Собрание сочинений. Том I

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Жан-Пьер СЕРР

СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ

I

Под редакцией М. А. Цфасмана

Электронное издание

Москва • МЦНМО • 2014

УДК 51
ББК 22.1
C 33

Серр Ж.-П.
Собрание сочинений. Т. 1
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
509 с.
ISBN 978-5-4439-2036-8

Жан-Пьер Серр — один из величайших математиков нашего времени, чьи работы
на протяжении последнего полувека преобразили современную математику, в особенности алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, теорию алгебр и групп
Ли, теорию чисел.
Собрание сочинений выпускается к 75-летию ученого. В первый том собрания
сочинений включены работы 1949–54 гг.

Подготовлено на основе книги: Ж.-П. Серр. Собрание сочинений. Т. 1. — М.:
НМУ: МЦНМО, 2002.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83

http://www.m

me.
ru

ISBN 978-5-4439-2036-8
⃝c МЦНМО, 2014.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие (М. А. Цфасман) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Расширения упорядоченных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Локальная компактность расслоенных пространств . . . . . . . . . . . . . . .
12
Расширения локально компактных групп (по Ивасаве и Глисону) . . . .
15
Невозможность расслоения евклидова пространства
на компактные слои (совместно с А. Борелем) . . . . . . . . . . . . . .
22
Когомологии расширений групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Тривиальность расслоенных пространств. Приложения . . . . . . . . . . . .
28
Алгебраические приложения когомологий групп I . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Алгебраические приложения когомологий групп II.
Теория простых алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Сингулярные гомологии расслоенных пространств I.
Спектральная последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Сингулярные гомологии расслоенных пространств II.
Пространства петель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Сингулярные гомологии расслоенных пространств III.
Приложения к теории гомотопий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Вычисление приведенных p-степеней Стинрода в когомологиях
классических групп. Приложения (совместно с А. Борелем) . . .
69
Сингулярные гомологии расслоенных пространств . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Использование новых операций Стинрода в теории расслоенных
пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
Расслоенные пространства и гомотопические группы I.
Общие конструкции (совместно с А. Картаном) . . . . . . . . . . . . . .
173
Расслоенные пространства и гомотопические группы II.
Приложения (совместно с А. Картаном) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
О группах Эйленберга – Маклейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
О надстройке Фрейденталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
Пятая проблема Гильберта. Состояние вопроса на 1951 год . . . . . . . .
185
Когомологии и функции комплексного переменного . . . . . . . . . . . . . . .
195
Когомологии расширений групп (совместно с Дж. П. Хохшильдом) . . .
200
Когомологии алгебр Ли (совместно с Дж. П. Хохшильдом) . . . . . . . . .
227
Когомологии и арифметика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
Гомотопические группы и классы абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Когомологии по модулю 2 комплексов Эйленберга – Маклейна . . . . . .
291
Письмо к Арману Борелю . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323

Содержание

Алгебраические расслоенные пространства (по А. Вейлю) . . . . . . . . . .
333
Некоторые вычисления гомотопических групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
Некоторые глобальные задачи, связанные
с многообразиями Штейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342
Одна теорема конечности в теории компактных аналитических
многообразий (совместно с А. Картаном) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
353
О некоторых подгруппах компактных групп Ли
(совместно с А. Борелем) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356
Группы Ли и приведенные степени Стинрода
(совместно с А. Борелем) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
Работы Хирцебруха по топологии многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . .
407
Аналитические пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
Автоморфные функции: некоторые оценки в случае,
когда X/G компактно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
418
Автоморфные функции одной переменной: приложения теоремы
Римана – Роха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
Две теоремы о вполне непрерывных отображениях . . . . . . . . . . . . . . . .
439
Аналитические пучки на проективном пространстве . . . . . . . . . . . . . . .
445
Автоморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
457
Линейные представления и кэлеровы однородные пространства
компактных групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475
Когомологии и алгебраическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
482
Пространства K(
, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
488
Гомотопические группы букетов сфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
495
Теорема Брауэра о характерах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
502

