Введение в теорию схем и квантовые группы.
Покупка
Автор:
Манин Юрий Иванович
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 256
Дополнительно
Вид издания:
Курс лекций
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-4439-2159-4
Артикул: 682438.01.99
Язык «пучков с нильпотентами»— неотъемлемая часть багажа совре-
менного математического физика, особенно изучающего или использующего
приложения суперсимметрий.
Книга содержит обработанную запись двухгодового курса лекцийЮ.И.Ма-
нина по теории схем Гротендика — геометризации коммутативной алгебры.
Изложение исключительно прозрачно и доступно студентам второго курса
математических факультетов и чуть более старших курсов—физических.
Несуществующая пока некоммутативная геометрия—наука, изучающая
некоммутативные алгебры «функций на том, что мы пока не умеем опре-
делить». Третья глава книги излагает введение в теорию квадратичных ал-
гебр и квантовых групп—раздел некоммутативной геометрии, возникший из
примеров и теории интегрируемых динамических систем. Квантовые группы
описывают (до этих лекций неизвестные) симметрии обычных пространств,
гораздо бо´ льшие, чем те, что описывают группы Ли.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Ю. И. Манин Введение в теорию схем и квантовые группы Под редакцией Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2014
УДК 512.7, 512.667 ББК 22.147 М23 Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы Под ред. Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского Электронное издание М.: МЦНМО, 2014 256 с. ISBN 978-5-4439-2159-4 Язык «пучков с нильпотентами» — неотъемлемая часть багажа современного математического физика, особенно изучающего или использующего приложения суперсимметрий. Книга содержит обработанную запись двухгодового курса лекций Ю. И. Манина по теории схем Гротендика — геометризации коммутативной алгебры. Изложение исключительно прозрачно и доступно студентам второго курса математических факультетов и чуть более старших курсов — физических. Несуществующая пока некоммутативная геометрия — наука, изучающая некоммутативные алгебры «функций на том, что мы пока не умеем определить». Третья глава книги излагает введение в теорию квадратичных алгебр и квантовых групп — раздел некоммутативной геометрии, возникший из примеров и теории интегрируемых динамических систем. Квантовые группы описывают (до этих лекций неизвестные) симметрии обычных пространств, гораздо б ´ольшие, чем те, что описывают группы Ли. Подготовлено на основе книги: Ю. И. Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы / Под ред. Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского. — М.: МЦНМО, 2012. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11, тел. (499)-241-74-83 http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-2159-4 © Ю. И. Манин, 2012 © МЦНМО, 2014
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Предисловие к новому изданию. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Г л а в а 1. Аффинные схемы Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 1.1. Уравнения и кольца . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 1.2. Геометрический язык: точки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 13 § 1.3. Геометрический язык (продолжение). Функции на спектрах и топология Зарисского . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 § 1.4. Основные свойства топологии Зарисского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 § 1.5. Аффинные схемы . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 § 1.6. Топологические свойства некоторых морфизмов . . . .. . . . . . . . . . . . 36 § 1.7. Замкнутые подсхемы и примарное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . 45 § 1.8. Теорема Гильберта о нулях . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 53 § 1.9. Отступление: дзета-функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 57 § 1.10. Расслоенное произведение . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 § 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 § 1.12. Векторные расслоения и проективные модули . . . . .. . . . . . . . . . . . 77 § 1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения. . . .. . . . . . . . . . . . 86 § 1.14. Дифференциалы . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 § 1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри . . . . . . . . . . . . . 94 § 1.16. Добавление. Язык категорий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Г л а в а 2. Пучки, схемы и проективные пространства § 2.1. Общие сведения о пучках. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 108 § 2.2. Структурный пучок на Spec A: случай кольца без делителей нуля . . . 