Методы интегральных преобразований в задачах математической физики

А. В. Омельченко

МЕТОДЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

в задачах математической физики

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 517.958
ББК 22.161.6
О57

Омельченко А. В.
Методы интегральных преобразований в задачах математической физики.
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
181 с.
ISBN 978-5-4439-2160-0

Пособие предназначено для студентов, изучающих математические основы современной
теоретической и прикладной физики: Его главная цель — изложить теоретические основы
и развить практические навыки решения уравнений в частных производных с начальнокраевыми условиями. eue Для решения начально-краевых задач с неоднородностями методы классической теории интегральных преобразований излагаются в сочетании с методами
теории обобщенных функций и обобщенных решений. Основное внимание уделяется описанию практических методов решения в обобщенных функциях. Книга примерно соответствует
годовому курсу математической физики.

Подготовлено на основе книги: Омельченко А. В. Методы интегральных
преобразований в задачах математической физики. М.: МЦНМО, 2010.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)-241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2160-0
© Омельченко А. В., 2010
© МЦНМО, 2014

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Гл а в а 1. Уравнения в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . .
9

§ 1.
Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 2.
Классификация основных уравнений математической физики . . . .
11
§ 3.
Основные уравнения математической физики. Начально-краевые
задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

Гл а в а 2. Регулярная задача Штурма—Лиувилля . . . . . . . . . . . . .
21

§ 1.
Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§ 2.
Простейшие свойства регулярной задачи Штурма—Лиувилля . . .
23
§ 3.
Функция Грина задачи Штурма—Лиувилля . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 4.
Основные сведения из теории линейных интегральных уравнений .
29
§ 5.
Разложение функций в ряд Фурье по системе собственных функций
задачи Штурма—Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Гл а в а 3. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

§ 1.
Схема метода Фурье на примере задачи о колебаниях конечной струны 34
§ 2.
Схема метода Фурье для уравнения второго порядка с разделяющимися переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
§ 3.
Примеры использования метода Фурье в задачах параболического
и эллиптического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
§ 4.
Обоснование метода Фурье на примере обобщенного уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 5.
Простейшие методы решения неоднородных задач . . . . . . . . . .
50

Гл а в а 4. Цилиндрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57

§ 1.
Разделение переменных в уравнении Лапласа в цилиндрической системе координат. Уравнения Бесселя
. . . . . . . . . . . . . . . . .
57
§ 2.
Функция Бесселя
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
§ 3.
Цилиндрические функции II и III рода. Модифицированные функции
Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
§ 4.
Схема метода Фурье в задаче о стационарном распределении температуры в конечном цилиндре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
§ 5.
Рекуррентные соотношения для цилиндрических функций. Норма
функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71

Оглавление

Гл а в а 5. Интегральные преобразования в случае дискретного спектра
75

§ 1.
Понятие интегрального преобразования. Интегральное преобразование по пространственной переменной . . . . . . . . . . . . . . . .
75
§ 2.
Интегральное преобразование по времени
. . . . . . . . . . . . . .
84
§ 3.
Интегральные преобразования в сингулярных задачах с дискретным
спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

Гл а в а 6. Интегральные преобразования в случае непрерывного спектра100

§ 1.
Интегральные преобразования по пространственной переменной.
Предварительные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
§ 2.
Интегральное преобразование Лапласа в случае непрерывного
спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
§ 3.
Метод Фурье в задачах с непрерывным спектром . . . . . . . . . .
117

Гл а в а 7. Обобщенные функции. Непрерывный спектр. Обобщенные
условия ортогональности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120

§ 1.
Определение основных и обобщенных функций
. . . . . . . . . . .
120
§ 2.
Регулярные и сингулярные обобщенные функции
. . . . . . . . . .
121
§ 3.
Простейшие свойства обобщенных функций . . . . . . . . . . . . .
125
§ 4.
Дифференцирование обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . .
126
§ 5.
Дифференциальные уравнения и обобщенные функции. Понятие
фундаментального решения дифференциального уравнения . . . . .
127
§ 6.
Обобщенные функции, зависящие от параметра. Дельта-образные
последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
§ 7.
Обобщенная ортогональность собственных функций в случае непрерывного спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
§ 8.
Полнота собственных функций непрерывного спектра . . . . . . . .
133
§ 9.
Другие интегральные преобразования на полуоси . . . . . . . . . .
135
§ 10. Интегральное преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
§ 11. Примеры использования интегральных преобразований в методе
разделения переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138

