Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей

М. С. Агранович

Соболевские пространства,
их обобщения и эллиптические
задачи в областях с гладкой
и липшицевой границей

МЦНМО

М. C. Агранович

Соболевские пространства,
их обобщения
и эллиптические задачи
в областях с гладкой
и липшицевой границей

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК ..
A

Агранович М. C.
Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Эта книга адресуется математикам, которые занимаются уравнениями в частных производных и функциональным анализом.
Первые две главы содержат вводные курсы. В главе I это теория
пространств Hs бесселевых потенциалов (s ∈ ; при s ⩾ 0 это пространства Ws
2 С. Л. Соболева––Л. Н. Слободецкого). В главе II –– теория
общих эллиптических уравнений и задач в этих пространствах с гладкими коэффициентами на гладких поверхностях и в областях с гладкой границей. Значительную часть книги составляет теория классических граничных задач для сильно эллиптических систем -го порядка с коэффициентами малой гладкости в ограниченных липшицевых
областях. Вместе с вспомогательным материалом она изложена в главе III и продолжается в главе IV. В главе IV, имеющей характер обзора,
результаты обобщаются на пространства Hs
p бесселевых потенциалов

и Bs
p О. В. Бесова (в частности, на пространства Ws
p). Она начинается
с очерка теории интерполяции.
Изложение рассчитано в первую очередь на начинающих математиков, которые специализируются по уравнениям в частных производных и функциональному анализу. Особое внимание уделено доступности изложения. Книга может быть интересна также специалистам в этих областях, так как содержит ряд результатов, полученных
относительно недавно. Но она может быть полезна математикам и
других направлений, включая специалистов по прикладной математике и геометров, а также физикам. Предполагается знакомство с
основными математическими курсами, включая элементы функционального анализа.

Подготовлено на основе книги: Агранович М. C. Соболевские пространства,
их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой
границей. –– М.: МЦНМО, . ––  с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© М. C. Агранович, .
© МЦНМО, .

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Предварительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава I. Пространства Hs

§1. Пространства Hs(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§2. Пространства Hs(M) на гладком замкнутом многообразии M . . .
35
§3. Пространства Hs(n
+)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

§4. Пространства Hs(n
+) и ˚Hs(n
+) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
§5. Пространства Hs в ограниченной области с гладкой границей
и на компактном гладком многообразии с краем . . . . . . . . . . . . . .
71

Глава II. Эллиптические уравнения и эллиптические граничные задачи
§6. Эллиптические уравнения на замкнутом гладком многообразии .
81
§7. Эллиптические граничные задачи в ограниченной области с гладкой границей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
§8. Сильно эллиптические уравнения и вариационные задачи . . . . . 117

Глава III. Пространства Hs и сильно эллиптические системы -го порядка в липшицевых областях
§9. Липшицевы области и липшицевы поверхности . . . . . . . . . . . . 133
§10. Дискретные нормы, дискретное представление функций и универсальный оператор продолжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§11. Граничные задачи в липшицевых областях для сильно эллиптических систем -го порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§12. Операторы типа потенциала и задачи сопряжения
. . . . . . . . . 204

Глава IV. Более общие пространства и их приложения
§13. Элементы теории интерполяции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
§14. Пространства W s
p, Hs
p и Bs
p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
§15. Приложения к общей теории эллиптических уравнений и граничных задач
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
§16. Приложения к граничным задачам в липшицевой области . . . . 280

§17. Дополнение. Некоторые св´едения из теории операторов . . . . . . 310
§18. Дополнительные замечания и литературные указания . . . . . . . 334