114 § 2.3. Структурный пучок на Spec A: общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 § 2.4. Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность . . . . . . . . . . 119 § 2.5. Морфизмы схем . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 § 2.6. Проективные спектры . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 § 2.7. Алгебраические инварианты градуированных колец. Многочлен Гильберта . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 § 2.8. Характеристические функции и теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Оглавление § 2.9. Предпучки и пучки модулей: обзор. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 141 § 2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными схемами . . . . . . . . . . . . . 145 § 2.11. Обратимые пучки и группа Пикара . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 148 § 2.12. Когомологии Чеха. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 § 2.13. Когомологии проективного пространства. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 163 § 2.14. Теорема Серра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 § 2.15. Пучки на Proj R и градуированные модули. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 § 2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 § 2.17. Группа Гротендика: первые сведения . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 180 § 2.18. Резольвенты и гладкость . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Г л а в а 3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия Введение . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 § 3.1. Квантовая группа GLq(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194 § 3.2. Биалгебры и алгебры Хопфа. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 199 § 3.3. Квадратичные алгебры как квантовые линейные пространства. . . . . . 205 § 3.4. Пространства квантовых матриц I. Категорная точка зрения. . . . . . . 209 § 3.5. Пространства квантовых матриц II. Координатный подход . . . . . . . . 212 § 3.6. Добавление потерянных соотношений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 § 3.7. От полугрупп к группам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 § 3.8. Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант . . . .. . . . . . . . . . . 225 § 3.9. Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр . . . . . . . 228 § 3.10. ∗-алгебры Хопфа и компактные матричные псевдогруппы . . . . . . . . 235 § 3.11. Уравнения Янга—Бакстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 § 3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера. . . . . . 241 § 3.13. Некоторые открытые проблемы . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 246 Литература . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Литература, добавленная редактором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Предисловие редактора Мне давно хотелось сделать доступными манинские «Лекции по алгебраической геометрии» [19, 15*] — мою первую любовь. Написанные практически одновременно с брошюрой И. Макдональда [33*] и лекциями Мамфорда [42], манинские лекции поразительно отличаются от них прозрачностью и доходчивостью. Даже появившаяся позже книга Атьи и Макдональда «Коммутативная алгебра» [1] и еще более наглядное изложение геометрии коммутативной алгебры М. Ридом в книге [17*], которую я рекомендую как дополнение к этой книге, не смогли заменить эти лекции. О пучках можно теперь прочесть не только довольно скучноватую книгу Годмана (в переводе с французского превращенного в Годемана) [8], но и интересную (хотя и толстую) книгу [10*]. Я счастлив, что уговорил, наконец, автора переиздать эти лекции. За прошедшие 40 лет они совсем не устарели. Наоборот! Лишь теперь их важность стала доходить не только до математиков, но и до физиков-теоретиков. Без элементов теории категорий, особенно понятий представимого и копредставимого функторов, сейчас невозможно внятно (и верно) изложить многие результаты (а то и понятия) современной физики (например, связанные с суперсимметриями). Книги [34*, 7*] — замечательные учебники теории категорий, но все-таки толстоватые. Студента или физика они могут и отпугнуть. Вкратце (слишком кратко) нужный материал был изложен по-русски разве лишь в переводе первого издания учебника Ленга по алгебре, откуда к третьему изданию [31*] категории были как бы изгнаны (видимо, чтобы объем книги не перевалил за 1000 страниц), но без (ко)представимого функтора обойтись не удалось. А в книге, которую вы держите в руках и первые издания которой ([19] + [15*]) вышли лишь в 200 + 500 экземплярах и давно исчезли, все абсолютно необходимое изложено (с примерами!) на нескольких страницах. Третья глава содержит, среди прочего, потрясающее естественное описание квадратичных алгебр и связанных с ними «скрытых» огромных квантовых симметрий многих «коммутативных» классических объектов. (Через полгода после того как я слушал двухчасовую лекцию Ю. И. Манина о них в зимней школе под Москвой, я эту лекцию воспроизвел по памяти в Мичиганском университете: все действительно замечательное — просто.) Тем удивительнее, что эти симметрии никто до сих пор не изучает. Д. Лейтес
