Группы отражений и правильные многогранники

Е. Ю. Смирнов

Группы отражений
и правильные
многогранники

МЦНМО

Летняя школа «Современная математика»
Дубна, июль 2008

Е.Ю.Смирнов

Группы отражений и правильные
многогранники

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 514.113.5, 512.542
ББК 22.1.51, 22.14
С50

Смирнов Е. Ю.
Группы отражений и правильные многогранники
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
48 с.
ISBN 978-5-4439-2077-1

Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне
20––26 июля 2008 г. В ней излагается классификация правильных многогранников в евклидовом пространстве произвольной размерности. Попутно
читатель знакомится с такими важными алгебраическими понятиями, как
группы отражений и системы корней.
Материал, изложенный в брошюре, иллюстрирует связь геометрии,
теории групп и комбинаторики.
Брошюра адресована студентам младших курсов.

Подготовлено на основе книги: Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные
многогранники. –– М.: МЦНМО,
2009. –– 48 с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)241–74–83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2077-1
© Е. Ю. Смирнов, 2009.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Правильные многогранники в размерностях 2 и 3 . . . . . . . .
7
1.2. Группы отражений: основные определения и первые примеры .
10

Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1. Системы корней
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2. Простые и положительные корни
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3. Сопряженность систем простых и положительных корней . . .
18
2.4. Группа W порождается простыми отражениями . . . . . . . . .
18
2.5. Многогранные конусы и двойственность
. . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Камеры Вейля и фундаментальная область группы отражений .
20

Интермедия: группы отражений и кватернионы . . . . . . . . . .
23
21/2.1. Двулистное накрытие Sp(1) → SO(3)
. . . . . . . . . . . . . .
23
21/2.2. Конечные подгруппы в H суть системы корней . . . . . . . . .
24
21/2.3. Бинарные группы платоновых тел . . . . . . . . . . . . . . . .
25

Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1. Графы Кокстера: определение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2. Классификация конечных групп отражений: формулировка результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3. Доказательство теоремы 3.5: инструментарий
. . . . . . . . . .
29
3.4. Доказательство теоремы 3.5: необходимость . . . . . . . . . . .
31
3.5. Доказательство теоремы 3.5: достаточность
. . . . . . . . . . .
34

Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.1. Правильные многогранники и их группы симметрий . . . . . . .
37
4.2. Образующие группы Sym M и соотношения между ними . . . .
39
4.3. Система корней группы Sym M . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.4. Построение правильного многогранника по его группе симметрий 42
4.5. Подсчет числа граней у правильных многогранников . . . . . .
45
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Введение

Основной целью нашего курса является описание всех правильных
многогранников в пространстве произвольной размерности. На плоскости
для всякого m ⩾ 3 существует ровно один (с точностью до подобия)
правильный m-угольник. В трехмерном пространстве правильных многогранников пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. А что
происходит в пространствах других размерностей?

∗ ∗ ∗
Правильные многогранники известны человечеству с давних времен.
Так, например, недавно в Шотландии при раскопках были обнаружены
камни, ограненные в виде всех пяти правильных многогранников. Эти
находки относят ко второму тысячелетию до нашей эры.
Первое письменное упоминание о правильных многогранниках принадлежит грекам. Пифагорейцам были известны тетраэдр, куб и октаэдр.
Описание додекаэдра и икосаэдра приписывается Теэтету Афинскому
(начало IV в. до н.э.); по-видимому, он же доказал, что других правильных
многогранников не существует.
Наиболее известное описание правильных многогранников содержится в диалоге Платона «Тимей», написанном около 360 г. до н.э. Именно
поэтому они часто называются платоновыми телами. В «Тимее» приводятся конструкции четырех многогранников и говорится, что они олицетворяют четыре стихии: тетраэдр –– это огонь, куб –– земля, октаэдр ––
воздух, а икосаэдр –– вода. Додекаэдр, согласно Платону, символизирует
Вселенную.
Идеи о ключевой роли правильных многогранников в устройстве мироздания пытался развить Иоганн Кеплер в своей работе «Mysterium
Cosmographicum» (1596 г.). Кеплер предполагал, что если расположить
пять платоновых тел в определенном порядке между шестью концентрическими сферами так, чтобы каждая сфера была описана вокруг меньшего
многогранника и вписана в больший, то радиусы этих сфер будут пропорциональны расстояниям от Солнца до всех шести известных в те
времена планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна.
Правда, впоследствии сам Кеплер на основании более точных измерений
и вычислений пришел к выводу об ошибочности такой модели.

