Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1

А. Л. Городенцев

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

АЛГЕБРА

Учебник
для студентов-математиков

Часть 1

ISBN 978-5-4439-0217-3

9 785443 902173 >

А. Л. Городенцев | Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1

Книга представляет собой первую часть интенсивного 
двухгодичного курса алгебры для студентов, профессионально изучающих математику и физику. Основу курса 
составляют лекции, читавшиеся в Независимом московском 
университете и на факультете математики Высшей школы 
экономики, а также материалы сопровождавших 
их семинарских занятий.

В книге также приводится большое количество задач 
и упражнений.

А. Л. Городенцев

АЛГЕБРА

Учебник
для студентов-математиков

Часть 1

Электронное издание

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям 01.03.01 «Математика»,
01.03.03 «Механика и математическое моделирование», специальности
01.05.01 «Фундаментальные математика и механика»

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 512
ББК 22.14
Г70

Городенцев А. Л.
Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1.
М.: МЦНМО, 2014.
485 с.
ISBN 978-5-4439-2087-0

Книга представляет собой первую часть интенсивного двухгодичного
курса алгебры для студентов, профессионально изучающих математику
и физику. Основу курса составляют лекции, читавшиеся в Независимом
московском университете и на факультете математики Высшей школы
экономики, а также материалы сопровождавших их семинарских занятий. В книге также приводится большое количество задач и упражнений.

Подготовлено на основе книги:
А. Л. Городенцев. Алгебра. Учебник для студентов-математиков. Часть 1. —
М.: МЦНМО, 2014.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2087-0
ffi Городенцев А. Л., 2014
ffi МЦНМО, 2014

Оглавление

Стандартные обозначения и сокращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава 1. Множества, отображения, разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

§ 1. Множества и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1. Множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2. Отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.3. Разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.4. Классы эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.5. Композиции отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.6. Группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

Глава 2. Числа и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

§ 2. Числовые поля и кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.1. Поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.2. Абелевы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3. Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4. Коммутативные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.5. Делимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.6. Взаимная простота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 3. Кольца и поля вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.1. Кольцо вычетов /(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.2. Поле вычетов 𝑝 = /(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3. Прямые произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.4. Гомоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.5. Китайская теорема об остатках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.6. Простое подполе и характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§ 4. Многочлены и алгебраические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.1. Ряды и многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.2. Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.3. Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.4. Кольцо вычетов [x]/( f ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

Оглавление

4.5. Поле частных целостного кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.6. Поле рациональных функций (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
§ 5. Формальные степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.1. Алгебраические операции над формальными рядами . . . . .
72
5.2. Дифференциальное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.3. Разложение рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.4. Логарифм и экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
5.5. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
§ 6. Факторкольца и идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.1. Идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.2. Факторизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.3. Кольца главных идеалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.4. Н¨етеровы кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.5. Разложение на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.6. Гомоморфизмы подъема и вычисления . . . . . . . . . . . . . . . .
98
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Глава 3. Векторы и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

§ 7. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1. Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2. Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3. Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 8. Двойственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.1. Двойственное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.2. Аннуляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3. Двойственные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8.4. Факторпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.5. Метод Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.6. Расположение подпространства относительно базиса . . . . . 137
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 9. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.1. Алгебры над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2. Умножение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.3. Матрицы перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.4. Некоммутативные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
§ 10. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.1. Объем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.2. Отступление: знак перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Оглавление
5

10.3. Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.4. Грассмановы многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
§ 11. Модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.1. Определение модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.2. Образующие и соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.3. Матрицы гомоморфизмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.4. Разложимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.5. Ранг свободного модуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
§ 12. Конечно порожденные модули над кольцами
главных идеалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.1. Теорема об инвариантных множителях . . . . . . . . . . . . . . . 193
12.2. Пример: подрешетки в 𝑚 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
12.3. Теорема об элементарных делителях . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.4. Пример: конечно порожденные абелевы группы . . . . . . . . 203
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
§ 13. Пространство с оператором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.1. Классификация операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.2. Аннулирующие многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
13.3. Перестановочные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
13.4. Функции от оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Глава 4. Геометрические структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

§ 14. Евклидовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.1. Евклидова структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
14.2. Матрицы Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
14.3. Евклидова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14.4. Двойственность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14.5. Ортогональные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
14.6. Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
14.7. Метрики, нормы и топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 15. Группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
15.1. Группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
15.2. Абстрактные группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
15.3. Гомоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.4. Действие группы на множестве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
§ 16. Смежные классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
16.1. Теорема Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
16.2. Факторгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Оглавление