Предисловия Предисловие к новому изданию В этой книге собраны под одной обложкой записи двух курсов лекций, читанных автором в 1966–68 и 1988 гг. соответственно. Первый из них был посвящен в основном аффинным схемам, т. е. объяснению того, как любое коммутативное кольцо можно рассматривать в качестве кольца функций на некотором пространстве. Одной из центральных тем второго курса было распространение этого подхода на теорию некоммутативных колец: квантовые группы в этом курсе рассматриваются как симметрии «некоммутативных аффинных пространств». Я надеюсь, что элементарное педагогическое введение в алгебраический язык двух геометрий, коммутативной и некоммутативной, все еще может быть полезным молодому читателю, тем более что вторая часть его существовала до сих пор лишь в виде малодоступного издания на английском языке. Конечно, читатель должен иметь в виду, что обе геометрии бурно развивались в течение последних десятилетий и есть много книг, излагающих новые результаты и точки зрения. Я органически неспособен редактировать мои старые тексты: если я начинаю это делать, то меня охватывает непреодолимое желание выкинуть всё и переписать полностью заново. А интереснее сделать что-нибудь новое. Поэтому я хочу от души поблагодарить Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского, избавивших меня от этого неблагодарного занятия, и добавить лишь несколько слов о квантовых группах. Хорошее введение в эту многогранную структуру — книга Касселя [11*]. Мой подход постепенно развивался в направлении, следуя которому, один и тот же основополагающий принцип — построить матрицу с некоммутирующими элементами, удовлетворяющими лишь абсолютно необходимым коммутационным соотношениям — оказался применим во все более широком контексте н е к о м м у т а т и в н ы х геометрий. В моей книге [36*] показано, среди прочего, что ограничиваться квадратичными алгебрами (как это сделано в гл. 3 этой книги) совершенно необязательно. В статье [25*] показано, что история о квадратичных алгебрах обобщается на операды, а в статье [22*] — что соответствующая теорема из моей принстонской книжки [36*] проходит в очень широком контексте операдоподобных объектов. Опуская дюжину работ в том же духе, хочу обратить внимание читателя на недавние препринты arXiv:0711.2236 и arXiv:0901.0235. Ю. И. Манин
Г Л А В А 1 АФФИННЫЕ СХЕМЫ Введение В первой главе наша цель—практически научить читателя геометрическому языку коммутативной алгебры. Необходимость излагать алгебраический материал отдельно и затем «применять» его к алгебраической геометрии постоянно обескураживала геометров: О. Зарисский и П. Самюэль очень выразительно пишут об этом в предисловии к книге «Коммутативная алгебра» [11]. Появление теории схем A. Гротендика открыло счастливую возможность вообще не проводить границу между «геометрией» и «алгеброй» — они выступают теперь как дополнительные аспекты единого целого, подобно многообразиям и пространствам функций на них в других геометрических теориях. С этой точки зрения к о м м у т а т и в н а я а л г е б р а с о в п а д а е т с т е о р и е й л о к а л ь н ы х г е о м е т р и ч е с к и х о б ъ е к т о в — а ф ф и н н ы х с х е м (вернее, функториально ей двойственна). Расшифровка последней фразы и составляет содержание главы. Я попытался последовательно объяснить, какого рода геометрические представления должны быть связаны, скажем, с примарным разложением, модулями и нильпотентами. По словам Г. Вейля, пространственная интуиция «неоценима, если сознавать ее ограниченность». Я хотел учесть оба члена этой изящной формулировки. Конечно, геометрический акцент оказал сильное влияние и на выбор материала; в частности, эта глава должна подготовить почву для введения глобальных объектов. Поэтому в параграфе о векторных расслоениях на «наивном» уровне изложены конструкции, принадлежащие по существу уже теории пучков. Наконец, мне хотелось как можно раньше ввести категорные понятия, которые не так важны в локальных вопросах, но играют все большую роль в дальнейшем. Читателю рекомендуется заранее просмотреть добавление «Язык категорий» и возвращаться к нему по мере необходимости 1). 1)Сегодня можно посоветовать читателю также и книги [34*] и [7*]. — Здесь и далее примечания редакторов.
