Конформная теория поля и критические явления в двумерных системах

А. Б. Замолодчиков, Ал. Б. Замолодчиков

Конформная теория поля
и критические явления
в двумерных системах

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
З

Замолодчиков А. Б., Замолодчиков Ал. Б.
Конформная теория поля и критические явления в двумерных системах
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

В книге дан обзор современного состояния двумерной конформной
теории поля и ее применений к физике критических явлений в двумерных системах. Последовательно развивается бутстрапный подход к конформной теории поля, основанный на операторной алгебре. Детально
рассмотрен ряд точных решений теории, включающий «минимальные
модели» с c <1 и параметрическое семейство моделей с c =1. Эти модели описывают критические и мультикритические точки различных двумерных статистических систем, среди которых наиболее известными
являются модель Изинга, трехпозиционная модель Поттса и модель Ашкина—Теллера. Также обсуждается альтернативный подход к конформной теории поля, основанный на модулярной инвариантности тороидальной статистической суммы («модулярный бутстрап»).

Подготовлено на основе книги: Замолодчиков А. Б., Замолодчиков Ал. Б. Конформная теория поля и критические явления в двумерных системах. — М.:
МЦНМО, .—  с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© А. Б. Замолодчиков, Ал. Б. Замолодчиков, .
© МЦНМО, .

Оглавление

Глава 
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава 
Алгебра локальных полей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава 
Ренормализационная группа в двумерной теории поля . . . . . .


Глава 
Тензор напряжений в конформнойтеории поля . . . . . . . . . . .


Глава 
Конформный бутстрап
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава 
Вырожденные представления алгебры Вирасоро
. . . . . . . . . .


Глава 
Минимальные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава 
Конформная теория критической модели Ашкина—Теллера . . .


Глава 
Конформная теория на торе. Модулярный бутстрап
. . . . . . . .


Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава 

Введение

При приближении к точке фазового перехода второго рода характерный размер флуктуаций параметра порядка — корреляционный
радиус RC — неограниченно растет. Эти крупномасштабные флуктуации, которые и приводят к появлению сингулярностей термодинамических функций, можно описывать на языке эффективной
теории поля; при этом тонкие детали микроскопического строения
системы оказываются несущественными, а взаимодействие флуктуаций определяется только природой самого параметра порядка
и величиной RC. Эти идеи, развитые Кадановым, Вайдомом, А. З. Паташинским, В. Л. Покровским и другими, составляют основу гипотезы
скейлинга и универсальности критического поведения (см., например, [,]). Непосредственно в критической точке T = TC корреляционный радиус бесконечен, а соответствующая теория поля является
безмассовой и обнаруживает в своей инфракрасной асимптотике
масштабную инвариантность

xµ → λ xµ
(.)

(здесь xµ — координаты пространства, µ = 1, 2, …, D) при условии,
что различные поля Φl, описывающие флуктуации параметра порядка, преобразуются при замене (.) следующим образом:

Φl → λdlΦl,
(.)

где показатели dl называются аномальными масштабными размерностями. Вычисление спектра {dl} аномальных размерностей — важнейшая задача теории, поскольку именно эти величины определяют
характер критических особенностей термодинамических функций;
см. [, ]. Теоретико-полевой подход к проблеме критического
поведения развивался в пионерских работах В. Н. Грибова и А. А. Мигдала [], А. А. Мигдала [] и А. М. Полякова [].
В настоящее время свойства универсальности и скейлинга лучше
всего поняты на языке ренормализационной группы (см, например,
обзоры [, ] и приведенные там ссылки). В этом подходе критические сингулярности связаны с существованием неподвижных
точек ренормализационной группы в «пространстве эффективных

