Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Объемлемая однородность

Покупка
Артикул: 686271.01.99
Брошюра написана по материалам миникурса в летней школе «Совре- менная математика» в Дубне в 2009 г. и доклада на семинаре по геометрии им. И.Ф.Шарыгина в 2010 г. Понятие объемлемой однородности возникает из простых «физических» вопросов. Введение доступно школьнику (кроме его последнего пункта, где требуется понятие непрерывного отображения между подмножествами плос- кости). Далее практически «школьными» методами мы получим характери- зацию объемлемо однородных подмножеств плоскости. В этой части уже необходимо знакомство с открытыми и замкнутыми множествами на прямой и плоскости. Затем выясняется, что понятие объемлемой однородности свя- зано со многими важными теориями и результатами—теорией динамических систем, многообразий и групп Ли, пятой проблемой Гильберта и проблемой Гильберта-Смита. Приложение доступно студенту, знакомому с этими поня- тиями. Брошюра адресована широкому кругу людей, интересующихся матема- тикой. Она может быть интересным «легким чтением» для профессиональных математиков.
Скопенков, А. Б. Объемлемая однородность: Краткий курс / Скопенков А.Б. - Москва :МЦНМО, 2014. - 27 с.: ISBN 978-5-4439-2039-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/969583 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
А. Б. Скопенков

Объемлемая
однородность

МЦНМО

Летняя школа «Современная математика»
Дубна, июль 2009

А. Б. Скопенков

Объемлемая однородность

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 515.1
ББК 22.152
С44

Скопенков А. Б.
Объемлемая однородность
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
27 с.
ISBN 978-5-4439-2039-9

Брошюра написана по материалам миникурса в летней школе «Современная математика» в Дубне в 2009 г. и доклада на семинаре по геометрии
им. И. Ф. Шарыгина в 2010 г.
Понятие объемлемой однородности возникает из простых «физических»
вопросов. Введение доступно школьнику (кроме его последнего пункта, где
требуется понятие непрерывного отображения между подмножествами плоскости). Далее практически «школьными» методами мы получим характеризацию объемлемо однородных подмножеств плоскости. В этой части уже
необходимо знакомство с открытыми и замкнутыми множествами на прямой
и плоскости. Затем выясняется, что понятие объемлемой однородности связано со многими важными теориями и результатами — теорией динамических
систем, многообразий и групп Ли, пятой проблемой Гильберта и проблемой
Гильберта–Смита. Приложение доступно студенту, знакомому с этими понятиями.
Брошюра адресована широкому кругу людей, интересующихся математикой. Она может быть интересным «легким чтением» для профессиональных
математиков.

Подготовлено на основе книги: А. Б. Скопенков. Объемлемая однородность. — М.: МЦНМО, 2012.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2039-9
© Скопенков А. Б., 2012.
© МЦНМО, 2014.

Посвящается памяти В. И. Арнольда

Советы читателю

Начать читать брошюру разумно с введения. Его три пункта практически независимы друг от друга, и их можно читать в произвольном порядке.
Впрочем, они расположены в порядке возрастания сложности. В дальнейшем из введения используется только пункт 1.2.
Оставшиеся параграфы практически независимы друг от друга, и их
можно читать в произвольном порядке. Впрочем, они расположены в порядке возрастания сложности.
Основное содержание брошюры — утверждение 2 из пункта 1.2, его
доказательство в § 3 и его обобщения в параграфах 4 и 5.
В брошюре много задач, обозначаемых жирными цифрами. Большинство задач несложны. При этом, если условие задачи является формулировкой утверждения, то это утверждение и надо доказать. Формулировки
задач нужно прочитать — это поможет вам понять текст, даже если вы не
сможете решить задачи. Если некоторые встречающиеся, но не определенные понятия вам незнакомы, то можно или игнорировать соответствующую
задачу, или узнать определение (у преподавателя, в wikipedia, в книгах...).
Двумя звездочками отмечены задачи, решение которых мне неизвестно.
Обновляемая версия поддерживается на http://arxiv.org/abs/1003.5278.

Благодарности

Автор благодарен В. Клепцыну, Г. Мерзону и А. Сосинскому за полезные замечания и обсуждения. Автор был поддержан грантом фонда Саймонса.

§ 1. Введение

1.1. Изометрическая объемлемая однородность

Какой формы могут быть ножны, чтобы
из них можно было вытащить саблю? Переформулируя этот вопрос на математическом
языке, мы приходим к следующему определению.
Определение. Подмножество
N
пространства Rm (в частности, плоскости R2 или трехмерного пространства R3) называется изометрически объемлемо однородным, если для
любых двух точек x, y ∈ N существует движение (т. е. изометрия) пространства, переводящее x в y, а N в себя.

