Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах

Покупка
Артикул: 686303.01.99
Настоящая брошюра возникла на основе курса лекций, прочитанных автором на Летней математической школе «Современная математика» в Дубне в 2007 г. В ней показано, как при решении интересных геометриче- ских проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от «обычной». При- ведены прямые элементарные определения этих понятий. Брошюра предназначена студентам, аспирантам, работникам науки и образования, изучающим и применяющим дифференциальную геометрию. Для ее изучения достаточно владения основами анализа функций несколь- ких переменных (а во многих местах не нужно даже этого). Материал преподнесен в виде циклов задач. Первое издание книги вышло в 2009 году.
Скопенков, А. Б. Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах: Краткий курс / Скопенков А.Б., - 2-е изд., испр. - Москва :МЦНМО, 2014. - 72 с.: ISBN 978-5-4439-2076-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/969673 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
А. Б. Скопенков

Основы
дифференциальной
геометрии
в интересных задачах

МЦНМО

А. Б. Скопенков

Основы дифференциальной геометрии
в интересных задачах

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 271.21
ББК 22.15
C44

Скопенков А. Б.
Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
72 с.
ISBN 978-5-4439-2076-4

Настоящая брошюра возникла на основе курса лекций, прочитанных
автором на Летней математической школе «Современная математика» в
Дубне в 2007 г. В ней показано, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные
понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от «обычной». Приведены прямые элементарные определения этих понятий.
Брошюра предназначена студентам, аспирантам, работникам науки и
образования, изучающим и применяющим дифференциальную геометрию.
Для ее изучения достаточно владения основами анализа функций нескольких переменных (а во многих местах не нужно даже этого). Материал
преподнесен в виде циклов задач.
Первое издание книги вышло в 2009 году.

Подготовлено на основе книги: Скопенков А. Б.
Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. —
2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2010. — 72 с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)241–74–83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2076-4
© А. Б. Скопенков, 2010.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Введение
5
Зачем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Советы и соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.
Кривизны кривых
9
1.1.
Кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.
Кривизна кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.
Кручение пространственных кривых
. . . . . . . . .
14

2.
Числовые кривизны поверхностей
17
2.1.
Поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.
Объемлемая и внутренняя изометрии. Скалярная
кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.
Площадь поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.
Скалярная кривизна (обобщение) . . . . . . . . . . .
21
2.5.
Главные кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.6.
Полная средняя кривизна
. . . . . . . . . . . . . . .
26
2.7.
Средняя кривизна в точке . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.8.
Полная гауссова кривизна . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.9.
Гауссова кривизна в точке . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.10.
Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.11.
Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.12.
Секционная кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

3.
Полилинейные кривизны
поверхностей
42
3.1.
Длины кривых на поверхностях . . . . . . . . . . . .
42
3.2.
Риманова метрика. Применение к внутренним изометриям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.
Оператор кривизны Вейнгартена
(вторая квадратичная форма)
. . . . . . . . . . . . .
45
3.4.
Билинейная форма кривизны Риччи
. . . . . . . . .
48
3.5.
Тензор кривизны Римана . . . . . . . . . . . . . . . .
52

3

4.
Ковариантное дифференцирование
58
4.1.
Примеры тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.2.
Ковариантное дифференцирование функций . . . . .
59
4.3.
Коммутатор векторных полей . . . . . . . . . . . . .
61
4.4.
Ковариантное дифференцирование векторных полей . . .
63
4.5.
Ковариантное дифференцирование тензорных полей
64

5.
Обобщение
68
5.1.
Элементы гиперболической геометрии Лобачевского
68
5.2.
Геометрия на римановых многообразиях . . . . . . .
69

4

Посвящается моей маме

The modern world is full of theories which are proliferating
at a wrong level of generality, we’re so good at theorizing, and
one theory spawns another, there’s a whole industry of abstract
activity which people mistake for thinking.

