Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Контрпримеры в теории вероятностей. (новое, дополненное и переработанное)

Покупка
Артикул: 682469.01.99
Книга содержит около 300 разнообразных контрпримеров и при- меров, относящихся к основным разделам теории вероятностей и слу- чайных процессов. Во второе издание добавлен новый материал, рас- ширен список литературы. Книгу можно активно использовать при изучении теории вероятностей и случайных процессов. Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников физико-математических специальностей.
Стоянов, Й. Контрпримеры в теории вероятностей. (новое, дополненное и переработанное): Учебное пособие / Стоянов Й. - Москва :МЦНМО, 2014. - 296 с.: ISBN 978-5-4439-2040-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958657 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Й. СТОЯНОВ

КОНТРПРИМЕРЫ 
в теории вероятностей

 Й. СТОЯНОВ   Контрпримеры в теории вероятностей

Й. СТОЯНОВ

КОНТРПРИМЕРЫ
В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171
С82

Стоянов Й.
Контрпримеры в теории вероятностей
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
294 с.
ISBN 978-5-4439-2040-5

Книга содержит около 300 разнообразных контрпримеров и примеров, относящихся к основным разделам теории вероятностей и случайных процессов. Во второе издание добавлен новый материал, расширен список литературы. Книгу можно активно использовать при
изучении теории вероятностей и случайных процессов.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных сотрудников
физико-математических специальностей.

Подготовлено на основе книги: Й. Стоянов. Контрпримеры в теории
вероятностей. — М.: МЦНМО, 2012.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2040-5
c⃝ Стоянов Й., 2012.
c⃝ МЦНМО, 2014.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к русскому изданию
13

Предисловие автора
15

Основные обозначения и сокращения
17

Глава 1. Случайные события и их вероятности
18
§ 1.
Классы случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.
Класс событий, который образует алгебру, но не является σ-алгеброй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.
О замкнутости класса событий относительно операций
объединения, пересечения и дополнения . . . . . . . . .
20
1.3.
Каждая алгебра событий является полуалгеброй, но не
наоборот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.4.
В σ-алгебре подмножеств множества Ω могут не содержаться все его подмножества . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.5.
Каждая σ-алгебра является d-системой, но обратное неверно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.6.
Множества, которые не являются событиями в произведении соответствующих σ-алгебр . . . . . . . . . . . .
22
1.7.
Объединение σ-алгебр может не быть σ-алгеброй . . .
22
§ 2.
Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.1.
Вероятностная мера, которая является аддитивной, но
не σ-аддитивной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2.
Две вероятностные меры могут совпадать на заданном
классе событий и не совпадать на σ-алгебре, порожденной этим классом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3.
Теорема Колмогорова о продолжении меры в пространстве (R∞, B∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.4.
О регулярных условных вероятностях . . . . . . . . . .
29
§ 3.
Независимость случайных событий . . . . . . . . . . . . .
31
3.1.
О роли вероятностной меры в свойстве независимости
32
3.2.
Попарная независимость событий не влечет их независимости в совокупности
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

ОГЛАВЛЕНИЕ

3.3.
Из соотношения P(ABC) = P(A)P(B)P(C) не следует,
что события A, B и C независимы в совокупности . . .
34
3.4.
Система из n + 1 зависимых событий, каждые n из которых независимы в совокупности . . . . . . . . . . . .
35
3.5.
О независимости и условной независимости случайных
событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.6.
Об одном выборе условий типа независимости, из которого не следует независимость в совокупности . . . . .
38
3.7.
Из независимых в совокупности событий можно формировать зависимые классы событий
. . . . . . . . . .
39
3.8.
Семейства случайных событий с «необычными»
свойствами независимости/зависимости . . . . . . . . .
39
§ 4.
Разные свойства случайных событий и их вероятностей .
41
4.1.
Вероятностные пространства без нетривиальных
независимых событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.2.
О лемме Бореля–Кантелли
. . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3.
Может ли класс событий обладать свойством независимости и быть исчерпывающим? . . . . . . . . . . . . . .
43