3

Рис. 1. Решетка
Рис. 2. Образ решетки при движении

Напомним, что движением (т. е. изометрией) называется преобразование, сохраняющее расстояния, см. рис. 1 и 2.
Отметим, что в этом определении не требуется непрерывной зависимости движения от x и y. Хотя её и было бы естественно потребовать, исходя
из исходной «физической» задачи.
1. Следующие подмножества изометрически объемлемо однородны:
(a) пара точек на плоскости;
(b) вершины правильного многоугольника на плоскости;
(c) целочисленная решетка (т. е. множество точек, все координаты которых целые) на плоскости;
(d) окружность S1 := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} на плоскости;
(e) сфера S2 := {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1} в трехмерном пространстве (рис. 3);
(f) винтовая линия в трехмерном пространстве (рис. 4), т. е. линия, заданная параметрическим уравнением r(t) = (t, cost, sin t);1

(g) объединение двух окружностей в трехмерном пространстве, ограничивающих основания прямого кругового цилиндра (т. е. двух окружностей,
одна из которых получена из другой параллельным переносом на вектор,
перпендикулярный их плоскостям), см. рис. 6;
(h) тор в R4 (рис. 5), являющийся произведением двух окружностей
(или, что то же самое, заданный параметрическим уравнением r(s, t) =
= (cos s, sin s, cos t, sin t)).
Все эти примеры могут быть тривиально обобщены на высшие размерности. Действительно, легко сообразить, что если плоское изометриче
1По такой кривой движется электрон в постоянном магнитном поле, если напряженность
H является постоянным вектором и начальная скорость электрона не параллельна и не перпендикулярна напряженности. Это можно доказать, используя закон Био—Савара—Лапласа
движения электрона, утверждающий, что ¨γ = ˙γ × H.

4

Рис. 3. Сфера
Рис. 4. Винтовая линия
Рис. 5. Тор в R4

Рис. 6. Две пары окружностей: изометрически объемлемо однородная и нет
Рис. 7. Тор вращения в R3

ски объемлемо однородное подмножество рассмотреть как подмножество
трехмерного пространства, то оно также будет изометрически объемлемо
однородным.
2. Следующие подмножества не являются изометрически объемлемо
однородными:
(a) множество вершин неравностороннего треугольника на плоскости;
(b) отрезок в R1 (указание: рассмотрите его крайнюю точку);
(c) объединение пересекающихся прямых (указание: рассмотрите точку
их пересечения);
(d) парабола y = x2 на плоскости;
(e) объединение двух окружностей в трехмерном пространстве, отличное от приведенного в предыдущей задаче (рис. 6);
(f) тор вращения в R3 (рис. 7; указание: у школьников может не получиться доказать это).
Сформулируем естественную гипотезу о характеризации изометрически
объемлемо однородных подмножеств. Для этого нам понадобятся еще два
определения.

5

Подмножество плоскости (или трехмерного пространства) называется
замкнутым, если для любой точки его дополнения имеется круг (шар)
положительного радиуса с центром в этой точке, пересечение которого с
нашим подмножеством пусто.
Подмножество плоскости (или трехмерного пространства) называется
связным, если на плоскости не существует двух непересекающихся замкнутых множеств, пересечение каждого из которых с нашим подмножеством непусто.
Гипотеза 1. (a) Изометрически объемлемо однородное связное замкнутое подмножество плоскости является точкой, прямой, окружностью или всей плоскостью.
(b) Изометрически объемлемо однородное связное замкнутое
подмножество трехмерного пространства является точкой, прямой, окружностью, винтовой линией, сферой, цилиндром или всем
пространством.
У этой гипотезы есть аналог и для Rm.
Эту гипотезу можно легко доказать для подмножеств, являющихся дважды дифференцируемыми кривыми (их определение аналогично приведенному ниже перед теоремой 3) с использованием понятия кривизны. Общий случай можно попытаться доказать с использованием классификации
движений (эту идею сообщил мне А. Ошемков). Идея неэлементарного доказательства приведена в § 5.
3. Подмножество N плоскости называется переносно объемлемо однородным, если для любых двух точек x, y ∈ N существует параллельный
перенос, переводящий x в y, а N в себя.
(a) Переносно объемлемо однородное замкнутое связное подмножество плоскости является точкой, прямой или всей плоскостью. (Эта задача является шагом к доказательству вышеприведенной гипотезы, поэтому интересно прямое доказательство, а не вывод из приведенной гипотезы.)
(b)** Верно ли, что переносно объемлемо однородное связное подмножество плоскости является точкой, прямой или всей плоскостью? (Например, может ли какая-нибудь «дикая» подгруппа плоскости по сложению,
которая строится с помощью аксиомы выбора, быть связной?)
4. Определите подобистическую объемлемую однородность подмножеств плоскости.
(a) Приведите пример подобистически объемлемо однородного подмножества плоскости, не являющегося изометрически объемлемо однородным.
(b)** Попробуйте охарактеризовать связные замкнутые подобистически объемлемо однородные подмножества плоскости.