∗ ∗ ∗
Задача классификации правильных многогранников в Rn была решена
швейцарским геометром Людвигом Шлефли в 1852 году. Его работу [9],

Введение
5

Рис. 1. Устройство Солнечной системы по Кеплеру

посвященную этой задаче, из-за ее огромного объема –– более 200 страниц! –– долгое время не публиковали; опубликована она была существенно позже, в 1901 году, уже после смерти ее автора.
Шлефли показал, что в пространстве размерности 5 и выше существует только три правильных многогранника: правильный симплекс (аналог
тетраэдра), n-мерный куб и многогранник, двойственный к нему (аналог
трехмерного октаэдра), –– кокуб. В четырехмерном пространстве, кроме
этих трех, существует еще три исключительных правильных многогранника, число граней которых равно 24, 120 и 600 соответственно.
Доказательство классификации правильных многограников, приводимое в этой брошюре, существенно отличается от исходного доказа

Введение

тельства Шлефли. Следуя общему принципу, восходящему к Феликсу
Клейну, –– «геометрия есть изучение симметрий объектов» –– мы будем
изучать в первую очередь не сами многогранники, а их группы симметрий.
Выяснив в первой лекции, что группы симметрий правильных многогранников в размерностях 2 и 3 (а на самом деле, как будет показано
в четвертой лекции, и в любой размерности) порождены отражениями,
в следующих двух лекциях мы займемся классификацией всех (в том
числе не связанных ни с какими многогранниками) групп, порожденных
отражениями. В третьей лекции по каждой такой группе будет построен
некоторый граф (называемый графом Кокстера этой группы), что позволит дать простое комбинаторное описание всех таких групп. Наконец,
в четвертой лекции мы вернемся к правильным многогранникам и дадим
при помощи полученных результатов о группах отражений описание всех
таких многогранников (в любой размерности).

Об этой брошюре

Эта брошюра написана по материалам одноименного курса из четырех занятий, прочитанного мною в июле 2008 г. на VIII летней школе
«Современная математика» в Дубне. По сравнению с записками, раздававшимися слушателям после занятий, текст существенно переработан
и расширен.
Большинство участников этих занятий составляли студенты первого
и второго курсов математических специальностей. Поэтому те конструкции и утверждения, которые обычно проходятся в стандартных университетских курсах линейной и общей алгебры, я либо предполагал известными, либо ограничивался кратким напоминанием. То же применимо и к этой
брошюре, пожалуй, за одним лишь исключением: для явной конструкции
правильных многогранников в размерности 4 в тексте используется понятие кватернионов, которое, к сожалению, не всегда освещается в курсах
алгебры. Не знакомый с этим понятием читатель может прочесть о нем,
например, в брошюре [1].

Я благодарен организаторам школы за предоставленную возможность
прочесть этот курс, а также всем слушателям за их активное участие,
многочисленные содержательные вопросы, комментарии и обсуждения.
Я признателен В. И. Арнольду, сообщившему мне конструкцию исключительных правильных многогранников, использующую кватернионы,
и Г. А. Мерзону, сделавшему ряд ценных замечаний к тексту. Отдельно
хочу поблагодарить В. А. Клепцына за постоянную помощь и поддержку;
и курс, и эти записки появились во многом благодаря его искреннему
интересу, настойчивости и доброжелательности.

Лекция 1

Свет мой, зеркальце, скажи...
А. С. Пушкин

1.1. Правильные многогранники в размерностях 2 и 3

Пусть E –– конечномерное евклидово пространство. Обозначим через
Sym E группу движений пространства E.
Определение 1.1.
Пусть M –– какое-либо множество в E. Через
Sym M обозначим группу симметрий этого множества, т. е. множество
движений пространства E, переводящих M в себя (очевидным образом,
оно образует группу):
Sym M =
f ∈ Sym E | f(M) = M
.

Через Sym+ M будем обозначать группу вращений множества M, т. е.
группу симметрий множества M, сохраняющих ориентацию пространства.
Определение 1.2. Выпуклым многогранником называется ограниченная фигура M, полученная как пересечение конечного числа полупространств в E. Размерностью многогранника M называется размерность
наименьшего аффинного подпространства в E, содержащего M. Много-
гранник называется невырожденным, если его размерность равна dim E.
Далее под многогранником мы будем без дополнительных оговорок
подразумевать выпуклый многогранник.
Упражнение 1.3. Дайте определение грани многогранника и ее размерности.
Если M –– многогранник, то группа Sym M будет сохранять его центр
масс. Поэтому мы можем рассматривать ее как подгруппу в группе ортогональных преобразований O(V ) пространства V (поместив начало
координат пространства V в центр масс многогранника).
Пусть многогранник M невырожденный. Тогда движение пространства E полностью задается образами вершин многогранника. Кроме того,
при движении многогранника вершины обязаны переходить в вершины
(почему?). Следовательно, имеется вложение группы Sym M в группу
перестановок вершин многогранника M, т.е. в симметрическую группу

Sym M ֒→ Sym(Vert(M)).

Значит, Sym M –– конечная группа.