ПРЕДИСЛОВИЕ

Жан-Пьер Серр (Jean-Pierre Serre) — один из величайших математиков нашего времени. Его работы на протяжении последнего полувека преобразили современную математику, в особенности алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, теорию алгебр и групп Ли, теорию чисел.
В алгебраической топологии он продемонстрировал, насколько сильные результаты способно дать систематическое использование сложной алгебраической
техники, в первую очередь спектральных последовательностей. С его именем
связано изучение гомотопических групп сфер, такие понятия, как расслоение в смысле Серра и спектральная последовательность Серра расслоения.
Широко известна двойственность Серра в теории аналитических пространств
и многообразий Штейна. В теории групп и алгебр Ли используется спектральная последовательность Хохшильда – Серра. Сегодняшнюю алгебраическую геометрию невозможно себе представить без теории когерентных пучков или без результатов сравнения аналитической и алгебраической структур.
Героическая эпопея доказательства теоремы Ферма была бы невозможна без
его участия, как в проработке основ теории l-адических представлений, так и
в самом доказательстве Элегуарша – Фрая – Серра – Рибета – Тейлора– Уайлса.
Отличительная черта Серра — умелое сочетание искусства создавать общие
теории с любовью и внимательным интересом к конкретным частным задачам.
Творчество многих математиков можно разделить на периоды и темы исследований. Ярким примером является Гильберт, переходивший с течением времени от
одной области математики к другой, полностью оставляя свои предыдущие занятия. Случай Серра, как и Андре Вейля, который по свидетельству самого Серра
всегда являлся для него образцом математика, — не таков. Ему в высшей мере свойственно умение использовать соображения из одной области математики
для решения задач из совершенно другой области. Так, топология в его работах
используется для решения задач из алгебраической геометрии, теории групп и
теории чисел. В очень красивой работе о конгруэнц-подгруппах SL2 теоретикогрупповая проблема разбивается на два случая, причем первый исследуется методами теории чисел (поля классов), а второй — топологически (деревья, двумерные
и трехмерные гиперболические многообразия). В работе о проконечных группах
существенно используются операции Стинрода. И так далее.
Серр отмечает, что его бурбакистское образование всегда позволяло ему «разделять сущности» — выделять в каждой задаче чистые структуры, а затем комбинировать их по необходимости, подобно тому как хороший повар предпочитает
начинать с чистых натуральных продуктов, чтобы смешать их затем по рецепту

Предисловие

и вдохновению. «С этой точки зрения (смесь структур), модулярные формы доставили мне, несомненно, наибольшее удовольствие. Там мы одновременно находим традиционную теорию чисел (функция Рамануджана, суммы делителей,
разбиения), ”q-разложения“, алгебраическую геометрию (над Z!), представления Галуа, представления в стиле теории Ленгленса. Все это взаимодополнительно, и невозможно сказать, что какой-то один из этих взглядов — ”правильный“» 1).
Серра отличает удивительное внимание к деталям. Он почитает теорему ошибочной, если в ней подразумевается, что некоторое множество непусто, но явно
об этом сказать забыли. Зачастую такой пуризм вызывает улыбку, но отсюда
и необыкновенная ясность изложения в его статьях и книгах. Математики нескольких поколений учились по его книгам «Алгебраические группы и поля классов», «Когомологии Галуа», «Курс арифметики», «Алгебры Ли и группы Ли»,
«Линейные представления конечных групп», «Абелевы l-адические представления и эллиптические кривые», «Локальные поля», «Деревья». Б ´ольшая часть
этих книг была переведена и на русский язык. Учились мы и по его статьям, и по
его многочисленным докладам на семинаре Бурбаки, в то время, как правило,
не переведенным. Четырехтомное Собрание статей Ж.-П. Серра было выпущено
издательством Springer-Verlag 2), французское математическое общество издало
сборник его докладов на семинарах 3).
В 2001 году Жан-Пьеру Серру исполнилось 75 лет, и у нас возникло желание
отметить эту дату изданием на русском языку более полного собрания его сочинений. Эта мысль была поддержана посольством Франции в Москве, Coll `ege de
France и Российским фондом фундаментальных исследований.
Многие математики Независимого московского университета с энтузиазмом
встретили эту идею и согласились помочь с переводом.
Любое издание начинается с первого тома. Он перед Вами. Мне хотелось бы
особо отметить труд переводчиков (С. В. Дужина, М. Э. Казаряна, А. Г. Кузнецова, С. К. Ландо, С. М. Львовского, А. В. Самохина) и редакторов (С. М. Львовского, О. Н. Попова, А. Б. Сосинского, А. В. Стояновского), а также тщательную
работу О. Н. Попова над библиографией. Без качественной и оперативной работы И. В. Ященко, В. В. Фурина, И. В. Вялой, А. С. Переверзевой, В. Ю. Радионова, Ю. Н. Торхова, Т. Ю. Бочаровой, С. Е. Твардовской и О. А. Васильевой этот
том никогда бы не вышел. Часть ранее опубликованных переводов (переводчики
В. Г. Болтянский и Б. С. Виленская) была нами почерпнута из сборника «Расслоенные пространства» 4).
Всем участникам проекта — огромная благодарность.