Глава 2. Распределения. Случайные величины
46
§ 5.
Функции распределения случайных величин . . . . . . . .
46
5.1.
Эквивалентные случайные величины распределены одинаково, но обратное неверно . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.2.
Если случайные величины X, Y и Z заданы на одном
вероятностном пространстве, то из X
d= Y не следует,
что XZ
d= Y Z
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.3.
Функция, которая является метрикой в пространстве
распределений, но не является метрикой в пространстве
случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
5.4.
Об n-мерных распределениях . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.5.
Отсутствие атомов не влечет непрерывности многомерных функций распределения
. . . . . . . . . . . . . . .
51
5.6.
Об абсолютной непрерывности распределений случайного вектора и его компонент . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.7.
Многомерные функции распределения не определяются
однозначно своими маргинальными распределениями .
54
5.8.
О свертках функций распределений . . . . . . . . . . .
55
5.9.
О несохранении свойства унимодальности при свертках
унимодальных распределений . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 6.
Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.1.
О линейности математического ожидания . . . . . . . .
61

ОГЛАВЛЕНИЕ
5

6.2.
Об интегрируемости последовательности случайных величин и ограниченности их супремума
. . . . . . . . .
63
6.3.
У симметричного распределения все моменты нечетного
порядка равны нулю, но обратное неверно
. . . . . . .
63
6.4.
Об одном свойстве моментов случайных величин, которое не имеет аналога для случайных векторов . . . . .
64
6.5.
О справедливости теоремы Фубини
. . . . . . . . . . .
65
6.6.
Семейство интегрируемых случайных величин, которое
не является равномерно интегрируемым . . . . . . . . .
66
6.7.
Всегда ли справедливо равенство E{E(X|Y )} = EX? . .
67
6.8.
О невозможности расширить одно из свойств условного
математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . .
68
§ 7.
Независимость случайных величин
. . . . . . . . . . . . .
69
7.1.
О попарной независимости случайных величин и их независимости в совокупности . . . . . . . . . . . . . . . .
69
7.2.
Множество зависимых случайных величин, каждое собственное подмножество которого обладает свойством
независимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.3.
Зависимые случайные величины X и Y , такие что случайные величины X2 и Y 2 независимы
. . . . . . . . .
73
7.4.
Независимость случайных величин в терминах характеристических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
7.5.
Независимость случайных величин в терминах производящих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
7.6.
Свертка функций распределений может быть распределением суммы зависимых случайных величин . . . . .
77
7.7.
Некоррелированные, но зависимые случайные величины
77
7.8.
Из равенства E(Y |X) = EY почти наверное не всегда
вытекает, что X и Y независимы . . . . . . . . . . . . .
78
7.9.
Существует ли связь между понятиями независимости
и условной независимости случайных величин?
. . . .
79
§ 8.
Характеристические и производящие функции
. . . . . .
80
8.1.
Характеристические функции, совпадающие на конечном отрезке, но не на всей числовой прямой
. . . . . .
82
8.2.
Дискретное и абсолютно непрерывное распределения
с характеристическими функциями, совпадающими на
отрезке [−1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
8.3.
Абсолютно непрерывное распределение может иметь характеристическую функцию, которая не интегрируема
абсолютно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

ОГЛАВЛЕНИЕ

8.4.
Неинтегрируемая дискретная случайная величина с дифференцируемой характеристической функцией . . . . .
85
8.5.
Неинтегрируемая абсолютно непрерывная случайная величина с дифференцируемой характеристической функцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
8.6.
Производящая функция может не существовать,
даже если случайная величина имеет моменты любого
порядка r, r = 1, 2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
§ 9.
Безгранично делимые и устойчивые распределения . . . .
89
9.1.
Не обращающаяся в нуль характеристическая функция,
которая не является безгранично делимой
. . . . . . .
90
9.2.
О свойстве безграничной делимости характеристических
функций ϕ и |ϕ| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
9.3.
Произведение двух независимых неотрицательных и безгранично делимых случайных величин не всегда сохраняет свойство безграничной делимости
. . . . . . . . .
93
9.4.
О свойстве безграничной делимости в многомерном случае
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
9.5.
О безграничной делимости случайного вектора
и линейных комбинаций его компонент
. . . . . . . . .
95
9.6.
Безгранично делимые распределения, которые не являются устойчивыми
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
9.7.
Устойчивое распределение можно разложить на два безгранично делимых и неустойчивых распределения . . .
99
§ 10. Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
10.1.
Нормальность одномерных распределений не обеспечивает нормальности соответствующего многомерного распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
10.2.
Если (X1, X2) имеет двумерное нормальное распределение, то X1, X2 и X1 + X2 нормально распределены, но
обратное неверно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
10.3.
Свойство нормальности может не иметь места для системы случайных величин, даже если любая ее
подсистема обладает этим свойством . . . . . . . . . . .
104
10.4.
О связи между свойствами нормальности и некоррелированности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
10.5.
Случайные величины X, Y , X + Y и X − Y могут быть
нормально распределенными, причем X и Y некоррелированны, а распределение вектора (X, Y )
может не быть нормальным . . . . . . . . . . . . . . . .
107