16.3. Простые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
16.4. p-группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
§ 17. Ортогональная геометрия над произвольным полем . . . . . . . . 276
17.1. Билинейные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
17.2. Симметричные билинейные и квадратичные формы . . . . . 281
17.3. Изометрии невырожденной симметричной формы . . . . . . 285
17.4. Невырожденные кососимметричные формы . . . . . . . . . . . . 291
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
§ 18. Проективное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
18.1. Проективизация векторного пространства . . . . . . . . . . . . . 297
18.2. Задание фигур уравнениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
18.3. Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
18.4. Линейные проективные преобразования . . . . . . . . . . . . . . 308
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
§ 19. Квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
19.1. Проективные квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
19.2. Касательное пространство к квадрике . . . . . . . . . . . . . . . . 319
19.3. Пример: Gr(2, 4) ⊂ 5 и прямые в 3
. . . . . . . . . . . . . . . . . 323
19.4. Поляритеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
19.5. Аффинные квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Глава 5. Комплексные и вещественные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . 335

§ 20. Эрмитовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
20.1. Эрмитова геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
20.2. Сопряжение операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
20.3. Нормальные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
20.4. Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
§ 21. Комплексификация и овеществление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
21.1. Овеществление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
21.2. Комплексификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
21.3. Эрмитово продолжение евклидовой структуры . . . . . . . . . 354
21.4. Комплексные структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
21.5. Келеровы тройки (I, g, ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
§ 22. Кватернионы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
22.1. Три инволюции на пространстве Mat2() . . . . . . . . . . . . . 364
22.2. Тело кватернионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
22.3. Универсальное накрытие S3 = SU2 ↠ SO3() . . . . . . . . . . . 368
22.4. Два семейства комплексных структур на . . . . . . . . . . . . 371
22.5. Спиноры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

Оглавление
7

Глава 6. Полилинейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

§ 23. Тензорные произведения модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
23.1. Полилинейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
23.2. Универсальное полилинейное отображение . . . . . . . . . . . . 379
23.3. Тензорное произведение модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
23.4. Изоморфизм U∗ ⊗ V ≃ Hom(U, V) и разложимые
операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
23.5. Тензорные произведения абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . 384
23.6. Канонические изоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
§ 24. Тензорная алгебра векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . 389
24.1. Свободная ассоциативная алгебра T(V) . . . . . . . . . . . . . . . 389
24.2. Двойственность и св¨ертки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
24.3. Линейный носитель тензора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
24.4. Соотношения (косо)симметричности . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
§ 25. Поляризация полиномов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
25.1. Симметрические и кососимметрические тензоры . . . . . . . . 400
25.2. Поляризация коммутативных многочленов . . . . . . . . . . . . 403
25.3. Производные и поляры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
25.4. Поляризация грассмановых многочленов . . . . . . . . . . . . . . 409
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

Глава 7. Симметрические функции, массивы и таблицы Юнга . . . . . . . 415

§ 26. Симметрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
26.1. Симметрические и кососимметрические многочлены . . . . . 415
26.2. Элементарные симметрические многочлены . . . . . . . . . . . 417
26.3. Полные симметрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . 419
26.4. Степенные суммы Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
26.5. Детерминантные тождества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
26.6. Кольцо симметрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
§ 27. Исчисление массивов, таблиц и диаграмм . . . . . . . . . . . . . . . . 428
27.1. Массивы и элементарные операции над ними . . . . . . . . . . 428
27.2. Уплотнение массивов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
27.3. Действие симметрической группы на DU-множествах . . . . 436
27.4. Полиномы Шура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
27.5. Правило Литтлвуда — Ричардсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
27.6. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Задачи для самостоятельного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

Ответы и указания к некоторым упражнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Стандартные
обозначения и сокращения

, , , , , натуральные, целые, рациональные, действительные,
комплексные числа и кватернионы

⇒
и
⇐⇒
«следует» и «равносильно»

∀ ,
∃
и
:
«для любого», «существует» и «такой, что»