I. Murdoch. The Good Apprentice

Введение

Зачем

Приводимые задачи подобраны так, что в процессе их решения (и обсуждения) читатель увидит, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные
понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от «обычной».1

Дальнейшие знания читатель сможет почерпнуть в книгах из списка литературы.
Особенность этого текста — возможность познакомиться с некоторыми мотивировками и идеями дифференциальной геометрии при
сведении к необходимому минимуму её языка.
Я старался давать определения так, чтобы сразу было ясно, что определяемый объект интересен. А методы вычисления уже интересных (по
самому их определению) объектов формулировать в виде теорем. (Часто
изучение материала затрудняется тем, что вычислительные формулы
преподносятся в виде определений, которые становятся немотивированными.) Вместо абстрактных общих понятий (например, тензора
и ковариантного дифференцирования) рассматриваются их конкретные
используемые в курсе частные случаи, а обобщение остаётся в виде
задач, которые естественны и легки для читателя, разобравшегося с частными случаями. (Изучение «от общего к частному» часто приводит к абсурдному эффекту: сдающие курс воспроизводят громоздкое определение,
но не могут по этому определению привести ни одного содержательного
примера определяемого объекта.)
Простейшие кривизны — числовые поля, более сложные — поля
квадратичных форм, а тензор кривизны Римана («это маленькое чудовище полилинейной алгебры», по словам М. Громова) — поле четырёхли
1Тем самым он освоит основы дифференциальной геометрии (в частности, б ´ольшую часть
курса, изучаемого на механико-математическом факультете Московского государственного
университета им. М. В. Ломоносова — кроме интегрирования дифференциальных форм
и основ топологии).

5

нейных форм. В этом курсе даются прямые геометрические определения
сначала первых, затем вторых и потом третьего. Конечно, простейшие
кривизны выражаются через более сложные (и такие выражения часто
удобны для вычисления простейших кривизн), но определение простых
понятий через более сложные затрудняет изучение материала.
Ввиду прозрачной геометрической мотивированности изучаемых понятий
изложение в основном синтетично и бескоординатно. Несмотря на стремление к ясности и ориентированность на приложения (а точнее, как раз
в силу такого стремления), я старался поддержать достаточно высокий уровень строгости. Например, чётко различаются параметризованные и непараметризованные кривые и поверхности (отсутствие их чёткого различения
мешает начинающим, хотя допустимо и удобно для специалистов).
Принятый стиль изложения отвечает духу К. Ф. Гаусса (и других первооткрывателей), много занимавшегося приложениями и превратившего
один из разделов географии в данный раздел математики. Изложение
«от простого к сложному» и в форме, близкой к форме рождения материала, продолжает устную традицию, восходящую к Лао Цзы и Платону,
а в современном преподавании математики представленную, например,
книгами Пойа и журналом «Квант».
Мне кажется, принятый стиль изложения не только сделает материал
более доступным, но позволит сильным студентам (для которых доступно
даже абстрактное изложение) приобрести математический вкус и стиль
с тем, чтобы разумно выбирать проблемы для исследования, а также ясно
излагать собственные открытия, не скрывая ошибки (или известности полученного результата) за чрезмерным формализмом. К сожалению, такое
(бессознательное) сокрытие ошибки часто происходит с молодыми математиками, воспитанными на чрезмерно формальных курсах (происходило
и с автором этих строк; к счастью, почти все мои ошибки исправлялись
перед публикациями).
Чтение этого текста и решение задач потребуют от большинства читателей усилий (впрочем, некоторые читатели данного текста жаловались,
что в нём нет серьёзных задач, а есть лишь тривиальные упражнения).
Однако эти усилия будут сполна оправданы тем, что вслед за великими
математиками в процессе изучения интересных геометрических проблем
читатель откроет некоторые основные понятия и теоремы дифференциальной геометрии. Надеюсь, это поможет читателю совершить собственные настолько же полезные открытия (не обязательно в математике)!
Данный текст основан на лекциях и семинарах, которые автор вёл
на мехмате МГУ в 2004 – 2007 годах и в Летней школе «Современная
математика» в 2007 году. Некоторые его фрагменты были представлены на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и прило
6