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

Предисловие

Эта книга состоит из четырех глав.
Первые две главы содержат вводные курсы: в главе I излагается теория пространств H s типа Соболева (s ∈ ) в n, на гладком
замкнутом многообразии и в ограниченной области с гладкой границей, а в главе II –– основы теории общих линейных эллиптических
уравнений на таком многообразии и теории общих эллиптических
граничных задач в такой области в этих пространствах.
В
главе III излагается теория основных задач для сильно эллиптических систем -го порядка в тех же пространствах в ограниченной липшицевой области, т. е. в области с липшицевой (вообще
говоря, негладкой) границей.
В главе IV, имеющей характер обзора, кратко рассматриваются
более общие пространства H s
p бесселевых потенциалов и Bs
p = Bs
p,p
О. В. Бесова, 1 < p < ∞, и описываются их приложения к тем же
задачам.
Пространства С. Л. Соболева W s
p –– это пространства H s
p при целом s ⩾ 0. Пространства Bs
p совпадают с пространствами Л. Н. Слободецкого W s
p при нецелом s > 0. При p = 2 пространства H s
2 и Bs
2
совпадают с H s.
В основе книги –– лекции автора, прочитанные в Независимом
московском университете в / годах, но они существенно расширены и доработаны. Наш план по сравнению с намеченным в []
изменился.
Как и [], эта книга рассчитана прежде всего на начинающих
математиков и доступна студентам-математикам, начиная с  курса
(знакомым, в частности, c основными понятиями функционального
анализа: мера Лебега, гильбертовы и банаховы пространства, компактный оператор и его спектр и т. п.).
Ссылки на материал обязательных университетских математических курсов как правило не приводятся.
В первую очередь эта книга может быть полезна студентам
и аспирантам, которые специализируются по уравнениям в частных
производных и функциональному анализу. Но она может заинтере

Предисловие


совать и тех, кто специализируется в других областях математики,
а также математиков-прикладников и физиков.

Опишем теперь материал книги немного подробнее.
В первой главе мы сразу рассматриваем пространства H s (простейшие пространства бесселевых потенциалов) и отрицательного порядка, которые не являются пространствами Соболева––Слободецкого, но необходимы в главе III. Уже в случае полупространства n
+, в §§  и , некоторые утверждения требуют довольно деликатных доказательств. Построение универсального ограниченного
оператора продолжения функций из области во все пространство,
предложенное В. C. Рычковым [], отложено до § , так как этот
оператор строится для липшицевых областей.
Во второй главе мы переходим к общей теории эллиптических
уравнений и эллиптических граничных задач. Ее построение проводится подробно в §§  и  в минимизированной общности, но
основные обобщения формулируются или, по крайней мере, называются и поясняются. Это «окно» в общую теорию линейных уравнений в частных производных. Не открыв такое окно, трудно оценить
в должной мере красоту и возможности применения теории пространств типа Соболева и научиться пользоваться ее результатами.
Добавим, что теория эллиптических уравнений и задач, построенная
на основе теории пространств типа Соболева, в свою очередь, существенно влияла на последнюю, предоставляя ей, во-первых, актуальные вопросы, во-вторых, некоторые удобные результаты.
Вопрос о том, что относится к основам теории эллиптических
уравнений, решается у нас, может быть, не вполне канонически.
Существенными разделами этой теории мы считаем теорию уравнений, эллиптических с параметром, и «более классическую» теорию
сильно эллиптических уравнений, в которых на первом плане –– однозначно разрешимые (а не фредгольмовы) уравнения и задачи.
Классические вариационные задачи Дирихле и Неймана для сильно эллиптических уравнений рассматриваются сначала в области
с гладкой границей в § . На наш взгляд, сейчас сильно эллиптические уравнения –– скорее содержательный раздел теории эллиптических уравнений, чем давно пройденный этап ее развития.
Третья глава начинается с § , в котором сначала обсуждается
специфика липшицевых областей и поверхностей. В частности, мы
показываем, что липшицева функция почти всюду дифференцируе