ОГЛАВЛЕНИЕ
7

10.6.
Условие, характеризующее нормальное распределение
через нормальность линейных комбинаций, не может
быть ослаблено
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
10.7.
Распределение, отличающееся от нормального, может
иметь условные нормальные распределения
. . . . . .
109
§ 11. Проблема моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
11.1.
Проблема моментов для некоторых функций от нормально распределенной случайной величины . . . . . .
113
11.2.
Логарифмически нормальное распределение и проблема моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
11.3.
Еще один класс абсолютно непрерывных распределений, которые не определяются однозначно своими моментами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
11.4.
Проблема моментов для степенных преобразований экспоненциального распределения . . . . . . . . . . . . . .
118
11.5.
Различные дискретные распределения с совпадающими
моментами любого порядка . . . . . . . . . . . . . . . .
119
11.6.
Как связаны два различных достаточных условия для
единственности решения проблемы моментов? . . . . .
123
11.7.
Условие Карлемана достаточно, но не необходимо для
единственности решения проблемы моментов . . . . . .
124
11.8.
Условие Крейна достаточно, но не необходимо для неединственности решения проблемы моментов . . . . . .
126
§ 12. Характеризационные свойства некоторых вероятностных
распределений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126
12.1.
Как распределены случайные величины, если их
сумма имеет биномиальное распределение? . . . . . . .
127
12.2.
Свойство геометрического распределения, которое
не является его характеризационным свойством . . . .
128
12.3.
О применимости теоремы Райкова . . . . . . . . . . . .
129
12.4.
О применимости теоремы Крамера . . . . . . . . . . . .
131
12.5.
Об одном свойстве, которое не является характеризационным для нормального распределения . . . . . . . . .
132
12.6.
Еще одно интересное свойство, которое не является характеризационным для нормального распределения . .
133
12.7.
Об одном свойстве, не являющемся характеризационным для распределения Коши
. . . . . . . . . . . . . .
134
12.8.
Об одном свойстве, которое не является характеризационным для гамма-распределения . . . . . . . . . . . . .
135
§ 13. Разные свойства случайных величин
. . . . . . . . . . . .
136

ОГЛАВЛЕНИЕ

13.1.
О свойстве независимости при суммировании пуассоновских случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . .
136
13.2.
О симметричности суммы и разности двух случайных
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
13.3.
Соотношение между классами распределений NBU
и IFR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
13.4.
Перестановочные и «хвостовые» события, связанные
с последовательностями случайных величин . . . . . .
140
13.5.
Перестановочная последовательность случайных
величин, не обладающих свойством независимости
. .
142
13.6.
О применимости закона «0 или 1» Колмогорова . . . .
143
13.7.
О применимости закона «0 или 1» Хьюитта–Сэвиджа .
144
13.8.
Всегда ли применима теорема де Финетти? . . . . . . .
145