жений мехмата МГУ (рук. акад. РАН А. Т. Фоменко) и на семинаре
по геометрии в МЦНМО (рук. д.ф.м.н. В. Ю. Протасов). Благодарю
А. Иванова, С. Маркелова, А. Ошемкова, А. Пляшечника, В. Прасолова,
А. Толченникова, Г. Челнокова и всех слушателей (точнее, решателей)
курсов за полезные замечания и обсуждения, а В. Прасолова за предоставление рисунка из [Pr]. Во втором издании исправлены опечатки и
сделаны незначительные добавления.

Советы и соглашения

Приводимые определения кривизн независимы друг от друга. Поэтому после изучения поверхностей можно сразу изучать любую из вводимых здесь кривизн (для скалярной, средней и гауссовой кривизн необходимо ещё понятие площади, для секционной и римановой — параллельного переноса, а для риччиевой — геодезических и экспоненциального
отображения). При этом, естественно, задачи о связи изучаемой кривизны
с ещё не изученными придётся отложить на потом.
Для понимания условий и для решения задач достаточно уверенного владения основами анализа функций нескольких переменных (и, чем
дальше, тем больше, линейной алгебры). Все необходимые новые определения приводятся здесь. Кое-где требуется также теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.
Важные факты выделены словом «теорема» или «следствие». Иногда
подсказками являются соседние задачи; указания даются в конце каждой
темы. Факты, для доказательства которых читателю может понадобиться
литература (или консультация специалиста), приводятся со ссылками.
Если условие задачи является формулировкой утверждения, то это утверждение и надо доказать.
Рассматриваемые понятия и факты интересны, полезны и нетривиальны
даже для поверхностей вращения и графиков функций (в основном в трёхмерном пространстве), а также для поверхностей многогранников. Например, инвариант Дена, с помощью которого была решена 3-я проблема Гильберта, тесно связан со средней кривизной поверхности многогранника. Поэтому не приводится примеров более сложных поверхностей (кроме плоскости Лобачевского в самом конце). Однако для хорошего понимания материала читателю будет полезно изучить такие примеры [Ra03, MF04].
Заданные в условиях функции предполагаются бесконечно дифференцируемыми, если не оговорено противное. Определения даются в предположении, что используемые в них пределы (в частности, производные)
существуют. Через ·, × и ∧ обозначаются скалярное, векторное и смешанное (не путать с внешним!) произведения, соответственно.

7

Литература

[BBB06] Bessieres L., Besson G., Boileau M. La preuve de la conjecture
de Poincaré d’apres G. Perelman // Images des Mathematiques. 2006.
P. 18–27. http://images.math.cnrs.fr/pdf2006/Besson.pdf (дата обращения
29.04.2010).
[Ca28] Cartan E. Géométrie des espaces de Riemann. — Paris, 1928. (Рус.
перевод: Картан Э. Геометрия римановых пространств. — Ленинград,
1936.)
[Gr90] Gray A. Tubes. — Addison-Wesley, 1990. (Рус. перевод: Грей А.
Трубки. — М.: Наука, 1997.)
[Gr94] Gromov M. Sign and geometric meaning of curvature // Rend. Sem.
Mat. Fis. Milano. 1991. Vol. 61. P. 9–123. (Рус. перевод: Громов М.
Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: РХД, 2000.)
[MSF04] Мищенко А. С., Соловьёв Ю. П., Фоменко А. Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Физматлит,
2004.
[MF04] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Физматлит, 2004.
[Pr] Прасолов В. В. Курс дифференциальной геометрии (неопубликовано).
[Ra03] Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.:
УРСС, 2003.
[Ra04] Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — М.:
УРСС, 2004.
[Sk10] Скопенков А. Б. Объемлемая однородность.
http://arxiv.org/abs/1003.5278 (дата обращения 1.04.2010).
[Ta89] Табачников С. Л. О кривизне // Квант. 1989. № 5; Дифференциальная геометрия вокруг нас // Квант. 1989. № 1.