6

1.2. Аффинная объемлемая однородность

Какой формы может быть металлический кабель, чтобы из него можно
было вытащить его «мягкую» сердцевину? Кабель деформировать нельзя
(он жесткий), а провод можно деформировать плавно, но нельзя ломать.
Математическая формулировка этого вопроса приводит к понятию дифференцируемой объемлемой однородности из § 4 «Обобщение на диффеоморфизмы». Мы сначала рассмотрим более простое понятие аффинной
объемлемой однородности. Оно хуже отражает ситуацию, зато доступно
школьнику и интересно с точки зрения математики. А самое главное, на

Рис. 8. Образ решетки при
аффинном преобразовании

примере его изучения в этой брошюре показана идея доказательства характеризации дифференцируемо объемлемо однородных подмножеств.
Определение.
Подмножество
N
пространства Rm
(в частности, плоскости R2

или трехмерного пространства R3) называется аффинно объемлемо однородным, если
для любых двух точек x, y ∈ N существует аффинное преобразование h: Rm → Rm, переводящее x в y, а N в себя.
Напомним, что аффинным преобразованием плоскости называется композиция движения, гомотетии и растяжения относительно
прямой, см. рис. 1, 8 и 9. Здесь растяжение
относительно прямой можно заменить на параллельную проекцию из одной копии нашей плоскости, находящейся в трехмерном пространстве, на
другую. Подробнее см. [Pr].
Аффинное преобразование трехмерного пространства определяется более сложно; мы приведём здесь это определение, хотя до § 4 оно нам
не понадобится. Пусть заданы точки O и O′, а также две некомпланарные тройки векторов a, b, c и a′, b′, c′. Тогда аффинным преобразова
Рис. 9. Кошка и ее образ при аффинном преобразовании

7

нием трехмерного пространства, отвечающим O, a, b, c и O′, a′, b′, c′, называется преобразование, переводящее точку O + xa + yb + zc в точку
O′ + xa′ + yb′ + zc′. Аналогично определяется аффинное преобразование
пространства Rm; такое определение для m = 2 равносильно вышеприведенному.
5. Cледующие подмножества плоскости аффинно объемлемо однородны:
(a) любое изометрически объемлемо однородное подмножество;
(b) эллипс, заданный уравнением x2 + 2y2 = 1;
(c) парабола y = x2;
(d) гипербола y = 1/x.
Подсказка: см. рис. 10.

Рис. 10. Кошка и ее образы при эллиптическом, параболическом и гиперболическом поворотах

Какие еще бывают аффинно однородные подмножества плоскости?
6. (a) Не любое конечное множество на плоскости является аффинно
объемлемо однородным.
(b)* Опишите конечные аффинно объемлемо однородные подмножества плоскости. (Ответ — аффинно правильные многоугольники. Полезно
использовать, что аффинное преобразование сохраняет центр масс и «эллипс инерции».)

8

7. (a) График функции y = |x| не является аффинно объемлемо однородным подмножеством плоскости.
(b) Если функция f : R → R дифференцируема хотя бы в одной точке и
график f аффинно объемлемо однороден, то f дифференцируема в любой
точке. (Если производная в точке равна плюс бесконечности или равна
минус бесконечности, то мы считаем функцию дифференцируемой в этой
точке.)
Но ведь есть и непрерывные функции, не дифференцируемые ни в од
ной точке. Например, пила Вейерштрасса f (x) :=
∞
n=0
2−n sin(13nπx), см.

рис. 11. Такие примеры встречаются и в физике при изучении броуновского движения. Что тогда? Может ли непрерывная функция быть «одинаково не дифференцируемой» во всех точках, т. е. может ли её график быть
аффинно объемлемо однороден? Оказывается, что нет.

Рис. 11. Пила Вейерштрасса и броуновское движение

Утверждение 2. Если график непрерывной функции f : R → R аффинно объемлемо однороден, то эта функция дифференцируема в
любой точке. Более того, ее производная непрерывна.1

Читатель, которому остаток этого пункта и следующий покажутся
слишком трудными, может сразу перейти к одному из двух следующих
параграфов.
Утверждение 2 является частным случаем более общего факта, который
мы сейчас сформулируем. Для этого нам понадобятся определение замкнутости (см. выше перед гипотезой 1) и следующее определение. Непрерывно дифференцируемой кривой на плоскости называется образ непрерывно дифференцируемого отображения γ : R → R2, для которого скорость
˙γ(t) ̸= 0 при любом t.

1Если производная в точке равна плюс бесконечности или равна минус бесконечности, то
мы считаем функцию дифференцируемой в этой точке. Непрерывность производной в такой
точке означает, что производная бесконечно большая при стремлении аргумента к этой точке.

9