Глава 3. Предельные теоремы
146
§ 14. Разные виды сходимости последовательностей случайных
величин
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
14.1.
О сходимости функций случайных величин . . . . . . .
148
14.2.
Из сходимости по распределению не вытекает сходимость по вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
14.3.
Последовательности случайных величин, сходящиеся по
вероятности, но не с вероятностью 1 . . . . . . . . . . .
149
14.4.
Из сходимости в среднем порядка r вытекает сходимость по вероятности, но обратное неверно . . . . . . .
151
14.5.
Из сходимости в среднем порядка r не всегда вытекает
сходимость почти наверное
. . . . . . . . . . . . . . . .
152
14.6.
Из сходимости почти наверное не всегда следует сходимость в среднем порядка r . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
14.7.
Сходимость плотностей обеспечивает слабую сходимость
функций распределений, но обратное неверно
. . . . .
153
14.8.
Из сходимости Xn
d−→ X и Yn
d−→ Y не всегда вытекает,
что Xn + Yn
d−→ X + Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
14.9.
Не существует метрики, соответствующей сходимости
почти наверное
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
14.10. О сходимости вполне и сходимости почти наверное последовательностей случайных величин
. . . . . . . . .
156
14.11. О сходимости средних по Чезаро для последовательности случайных величин
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§ 15. Законы больших чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
15.1.
Условие Маркова достаточно, но не необходимо для справедливости закона больших чисел
. . . . . . . . . . . .
159

ОГЛАВЛЕНИЕ
9

15.2.
Условие Колмогорова достаточно, но не необходимо для
справедливости усиленного закона больших чисел для
неодинаково распределенных случайных величин . . .
160
15.3.
Еще один пример, когда условие Колмогорова не выполнено, но усиленный закон больших чисел имеет
место . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161

15.4.
О роли условия Колмогорова
∞
n=1

σ2
n/n2< ∞ . . . . .
161

15.5.
Арифметические средние для случайной последовательности могут сходиться по вероятности, даже если теорема Хинчина неприменима . . . . . . . . . . . . . . . .
163
15.6.
Последовательность случайных величин, удовлетворяющая слабому, но не усиленному закону больших чисел 164
15.7.
Закон больших чисел может не выполняться, если сходимость с вероятностью 1 заменить сходимостью
вполне
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
15.8.
О справедливости обобщенного закона больших чисел
167
§ 16. Слабая сходимость вероятностных мер и распределений .
168
16.1.
Определяющие классы и классы, определяющие
сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
16.2.
Из сходимости по распределению не вытекает слабая
сходимость соответствующих вероятностных
мер для всех борелевских множеств . . . . . . . . . . .
172
16.3.
О слабой сходимости и сходимости моментов . . . . . .
174
16.4.
Два случая, когда теорема непрерывности неприменима 175
16.5.
Когда теорема непрерывности применима для
плотностей? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
16.6.
О слабой сходимости и сходимости по вариации . . . .
178
16.7.
Слабая сходимость и метрика Леви
. . . . . . . . . . .
180
§ 17. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . .
181
17.1.
Последовательности случайных величин, для которых
центральная предельная теорема не справедлива
. . .
183
17.2.
Какова роль различных условий для выполнения центральной предельной теоремы? . . . . . . . . . . . . . .
184
17.3.
Две «эквивалентные» последовательности случайных величин, такие что одна из них удовлетворяет, а другая
не удовлетворяет центральной предельной теореме
. .
185
17.4.
Условие Ляпунова и центральная предельная теорема
186
17.5.
О центральной предельной теореме и сходимости дисперсии нормированной суммы Sn/√DSn . . . . . . . . .
189

ОГЛАВЛЕНИЕ

17.6.
Центральная предельная теорема не всегда применима
при суммировании случайного числа случайных величин
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
17.7.
Какова связь между двумя центральными предельными теоремами, интегральной и локальной? . . . . . . .
191
§ 18. Разные предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
18.1.
В теореме Колмогорова о «трех рядах» условие независимости существенно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
18.2.
Об одном следствии теоремы Колмогорова о «трех рядах» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
18.3.
О радиусе сходимости случайных степенных рядов . .
196
18.4.
Всегда ли можно менять порядок операций взятия математического ожидания, бесконечного суммирования
и предела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
18.5.
Lr-сходимость последовательности случайных величин
не вытекает из сходимости условных математических
ожиданий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
18.6.
О законе повторного логарифма Човера . . . . . . . . .
200
18.7.
О рекордах и максимумах последовательности независимых случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . .
201