Hom(X, Y)
множество отображений или гомоморфизмов X → Y

End(X) = Hom(X, X)
множество отображений или гомоморфизмов X → X

Aut X ⊂ End(X)
группа обратимых отображений X → X

|M|, |G|, |λ|
число элементов в конечном множестве M, порядок
группы G и количество клеток в диаграмме Юнга λ

|pq|, |v|, ∥v∥
расстояние между точками p и q и длина (норма)
вектора v

a ... b (или b | a)
a нацело делится на b (или b нацело делит a)

a ≡ b (mod n)
a сравнимо с b по модулю n (т. е. (a − b) ... n)

/(n), 𝑞
кольцо или аддитивная группа вычетов по модулю n
и конечное поле из q элементов

НОД, НОК, ЧУМ
наибольший общий делитель, наименьшее общее
кратное, частично упорядоченное множество

S𝑛
симметрическая группа Aut({1, 2, ... , n})

(σ1, σ2, ... , σ𝑛) ∈ S𝑛
перестановка k → σ𝑘

|i1, i2, ... , i𝑚〉 ∈ S𝑛
циклическая перестановка i1 → i2 → ... → i𝑚 → i1

K[x] и K[[x]]
кольца многочленов и формальных степенных рядов
с коэффициентами в коммутативном кольце K

[x1, x2, ... , x𝑛]⩽𝑚
пространство многочленов степени не выше m от
переменных x1, x2, ... , x𝑛 с коэффициентами в 〈ξ1, ξ2, ... , ξ𝑛〉
кольцо грассмановых многочленов от (антикоммутирующих) переменных ξ1, ξ2, ... , ξ𝑛

Стандартные обозначения и сокращения
9

∗, K∗
мультипликативные группы ненулевых элементов
поля и обратимых элементов кольца K

V ∗, F∗
двойственное пространство и двойственный или евклидово или эрмитово сопряженный оператор

Mat𝑚×𝑛(K), Mat𝑛(K)
модуль матриц из m строк и n столбцов и алгебра
квадратных (n×n)-матриц с элементами из кольца K

M𝑡, λ𝑡
транспонированная матрица и транспонированная
(сопряженная) диаграмма Юнга

〈ξ, v〉 = ξ(v) = ev𝑣(ξ)
св¨ертка вектора v ∈ V с ковектором ξ ∈ V ∗

(v, w)
евклидово или эрмитово скалярное произведение
векторов v и w

GL(V), PGL(V), O(V), U(V) группы линейных, проективных, ортогональных и
унитарных преобразований пространства V

SL(V), SO(V), SU(V)
группы линейных, ортогональных и унитарных преобразований с определителем 1

GL𝑛, PGL𝑛, SL𝑛 и т. д.
соответствующие предыдущим преобразованиям
группы (n × n)-матриц

S𝑛V ∗
пространство однородных многочленов степени n
на векторном пространстве V

(V), (V)
аффинизация и проективизация векторного
пространства V

V( f ) ⊂ (V)
гиперповерхность, заданная уравнением f (v) = 0

Q, q, q, q
квадрика Q = V(q) ⊂ (V), задаваемая уравнением
q(v) = 0, где q ∈ S2V ∗ — квадратичная форма с поляризацией q: V × V → и корреляцией q: V → V ∗

TV, SV, ΛV
тензорная, симметрическая и внешняя алгебры векторного пространства V

Глава 1

МНОЖЕСТВА, ОТОБРАЖЕНИЯ,
РАЗБИЕНИЯ

§ 1. Множества и отображения

1.1. Множества

В этом курсе мы не будем заниматься основаниями теории множеств, полагаясь на имеющееся у читателя школьное интуитивное представление о множестве
как об «абстрактной совокупности объектов произвольной природы»1. Напомним,
однако, что всякое множество состоит из элементов, которые мы часто будем
называть точками. Все точки в любом множестве по определению различны.
Множество задано, как только про любой объект можно сказать, является
он точкой данного множества или нет. Принадлежность точки x множеству X
записывается как x ∈ X. Два множества равны, если они состоят из одних и тех же
элементов. Существует единственное множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется пустым и обозначается ∅. Для конечного множества X
мы обозначаем через |X| количество элементов в этом множестве.
Множество X называется подмножеством множества Y, если каждый элемент x ∈ X лежит также и в Y. В этом случае пишут X ⊂ Y. Отметим, что пустое
множество является подмножеством любого множества и всякое множество является подмножеством самого себя. Непустые подмножества, отличные от всего
множества, называются собственными подмножествами.

Упражнение 1.1. Сколько всего подмножеств (включая несобственные) имеется
у множества, состоящего из n элементов?