Гл. 1. Аффинные схемы Следующий небольшой список литературы не претендует на полноту. Он должен помочь читателю быстрее войти в рабочие аспекты теории, которые в этих записках отложены, быть может, слишком надолго. Общие курсы: [25], [19], [42], [10], [3]–[5]. Более специальные вопросы: [19], [18], [20], [21]. § 1.1. Уравнения и кольца Изучение алгебраических уравнений—древнейшая математическая наука. В новые времена мода и удобства диктуют обращение к кольцам. Рассмотрим систему уравнений X: Fi(T) = 0, где i ∈ I, T = (Tj)j∈J. Здесь T = (Tj) — независимые переменные, I, J — некоторые множества индексов, Fi —многочлены из кольца K[T]. Кольцо K, в котором лежат коэффициенты, считается фиксированным, оно называется основным кольцом или кольцом констант. О системе X говорят, что она определена над K. Таким образом, система уравнений, по определению, состоит из следующих объектов: 1) кольцо констант K; 2) «неизвестные» T; 3) многочлены Fi («левые части»). Что следует называть решением системы X? Одно определение напрашивается: решение есть набор элементов t = = (tj)j∈J кольца K такой, что Fi(t) = 0 при всех i ∈ I. Однако это определение слишком ограничительно: нас могут интересовать решения, не принадлежащие K, например, комплексные корни многочлена с вещественными коэффициентами. Более общ ´о, пусть L — некоторое кольцо. Чтобы рассматривать решения системы X в кольце L, мы должны уметь подставлять элементы из L в многочлены с коэффициентами из K, в частности, уметь умножать L на элементы из K. Класс таких колец L выделяется следующим определением. 1.1.1. Определение. K-алгеброй L называется множество L, снабженное структурами K-модуля и кольца, которые связаны следующими аксиомами: а) внешнее умножение K × L → L дистрибутивно относительно сложения слева и справа; б) k(l1l2) = (kl1)l2 для всех k ∈ K, l1, l2 ∈ L. 1.1.2. Лемма. Пусть L — некоторая K-алгебра, тогда отображение K → L: k → k1L, где 1L — единица в L, является гомоморфизмом колец.
§ 1.1. Уравнения и кольца 9 Наоборот, пусть L—некоторое кольцо, f: K → L—гомоморфизм колец. Тогда умножение K × L → L, определенное формулой (k, l) → f(k)l для любых k ∈ K, l ∈ L, определяет на L структуру K-алгебры. Д о к а з а т е л ь с т в о, сводящееся к автоматической проверке аксиом, мы оставляем читателю. Гомоморфизмом K-алгебр f: L1 → L2 называется отображение, которое одновременно является гомоморфизмом K-модулей и колец. 1.1.3. Пример. Любое кольцо L является Z-алгеброй (Z всегда обозначает кольцо целых чисел). Эта структура определена однозначно гомоморфизмом Z → L, при котором единица переходит в единицу. Теперь мы можем определить, что такое решение системы X. 1.1.4. Определение. Решением системы X со значениями в K-алгебре L называется семейство элементов t = (tj)j∈J, tj ∈ L, для которого Fi(t) = 0 при всех i ∈ I. Множество таких решений обозначается X(L). По предыдущему замечанию, для системы с целыми коэффициентами можно рассматривать ее решения в любом коммутативном кольце. Пусть f: L1 → L2 — гомоморфизм K-алгебр. Сопоставляя каждому решению t = (tj) системы X со значениями в L1 решение (f(tj)) этой же системы со значениями в L2, получаем отображение множеств X(L1) → X(L2). Следующее старинное рассуждение содержит в зародыше обе эти идеи. 1.1.5. Примеры. 1) Язык сравнений. Пусть n — целое число вида 4m + 3. Вот классическое доказательство того, что n не является суммой двух квадратов целых чисел: иначе было бы разрешимо сравнение T2 1 + T2 2 ≡ 3 (mod 4); простейший перебор показывает, что это не так. С нашей точки зрения это означает следующее. Пусть X — уравнение T2 1 + T2 2 = n, где K = Z. Мы хотим доказать, что X(Z) = ∅. Рассмотрим гомоморфизм Z → Z/(4) (редукция по модулю 4); он определяет отображение множеств решений X(Z) → X(Z/4Z). Если бы X(Z) было непусто, то и X(Z/4Z) было бы непусто, что не так. Более общ ´о, для любой системы уравнений X с целыми коэффициентами и любого целого числа m мы можем рассматривать множества X(Z/mZ)