Глава 4. Случайные процессы
203
§ 19. Основные понятия и свойства случайных процессов
. . .
203
19.1.
О роли семейства конечномерных распределений
при построении случайного процесса с заданными свойствами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
19.2.
У случайного процесса могут быть модификации с различными свойствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
19.3.
О свойстве сепарабельности случайных процессов . . .
207
19.4.
Измеримые и прогрессивно измеримые процессы
. . .
208
19.5.
О стохастической непрерывности случайных процессов
210
19.6.
Критерий Колмогорова для непрерывности с вероятностью 1 случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . .
211
19.7.
Существует ли связь между непрерывностью случайного процесса и непрерывностью порожденной им фильтрации? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
§ 20. Марковские процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
20.1.
Уравнение Колмогорова–Чепмена может иметь место,
даже если процесс немарковский . . . . . . . . . . . . .
216
20.2.
Об одном следствии марковского свойства
. . . . . . .
217

ОГЛАВЛЕНИЕ
11

20.3.
Связь между различными понятиями эргодичности для
марковских цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
20.4.
Эргодичность марковской цепи не всегда обеспечивает сходимость математического ожидания функции от
этой цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
20.5.
Две неэквивалентные марковские цепи с непрерывным
временем могут быть частично эквивалентными . . . .
222
20.6.
Марковские процессы, феллеровские процессы,
сильно феллеровские процессы и связи между ними
.
223
20.7.
Марковские, но не строго марковские процессы
. . . .
224
§ 21. Стационарные процессы и некоторые смежные вопросы .
227
21.1.
О свойстве стационарности случайных процессов
. . .
228
21.2.
О стационарности заданного порядка m . . . . . . . . .
229
21.3.
Условие сильного перемешивания не всегда сохраняется при преобразовании стационарного в узком смысле
процесса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
21.4.
Стационарный в узком смысле процесс может быть регулярным и не обладать свойством полной регулярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
232
21.5.
Законы больших чисел для стационарных в широком
смысле процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
21.6.
О свойствах эргодичности и перемешивания для сохраняющих меру преобразований . . . . . . . . . . . . . . .
234
21.7.
Стационарные последовательности, для которых
центральная предельная теорема не имеет места . . . .
236
§ 22. Мартингалы с дискретным временем . . . . . . . . . . . .
239
22.1.
L1-ограниченные мартингалы, не являющиеся
L1-доминированными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
22.2.
Мартингалы, для которых теорема Дуба об остановке
не имеет места . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
22.3.
Каждый квазимартингал является амартом, но обратное не верно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
22.4.
Амарты, мартингалы в пределе, эвентуальные мартингалы и связи между ними . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
22.5.
Квазимартингалы, амарты, прогрессивные мартингалы
и связи между ними
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
22.6.
О сходимости субмартингалов почти наверное
и в пространстве L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
22.7.
Мартингалы могут сходиться по вероятности, но не сходиться почти наверное . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

ОГЛАВЛЕНИЕ

22.8.
Мартингалы могут расходиться на множестве с заранее
заданной вероятностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
§ 23. Мартингалы с непрерывным временем . . . . . . . . . . .
249
23.1.
Мартингалы, не являющиеся локально квадратично-интегрируемыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250
23.2.
L2-ограниченный локальный мартингал, который
не является мартингалом
. . . . . . . . . . . . . . . . .
251
23.3.
Экспоненциальные мартингалы: неулучшаемость
условия Новикова и два полезных следствия . . . . . .
253
23.4.
Квадратично-интегрируемый мартингал с неслучайной
характеристикой не обязан быть процессом
с независимыми приращениями . . . . . . . . . . . . . .
255
23.5.
О возможности представить мартингал в виде стохастического интеграла относительно другого мартингала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
23.6.
Гауссовские процессы, которые не являются семимартингалами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
§ 24. Разные свойства случайных процессов
. . . . . . . . . . .
259
24.1.
О перестановочности операций пересечения и супремума для последовательности σ-алгебр, связанных со случайными процессами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259
24.2.
О тождествах Вальда для винеровского процесса . . .
261
24.3.
О сходимости квадратической вариации винеровского
процесса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
24.4.
Можно ли характеризовать многомерный гауссовский
процесс по его проекциям? . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
24.5.
Представление Крамера, кратность и спектральный тип
случайного процесса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
24.6.
Фрактальный винеровский процесс и марковское
свойство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267