Глава . Введение


взаимодействий» S (см. [,]). Неподвижная точка — это, по существу, теория поля, обладающая симметрией (.) во всех масштабах.
Критическое поведение целиком определяется характеристиками соответствующей неподвижной точки. Хотя неподвижные точки с достаточно большой размерностью «неустойчивого многообразия», определяющие так называемые «мультикритические точки», весьма
трудно обнаружить в экспериментальной ситуации, исследование
всех неподвижных точек представляет принципиальный интерес как
первый этап общего анализа топологических свойств ренормализационной группы.
В  г. А. М. Поляков [] высказал гипотезу, что критические
флуктуации обладают не только масштабной, но и конформной инвариантностью. Конформные преобразования — это такие преобразования координат, которые не меняют углов между любыми двумя векторами в данной точке (но могут менять длину). В действительности
в однородных и изотропных системах конформная симметрия следует
из масштабной инвариантности (.) при условии локальности взаимодействия. Таким образом, классификация неподвижных точек ренормгруппы эквивалентна построению всех конформно-инвариантных решений теории поля. Конформная теория поля исследовалась во
многих работах (см. обзоры [,,]).
Другое важное продвижение — гипотеза алгебры локальных полей,
предложенная независимо Кадановым (см. []) А. М. Поляковым (см.
[]) и Вильсоном (см. []). Эта гипотеза состоит в существовании
такого «базисного» набора локальных полей (включающего параметр
порядка), что любые флуктуирующие величины, например произведения компонент параметра порядка, взятых в различных пространственных точках, можно разложить по этому базису. Более точная
формулировка этих «операторных разложений» приведена в гл. .
А. М. Поляков (см. []) предложил строить решения конформной
теории поля, комбинируя условия конформной инвариантности и существования замкнутой алгебры локальных полей. При таком подходе гамильтонова формулировка теории поля в явном виде не используется, а основные «бутстрапные» уравнения возникают из требования ассоциативности алгебры операторных разложений (которая
эквивалентна перекрестной симметрии корреляционных функций).
К сожалению, в многомерном случае D > 2 разложения базисного
набора полей на неприводимые представления конформной группы
недостаточно для «расцепления» этих бутстрапных уравнений.
При D > 2 группа конформных преобразований имеет конечную
размерность (D + 1)(D + 2)/2 (в евклидовом случае она изоморфна


Глава . Введение

O(D +2)). Напротив, при D =2 конформная группа бесконечномерна.
Соответствующая бесконечномерная алгебра генераторов этой симметрии в конформной теории поля называется алгеброй Вирасоро;
эта алгебра хорошо известна в теории релятивистских струн (см., например, обзоры [,,]). На самом деле теория релятивистских
струн, интенсивно развивающаяся последние  лет начиная с первых
работ по операторному представлению дуальных амплитуд [, ],
представляет очень поучительные модели двумерной конформной
теории поля и методы обращения с такими моделями; см. [,,].
Современное развитие двумерной конформной теории поля в применении к задачам статистической физики в большой степени связано
с достижениями струнной теории [, , , ]. Можно сказать
и наоборот: проблематика струнной теории, например попытки достичь понимания «струнной физики» вне критической размерности,
инициированные знаменитой работой А. М. Полякова [, ] по
ковариантному квантованию струны, или проблема компактификации пространства-времени в теориях суперструн Грина—Шварца (см.
[, ]), является важнейшим стимулом этого развития. Современные методы конформной теории поля в струнной теории изложены,
например, в обзорах [,], а также в статье В. Г. Книжника [], где
можно найти ссылки на оригинальные работы.
Разложение на неприводимые представления алгебры Вирасоро (или более широких бесконечномерных алгебр, см. ниже) дает
возможность весьма детального описания базисного набора полей
в двумерной конформной теории. Представления со старшим весом алгебры Вирасоро (а именно такие представления возникают
в конформной теории поля) подробно изучены в математической
литературе; см. [, , ]. А. А. Белавин и др. в работе [] показали, что такое разложение позволяет эффективно «диагонализировать» уравнения конформного бутстрапа и найти бесконечный
набор точных решений этих уравнений — «минимальных моделей».
Алгебра Вирасоро содержит один числовой параметр — «центральный заряд» c; численное значение этого параметра, разумеется, есть
важнейшая характеристика конкретной конформной теории поля.
«Минимальные модели» (p/q) нумеруются двумя взаимно простыми натуральными числами p > 1, q > 1, а соответствующие значения
параметра c равны

c(p/q) = 1− 6(p − q)2

pq
(.)