Упражнение 1.2. Проверьте, что операция пересечения выражается через разность
по формуле X ∩ Y = X\(X\Y). Можно ли выразить разность через пересечение
и объединение?

1 Строго говоря, теория множеств начинается с фиксации некоторого набора выразительных
средств — языка теории множеств, похожего на язык программирования, и ограничивается только
такими «совокупностями объектов», которые можно описать посредством этого языка. Одним
из требований к такому языку является возможность выразить на нем теоремы из стандартных
курсов алгебры, геометрии и анализа, поэтому построению строгих оснований теории множеств
разумно предпослать изучение хотя бы части таковых теорем.

Глава 1. Множества, отображения, разбиения

Если множество X является объединением непересекающихся подмножеств
Y и Z, то говорят, что X является дизъюнктным объединением Y и Z, и пишут
X = Y ⊔ Z.
Множество X × Y, элементами которого являются по определению всевозможные пары (x, y) с x ∈ X, y ∈ Y, называется декартовым (или прямым)
произведением множеств X и Y.

1.2. Отображения

Отображение f : X → Y из множества X в множество Y — это правило, которое сопоставляет каждой точке x ∈ X некоторую однозначно определяемую по x
точку y = f (x) ∈ Y, которая называется образом точки x при отображении f .
Множество всех точек x ∈ X, образ которых равен данной точке y ∈ Y,
называется полным прообразом точки y (или слоем отображения f над y) и
обозначается
f −1(y)
def
= {x ∈ X | f (x) = y}.

Полные прообразы различных точек не пересекаются и могут как быть пустыми,
так и состоять из многих точек. Множество всех y ∈ Y, имеющих непустой
прообраз, называется образом отображения X
𝑓−→ Y и обозначается

im f
def
= {y ∈ Y | f −1(y) ̸= ∅} = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X : f (x) = y}.

Два отображения f : X → Y и g: X → Y равны, если их значения в каждой
точке одинаковы: f (x) = g(x) для всех x ∈ X. Множество всех отображений из
множества X в множество Y обозначается Hom(X, Y).
Отображения X → X из множества X в себя обычно называют эндоморфизмами множества X. Множество всех эндоморфизмов множества X обозначается
End(X) = Hom(X, X). Отметим, что у всякого множества X имеется тождественный эндоморфизм Id𝑋 : X → X, который переводит каждый элемент в себя:
∀ x ∈ X Id𝑋(x) = x.
Отображение f : X → Y называется наложением (а также сюръекцией или
эпиморфизмом), если im f = Y, т. е. когда прообраз каждой точки y ∈ Y непуст.
Мы будем изображать сюръективные отображения стрелками X ↠ Y.
Отображение f называется вложением (а также инъекцией или мономорфизмом), если f (x1) ̸= f (x2) при x1 ̸= x2, т. е. когда прообраз каждой точки y ∈ Y
содержит не более одного элемента. Инъективные отображения мы обозначаем
стрелками X → Y.

Упражнение 1.3. Перечислите все отображения {0, 1, 2} → {0, 1} и {0, 1} → {0, 1, 2}.
Сколько среди них вложений и сколько наложений?

Отображение f : X →Y, которое является одновременно и вложением, и наложением, называется взаимно однозначным (а также биекцией или изоморфизмом).
Иными словами, биективность отображения f означает, что для каждого y ∈ Y
существует такой единственный x ∈ X, что f (x) = y. Мы будем обозначать
биекции стрелками X
∼−→ Y.

§ 1. Множества и отображения
13

Упражнение 1.4. Какие из отображений 𝑥 →𝑥2
−−−→ ; 𝑥 →𝑥2
−−−→ ; 𝑥 →7𝑥
−−−→ ; 𝑥 →7𝑥
−−−→ являются: а) биекциями; б) инъекциями; в) сюръекциями?

Взаимно однозначные отображения X
∼−→ X данного множества X в себя
обычно называют автоморфизмами этого множества. Автоморфизмы можно
рассматривать как перестановки элементов множества X. Множество всех автоморфизмов множества X обозначается через Aut X.

1.2.1. Запись отображений словами. Пусть

X = {x1, x2, ... , x𝑛},
Y = {y1, y2, ... , y𝑚}.