Лекция 1

Пример 1.4. Пусть Dm –– правильный m-угольник в R2. Тогда группа
Sym Dm (ее называют группой диэдра) состоит из 2m элементов, m
из которых (обозначим их r0, . . . , rm−1) являются поворотами на углы
2πk/m, где 0 ⩽ k < m (они же и образуют подгруппу Sym+ Dm; при этом
r0 = Id), а другие m суть симметрии s1, . . . , sm относительно прямых,
соединяющих вершины m-угольника и середины его сторон с его центром.

r1

si
ℓi

Рис. 2. Образующие группы диэдра

Упражнение 1.5. Покажите, что Sym Dm порождается как группа
двумя преобразованиями: поворотом r1 на угол 2π/m и любой из симметрий sk.
Упражнение 1.6. Опишите классы сопряженности в группе диэдра
(рассмотрите отдельно случаи четного и нечетного m).
Нетрудно выяснить, чему равна композиция двух произвольных осевых симметрий на плоскости.
Упражнение 1.7. Пусть s и s′ –– осевые симметрии относительно
прямых ℓ и ℓ′ соответственно. Покажите, что s′s есть поворот на угол
2θ, где θ –– угол между прямыми ℓ и ℓ′.
Замечание. Отсюда следует, что осевые симметрии s и s′ порождают
конечную группу тогда и только тогда, когда угол θ (в обозначениях
предыдущего упражнения) соизмерим с π.
Тем самым в группе диэдра выполнено соотношение sk+1sk = r1. Иными словами, композиция симметрий относительно двух осей симметрии,
угол между которыми минимален (т. е. составляет π/m), есть поворот на
угол 2π/m. Мы получили еще один способ породить группу диэдра двумя

1.1. Правильные многогранники в размерностях 2 и 3
9

элементами:
Sym M = ⟨sk, sk+1⟩.

Упражнение 1.8. Пусть g и g′ –– два элемента из группы диэдра Dm.
Выясните, при каких условиях g и g′ порождают всю группу Sym Dm.
Теперь перейдем к описанию групп симметрий правильных многогранников в R3. Начнем с тетраэдра.
Предложение 1.9. Пусть T ⊂ R3 –– правильный тетраэдр. Тогда
Sym T ∼= S4.
Доказательство. Как мы уже знаем, группа симметрий многогранника вкладывается в группу перестановок его вершин: Sym T ֒→ S4.
Докажем, что образ этого вложения в случае тетраэдра есть вся группа перестановок S4. Для этого достаточно показать, что группа Sym T
содержит все симметрии, соответствующие транспозициям, т.е. перестановкам, меняющим местами два элемента из четырех и оставляющим на
месте два других элемента.

Рис. 3. Симметрия относительно плоскости Πij соответствует транспозиции (ij)

Предъявим симметрию тетраэдра σij, соответствующую транспозиции (ij). Это будет симметрия относительно плоскости, проходящей через центр масс тетраэдра и перпендикулярной ребру, соединяющему i-ю
и j-ю вершины. Остальные две вершины тетраэдра будут содержаться
в этой плоскости, следовательно, будут неподвижны относительно σij (см.
рис.3):

Отметим, что и группа симметрий диэдра, и группа симметрий тетраэдра порождаются отражениями –– симметриями относительно подпространств коразмерности 1; в случае диэдра это были симметрии относительно прямых, а в случае тетраэдра –– симметрии относительно плоскостей.
Упражнение 1.10. Каким минимальным количеством отражений порождается группа Sym T?

Лекция 1

Упражнение 1.11. Покажите, что Sym+ T ∼= A4.
Описание групп симметрий остальных правильных многогранников
в R3 мы оставляем читателю в качестве задачи.
Задача 1.12. а) Опишите группы вращений и симметрий куба и додекаэдра (они совпадают с соответствующими группами для октаэдра
и икосаэдра –– почему?).
б) Докажите, что группы симметрий куба и додекаэдра тоже порождаются отражениями (т. е. симметриями относительно плоскостей).
Какое наименьшее количество отражений нужно взять, чтобы породить
эти группы?
Указание. Для описания группы симметрий куба рассмотрите действие этой группы на четырех главных диагоналях куба. Для описания
группы додекаэдра может пригодиться следующий факт: в додекаэдр
можно вписать пять кубов (они называются кубами Кеплера).

1.2. Группы отражений: основные определения
и первые примеры

Мы рассмотрели группы симметрий правильных многоугольников
и платоновых тел и выяснили, что они все обладают замечательным
свойством: они порождаются отражениями относительно прямых и плоскостей соответственно. Поэтому естественно было бы обобщить понятие
групп, порожденных отражениями, на случай пространства произвольной
размерности и изучить свойства таких групп. Этим мы сейчас и займемся.
Итак, пусть V –– n-мерное евклидово векторное пространство над R.
Возьмем какой-нибудь ненулевой вектор α ∈ V . Ортогональная ему гиперплоскость задается условием
Hα = {β ∈ V | (α, β) = 0}.
Определение 1.13. Отражением относительно гиперплоскости Hα
называется преобразование sα ∈ O(V ), удовлетворяющее следующим
условиям:
• sα(α) = −α;
• sα поточечно оставляет на месте «зеркало» Hα: sα(β) = β для всех
β ∈ Hα.
Упражнение 1.14 (Очень важное!). Докажите, что преобразование
sα задается следующей формулой:

sα(λ) = λ − 2 (λ, α)

(α, α) α.

Определение 1.15. Конечная подгруппа W ⊂O(V ) называется группой отражений, если существуют такие отражения sα1, . . . , sαr, что
W = ⟨sα1, . . . , sαr⟩.