Дополнительные замечания
268

Литература
273

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Предметом книги являются контрпримеры в традиционном понимании этого термина и примеры, раскрывающие разнообразные, стандартные и нестандартные, зачастую причудливые, свойства случайных величин и случайных процессов. Эти примеры и контрпримеры автор собирал на протяжении многих лет. Надо сказать, что построение примеров
и контрпримеров, являясь далеко не тривиальной работой, существенно
помогает очертить границы применимости тех или иных результатов
теории, используемых понятий, конструкций, методов и т. д. Отметим,
что имеется еще несколько книг (например, [100, 417, 483]) с небольшим
сходством по содержанию с настоящей книгой, уникальной по богатству
материала и занимающей достойной место среди книг в области теории
вероятностей.
Предлагаемая книга требует от читателя знания основ теории вероятностей, а более конкретно — знакомства с основными определениями
и свойствами тех вероятностных объектов, относительно которых строится тот или иной пример. Хотя в книге и даются основные определения, они не являются исчерпывающими и не предназначены для первого
знакомства. Назначение книги предполагает определенную краткость
изложения. Для более детального ознакомления с основами теории вероятностей можно порекомендовать книги:
К о л м о г о р о в
А. Н. Основные понятия теории вероятностей.
(2-е изд.) — М.: Наука, Физматлит, 1974;
Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. (7-е изд., испр.). —
М.: УРСС, 2001;
Ш и р я е в А. Н. Вероятность. В 2-х книгах. (5-е изд., стер.). — М.:
МЦНМО, 2011;
и выходящую почти одновременно книгу
Ш и р я е в А. Н., Э р л и х И. Г., Я с ь к о в П. А. Вероятность в теоремах и задачах (с доказательствами и решениями). — М.: МЦНМО,
2012,
в которых приведены многие доказательства и решения задач, относящихся к теории вероятностей.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Контрпримеры и примеры в этой книге Й. Стоянова — очень разнообразные. Некоторые из них легкие, в других требуется подумать
и кое-что подсчитать, а есть и очень серьезные утверждения. Однако
следует помнить, что читатели бывают разной степени подготовленности. И то, что тривиально для специалиста, может быть неожиданно
для студента.
Данная книга была подготовлена к публикации много лет назад, но
напечатана была только в 1999 г. За это время ее английский вариант
был опубликован в издательстве J. Wiley & Sons, Inc. Там же вышло
ее второе издание, что подтверждает высокие качества книги. Следует
отметить, что Й. Стоянов сам подготовил русский текст книги, и мягкий
болгарский акцент придает ее языку определенный шарм. Мы уверены,
что данное издание встретит благожелательный интерес у читателей.

Академик РАН
А. Н. Ширяев

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Общие замечания. Начнем с иллюстрации. Предположим, что высказано следующее утверждение:

«В русском языке нет слов, содержащих
последовательность из пяти согласных».
(∗)

На вопрос «верно ли это?» можно легкомысленно ответить «да».
Однако правильным ответом будет «нет». Это означает, что если существует хотя бы одно русское слово, содержащее пять согласных подряд,
оно будет служить контрпримером к утверждению (∗). Забавно, что
в данном случае контрпримером является само слово «контрпример».
Любители языка могут поискать и другие контрпримеры.
В настоящей книге термин «контрпример» используется в обычном
смысле, как это принято в математике. Книга является собранием около
300 разнообразных контрпримеров и примеров, относящихся к основным разделам теории вероятностей и случайных процессов. В результате моей многолетней работы была издана книга:
S t o y a n o v J. Counterexamples in Probability. — Chichester, New
York: John Wiley and Sons, 1987 (2 ed. 1997).
В 1990 г. мною был подготовлен русский вариант книги. Я высоко
ценю труд С. Е. Кузнецова, который в 1991 г., как рецензент русского текста книги, сделал ряд полезных предложений. Позже, благодаря усилиям рано ушедшего из жизни В. В. Калашникова (1942–2001)
и В. В. Сенатова, книга была подготовлена к печати в 1995 г. и вышла
в свет в издательстве «Факториал» только в 1999 г.
В настоящее издание внесены некоторые дополнения и улучшения.
Устранены замеченные опечатки и неточности и учтены предложения
читателей. Теперь в книгу включен новый и свежий материал, отражен
опыт, накопленный за последние годы. Обновлен список литературы.
Предназначение и содержание книги. Использование контрпримеров
помогает понять лучше и глубже все основные понятия и роль условий,
при которых доказываются вероятностные утверждения. Выражаясь
словами Штирлица, можно сказать, что каждый контрпример и пример
в этой книге — это хороший «повод для размышления».