Предисловие

ма, следуя статье В. В. Степанова [], и что выпуклая функция липшицева. Затем объясняются основные факты теории пространств
H s в липшицевых областях и на липшицевых поверхностях. В § 
мы, следуя работе [], обсуждаем популярные в современной литературе дискретные нормы и дискретное представление функций
(начальная информация о них изложена в п. .) и строим универсальный оператор продолжения (только для пространств H s, с некоторыми упрощениями по сравнению с []).
В §  и §  на фоне уже описанной теории общих эллиптических
задач излагается теория основных граничных задач в липшицевых
областях в тех же простейших пространствах для сильно эллиптических систем -го порядка. Она занимает существенное место
в предлагаемой книге. Здесь мы развиваем и дополняем материал
прекрасно написанной книги [], к сожалению, не переведенной
на русский язык. Существенных продвижений в этой теории за последние  лет было много. Что удалось сделать лично автору, отмечено в §  (в замечаниях к § ). При изложении этой теории
ее технические детали были подвергнуты некоторой методической
чистке. Вряд ли эту теорию можно считать полностью завершенной.
Эти параграфы и их продолжение в §  могут быть интересны для
специалистов по теории уравнений в частных производных и функциональному анализу.
Автору в свое время довелось принять участие в разработке общей теории (псевдодифференциальных) эллиптических задач и соответствующих спектральных задач, а в недавние годы –– теории
задач в липшицевых областях. Последняя заставила несколько поновому оценить классические вещи, что послужило одним из стимулов к написанию настоящей книги. Можно надеяться, что и читателю будет интересно сравнить эти теории.
Главным приоритетом для автора была доступность изложения.
Поэтому формулировки или доказательства не везде приводятся
в максимальной общности.
Начинающий математик заслуживает не только замкнутого изложения простейшего варианта теории, но также и объяснений
того, что есть дальше, по возможности без излишних подробностей. Поэтому в книгу включена обзорная четвертая глава, посвященная обобщениям материала первых трех глав на пространства H s
p бесселевых потенциалов и пространства Bs
p О. В. Бесова.
Это важный, но довольно громоздкий материал, и на его полное

Предисловие


изложение со всеми доказательствами ушло бы слишком много
места. Разумеется, изложение сопровождается ссылками на литературу, главным образом на монографии. Эта глава начинается
с очерка теории интерполяции в § , написанного с позиций «потребителя» этой замечательной теории. Хотя это обзорный параграф, в нем доказывается несколько очень полезных теорем. В § 
также доказываются важные теоремы в дополнение к материалу
главы III.
Мы отклоняемся от традиции доказывать все, которой обычно
придерживаются авторы книг по математике, но стараемся комментировать все излагаемые определения и факты. Характер изложения у нас ближе к лекционному, чем к книжному. Для лектора важнее неформальная четкость, чем формальная полнота изложения.
В качестве справочника по соболевским пространствам и эллиптическим задачам эта книга не годится.
Мы пользуемся понятиями теории обобщенных функций, она
кратко изложена в предыдущей книжке автора [], на которую мы
будем ссылаться. (Можно, конечно, пользоваться и другими книгами по обобщенным функциям, например книгой И. М. Гельфанда
и Г. Е. Шилова [].) С другой стороны, продолжением настоящей
книги должна стать третья книга []. Там, в частности, будет объяснена идея построения исчисления псевдодифференциальных эллиптических операторов, а здесь мы ограничиваемся классическим методом «замораживания коэффициентов», который не потерял своего значения, прозрачен и заслуживает освоения. По мнению автора,
для начинающего аналитика это полезнее делать до изучения исчисления псевдодифференциальных операторов, не говоря уже о громоздком исчислении псевдодифференциальных эллиптических задач. Метод замораживания коэффициентов используется не только
при исследовании «гладких» эллиптических задач, но и при выводе
неравенства Гординга в липщицевых областях.
Однако псевдодифференциальные операторы будут неоднократно упоминаться, поэтому мы формулируем определения и несколько основных фактов их теории.
Для ориентировки читателя мы в ряде мест затрагиваем спектральные задачи, но без подробных доказательств теорем, лежащих
в основе исследования этих задач. Изложение этих теорем тоже планируется в []. Также без доказательства приводятся формулы для
асимптотик собственных значений.


Предисловие

В §  излагаются справочные сведения из общей теории линейных операторов. С доказательствами здесь изложен материал, относящийся к фредгольмовым операторам и к теореме Лакса––Мильграма. Затем формулируются некоторые основные факты
спектральной теории операторов (п. .) и утверждения, относящиеся к псевдодифференциальным операторам (п. .).
§  содержит комментарии к предыдущим параграфам. Кроме
детализации ссылок на литературу, здесь упоминаются разделы теории эллиптических уравнений и задач для них, иногда обширные,
примыкающие к изложенному материалу, но не затронутые в нем.