Гл а в а 8. Решение начально-краевых задач в обобщенных функциях .
142

§ 1.
Постановка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
§ 2.
Задачи с дискретным спектром в обобщенных функциях
. . . . . .
145
§ 3.
Преобразование Фурье обобщенных функций и его использование
при решении начально-краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§ 4.
Обобщенное синус-преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . .
165
§ 5.
Схема использования обобщенных интегральных преобразований
в задачах с непрерывным спектром
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
173

Список литературы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180

Предисловие

Данное пособие предназначено прежде всего для студентов, изучающих
математические основы современной теоретической и прикладной физики. В современной физике еще со времен Д. Максвелла, О. Хевисайда
и П. Дирака широко используется понятие обобщенной функции. После выхода в начале 50-х годов прошлого века монографии Л. Шварца
[27] теория обобщенных функций приобрела широкую популярность.
Студентам-физикам, особенно тем, кто специализируется в области физики конденсированного состояния, квантовой физики, физики элементарных
частиц, необходимо уметь грамотно использовать теорию обобщенных
функций при решении начально-краевых задач для уравнений в частных
производных. Основная цель данного пособия — изложить теоретические
основы и развить практические навыки решения подобных задач.
В основу данного пособия положены занятия, которые автор вел в течении последних лет на физико-техническом факультете Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. С идейной точки
зрения пособие существенным образом опирается на методические разработки сотрудников кафедр математической физики Санкт-Петербургского
государственного политехнического университета и Санкт-Петербургского
государственного университета.
Несомненным методологическим достижением основателей кафедры
математической физики политехнического университета Г. А. Гринберга,
Н. Н. Лебедева, Я. С. Уфлянда, И. П. Скальской и др. было последовательное использование при решении неоднородных задач математической
физики так называемого метода собственных функций — метода, обобщающего классический метод Фурье на случай неоднородных условий
(см. [10]). Множество примеров из различных областей механики, теории
теплопроводности, теории электрических и магнитных явлений, решаемых
этим методом, было собрано в хорошо известном «Сборнике задач по
математической физике» [17].
Центральной идеей преподавания основ математической физики в СанктПетербургском государственном университете была «замена классических постановок краевых задач обобщенными» [16]. Понятие обобщенных
решений, возникшее в работах С. Л. Соболева и развитое О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой, В. М. Бабичем и их учениками, легло в основу
целого ряда учебников и учебных пособий, изданных сотрудниками кафедры математической физики Санкт-Петербургского университета.

Предисловие

В данном пособии предпринята попытка синтеза методов классической теории интегральных преобразований с методами теории обобщенных
функций и обобщенных решений для решения начально-краевых задач
с неоднородностями. Такие неоднородности могут входить в уравнение,
в начальные или в граничные условия, иметь особенности или же являться
обобщенными функциями. Пособие развивает идеи, изложенные в учебных
пособиях В. М. Бабича и его учеников [1, 2], в которых авторы активно
используют аппарат теории обобщенных функций как для обоснования
классического метода Фурье, так и для решения задач с дискретным или
непрерывным спектром.
Основное внимание в пособии уделяется описанию практических методов решения начально-краевых задач в обобщенных функциях. Аккуратное
математическое обоснование данных методов можно найти в монографиях
[7, 8, 9, 11], учебниках [4, 5], учебном пособии [2], а также в цикле
методических работ И. Е. Зино и Э. А. Троппа [12, 13].
Книга состоит из восьми глав и примерно соответствует годовому курсу
математической физики. Материал первой части пособия (главы с первой
по четвертую) достаточно традиционен и потому по возможности краток.
Основная цель этой части — как можно быстрее подвести читателя к методу разделения переменных — методу Фурье, а также научить его решать
задачи этим методом в декартовой и цилиндрической системах координат.
В первой, очень короткой главе производится классификация уравнений
математической физики, выписываются основные уравнения и формулируются основные постановки задач для этих уравнений. Вторая глава
целиком посвящена регулярной задаче Штурма—Лиувилля. В третьей главе описывается классический метод Фурье решения задач с дискретным
спектром, проводится его обоснование и рассматриваются простейшие
обобщения метода на случай неоднородных условий. Наконец, в четвертой
главе дается достаточно полное описание наиболее часто встречающихся
в физической практике специальных функций, появляющихся при разделении переменных в цилиндрической системе координат.
Наиболее важной с идейной точки зрения является пятая глава, в которой подробно описывается метод интегральных преобразований в случае
ограниченных областей изменения пространственных переменных. Естественное желание упростить задачу при помощи интегрального преобразования приводит к регулярной задаче Штурма—Лиувилля на ядро интегрального преобразования. Наряду с интегральным преобразованием по
пространственной переменной для задач гиперболического и параболического типов рассматривается и интегральное преобразование по времени—
преобразование Лапласа. При этом интегральное преобразование Лапласа
не предъявляется, как это часто делается, априори, а выводится из тех