М. А. Цфасман

1) Письмо Серра к автору этих строк.
2) Serre J.-P. Œuvres: 4 volumes. Berlin: Springer-Verlag, 1986–2000; готовится второе издание.
3) Serre J.-P. Expos ´es de s ´eminaires 1950–1999: Documents Math ´ematiques. Paris: Soc. Math. de
France, 2001.
4) Расслоенные пространства и их приложения: Сб. перев. М.: ИЛ, 1958.

Предисловие
7

* * *
Для удобства читателя ссылки на статьи, даваемые, особенно в коротких заметках, в виде подстрочных примечаний без названия статьи, вынесены нами в конец статьи и дополнены названиями. В ссылках на статьи из этого издания страница указана по нему, во всех остальных случаях — по первоначальной публикации. Мы также позволили себе унифицировать шрифтовое оформление текста
и формул. Естественно, за прошедшие годы многие обозначения сменились. Мы
в основном сохраняем обозначения оригинала. По просьбе автора, в тех его работах, где конечная группа обозначалась Zp, это обозначение набирается прямым
шрифтом, дабы не путать его с Zp — кольцом p-адических чисел. В конце статей
даны позднейшие примечания автора. Ссылка на них в тексте выглядит так: [1]
(не путать со ссылкой на литературу, последняя выглядит так: [1]).

ЖИЗНЕОПИСАНИЕ

Жан-Пьер Серр родился 15 сентября 1926 г. в городе Беж ´е (Восточные Пиренеи) в семье фармацевтов Жана Серра и Адель Серр (урожденной Дие).
Женат на Жозиане Эло (10 августа 1948 г.). Дочь Клодин Серр (29 ноября
1949 г.).
1932–1937 — начальная школе в Вовере, затем (1937–1945) лицей для юношей в Ниме.
1944 — окончание школы со степенью бакалавра естественных наук и философии.
1945–1948 — учеба в l’Ecole Normale Sup ´erieure в Париже.
1948 — конкурс на право преподавание математике в лицее.
1948–1953 — научный сотрудник Национального центра научных исследований (CNRS).
1951 — доктор математических наук.
1953–1954 — научный сотрудник в CNRS.
1954–1956 — доцент факультета естественных наук в Нанси.
1955 — руководитель курса им. Пекко в Коллеж де Франс (Coll `ege de France).
1956–1994 — профессор алгебры и геометрии в Коллеж де Франс.
1994 — профессор эмеритус в Коллеж де Франс.
Член Академий Наук: Амстердама (1978), Бостона (1960), Парижа (1977),
Стокгольма (1981), Вашингтона (1979). Почетный член Лондонского математического Общества (1973) и Королевского общества Великобритании (1974). Доктор honoris causa университетов: Кембриджа (1978), Стокгольма (1980), Глазго
(1983), Афин (1996), Гарварда (1998), Дарема (2000), Лондона (2000).
1981–1983 — президент консультационного комитета при Международном
конгрессе математиков в Варшаве.
1983–1986 — вице-президент исполнительного комитета Международного
математического союза.
Член редколлегий журналов: «Annales Scientifiques de l’Ecole Normale
Sup ´erieure» (1967–1970), «Ast ´erisque» (1975–1979), «Inventiones Mathematicae»
(1967–1979 и c 1982).
Приглашенный профессор: Алжир (1965, 1966), Бонн (1976), Гарвард (1957,
1964, 1974, 1976, 1979, 1981, 1985, 1988, 1990, 1992, 1994, 1995, 1996), Геттинген (1970), ЛосАнжелес (2000), Калтех (1997), МакГилл (1967), Мехико (1956),
Москва (1961, 1984), Принстон (1952, 1999), Сингапур (1985), Утрехт (1974),
Юджин (1998).