Автор снова благодарит своих слушателей, особенно Полину Вытнову, Николая Горева, Василия Новикова и Михаила Сурначёва,
обсуждения с ними очень помогли при отборе материала и поиске
наиболее доступной формы изложения.
Особую благодарность автор хотел бы выразить В. И. Овчинникову за чтение и критику первоначального текста § .
Величайшей удачей для автора оказалось то обстоятельство, что
Татьяна Александровна Суслина согласилась взять на себя обязанности научного редактора. Она была первым читателем текста книги, как выяснилось, еще сырого. Благодаря ее высочайшей математической квалификации, исключительной добросовестности и интересу к тематике, она нашла не только очень много опечаток и мелких неточностей, но и ряд существенных математических дефектов,
нуждавшихся в исправлении, а также возможных улучшений. В результате текст книги очень сильно улучшился.
Работа автора по сильно эллиптическим системам в липшицевых областях поддерживалась грантами РФФИ. Последний из них ––
---a.

Автор будет благодарен читателям за любые замечания и просит
присылать их по адресу magran@orc.ru

Предварительные замечания

Для положительного числа s через [s] обозначается его целая
часть.

Натуральными называются целые положительные числа.

Функционал ϕ(x) над линейным пространством X называется
антилинейным, или сопряженно-линейным, если

ϕ(αx +β y) = ¯¯αϕ(x)+ ¯¯βϕ(y)

для любых элементов x, y из X и любых комплексных чисел α, β.
Функционал Φ(x, y) называется полуторалинейным, если он линеен
по первому аргументу и антилинеен по второму.

В понятие подпространства (в банаховом или гильбертовом
пространстве) включается условие его замкнутости.

Функция f (x) = f (x1, …, xm) от нескольких вещественных или
комплексных переменных называется положительно однородной
степени h (∈), если f (tx)= th f (x) при t >0.

Две нормы в банаховом пространстве называются эквивалентными, если их отношение заключено между положительными постоянными.

Постоянные Ck мы обычно нумеруем в пределах связных рассуждений; когда тема меняется, мы нумеруем их заново.

В случае, когда рассматривается пространство вектор-функций
размерности m с элементами из пространства X, иногда пишут X m.
Мы не будем указывать размерность, она всегда будет ясна из контекста. Норму вектор-функции f =( f1, …, fm) можно определять равенствами
∥ f ∥ = [∥ f1∥p +…+∥ fm∥p]1/p

с любым p ⩾1, эти нормы эквивалентны.

Интеграл без указания множества, по которому производится
интегрирование, берется по n.
Наши обозначения для производных: Dj =−i∂/∂x j =−i∂ j.

Глава I

Пространства Hs

§ . Пространства Hs(n)

.. Определение и простейшие свойства. Исходным будем
считать следующее определение пространства H s(n)= H s(n
x) бесселевых потенциалов. Пусть s –– вещественное число. Введем сначала пространство H s(n
ξ) измеримых по Лебегу комплекснозначных
функций u(ξ), для которых конечна величина
(1+|ξ|2)s|u(ξ)|2 dξ.
(..)

Это линеал в пространстве Шварца S′(n
ξ) обобщенных функций
умеренного роста (см., например, [, п. .]). Пространство H s(n
x)
состоит из таких обобщенных функций u ∈S′ =S′(n
x), что преобразование Фурье

u(ξ) = Fu(ξ) =
e−iξ·xu(x) dx
(..)

в смысле обобщенных функций (см. [, п. .]) принадлежит H s(n
ξ).
Величина (..) принимается за квадрат нормы в H s(n
x) и одновременно в H s(n
ξ):

∥u∥2
Hs(n
x) = ∥u∥2
Hs(n
ξ) =
(1+|ξ|2)s|u(ξ)|2 dξ.
(..)

Очевидно, что H s(n) –– линейное нормированное пространство. Его образ Фурье H s(n) –– это весовое пространство типа L2. Такое пространство, как известно, полно и, значит, банахово. (См.,
например, [, т. I, гл. III, п. ].) Поэтому и H s(n) –– банахово пространство. Более того, как и H s(n), это гильбертово пространство
со скалярным произведением

(u, v)s,n
x = (u, v)s,n
ξ =
(1+|ξ|2)su(ξ)v(ξ)dξ.
(..)

Индекс s =0 будем опускать.
Очевидно, что ∥u∥Hs(n) ⩽ ∥u∥Hσ(n) при s < σ, так что пространство с б´ольшим индексом непрерывно вложено в пространство