Гл. 1. Аффинные схемы и пытаться извлекать отсюда сведения о X(Z). Вообще, если X(L) = ∅ для какого угодно нетривиального (1 ̸= 0) кольца L, то и X(Z) = ∅. (Практически обычно проверяют конечные кольца Z/mZ и поле вещественных чисел R.) Ряд самых глубоких результатов теории диофантовых уравнений связан с вопросом, когда верно обратное утверждение. Прототипом их является теорема Лежандра: пусть X — уравнение a1T2 1 + a2T2 2 + a3T2 3 = 0, где K = Z; если X(Z) = {(0, 0, 0)}, то хотя бы для одного из колец L = Z/mZ, где m ̸= 0, 1, или L = R имеем X(L) = {(0, 0, 0)} [2, гл. 1, § 7]. 2) Пусть K = R, число неизвестных конечно и равно n. Тогда X(R) ⊂ Rn есть алгебраическое множество над R, X(C) ⊂ Cn — его «комплексификация». Из-за алгебраической замкнутости поля C изучение множества X(C) часто оказывается более легким и в большинстве случаев составляет необходимый первый этап исследования, даже если мы в основном интересуемся чисто вещественными вопросами. Яркий пример доставляет следующая теорема Харнака. Пусть F(T0, T1, T2) — форма степени d с вещественными коэффициентами. Уравнение F = 0 определяет на вещественной проективной плоскости кривую X(R). Теорема Харнака утверждает, что число связных компо нент этой кривой не превосходит (d − 1)(d − 2) 2 + 1. 0 1 2 T1 T0 T2 T0 F = T0T 2 1 − T2(T2 − T0)(T2 − 2T0) X(R) на проективной плоскости Рис. 1.1 X(R) ⊂ X(C) тор X(C) Рис. 1.2 Метод доказательства теоремы основан именно на вложении X(R) в X(C), а не в проективную плоскость, где она банально помещается с самого начала. Ограничимся для простоты случаем, когда кривая X(C) «неособа», то есть является компактным ориентируемым двумерным многообразием.
§ 1.1. Уравнения и кольца 11 Его род, то есть «число ручек», равен тогда (d − 1)(d − 2) 2 (на рис. 1.2: d = = 3, X(C) —тор). Доказательство теоремы основано на двух утверждениях. Прежде всего, автоморфизм комплексного сопряжения действует на X(C) непрерывно, и X(R) является в точности множеством неподвижных точек этого автоморфизма. Кроме того, если «разрезать» X(C) вдоль X(R), то X(C) распадется в точности на два куска, как распадается сфера Римана, разрезанная вдоль вещественной оси (случай d = 1). Отсюда оценка Харнака получается уже несложными чисто топологическими соображениями; см., например, [24, § 44]. 3) X — уравнение 0 · T + 2 = 0, где K = Z. Очевидно, X(L) = ∅, если 2 · 1L ̸= 0, L, если 2 · 1L = 0. Пример нарочито искусственный, но подобные ему встречаются в «арифметической геометрии»: дискриминанты и дифференты появляются именно так. 1.1.6. Определение. Две системы уравнений X, Y с одними и теми же неизвестными, заданные над кольцом K, называются эквивалентными, если X(L) = Y(L) для любой K-алгебры L. Среди систем уравнений, которые эквивалентны данной, мы можем рассмотреть «самую большую», которая однозначно определяется. Именно, пусть P — идеал в кольце многочленов K[T], где T = (Tj)j∈J, порожденный левыми частями {Fi(T) | i ∈ I} системы уравнений X. Легко понять, что система уравнений, полученная приравниванием к нулю всех элементов идеала P, эквивалентна данной системе уравнений F(T) = 0. В то же время построенная система максимальна в том смысле, что если к ней добавить еще одно уравнение f(T) = 0, в ней не содержащееся, то получится новая, неэквивалентная данной, система. Чтобы в этом убедиться, достаточно в качестве K-алгебры L взять факторкольцо K[T′]/P, где T′ = = (T′ j)j∈J — независимые переменные. В этом кольце L решением исходной системы будет t = (tj), где tj ≡ T′ j (mod P), в то время как f(t) ̸= 0, потому что f /∈ P. 1.1.7. Предложение. X(L) = HomK (A, L), где A = K[T]/P, T = (Tj)j∈J, а HomK — множество гомоморфизмов K-алгебр. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть t = (tj) ∈ X(L). Существует гомоморфизм K-алгебр K[Tj] → L, который на K совпадает со структурным гомоморфизмом K → L (см. п. 1.1.2), a Tj переводит в tj. По определению множества X(L), P принадлежит ядру этого гомоморфизма, так что его можно провести через гомоморфизм A = K[T]/P → L.