Жизнеописание
9

Приглашенный сотрудник Института высших исследований в Принстоне: 1955,
1959, 1961, 1963, 1967, 1970, 1972, 1978, 1983 и Института высших научных исследований в Бюр-сюр-Иветте 1963–1964.
Филдсовский лауреат (1954), лауреат премий Гастона Жулиа (1970), Бальцана
(1985), Стила (1995). Офицер ордена Почетного легиона, командор ордена «За
заслуги перед отечеством».

Расширения упорядоченных полей

Коммутативное поле, снабженное структурой совершенного порядка, называется упорядоченным полем [1], [2], если из (x ⩾ 0 и y ⩾ 0) следует (x
+ y ⩾ 0
и xy ⩾ 0).
Пусть L — расширение упорядоченного поля K. Будем говорить, что структура
порядка на L определяет на L структуру упорядоченного расширения поля K,
если L, снабженное этой структурой порядка, является упорядоченным полем,
порядок на котором продолжает порядок на K.

Теорема 1. Для того чтобы поле L, являющееся расширением упорядоченного поля K, допускало структуру упорядоченного расширения поля K, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие:
для всякого конечного набора строго положительных элементов pi из K
соотношение pix2
i

= 0, где xi ∈ L, влечет равенства xi

= 0 для всех i.

Необходимость очевидна. Чтобы убедиться в достаточности, определим структуру порядка на L, объявив множеством строго положительных элементов поля L
максимальный элемент множества (очевидным образом индуктивного и непустого) подмножеств P ⊂ L, удовлетворяющих следующим условиям:

0 /∈ P,
P
+ P ⊂ P,
P · P ⊂ P

и P содержит все элементы вида px2 (где p
> 0, p ∈ K, x ∈ L∗).

Следствие 1 (Артин – Шрайер). Для того чтобы поле L было упорядочиваемым 1) (т. е. чтобы существовала структура порядка, превращающая
его в упорядоченное поле), необходимо и достаточно, чтобы соотношение x2
i

= 0 влекло равенства xi

= 0 для всех i.

Достаточно положить K
= Q (поле рациональных чисел).

Следствие 2. Для расширений упорядоченных полей свойство «допускать структуру упорядоченного расширения» есть свойство конечного
характера.

Serre J.-P. Extensions de corps ordonn ´es // C. R. Acad. Sci. Paris. 1949. V. 229. P. 576–577. Перев.
С. М. Львовского.
1) «Formal-reell» в терминологии Артина – Шрайера.

Расширения упорядоченных полей
11

Следствие 3. Всякое чисто трансцендентное расширение упорядоченного поля допускает структуру упорядоченного расширения.