и лежат в области c < 1. «Минимальные модели» точно решаемы
в очень сильном смысле: не только аномальные размерности всех

Глава . Введение


полей, но и корреляционные функции могут быть явно вычислены.
Оказывается, простейшая из «минимальных моделей» (3/4) описывает хорошо известную критическую точку модели Изинга.
Роль условия унитарности в двумерной конформной теории поля
была выяснена в очень важной работе Фридана, Чу и Шенкера []
(см. также []). Условие унитарности должно выполняться для статистических систем с локальным (взаимодействие ближайших соседей) ограниченным снизу гамильтонианом (точнее говоря, достаточно, чтобы существовала самосопряженная матрица перехода). В конформной теории поля условие унитарности приводит к правилу отбора допустимых представлений алгебры Вирасоро: эти представления не должны содержать состояний отрицательной нормы («духов»).
Фридан и др. в работе [] показали, что в области c < 1 это условие
отбирает следующий дискретный ряд значений c (и соответствующих
аномальных размерностей):

cp = 1−
6

p(p +1),
(.)

что в точности соответствует «минимальным моделям» (p/q) с q =
= p +1, p =3, 4, 5, …; эти модели (p) ≡(p/(p +1)) следовательно,
они исчерпывают все унитарные решения конформной теории поля
с c <1. Остальные «минимальные модели» (p/q) с q − p >1 неунитарны.
Многие минимальные модели можно идентифицировать с известными критическими и мультикритическими точками двумерных
статистических систем. В. С. Доценко в работе [] установил, что
модель (5) описывает критическую точку трехпозиционной модели Поттса (принадлежащую к тому же классу универсальности,
что и «модель твердых шестиугольников» Бакстера; см. []), а Фридан, Чу и Шенкер идентифицировали «минимальные модели» (4)
и (6) с трикритическими точками статистических систем типа
модели Изинга и трехпозиционной модели Поттса (исследованными
ранее в работах [, ]). Хьюз [] установил, что аномальные
размерности в минимальных моделях (p) совпадают с показателями, характеризующими «ферромагнитные» критические точки
точно решаемых «моделей RSOS», открытых Эндрюсом, Бакстером
и Форрестером; см. []. Согласно работе [] это позволяет интерпретировать модели (p), p = 3, 4, 5, как мультикритические
(«(p − 1)-критические») точки статистических систем с изинговской
симметрией. Имеются и другие основания для такой интерпретации; см. []. Тем не менее, вопрос о «физической идентификации»


Глава . Введение

моделей (p) (т. е. вопрос о вычислении соответствующих классов
универсальности) нельзя считать исчерпанным; для большинства
из них пока не изучены даже специфические внутренние симметрии. Соответствующая проблема для неунитарных моделей (p/q),
q > p +1, вообще в основном открыта (см., однако, работу Карди []
о сингулярности Ли и Янга).
В. С. Доценко и В. А. Фатеев [] предложили некоторую «интерполяцию» минимальных моделей (p) на произвольные иррациональные значения p (минимальные модели (p/q) получаются при рациональных значениях этого параметра) и предположили, что имеется ее связь с критической теорией для статистических систем, получаемых формальным продолжением q-позиционной модели Поттса и O(n)-модели на нецелые значения 0 ⩽ q ⩽ 4 и −2 ⩽ n ⩽ 2 (см.,
например, []). Согласно работе [] параметр p связан с q или n
соотношениями q = 2cos(π/(p + 1)) и n = 2cos(π/p). При p → −2
возникает связь с критическим поведением самоизбегающих полимерных цепей (см. [,,]) и с задачей протекания (см. [,]).
В некотором смысле величину c можно интерпретировать как
некую меру эффективного числа полевых степеней свободы, имеющих крупномасштабные флуктуации в данной критической точке.
Поэтому естественно ожидать, что неподвижные точки ренормгруппы тем более устойчивы, чем меньше соответствующее значение c.
Величина c как центральный заряд алгебры Вирасоро определена
только в неподвижных точках. Можно, однако, «продолжить» ее на
произвольные точки «пространства эффективных взаимодействий» S,
т. е. ввести функцию c(g), где g — точка из S, совпадающую в каждой
неподвижной точке g∗ с соответствующим центральным зарядом
c∗ = c(g∗). При движении пространства S под действием преобразований ренормгруппы g(t) величина c(g) становится, конечно, функцией
ренормгруппового параметра: c(g(t)) = c(t). В унитарной непрерывной теории функцию c(g) можно выбрать так, что она монотонно