Предисловие
7

же соображений, что и для интегральных преобразований по пространственной переменной. Подчеркивается связь особых точек изображения
по Лапласу решения начально-краевой задачи с дискретным спектром
задачи Штурма—Лиувилля, появляющимся в процессе пространственного
интегрального преобразования.
В шестой главе излагаются классические методы интегральных преобразований по пространству и времени в случае задач с непрерывным
спектром. Показывается, что ответ можно чаще всего получить, используя
дополнительные предположения о поведении решения на бесконечности.
Эти предположения, однако, далеко не всегда справедливы. Избавиться от
необходимости в подобных предположениях позволяет теория обобщенных
функций. Краткое изложение основ этой теории приведено в седьмой главе.
Заключительная, восьмая глава посвящена построению решений начально-краевых задач в обобщенных функциях. Общую схему использования интегральных преобразований для решения такого рода задач
достаточно сложно описать, а уж тем более—строго обосновать. Поэтому
в данной главе достаточно подробно рассматриваются только три класса
таких задач: задачи с дискретным спектром, задачи, связанные с интегральным преобразованием Фурье, а также задачи, связанные с синуспреобразованием Фурье. Во всех трех случаях описывается методика перехода от постановки задачи в классическом смысле к постановке задачи
в обобщенных функциях, демонстрируется техника построения формального решения задачи, проводится объяснение и обоснование использованных
при построении решения идей, методов и алгоритмов.
В заключение хотелось бы поблагодарить всех тех, кто помог в написании и издании этой книги. Я особо признателен профессору Э. А. Троппу,
пригласившему меня в свое время прослушать свой лекционный курс,
а затем и провести мои первые практические и лекционные занятия
для студентов физических факультетов Политехнического университета.
Мне очень приятно поблагодарить моих друзей и коллег — В. Р. Мешкова,
А. А. Богданова, А. М. Кузнецова и М. И. Петрова—за их многочисленные
полезные замечания и предложения, несомненно способствовавшие улучшению представленного в пособии материала. Наконец, хочется отдельно
поблагодарить всех студентов, прослушавших данный курс и своим неравнодушным отношением к предмету вдохновивших меня на написание этого
учебного пособия.

Г Л А В А 1

Уравнения в частных производных

§ 1. Основные определения

1.
Пусть функция u зависит от нескольких (n > 1) независимых переменных x1, . . . , xn.

Определение. Уравнение, связывающее переменные x1, . . ., xn, функцию u и частные производные от нее, называется дифференциальным
уравнением в частных производных.
Порядок входящей в уравнение старшей производной называется порядком соответствующего уравнения. В частности, уравнение второго порядка в случае двух независимых переменных x и y в самом общем виде
записывается так:

F(u, x, y, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,
uxx = ∂2u

∂x2 ,
uxy = ∂2u

∂x∂y,
uyy = ∂2u

∂y2 .

Здесь F — заданная функция своих аргументов.

Определение. Уравнение в частных производных называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных
искомой функции.

Пример. Квазилинейное уравнение второго порядка для функции, зависящей от двух независимых переменных, имеет следующий вид:

A(x, y, u, ux, uy) ∂2u

∂x2 + B(x, y, u, ux, uy) ∂2u

∂x∂y +

+ C(x, y, u, ux, uy) ∂2u

∂y2 + D(x, y, u, ux, uy) = 0.

Определение. Уравнение в частных производных называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех ее частных
производных.

Глава 1. Уравнения в частных производных

Пример. В случае функции u(x, y) линейное уравнение второго порядка в общем случае выглядит так:

A(x, y) ∂2u

∂x2 + B(x, y) ∂2u

∂x∂y + C(x, y) ∂2u

∂y2 +

+ D(x, y) ∂u

∂x + E(x, y) ∂u

∂y + G(x, y)u = F(x, y).

2. Определение. Решением уравнения в частных производных называется любая функция u(x1, . . . , xn), которая при подстановке ее в уравнение обращает это уравнение в тождество.
Уже в случае обыкновенных дифференциальных уравнений имеется
бесчисленное множество решений, соответствующих различным значениям произвольных постоянных (так называемый константный произвол в
решении). В случае уравнений в частных производных также имеется бесчисленное множество частных решений; при этом решение может зависеть
уже не от одной или нескольких констант, а от одной или нескольких
произвольных функций (функциональный произвол в решении).
Пример 1. Рассмотрим уравнение в частных производных первого
порядка с двумя независимыми переменными x и y, не содержащее производной по y:
F(x, y, u, ux) = 0.