Сопоставим каждому отображению X
𝑓−→ Y выписанный в ряд слева направо
набор его значений:

w( f )
def
= ( f (x1), f (x2), ... , f (x𝑛))
(1.1)

и будем воспринимать его как n-буквенное слово, написанное при помощи m-буквенного алфавита Y = {y1, y2, ... , y𝑚}.
Например, отображениям {1,2}
𝑓−→ {1,2,3} и {1,2,3}
𝑔−→ {1,2,3}

1
1
1
1

f :
2
g:
2
2
2

3
3

3

сопоставятся при этом слова w( f )=(3, 2) и w(g)=(1, 2, 2), составленные из букв
трехбуквенного алфавита {1, 2, 3}.
Таким образом мы получаем биекцию

w : Hom(X, Y) ∼−→ {слова из |X| букв в алфавите Y}.
(1.2)

Инъективные отображения записываются при этом словами, в которых нет
повторяющихся букв, а сюръективные отображения — словами, в которых используются все без исключения буквы алфавита Y. Взаимно однозначным отображениям отвечают слова, в которых задействованы все буквы алфавита Y,
причем каждая — ровно по одному разу.

Предложение 1.1. Если множество X состоит из n элементов, а множество Y — из m, то множество Hom(X, Y) состоит из m𝑛 элементов.

Доказательство. Обозначим через W𝑚(n) количество всех n-буквенных слов,
которые можно написать при помощи алфавита из m букв. Выпишем все эти
слова на m страницах, поместив на i-ю страницу все слова, начинающиеся на i-ю
букву алфавита. В результате на каждой странице окажется ровно по W𝑚(n − 1)
слов. Поэтому

W𝑚(n) = m · W𝑚(n − 1) = m2 · W(n − 2) = ... = m𝑛−1 · W(1) = m𝑛.

Предложение 1.2. У n-элементного множества имеется ровно n! автоморфизмов.

Глава 1. Множества, отображения, разбиения

Доказательство. Пусть X = {x1, x2, ... , x𝑛}. Биекции X
𝑓−→ X записываются
n-буквенными словами в n-буквенном алфавите x1, x2, ... , x𝑛, содержащими
каждую букву x𝑖 ровно по одному разу. Обозначим количество таких слов через
V(n) и выпишем их по алфавиту на n страницах, поместив на i-ю страницу все
слова, начинающиеся на x𝑖. Тогда на каждой странице будет ровно V(n − 1) слов,
и V(n) = n·V(n−1) = n·(n−1)·V(n−2) = ... = n·(n−1)·(n−2)·...·2·1 = n!.

Упражнение 1.5 (принцип Дирихле). Покажите, что следующие три условия на множество X попарно равносильны друг другу:

а) X бесконечно;
б) существует вложение X → X, не являющееся наложением;
в) существует наложение X ↠ X, не являющееся вложением.

Упражнение 1.6. Счетно ли множество Aut ?

1.3. Разбиения

Со всяким отображением X
𝑓−→ Y связано разбиение множества X в объединение непересекающихся подмножеств — полных прообразов различных точек
y ∈ Y. Поэтому задать отображение X
𝑓−→ Y — это то же самое, что представить X
в виде дизъюнктного объединения непустых подмножеств, занумерованных
точками y ∈ im f :
X =
𝑦 ∈im 𝑓
f −1(y).
(1.3)

Такой взгляд на отображения часто оказывается полезным при подсчете числа
элементов в том или ином множестве.
Допустим, к примеру, что все непустые слои отображения X
𝑓−→ Y состоят
из одного и того же числа точек m = | f −1(y)|. Тогда число элементов в образе
отображения f связано с числом элементов в множестве X формулой

|X| = m · |im f |.
(1.4)

У этой простой формулы имеется множество приложений.

1.3.1. Пример: другое доказательство предложения 1.1. Зафиксируем какуюнибудь точку x ∈ X и рассмотрим отображение вычисления1

ev𝑥 : Hom(X, Y)
𝑓 →𝑓(𝑥)
−−−−→ Y,
(1.5)

которое сопоставляет отображению X
𝑓−→ Y его значение в точке x.
Прообраз ev−1
𝑥
любой точки y ∈ Y можно отождествить с множеством всех
отображений из (n − 1)-элементного множества X\{x} в Y:

ev−1
𝑥 (y) = {X
𝑓−→ Y | f (x) = y} = Hom(X\{x}, Y).

Поэтому im(ev𝑥) = Y и применима формула (1.4), согласно которой

|Hom(X, Y)| = |Hom(X\{x}, Y)| · |Y|.

1 Обозначение «ev» является сокращением слова evaluation.