убывала под действием этих преобразований, т. е. d

dt c(t) ⩽ 0, причем

равенство достигается только в неподвижных точках; см. [, ].
Таким образом, упорядочение неподвижных точек по величине c
соответствует их упорядочению по степени ренормгрупповой стабильности.
Для всех минимальных моделей c <1. Значение c =1 соответствует
свободному безмассовому бозонному полю, т. е. гауссовой неподвижной точке. Такая теория содержит параметр (который можно интерпретировать как «радиус компактификации» поля ϕ), а критические

Глава . Введение


показатели непрерывно зависят от этого параметра, так что здесь мы
имеем дело с линией неподвижных точек. Эта линия соответствует
критическим линиям модели Ашкина—Теллера (см. []) и восьмивершинной модели Бакстера (см. []). В работе [,] построено однопараметрическое семейство решений уравнений конформного бутстрапа для спиновых корреляций в модели Ашкина—Теллера. Точки
(p) при p → ∞ сгущаются к специальной точке этой критической
линии.
Конформный бутстрап, предложенный в работе [], является
«локальным» в том смысле, что основан на локальных операторных
разложениях. Карди (см. []) предложил альтернативную бутстрапную программу — «модулярный бутстрап» (идея «модулярного бутстрапа» высказывалась независимо В. Г. Книжником в  г.). Можно
рассмотреть статистическую систему в прямоугольной области (или
области формы параллелограмма) размера L × T с периодическими
граничными условиями (собственно, так обычно и делается в микроскопической теории, а затем переходят к пределу при L, T → ∞ при
постоянном T/L). Такая область имеет топологию тора с некоторым
параметром Вейерштрасса (см. []) τ (τ= iT/L для прямоугольника).
Если RC ≪ min(L, T), то зависимость статсуммы от размеров L и T
и, следовательно, от τ, выпадает. Наоборот, в критической точке
RC →∞, и при конечных L, T статистическая сумма содержит тонкую
зависимость от τ, которая в явном виде выражается через характеры
представлений алгебры Вирасоро. Из очевидных физических соображений следует, что статсумма как функция параметра τ должна
быть инвариантна относительно модулярных преобразований (например, при замене L ↔ T). Это требование накладывает существенные ограничения на «конформный состав» пространства состояний
и служит основой «модулярного бутстрапа». Анализу двумерной конформной теории поля методом модулярного бутстрапа посвящен ряд
статей [, , , , , , , ]. Идея обобщения модулярного
бутстрапа на случай поверхностей высшего рода предложена в работах [,].
Конформный бутстрап можно обобщить на случаи, когда теория
обладает в критической точке более высокими, чем конформная,
бесконечными симметриями. Наиболее известные примеры — суперконформная симметрия и симметрия относительно группы токов.
Использование этих и других бесконечных симметрий позволяет
построить новые точные решения конформной теории поля (в частности, с c >1) и, тем самым, описать новые неподвижные точки.


Глава . Введение

Суперконформная теория поля исследована в работах [, , ].
Бесконечномерная алгебра генераторов суперконформной симметрии в теории поля — алгебра Невье—Шварца—Рамона (которая также хорошо известна в струнной теории; см. [,,]) — содержит
алгебру Вирасоро как подалгебру. Базис полей в такой теории можно классифицировать по представлениям алгебры Невье—Шварца—
Рамона. В работах [,,] построен бесконечный набор точно решаемых «минимальных» суперконформных моделей. Унитарные минимальные суперконформные модели (см. []) S(p), p =3, 4, 5, …,
соответствуют значениям

cp = 3

2

1−
8

p(p +2)

(.)