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Книга послужит дополнительным пособием для всех, кто изучает
или преподает теорию вероятностей и случайные процессы. Профессионалы в этой области тоже могут извлечь из книги некоторую пользу.
Материал включает основные темы, рассматриваемые в курсах по
теории вероятностей и случайным процессам. Среди имеющихся на русском языке изданий, настоящая книга наиболее близка по стилю и содержанию к следующим фундаментальным книгам:
Ш и р я е в А. Н. Вероятность. В 2-х книгах. (5-е изд., стер.). — М.:
МЦНМО, 2011;
Ш и р я е в А. Н. Задачи по теории вероятностей. (2-е изд.). — М.:
МЦНМО, 2011.
Эти книги и настоящая книга хорошо дополняют друг друга.
История книги. Я начал коллекционировать контрпримеры в 1970 г.,
когда был студентом МГУ им. М. В. Ломоносова. Моя дальнейшая работа сотрудником Института математики Болгарской АН и преподавателем Софийского университета была благоприятна для этого моего
хобби. Со временем накопил значительный материал по объему и содержанию. Возрастал интерес к идее активно использовать контрпримеры
при изучении теории вероятностей. Об этом подходе появился ряд публикаций. Со специальными лекциями на эту тему я выступал во многих европейских и американских университетах. Интернациональный
характер настоящей книги очевиден.
Благодарности. При работе над книгой у меня были полезные и плодотворные обсуждения со многими коллегами и друзьями.
В первую очередь я пользуюсь случаем выразить признательность моим учителям Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохорову и А. Н. Ширяеву. Специальной благодарности заслуживают коллеги и друзья:
Н. В. Крылов, Р. Ш. Липцер, А. А. Новиков, Ю. М. Кабанов, В. В. Сенатов, С. Е. Кузнецов, А. М. Зубков, А. В. Булинский, Ф. Стойтел, А. Лясоф и С. Гайдов. В списке литературы отмечены имена всех, кто тем
или иным образом проявил внимание и интерес к моей работе.
Я благодарен также А. Т. Фоменко, любезно предоставившему оригинальные рисунки, которые очень удачно иллюстрируют, что такое
«контрпример». Вот, иногда говорят, что «все игральные кости стандартные». Взгляд на обложки показывает... «да не все»...
Как и прежде, я с вниманием встречу замечания читателей.
Наконец, выражаю благодарность сотрудникам МЦНМО за замечательную работу по подготовке и изданию книги.

Йордан Стоянов (Данчо)
Весна 2012 г., Newcastle (U. K.)

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

(Ω, F, P) — вероятностное пространство
EX, DX — математическое ожидание и дисперсия величины X
Rn, n ⩾ 1, — n-мерное евклидово пространство
Bn — борелевская σ-алгебра в Rn

N — множество натуральных чисел: N = {1, 2, . . .}
N0 — множество неотрицательных целых чисел: N0 = {0, 1, 2, . . .}
N — множество целых чисел: N = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
IA, I(A) — индикаторная функция множества A
N(a, σ2) — нормальное распределение с параметрами a и σ2

X ∼ F — случайная величина X имеет распределение F
Φ — стандартная нормальная функция распределения
F1 ∗ F2 — свертка функций распределения F1 и F2
x ∨ y — максимум величин x и y: max(x, y)
x ∧ y — минимум величин x и y: min(x, y)
=⇒, ⇐⇒ — логические импликации
↓ — монотонное убывание
п. н. — почти наверное
б. ч. — бесконечно часто
d−→ — сходимость по распределению
P−→ — сходимость по вероятности
п.н.
−−→ — сходимость почти наверное (с вероятностью 1)
Lr
−−→ — сходимость в пространстве Lr
w
−→ — слабая сходимость
c−→ — сходимость вполне
v−→ — сходимость по вариации
ЗБЧ — закон больших чисел
УЗБЧ — усиленный закон больших чисел
ЦПТ — центральная предельная теорема
n
k