http://kvant.mccme.ru/1989/index.htm (дата обращения 26.04.2010).
[To82] Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. — М.:
Мир, 1982.
[Vi92] Виленкин Н. Я. О кривизне // Квант. 1992. № 4.
http://kvant.mccme.ru/1992/04/index.htm (дата обращения 26.04.2010).

8

Глава 1. Кривизны кривых

1.1. Кривые

Будем обозначать точкой производную по t, а штрихом производную
по натуральному параметру (когда это понятие появится).
1. Нарисуйте следующие кривые на плоскости (в пространстве)
и найдите их параметрические уравнения:
g(t) = (x(t), y(t)) или
g(t) =
=
(r(t),
f(t)) в декартовых или полярных координатах на плоскости;
g(t) = (x(t), y(t), z(t)) или
g(t) = (r(t),
f(t), z(t)), или
g(t) =
= (r(t),
f(t),
j(t)) в декартовых, цилиндрических или сферических координатах в пространстве.
(a) Луч OA равномерно вращается вокруг своего неподвижного начала O с угловой скоростью
w. Точка M равномерно движется по лучу OA,
начиная из точки O, со скоростью v. Описываемая точкой M кривая
называется спиралью Архимеда.
(b) Винтовая линия — траектория конца стержня длины 2r, равномерно со скоростью v падающего на землю, остающегося параллельным поверхности земли и одновременно вращающегося в горизонтальной
плоскости вокруг своей середины равномерно с угловой скоростью
w.
(c) Колесо радиуса R катится равномерно без проскальзывания по
прямой. Описываемая точкой на ободе колеса кривая называется циклоидой.
(d) Эллипс — множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) равна фиксированной величине d,
большей расстояния f между фокусами.
(e) По какой кривой
g(t) движется электрон в постоянном магнитном
поле, если начальная скорость электрона не параллельна и не перпендикулярна напряжённости H, где H — постоянный вектор? (Закон Био –
Савара – Лапласа движения электрона утверждает, что ¨
g = ˙
g × H.)
(f)* Локсодромия — траектория путешественника, движущегося по
поверхности Земли (которая считается сферой) из точки на пересечении
экватора с Гринвичским меридианом всё время на северо-восток (то есть
всё время под углом 45◦ к текущему меридиану). Широта путешественника возрастает равномерно. Перед выводом уравнения нарисуйте этот
путь на сфере и на карте.
(g)* Цепная линия — это кривая, форму которой под действием силы
тяжести принимает нерастяжимая нить с закреплёнными концами.
(h) Кривая Вивиани — пересечение сферы радиуса R и прямого
кругового цилиндра диаметра R, одна из образующих которого проходит
через центр сферы.

9

(i)* Астроида — кривая, для которой длина отрезка касательной
в произвольной точке, заключённого между осями координат, постоянна
и равна a.
(j) Окружность радиуса R катится без проскальзывания снаружи по
окружности того же радиуса R. Описываемая точкой на внешней окружности кривая называется кардиоидой.