центрального заряда c алгебры Вирасоро. Модель S(3) совпадает
с (4) и описывает трикритическую точку модели Изинга (которая
обладает, следовательно, суперсимметрией; см. []), а S(4) — это
специальный случай критической модели Ашкина—Теллера. «Физическая интерпретация» суперсимметричных неподвижных точек
S(p) с p >4 — в основном открытый вопрос (см., однако, []). Точно
решаемые модели с N =2 расширенной суперсимметрией построены
в работах [,,,,].
Модель G × G-инвариантного главного кирального поля с лагранжианом Весса—Зумино, предложенная Виттеном [], С. П. Новиковым [] и А. М. Поляковым и П. Б. Вигманом [], обладает в неподвижной точке симметрией относительно ( G × G)-алгебры токов,
т. е. прямого произведения «правой» и «левой» алгебр Каца—Муди
G. Тензор энергии-импульса такой теории квадратично выражается
через токи по формуле Сугавары—Соммерфильда (см. [, ]);
при этом алгебра Вирасоро «встроена» в обертывающую алгебры
Каца—Муди. Методы конформной теории поля позволяют построить
точное конформно-инвариантное решение модели Весса—Зумино
в инфракрасной неподвижной точке (см. []); соответствующие
значения центрального заряда c даются (для случая полупростой
группы G) формулой

c(G, k) =
D(G)k

CV(G)+ k
(.)

где D(G) — размерность группы G, CV(G) — квадратичный оператор
Казимира в присоединенном представлении, а k — центральный заряд алгебры Каца-Муди, принимающий (в унитарной теории) целые
значения k =1, 2, … Исследованию этой конформной теории поля посвящены работы [, , ]. Возможно суперсимметричное обобщение модели Весса—Зумино []. Конформно-инвариантное решение

Глава . Введение


модели Весса—Зумино можно применить для описания критических
точек одномерных спиновых цепочек Гейзенберга; см. [].
Годдар, Кент и Олив (см. [, ]) предложили явную конструкцию унитарных (вообще говоря, приводимых) представлений алгебры Вирасоро в терминах представлений алгебр Каца—Муди. Если
G — алгебра Каца—Муди, H — ее подалгебра, а TG и TH — соответствующие генераторы алгебры Вирасоро (т. е. компоненты тензора
энергии-импульса в форме Сугавары—Соммерфильда), то разность
T = TG − TH коммутативна со всеми образующими H и представляет
алгебру Вирасоро с

c = c(«G/H») = c(G, k)− c(H, k′),
(.)

где k и k′ — центральные заряды алгебр G и H соответственно. Таким
образом, представление алгебры Вирасоро с условием (.), возникает как фактор некоторого конечно приводимого «базисного» представления алгебры Каца—Муди G по соответствующему «базисному»
представлению H ⊂ G. Эти авторы нашли случаи, когда возникающие
таким образом представления алгебры Вирасоро конечно приводимы
и совпадают с «минимальными моделями» (p) (этим, в частности,
доказывается унитарность моделей (p)). В других случаях это представление содержит бесконечный набор неприводимых представлений, что, однако, не может помешать ему служить основой для построения унитарной конформной теории поля с c >1. Представления
S(p) и другие модели (см. ниже) также можно реализовать этим способом. При такой конструкции решений, однако, как правило, остается открытым вопрос о внутренних симметриях возникающих моделей.
Суперконформная симметрия и симметрия Каца—Муди генерируются локальными токами спина 3/2 и 1 соответственно. Локальные токи более высоких спинов рассмотрены в работе [].
Можно исследовать также симметрии, генерируемые нелокальными
(«почти локальными») токами с дробными спинами. В работе []
построена алгебра «парафермионных» токов со спинами n(N − n)/N,
n =0, 1, …, N −1, с любыми N ⩾2; поля с такими спинами естественно возникают в ZN-симметричных статистических системах; см. [].
В работе [] найдена серия точно решаемых унитарных моделей
[ZN], N = 2, 3, …, как представлений алгебры «парафермионных
токов»; модели [ZN] конформно инвариантны с

cN = 2(N −1)

N +2 ,
N = 2, 3, …
(.)