— число сочетаний из n по k

Г Л А В А 1

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ

§ 1. Классы случайных событий

Пусть задано произвольное непустое множество Ω. Его элементы,
обозначаемые ω, будут интерпретироваться как исходы некоторого
эксперимента. Как обычно, через A ∪ B и A ∩ B (а также AB) будем
обозначать соответственно объединение и пересечение любых двух
подмножеств A ⊆ Ω и B ⊆ Ω, а через A — дополнение множества A ⊆ Ω.
В частности, Ω = ∅, где ∅ — пустое множество. Если множества A
и B не пересекаются, то их объединение будем обозначать A + B;
соответственно, объединение непересекающихся множеств Ai, i ⩾ 1,
обозначается i
Ai.

Класс A подмножеств Ω называется алгеброй, если он содержит Ω
и замкнут относительно дополнения и конечных объединений, т. е. если:
а) Ω ∈ A;
б) A ∈ A =⇒ A ∈ A;
в) A1, A2 ∈ A =⇒ A1 ∪ A2 ∈ A.
Учитывая законы де Моргана (A1A2 = A1 ∪ A2 и A1 ∪ A2 = A1A2),
легко видеть, что условие в) можно заменить условием
в′) A1, A2 ∈ A =⇒ A1A2 ∈ A.
Это означает, что класс A замкнут относительно конечных пересечений.
Класс F подмножеств Ω называется σ-алгеброй, если F — алгебра,
которая замкнута относительно счетных объединений, т. е. если

г) A1, A2, . . . ∈ F =⇒
∞
n=1
An ∈ F.

Снова, как и выше, условие г) может быть заменено эквивалентным
ему условием

г′) A1, A2, . . . ∈ F =⇒
∞
n=1
An ∈ F.

Таким образом, σ-алгебра F является замкнутой относительно счетных пересечений.

§ 1. КЛАССЫ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
19

Напомним, что элементы любой алгебры или σ-алгебры называются
случайными событиями (или просто событиями).
Другие классы событий, такие как полуалгебры, d-системы и произведение σ-алгебр, будут введены и изучены в рассмотренных далее
конкретных примерах.
По поводу основных теоретико-вероятностных объектов, идей и результатов читатель может обратиться к любому из хорошо известных
учебных пособий, например [9, 26, 60, 75, 81, 92, 106, 116, 117, 118, 145,
179, 330].

1.1. Класс событий, который образует алгебру,
но не является σ-алгеброй

(а) Пусть Ω = [0, ∞), а класс A1 содержит все интервалы вида [a, b)
или [a, ∞), где 0 ⩽ a < b < ∞. Далее, пусть класс A2 состоит из пустого множества ∅ и всех конечных сумм непересекающихся интервалов
из A1. Покажем, что класс A1 не является алгеброй, а A2 — алгебра,
которая не является σ-алгеброй.
Действительно, возьмем произвольные действительные числа a и b,
0 < a < b < ∞. Тогда A = [a, b) ∈ A1, но поскольку A = [0, a) ∪ [b, ∞) /∈
/∈ A1, то A1 не может быть алгеброй.
Далее, легко проверить, что: 1) объединение конечного числа элементов класса A2 принадлежит A2; 2) дополнение любого элемента
класса A2 снова принадлежит A2. Таким образом, мы видим, что A2
образует алгебру. Однако A2 не является σ-алгеброй, потому что, на
пример, множество An =
0, 1

n

при любом n ∈ N принадлежит A2, в то

время как пересечение
∞
n=1
An = {0} не принадлежит A2.

(б) Пусть A — класс подмножеств множества Ω = R1, состоящий
из конечных сумм непересекающихся интервалов вида (−∞, a], (b, c]
и (d, ∞), где a, b, c, d — любые числа из R1. Тогда класс A образует

алгебру. Однако пересечение
∞
n=1

b − 1

n, c
, равное [b, c], не входит в A.

Следовательно, A не является σ-алгеброй.
(в) Возьмем произвольное множество Ω, содержащее бесконечное
число элементов. Обозначим через A совокупность всех таких подмножеств A ⊆ Ω, что конечно либо дополнение A подмножества A, либо
оно само. Тогда легко видеть, что A — алгебра, которая σ-алгеброй не
является.