Параметризованной гладкой регулярной кривой на плоскости
называется гладкое (т. е. бесконечно дифференцируемое) отображение

g: [a, b] → R2, для которого скорость ˙
g(t) ̸= 0 при любом t.
Непараметризованной гладкой регулярной кривой на плоскости
называется подмножество плоскости, являющееся образом некоторой параметризованной гладкой регулярной кривой.
Далее прилагательные «гладкая регулярная» опускаются.
Параметризацией непараметризованной кривой Γ ⊂ R2 называется
любая параметризованная кривая
g: [a, b] → R2, для которой Γ =
g[a, b].
Часто параметризованную кривую называют параметризацией, а непараметризованную кривую называют кривой.
Аналогично определяются кривые в пространстве.
2. (a) Приведите пример не взаимно однозначной параметризации
g
окружности Γ.
(b) Приведите пример двух разных взаимно однозначных параметризаций
g1 и
g2 одной непараметризованной кривой Γ.
(c) Напишите определение параметризованной кривой, непараметризованной кривой и её параметризации в пространстве.
(d)*
Постройте
бесконечно
дифференцируемое
отображение
g:
[−1, 1] → R2, образом которого является объединение отрезков {(0, t)} и
{(t, 0)}, 0 ⩽ t ⩽ 1.

Длиной параметризованной кривой
g: [a, b] → R2 (или Rn) называется число

L(
g) := sup
|A0A1| + |A1A2| + · · · + |An−1An| :

a = a0 ⩽ a1 ⩽ . . . ⩽ an = b,
Ai :=
g(ai)
.

3. (a) Длина графика дважды дифференцируемой функции y : [a, b] −→
−→ R равна
b
a
1 + y′(t)2 dt.
(b) Теорема. Длина плоской параметризованной кривой
g: [a, b] → R2,

g(t) = (x(t), y(t)), равна

L(
g) =
b

a

˙x(t)2 + ˙y(t)2dt =
b

a
| ˙
g(t)|dt.

10

4. Вычислите длины параметризованных кривых от
g(a) до
g(b) для
некоторых параметризаций (a) винтовой линии; (b) параболы
g(t) =
= (t, t2); (c) спирали Архимеда; (d) циклоиды.

5. Найдите формулу для длины параметризованной кривой
g: [a, b] −→
−→ R2 в (a) полярных; (b) сферических; (c) цилиндрических координатах.

Длиной непараметризованной кривой Γ, имеющей взаимно однозначную параметризацию
g: [a, b] → R2 (или Rn), называется длина параметризации
g.
6. Теорема. Приведённое определение корректно, т. е. если
g1 и
g2 —
две взаимно однозначные параметризации одной непараметризованной
кривой Γ, то L(
g1) = L(
g2).
Предостережение: если при доказательстве вы используете формулу
для длины дуги, то не забудьте доказать, что отображение

g1

g−1
2 : [a, b] → [a, b]

имеет в каждой точке положительную производную. Впрочем, проще доказывать по определению длины параметризованной кривой.

1.2. Кривизна кривых1

0. Если велосипедист движется по криволинейной дороге с постоянной по модулю скоростью, то в любой точке его ускорение перпендикулярно его скорости, т. е. их скалярное произведение равно нулю.
1. (a) Мотоциклист хочет проехать по винтовой линии c параметрами
r = 10 м, v = 100 м/с и
w = 2p c−1, ось которой параллельна поверхности
Земли. С какой постоянной скоростью он должен ехать, чтобы не упасть?
Предостережение: уравнение винтовой линии не обязательно будет
уравнением движения мотоциклиста.
(b) Американская горка имеет форму циклоиды, находящейся в вертикальной плоскости. Вагончик движется по ней со скоростью 1 м/с.
При какой высоте циклоиды в её верхней точке клиент будет чувствовать
невесомость? Почему нереалистичен полученный вами ответ?
(c) Автомобиль едет по отрезку спирали Архимеда r =
f · 1м со
скоростью 1 м/с, не пересекая реку — луч
f = 0. С какой угловой
скоростью вращается берег реки в системе отсчёта автомобиля, когда
тот находится в точке с
f =
p/2?
(d) Дан эллипс с параметрами d = 2 и f = 1. Найдите радиус соприкасающейся окружности в точке эллипса, равноудалённой от фокусов.

1В задачах с явным физическим содержанием следует пренебрегать размерами движущихся объектов (т. е. считать их материальными точками) и т. п.

11