Такое уравнение можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение, зависящее от y как от параметра. Общее решение этого
уравнения при фиксированном значении y записывается в виде

u =
f(x, y, C).

Здесь C — постоянная интегрирования, не зависящая от x, которая, однако, может быть произвольной функцией «параметра» y. Таким образом,
наиболее общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде

u =
f(x, y, g(y)),

где g(y) — произвольная функция своего аргумента. Иными словами, решение нашего уравнения имеет функциональный произвол.
Пример 2. Рассмотрим уравнение в частных производных второго порядка
∂2u
∂x∂y = 0.

Переписав его как
∂
∂x

∂u

∂y

= 0,

§ 2. Классификация основных уравнений математической физики
11

видим, что производная uy не зависит от x, т. е.

∂u
∂y = h(y).

Интегрируя последнее равенство по y и замечая, что постоянная интегрирования есть постоянная по отношению к y, т. е. произвольная функция
переменной x, получаем

u =

℄

h(y) dy + f(x).

Поскольку функция h(y) произвольна, неопределенный интеграл от нее
вновь представляет собой некую произвольную функцию переменной y.
Поэтому окончательно имеем

u(x, y) = f(x) + g(y).

Таким образом, в рассматриваемом примере общее решение зависит от
двух произвольных функций.
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, в теории
уравнений в частных производных построение общего решения является
скорее исключением, чем правилом. Обычно в теории таких уравнений
ищутся частные решения, удовлетворяющие тем или иным дополнительным условиям, вытекающим из физического смысла задачи и однозначно
определяющим решение. Такими дополнительными условиями чаще всего
являются так называемые граничные условия, т. е. условия, заданные
на границе рассматриваемой области определения искомой функции u,
а также начальные условия, задающие состояние физической системы
в момент начала изучения рассматриваемого физического явления.

§ 2. Классификация основных уравнений
математической физики

1.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными x, y:

a11
∂2u
∂x2 + 2a12
∂2u
∂x∂y + a22
∂2u
∂y2 + b1
∂u
∂x + b2
∂u
∂y + cu + d = 0
⇐⇒

⇐⇒
a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2uy + cu + d = 0.
(1.1)

Здесь a11, a12, a22, b1, b2, c, d — заданные функции переменных x и y.
Попытаемся с помощью невырожденной замены переменных

x =
x(x, y),
h =
h(x, y),
J :=
xx

xy

hx

hy

̸= 0,

максимально упростить это уравнение.

Глава 1. Уравнения в частных производных

Для этого выразим производные функции u по старым переменным
через производные этой функции по переменным
x,
h:

ux = u

x

xx + u

h

hx,
uy = u

x

xy + u

h

hy,

uxx = u

xx

x2
x + u

xh

hx

xx + u

x

xxx + u

hh

h2
x + u

xh

hx

xx + u

h

hxx,

uyy = u

xx

x2
y + u

xh

hy

xy + u

x

xyy + u

hh

h2
y + u

xh

hy

xy + u

h

hyy,

uxy = u

xx

xx

xy + u

xh

xx

hy + u

x

xxy + u

hh

hx

hy + u

xh

xy

hx + u

h

hxy.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим уравнение
вида
a11u

xx + 2a12u

xh + a22u

hh + b1u

x + b2u

h + cu + d = 0,

где, в частности,

a11 = a11

x2
x + 2a12

xx

xy + a22

x2
y,

a12 = a11

xx

hx + a12(
xx

hy +
xy

hx) + a22

xy

hy,

a22 = a11

h2
x + 2a12

hx

hy + a22

h2
y.

(1.2)

Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что

a2
12 − a11a22 = (a2
12 − a11a22)J2.

По условию якобиан J преобразования переменных отличен от нуля. Поэтому выражение
D := a2
12 − a11a22

не меняет знак при любой невырожденной замене переменных. Следовательно, знак D характеризует само уравнение, является инвариантом этого
уравнения.
Определение. Говорят, что уравнение (1.1) принадлежит
1) гиперболическому типу, если D > 0,
2) параболическому типу, если D = 0,
3) эллиптическому типу, если D < 0.
При невырожденной замене переменных в нашем распоряжении имеются две функции
x(x, y) и
h(x, y). Покажем, что их можно выбрать так,
чтобы в зависимости от типа уравнения выполнялось одно из следующих
условий:
1) a11 = a22 = 0 (гиперболический тип);
2) a11 = a12 = 0 (параболический тип);
3) a12 = 0, a11 = a22 (эллиптический тип).