитарности умножения на числа и дистрибутивность также
вытекают из свойств действительных чисел, поскольку операции в X
определены покоординатно. Таким образом, если плоскость X проходит через начало координат, стандартные операции превращают её
в линейное пространство.
3) Множество векторов на плоскости, все координаты которых
по модулю не превосходят единицы, не является линейным пространством, поскольку операция покоординатного сложения выводит за его
пределы: например, (1, 1) + (0, 1) = (1, 2).
4) Множество является линейным пространством над полем со
стандартными операциями; поэтому оно является линейным пространством и над любым его подполем (в частности, над ). Действительно,
операция сложения на X не использует свойств поля, а если свойства
ассоциативности и дистрибутивности выполнены для всех элементов
поля, то они выполнены и для всех элементов любого его подполя.
5) Рассмотрим теперь множество X =(0, +∞) с операциями, определёнными формулами (1.1). Поскольку произведение двух положи
Глава 1. Линейные пространства

тельных чисел положительно и произвольная степень любого положительного числа также положительна, операции определены корректно. В силу коммутативности и ассоциативности умножения действительных чисел, операция ^+ коммутативна и ассоциативна, а тривиальным элементом для неё является 1 ∈ . Таким образом, множество X
является абелевой группой относительно ^+. Выберем произвольные
λ, µ ∈ и произвольный элемент u ∈ X; тогда

λ^· (µ^· u) = λ^· uµ = (uµ)λ = uλµ = (λµ)^· u,

то есть умножение на числа ассоциативно. Унитарность этой операции очевидна: 1^· u = u1 = u. Осталось проверить дистрибутивность:
пусть λ, µ — произвольные скаляры, а u, v — произвольные точки множества X. Тогда

(λ + µ)^· u = uλ+µ = uλuµ = uλ ^+ uµ = λ^· u ^+ µ^· u,

λ^· (u ^+ v) = (uv)λ = uλvλ = λ^· u ^+ λ^· v.

Таким образом, множество X является линейным пространством над
полем относительно операций (1.1).
6) Множество ненулевых комплексных чисел не является линейным пространством над полем , поскольку не содержит тривиального элемента относительно сложения (то есть нуля).
7) Множество многочленов фиксированной (ненулевой) степени
тоже не является линейным пространством относительно стандартных операций, поскольку, например, не содержит нуля.
8) Пусть 𝑛[t] — множество всех многочленов с коэффициентами из поля степени не выше n. Тривиальным элементом относительно сложения является многочлен 0, обратным — многочлен с противоположными по знаку коэффициентами. Коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность стандартных операций следуют из аналогичных свойств для элементов основного поля . Таким образом,
𝑛[t] является линейным пространством относительно стандартных
операций.
9) Множество [t] всех многочленов с коэффициентами из поля тоже является линейным пространством относительно стандартных
операций.
10) Множество Mat𝑛×𝑚() всех матриц размера n × m с элементами из поля тоже является линейным пространством относительно
стандартных операций, поскольку сложение матриц и умножение матриц на скаляры поэлементно, тривиальным элементом по сложению

1.2. Линейная зависимость
11

является матрица, состоящая только из нулей, а обратным к матрице A является матрица −A.
11) Рассмотрим теперь множество C[a, b] всех вещественнозначных функций, непрерывных на некотором отрезке [a, b]⊂. Операции
сложения функций и умножения их на число определены корректно,
так как сумма непрерывных функций и произведение непрерывной
функции на число непрерывны. Поскольку эти операции определены
поточечно, выполнение свойств ассоциативности, коммутативности
и дистрибутивности очевидно. Тривиальным элементом по сложению
является тождественный нуль, то есть функция, принимающая лишь
нулевые значения, а обратным элементом к функции f является функция − f, принимающая в каждой точке противоположное по знаку
значение. Таким образом, C[a, b] является линейным пространством
относительно стандартных операций.
12) Легко видеть, что множество X замкнуто относительно операции сложения и относительно операции умножения на рациональное
число. Поскольку это множество является подмножеством множества
действительных чисел, а введённые на нем операции — стандартные,
свойства ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности выполнены автоматически. Тривиальным элементом по сложению является 0 + 0 ·
2, а обратным к элементу a + b
2 является элемент
−a − b
2.

1.2. Линейная зависимость

Задача 2. Каким условиям должен удовлетворять скаляр x, чтобы
векторы (0, x, −1), (x, 0, 1) и (1, −1, x) из 3 были линейно зависимы?
Каким будет ответ на этот же вопрос при замене 3 на 3?

Решение. Запишем координаты трёх заданных векторов по строкам в матрицу. Поскольку строки матрицы линейно зависимы тогда
и только тогда, когда она вырождена, достаточно вычислить её определитель:

det

0
x
−1
x
0
1
1
−1
x

= −x3 + 2x = x(2 − x2).

Таким образом, заданные векторы линейно зависимы тогда и только
тогда, когда x = 0 или x = ±
2.
Однако если заменить линейное пространство 3 на 3, ответ
изменится. Действительно, в этом случае нас интересуют лишь векторы с рациональными координатами, а при x = ±
2 ни один из трёх