При исследовании алгебраических расширений упорядоченных полей мы можем, благодаря следствию 2, ограничиться расширениями конечного ранга или,
ввиду теоремы о примитивном элементе, расширениями, порожденными одним
элементом. Применяя теорему 1 к этим последним, получаем:

Теорема 2. Пусть K — упорядоченное поле и f(x) — неприводимый
над K многочлен, меняющий знак в K. Тогда поле разложения [1] многочлена f(x) над K допускает структуру упорядоченного расширения.

Следствие 1. Всякое алгебраическое расширение упорядоченного поля,
имеющее нечетную степень, допускает структуру упорядоченного расширения.

Следствие 2. Если a

— семейство положительных элементов упорядоченного поля K, то расширение (K, √a

) допускает структуру упорядоченного расширения.

Эти результаты дополняют известные результаты Артина и Шрайера [2] об
упорядочиваемых расширениях упорядочиваемых полей. Их удобно применять
к исследованию максимальных упорядоченных полей 2).
С другой стороны, эти результаты позволяют слегка упростить работу Ж. Дьедонне про «A-упорядочиваемые» поля [3].

Список литературы

[1] Artin E., Schreier O. Algebraische Konstruktion reeller K ¨orper // Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg. 1926. Bd. 5. S. 85–99.

[2] Artin E. ¨Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate // Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg. 1926. Bd. 5. S. 100–115.

[3] Dieudonn ´e J. Sur les corps ordonnables // Bol. Soc. Mat. S ˜ao Paulo. 1946. V. 1. P. 69–
75.

Заседание Академии наук 19 сентября 1949 г.

Позднейшие примечания

[1] (с. 13) «Поле разложения многочлена f(x) над K» — это поле K[X]/(f).
[2] (с. 13) По поводу элементарного изложения теории упорядоченных полей,
основанного на теоремах 1 и 2, см. Бурбаки, гл. VI, 2. [Bourbaki N. El ´ements de
math ´ematique. Les
structures fondamentales de l’analyse. Livre 2: Alg `ebre. Paris,
1939–1952. Перев.: Бурбаки Н. Алгебра. М.: Наука, 1965.]

2) И наоборот, хорошо известные свойства этих последних позволяют легко доказать теорему 2.

Локальная компактность расслоенных
пространств

(Заметка представлена г-ном Эли Картаном)

Как известно, всякое расширение компактной группы при помощи компактной группы также компактно. В локально компактном случае, однако же,
аналогичный результат был впервые доказан только в 1948 г. Н. Я. Виленкиным [1]. В этой заметке я показываю, что данный результат является частным случаем некоторого свойства расслоенных пространств, выполняющегося, если принять для последних определение, менее ограничительное, чем
обычно.

1. Пространства с группами операторов

Определение.
Пусть E — отделимое топологическое пространство. Говорят,
что G действует на E (справа), или же что E есть пространство с группой
операторов G, если задано такое непрерывное отображение из E × G в E, записываемое как (x, s) → x · s, что x · st
= (x · s) · t. Пусть R — подмножество
в E × E, состоящее из элементов вида (x, x · s) ; R является графиком отношения эквивалентности на E (очевидно, открытого), которое мы также обозначим
через R. Факторпространство E/R
= B будет называться базой пространства E;
для того чтобы B было отделимо, необходимо и достаточно, чтобы график R был
замкнут; мы будем всегда предполагать, что это условие выполнено. Обозначим
через f каноническое отображение из E на B. Это отображение открыто.
Будем, наконец, говорить, что подмножество U ⊂ E является больш ´им порядка C, где C — подмножество в G, если для всякой пары (x, x′) эквивалентных
точек из U существует такое s ∈ C, что x′

= x · s.

Лемма 1. Пусть U — открытое подмножество в E, являющееся больш ´им порядка C, где C — компактное подмножество в G. Предположим,
что (x, x′) ∈ R, причем x ∈ U и x′ ∈ U, Тогда существует такое s ∈ C,
что x′

= x · s.

Serre J.-P. Compacit ´e locale des espaces fibr ´es // C. R. Acad. Paris. 1949. V. 229. P. 1295–1297.
Перев. С. М. Львовского.